Summation of series by definite integration Questions in Hindi

(C) माना $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+n)}{n^n} = \prod_{r=1}^n \left(\frac{n+r}{n}\right) = \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।
लघुगणक लेने पर,$\log \left(\prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)\right) = \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n g\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$ होता है।
यहाँ,$g(x) = \log(1+x)$,इसलिए $l = \int_0^1 \log(1+x) dx$ है।
माना $1+x = t$,तो $dx = dt$ होगा। जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$ होगा।
अतः,$l = \int_1^2 \log t dt = \int_1^2 \log x dx$ है।
इसकी तुलना $\int_1^2 f(x) dx$ से करने पर,हमें $f(x) = \log x$ प्राप्त होता है।

(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{2 r}{n^2} \ln \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है:
$\ln y = \int_0^1 2x \ln(1+x^2) dx$.
माना $t = 1+x^2$,तब $dt = 2x dx$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.
$\ln y = \int_1^2 \ln(t) dt$.
समाकलन सूत्र $\int \ln(t) dt = t \ln(t) - t$ का उपयोग करने पर:
$\ln y = [t \ln(t) - t]_1^2 = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 2 + 1 = \ln(4) - 1 = \ln(4) - \ln(e) = \ln \left(\frac{4}{e}\right)$.
अतः,$y = \frac{4}{e}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{n \pi}{2 n}\right]$ है।
इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n} \sum_{r=1}^n \sin \left(\frac{r \pi}{2 n}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.
यहाँ,$x = \frac{r\pi}{2n}$ रखने पर,जहाँ $dx = \frac{\pi}{2n}$,अभिव्यक्ति $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ बन जाती है।
समाकलन की सीमाएँ $r=0$ के लिए $x = 0$ और $r=n$ के लिए $x = \frac{\pi}{2}$ हैं।
अतः,समाकल $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ हो जाता है।
समाकलन का मान: $[-\cos(x)]_0^{\pi/2} = -(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -(0 - 1) = 1$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{\frac{1}{n} + 3\frac{r}{n^2}}{1 + (\frac{r}{n})^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1 + 3(\frac{r}{n})}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ प्राप्त होता है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\int_0^1 \frac{1+3x}{1+x^2} dx$ है।
इसे $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + 3 \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ में विभाजित किया जा सकता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $[\tan^{-1} x]_0^1 + \frac{3}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1$ प्राप्त होता है।
$= (\frac{\pi}{4} - 0) + \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$.

(B) दी गई सीमा को योग के रूप में लिखा जा सकता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{n^{3/2}}{(n+2r)^{5/2}} - \frac{n^{1/2}}{(n+3r)^{3/2}} \right]$
अंश और हर को क्रमशः $n^{5/2}$ और $n^{3/2}$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{1}{(1+2r/n)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3r/n)^{3/2}} \right]$
यह एक रीमान योग है जो निश्चित समाकलन में परिवर्तित हो जाता है:
$\int_0^1 \left( \frac{1}{(1+2x)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3x)^{3/2}} \right) dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$= \left[ \frac{(1+2x)^{-3/2}}{-3/2 \times 2} - \frac{(1+3x)^{-1/2}}{-1/2 \times 3} \right]_0^1$
$= \left[ -\frac{1}{3(1+2x)^{3/2}} + \frac{2}{3(1+3x)^{1/2}} \right]_0^1$
$0$ और $1$ सीमाओं पर मूल्यांकन करने पर:
$= \left( -\frac{1}{3(3)^{3/2}} + \frac{2}{3(4)^{1/2}} \right) - \left( -\frac{1}{3(1)^{3/2}} + \frac{2}{3(1)^{1/2}} \right)$
$= \left( -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{2}{6} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right)$
$= -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9\sqrt{3}}$

(A) हमारे पास है,
$I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1+(k/n)^2}$
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,हम $\frac{k}{n}$ को $x$ से और $\frac{1}{n}$ को $dx$ से प्रतिस्थापित करते हैं,जहाँ समाकलन की सीमा $0$ से $1$ है।
$I = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$
मान लीजिए $u = 1+x^2$,तो $du = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} du$.
जब $x=0, u=1$ और जब $x=1, u=2$.
$I = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$.

(A) माना कि $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$.
हम व्यंजक को $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2(1 + \frac{r^2}{n^2})} = \sum_{r=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
जब $n \rightarrow \infty$ हो,तब सीमा लेने पर,हम निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है।
अतः,$S = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $S = [\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = 2+x^2$ है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{bn} f\left(\frac{r}{n}\right)$
यहाँ,$\int_0^3 (2+x^2) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \left(2 + \left(\frac{r}{n}\right)^2\right)$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \sum_{r=1}^{3n} 2 + \sum_{r=1}^{3n} \frac{r^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 2(3n) + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 6n + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$.

(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$.
हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{n^4 \left(1+\frac{r^4}{n^4}\right)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 (r/n)^3}{1+(r/n)^4} \cdot \frac{1}{n}$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $x = \frac{r}{n}$ और $dx = \frac{1}{n}$ है। जैसे ही $n \rightarrow \infty$,योग $0$ से $1$ तक के समाकल में बदल जाता है:
$p = \int_0^1 \frac{4x^3}{1+x^4} dx$.
मान लीजिए $t = 1+x^4$,तो $dt = 4x^3 dx$ होगा।
जब $x=0$,तो $t=1$ है। जब $x=1$,तो $t=2$ है।
अतः,$p = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\ln t]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.
इसलिए,$e^p = e^{\ln 2} = 2$.

(A) माना $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.
इसे हम $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{n^n} (n+1)(n+2) \ldots (2n) \right]^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right) \left(1+\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1+\frac{n}{n}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left(1+\frac{r}{n}\right)$.
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$\log A = \int_{0}^{1} \log(1+x) dx$.
माना $u = 1+x$,तो $du = dx$। जब $x=0, u=1$; जब $x=1, u=2$।
$\log A = \int_{1}^{2} \log u du = [u \log u - u]_{1}^{2} = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 + 1 = \log 4 - 1$.
चूंकि $1 = \log e$,इसलिए $\log A = \log 4 - \log e = \log \left(\frac{4}{e}\right)$.
अतः,$A = \frac{4}{e}$।

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।
हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{x^4}{x^5 + 1}$ है।
अतः,$S = \int_0^1 \frac{x^4}{x^5 + 1} dx$ है।
माना $t = x^5 + 1$,तो $dt = 5x^4 dx$,या $x^4 dx = \frac{dt}{5}$ है।
जब $x = 0$,तो $t = 1$ है। जब $x = 1$,तो $t = 2$ है।
$S = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\ln |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{5} \ln 2$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n}$ है।
इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \left(\frac{k}{n}\right) e^{k/n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $x = \frac{k}{n}$,तब $dx = \frac{1}{n}$। जब $k=1, x \rightarrow 0$ और जब $k=2n, x \rightarrow 2$।
यह योग एक निश्चित समाकल में बदल जाता है: $S = \int_{0}^{2} x e^x dx$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u=x$ और $dv=e^x dx$:
$S = [x e^x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^x dx$।
$S = (2 e^2 - 0) - [e^x]_{0}^{2}$।
$S = 2 e^2 - (e^2 - e^0) = 2 e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$।

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $2$ तक समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int_{0}^{2} (1+x)^{n} dx = \int_{0}^{2} \left( {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n} \right) dx$.
बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{2} = \frac{(1+2)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.
दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ x{}^{n}C_{0} + \frac{x^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{x^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{x^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{1}{}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n}$.
अतः,$S = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति को $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
योग को $\sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{n \sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}} \right) = \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{(1+\frac{4 r}{n})^{3 / 2}} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक रीमान योग है जो निश्चित समाकल $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+4x)^{3/2}}$ में परिवर्तित हो जाता है।
माना $z = 1+4x$,तो $dz = 4dx$,अतः $dx = \frac{dz}{4}$।
जब $x=0, z=1$ और जब $x=1, z=5$।
समाकल $\frac{1}{4} \int_{1}^{5} z^{-3/2} dz = \frac{1}{4} \left[ \frac{z^{-1/2}}{-1/2} \right]_{1}^{5} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{z}} \right]_{1}^{5}$ होगा।
$= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \frac{5-\sqrt{5}}{10}$।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{r=1}^{n} (2r)^k$ है।
हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{2r}{n}\right)^k$ के रूप में लिख सकते हैं।
रीमान योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$।
यहाँ,$f(x) = (2x)^k$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{1} (2x)^k dx = 2^k \int_{0}^{1} x^k dx$।
समाकल का मान ज्ञात करने पर,$L = 2^k \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{0}^{1} = 2^k \left( \frac{1}{k+1} - 0 \right) = \frac{2^k}{k+1}$।

(C) योगफल की सीमा के सूत्र का उपयोग करके हम योग को एक निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त करते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n^3(r/n)^3}{n^4((r/n)^4+1)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^3}{(r/n)^4+1}$.
मान लीजिए $x = r/n$,तो जैसे $n \rightarrow \infty$,योग समाकल $\int_0^1 \frac{x^3}{x^4+1} dx$ बन जाता है।
इसे हल करने के लिए,मान लीजिए $u = x^4+1$,तो $du = 4x^3 dx$,या $x^3 dx = \frac{1}{4} du$.
समाकल $\frac{1}{4} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} [\log_e u]_1^2$ हो जाता है।
$= \frac{1}{4} (\log_e 2 - \log_e 1) = \frac{1}{4} \log_e 2$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$ है।
योगफल के अंदर के पद के अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{1/n}{1+(r/n)^2}$.
यह $\int_0^1 f(x) \, dx$ के रूप में एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है।
अतः,सीमा $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,$[\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \sqrt{\frac{n}{n+3r}}$ है।
हम योग के अंदर के पद को $\sqrt{\frac{1}{1+3(r/n)}} = (1+3(r/n))^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$L = 3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (1+3(r/n))^{-1/2}$।
निश्चित समाकलन की परिभाषा $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(r/n)$ का उपयोग करने पर:
$L = 3 \int_{0}^{1} (1+3x)^{-1/2} dx$।
$(1+3x)^{-1/2}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $\frac{(1+3x)^{1/2}}{3 \times (1/2)} = \frac{2}{3} \sqrt{1+3x}$ प्राप्त होता है।
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$L = 3 \left[ \frac{2}{3} \sqrt{1+3x} \right]_{0}^{1} = 2 [\sqrt{1+3} - \sqrt{1+0}] = 2 [\sqrt{4} - 1] = 2 [2 - 1] = 2$।

(C) दिया गया सीमा मान: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sec ^{2} \left( \frac{r \pi}{4 n} \right)$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f \left( \frac{r}{n} \right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
यहाँ,$f(x) = \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$.
अतः,समाकलन $\int_{0}^{1} \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right) dx$ हो जाता है।
$\sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ का समाकलन करने पर,हमें $\frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ प्राप्त होता है।
$0$ से $1$ की सीमा में निश्चित समाकलन का मान: $\left[ \frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{4}{\pi} \left( \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 \right)$.
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ और $\tan 0 = 0$,इसलिए मान $\frac{4}{\pi} (1 - 0) = \frac{4}{\pi}$ है।

(B) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ है।
अंश और हर को $n^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1/n}{1+(r/n)^{2}}$.
निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx$.
समाकल का मान निकालने पर,$L = [\tan ^{-1} x]_{0}^{1}$.
$L = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{n+r}$
अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{\frac{n+r}{n}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{1+\frac{r}{n}}$
यह $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप का एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \sqrt{1+x}$
$= \int_{0}^{1} (1+x)^{1/2} dx = \left[ \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left[ (1+x)^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}}$ है।
इस योग को $\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r} - \sqrt{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n}} \right)$.
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{\frac{r}{n}} - \frac{1}{n} \right)$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \sqrt{x}$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx - \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}$.
$L = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} - 0 = \frac{2}{3} (1)^{3/2} = \frac{2}{3}$.

(B) गुणधर्म $x-1 < [x] \leq x$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है: $\sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right] \leq \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
$n^3$ से विभाजित करने और $n \to \infty$ सीमा लेने पर:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < f(x) \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
चूंकि $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,हमारे पास $\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3^{x+1}}$ है।
स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$f(x) = \frac{1}{3^{x+1}}$.
अब,$12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j) = 12 \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{3^{j+1}} = 12 \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots \right)$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
योग $= 12 \left( \frac{1/9}{1 - 1/3} \right) = 12 \left( \frac{1/9}{2/3} \right) = 12 \left( \frac{1}{6} \right) = 2$.