Mix Examples-Differential Equations Questions in Gujarati

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$
પદોને વિસ્તૃત કરતા: $y \, dx + xy^2 \, dx + x \, dy - x^2y \, dy = 0$
ગોઠવણી કરતા: $(y \, dx + x \, dy) + xy(y \, dx - x \, dy) = 0$
$x^2y^2$ વડે ભાગતા: $\frac{y \, dx + x \, dy}{x^2y^2} + \frac{y \, dx - x \, dy}{xy} = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{d(xy)}{(xy)^2} - \left(\frac{x \, dy - y \, dx}{xy}\right) = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(xy)}{(xy)^2} - \int d\left(\log \frac{x}{y}\right) = \int 0$
$-\frac{1}{xy} - \log \left(\frac{x}{y}\right) = -k$
$\log \left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{xy} + k$

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$
$\Rightarrow f(x) f^{\prime \prime}(x) = (f^{\prime}(x))^2$
બંને બાજુ $f(x) f^{\prime}(x)$ વડે ભાગતા: $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} dx = \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx$
$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$
શરતો $f(0)=1$ અને $f^{\prime}(0)=2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(2) = \ln(1) + C_1 \Rightarrow C_1 = \ln(2)$
તેથી,$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(2) = \ln(2f(x))$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 2f(x)$
$\Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$
ફરીથી સંકલન કરતા: $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$
$\ln(f(x)) = 2x + C_2$
$f(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1) = 2(0) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$
આમ,$\ln(f(x)) = 2x \Rightarrow f(x) = e^{2x}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$.
આપણે તપાસીએ કે $y=3 \sin x+4 \cos x$ એ ઉકેલ છે કે નહીં.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x}=3 \cos x-4 \sin x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=-3 \sin x-4 \cos x$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y = (-3 \sin x-4 \cos x) + (3 \sin x+4 \cos x) = 0$.
આમ,સમીકરણનું સમાધાન થાય છે,તેથી $y=3 \sin x+4 \cos x$ એ ઉકેલ છે.
વૈકલ્પિક રીત:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ $m^2+1=0$ છે,જે $m = \pm i$ આપે છે.
તેથી સામાન્ય ઉકેલ $y=c_1 \cos x+c_2 \sin x$ છે.
વિકલ્પ $A$ આ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $c_1=4$ અને $c_2=3$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ વક્રનો ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ છે.
ધારો કે બીજા વક્રનો ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}$ છે.
હવે,ઢાળનો ગુણાકાર ગણો: $m_1 \times m_2 = \left(\frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}\right) \times \left(-\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}\right) = -1$.
કારણ કે ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ છે,વક્રો લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે છેદનકોણ $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.
અંતે,$4\theta - \frac{\pi}{2} = 4\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ થાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$.
આખા સમીકરણને $y^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{y dx - x dy}{y^2} + 3x^2 e^{x^3} dx = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $d(\frac{x}{y}) + d(e^{x^3}) = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$,તેથી કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{1} + e^{1^3} = C \Rightarrow C = 1 + e$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = 1 + e$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{y} = 1 + e - e^{x^3} \Rightarrow x = y(1 + e - e^{x^3}) \Rightarrow x + y(e^{x^3} - (1 + e)) = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે $\frac{y}{1 + y^2} \, dy = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{y}{1 + y^2} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\frac{1}{2} \ln(1 + y^2) = \ln|x| + C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{1}{2} \ln(1 + 0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln(1 + y^2) = 2 \ln|x| \Rightarrow 1 + y^2 = x^2$.
વક્ર $x^2 - y^2 = 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
વક્ર $x^2 + 3y^2 = 3$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$.
છેદબિંદુ પર,$x^2 = 1 + y^2$. $x^2 + 3y^2 = 3$ માં કિંમત મૂકતા: $(1 + y^2) + 3y^2 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2}$.
તેથી $x^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
છેદબિંદુ પર,$m_1 m_2 = (\frac{x}{y})(-\frac{x}{3y}) = -\frac{x^2}{3y^2} = -\frac{3/2}{3(1/2)} = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,વક્રો $\theta = \frac{\pi}{2}$ ખૂણે છેદે છે.
તેથી,$\frac{2\theta}{\pi} = \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ છે.
ગુણાકાર કરતા,$(y-x+1) dy = (x+y+1) dx$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $y dy - x dy + dy = x dx + y dx + dx$.
પદોને જૂથમાં લેતા: $(y+1) dy - x dy = (x+1) dx + y dx$.
બંને બાજુ $x dy$ ઉમેરતા: $(y+1) dy = (x+1) dx + (y dx + x dy)$.
ગુણાકારના નિયમ $d(xy) = y dx + x dy$ નો ઉપયોગ કરતા,$(y+1) dy = (x+1) dx + d(xy)$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (y+1) dy = \int (x+1) dx + \int d(xy)$.
આથી $\frac{(y+1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2} + xy + C_1$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા: $(y+1)^2 = (x+1)^2 + 2xy + 2C_1$.
ગોઠવતા: $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = -2C_1$.
ધારો કે $C = -2C_1$,તેથી $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = C$ મળે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(3x+2y-7)dy = (2x-3y+4)dx$
પદોને ગોઠવતા: $(3x+2y-7)dy - (2x-3y+4)dx = 0$
$(3xdy + 3ydx) + (2ydy - 2xdx) - 7dy - 4dx = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $3d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 7dy - 4dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 3d(xy) + \int d(y^2) - \int d(x^2) - \int 7dy - \int 4dx = \int 0$
$3xy + y^2 - x^2 - 7y - 4x = C$
$-1$ વડે ગુણતા: $x^2 - y^2 - 3xy + 4x + 7y + C = 0$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $y dy - x dy + dy - y dx - x dx + 2 dx = 0$.
પદોને જૂથમાં લેતા: $y dy + dy - (x dy + y dx) - x dx + 2 dx = 0$.
ચોક્કસ વિકલન $d(xy) = x dy + y dx$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $y dy + dy - d(xy) - x dx + 2 dx = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int y dy + \int dy - \int d(xy) - \int x dx + \int 2 dx = \int 0$.
આથી મળે છે: $\frac{y^2}{2} + y - xy - \frac{x^2}{2} + 2x = C$.
તેથી,$f(x, y, c) = \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} - xy + 2x + y - C = 0$.
આપેલ છે કે $f(1, 1, c) = 0$,તેથી $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$\frac{1^2}{2} - \frac{1^2}{2} - (1)(1) + 2(1) + 1 - C = 0$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 + 2 + 1 - C = 0$.
$2 - C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $C = 2$.

(B) આપેલ રૂપાંતરણ $z = \log \tan \frac{x}{2}$ છે.
પ્રથમ,$\frac{d z}{d x}$ શોધો:
$\frac{d z}{d x} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
હવે,$\frac{d y}{d z}$ ને $x$ ના પદોમાં દર્શાવો:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \sin x$.
આગળ,$\frac{d^2 y}{d z^2}$ શોધો:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d x}{d z} = \left( \cos x \frac{d y}{d x} + \sin x \frac{d^2 y}{d x^2} \right) \cdot \sin x = \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + \sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2}$.
આને લક્ષ્ય સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ માં મૂકો:
$\sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2} + \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + k y = 0$.
$\sin^2 x$ વડે ભાગતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + k \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{x}{\ln|cx|}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln|cx| \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{cx} \cdot c}{(\ln|cx|)^2} = \frac{\ln|cx| - 1}{(\ln|cx|)^2} = \frac{1}{\ln|cx|} - \frac{1}{(\ln|cx|)^2}$.
કારણ કે $y = \frac{x}{\ln|cx|}$,તેથી $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln|cx|}$.
આ કિંમતને વિકલનના પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2$.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\phi\left(\frac{x}{y}\right) = -\left(\frac{y}{x}\right)^2 = -\frac{y^2}{x^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો $y = x^y$ હોય,તો બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\log y = y \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને કર્તા બનાવતા: $\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - \log x) = \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y \log x}{y}) = \frac{y}{x}$.
$x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$.
આ આપેલ વિકલ સમીકરણ સાથે બંધ બેસે છે. વળી,$x=1$ માટે,$y=1^y=1$,જે શરત $y(1)=1$ નું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$.
લીબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \tan(x-x) - \tan(0-x) - f(x) \tan x = 0 - (-\tan x) - f(x) \tan x = \tan x (1 - f(x))$.
આ એક વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{df}{1-f} = \tan x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $-\ln|1-f| = \ln|\sec x| + C$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\ln|1-f|^{-1} = \ln|\sec x| + C$,અથવા $1-f = k \cos x$ મળે છે.
$x=0$ આગળ,$f(0) = \int_{0}^{0} \tan(t) dt - \int_{0}^{0} f(t) \tan t dt = 0$.
$1-f(x) = k \cos x$ માં $x=0$ મૂકતા,આપણને $1-0 = k(1)$ મળે છે,તેથી $k=1$.
આમ,$f(x) = 1 - \cos x$.
હવે,$f'(x) = \sin x$ અને $f''(x) = \cos x$.
આપણે $f''(\pi/6) + f(\pi/6)$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$f''(\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\pi/6) = 1 - \cos(\pi/6) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$f''(\pi/6) + f(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.