જો $f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ ધન વિધેયો હોય અને $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$ હોય,તો વિકલ સમીકરણ $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$,જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

બધા વર્તુળોના પરિવારને ધ્યાનમાં લો જેના કેન્દ્રો સીધી રેખા $y = x$ પર આવેલા છે. જો આ વર્તુળોના પરિવારને વિકલ સમીકરણ $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $P, Q$ એ $x, y$ અને $y^{\prime}$ ના વિધેયો છે (અહીં $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

એક વક્ર $y = f(x)$ જે બિંદુ $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તે વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin y + e^x}{\ln y - x \cos y}$ નો ઉકેલ શોધો.