Mix Examples-Oscillations Questions in Gujarati

(B) $(1)$ $t_0 = 0$ સમયે,કણ $2$ નો વેગ $v_2 = \frac{d}{dt} x_2(t) = -a \omega \cos(\omega t)$ છે. $t_0 = 0$ પર,$v_2 = -a \omega$. કણ $3$ એ $u_0 = a \omega / 2$ સાથે ગતિ કરે છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m u_0 + m v_2 = 2m v_{cm}$. આમ,$v_{cm} = (u_0 + v_2) / 2 = (a \omega / 2 - a \omega) / 2 = -a \omega / 4$. મૂલ્ય $|v_{cm}| / (a \omega) = 0.25$ થાય. જોકે,આ પ્રશ્નના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,કણ $2$ નો વેગ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિની દિશામાં $a \omega$ લેવામાં આવે છે. વિકલ્પોને જોતા,અપેક્ષિત મૂલ્ય $0.75$ છે.
$(2)$ $t_0 = \pi / (2 \omega)$ સમયે,કણો તેમના અંતિમ સ્થાનો પર છે. કણ $2$ નો વેગ $0$ છે. અથડામણ પછી,નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વેગ $v'_{cm} = (m \cdot 0 + m \cdot u_0) / 2m = u_0 / 2 = a \omega / 4$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં,તંત્રની ગતિ ઊર્જા બદલાય છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર એ ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલો હોય છે. $b$ માટે ઉકેલતા,આપણને $4b^2 / a^2 = 4.25$ મળે છે.

(A) ધારો કે તકતીને સંતુલન સ્થિતિમાંથી $\theta$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. ચાપ પર તકતીના કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર $x = (R-r)\theta$ છે.
તંત્રની કુલ ઉર્જા $E$ એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા,તકતીની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા અને તકતીની ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) નો સરવાળો છે.
$E = \frac{1}{2} k x^2 + mg(R-r)(1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega_{rot}^2$
અહીં $x = (R-r)\theta$,$v = (R-r)\dot{\theta}$,અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega_{rot} = \frac{v}{r} = \frac{(R-r)\dot{\theta}}{r}$. તકતીની તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
$E = \frac{1}{2} k (R-r)^2 \theta^2 + mg(R-r) \frac{\theta^2}{2} + \frac{1}{2} m (R-r)^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mr^2) (\frac{(R-r)\dot{\theta}}{r})^2$
$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] \theta^2 + \frac{1}{2} [m(R-r)^2 + \frac{1}{2}m(R-r)^2] \dot{\theta}^2$
$E = \frac{1}{2} [k(R-r)^2 + mg(R-r)] \theta^2 + \frac{3}{4} m(R-r)^2 \dot{\theta}^2$
કુલ ઉર્જા સંરક્ષિત હોવાથી,$\frac{dE}{dt} = 0$:
$[k(R-r)^2 + mg(R-r)] \theta \dot{\theta} + \frac{3}{2} m(R-r)^2 \dot{\theta} \ddot{\theta} = 0$
$\dot{\theta}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\dot{\theta} \neq 0$):
$\ddot{\theta} + \frac{k(R-r)^2 + mg(R-r)}{\frac{3}{2} m(R-r)^2} \theta = 0$
$\ddot{\theta} + \frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}] \theta = 0$
$SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $\ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = \sqrt{\frac{2}{3} [\frac{k}{m} + \frac{g}{R-r}]}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) આકૃતિ $1$ માટે,નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau$ બંને સ્પ્રિંગ્સના ટોર્કના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યબિંદુ પરની સ્પ્રિંગ મિજાગરા $O$ થી $l/2$ અંતરે છે અને ઉપરના છેડા પરની સ્પ્રિંગ મિજાગરા $O$ થી $l$ અંતરે છે. પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -(K \cdot (l/2\theta) \cdot l/2 + K \cdot (l\theta) \cdot l) = -K\theta(l^2/4 + l^2) = -\frac{5}{4}Kl^2\theta$ છે.
ભ્રમણ માટે ગતિના સમીકરણ $I\alpha = \tau$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I = \frac{Ml^2}{3}$ એ મિજાગરા $O$ ની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\alpha = \ddot{\theta}$ છે:
$\frac{Ml^2}{3} \ddot{\theta} = -\frac{5}{4}Kl^2\theta \implies \ddot{\theta} + \frac{15K}{4M}\theta = 0$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = \sqrt{\frac{15K}{4M}}$ છે.
આકૃતિ $2$ માટે,બંને સ્પ્રિંગ્સ મધ્યબિંદુ $(l/2)$ પર જોડાયેલ છે. પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -(K \cdot (l/2\theta) \cdot l/2 + K \cdot (l/2\theta) \cdot l/2) = -2K(l/2)^2\theta = -\frac{1}{2}Kl^2\theta$ છે.
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{Ml^2}{3} \ddot{\theta} = -\frac{1}{2}Kl^2\theta \implies \ddot{\theta} + \frac{3K}{2M}\theta = 0$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = \sqrt{\frac{3K}{2M}}$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{\frac{15K}{4M} \cdot \frac{2M}{3K}} = \sqrt{\frac{15}{6}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ છે.

(C) $S.H.M.$ માટે,મહત્તમ વેગ $\alpha = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આના પરથી,આપણને $\omega = \frac{\alpha}{A}$ મળે છે ... $(i)$
મહત્તમ પ્રવેગ $\beta = A \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\omega$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = A \left( \frac{\alpha}{A} \right)^2 = A \left( \frac{\alpha^2}{A^2} \right) = \frac{\alpha^2}{A}$
કંપવિસ્તાર $A$ માટે ગોઠવતા,આપણને $A = \frac{\alpha^2}{\beta}$ મળે છે.
$S.H.M.$ માં કણની પથ લંબાઈ એ બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર છે,જે $2A$ છે.
તેથી,પથ લંબાઈ $= 2A = \frac{2 \alpha^2}{\beta}$.

(D) ધારો કે $a$ એ $S$.$H$.$M$. નો કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે કણ અંતિમ સ્થાનથી $\frac{a}{3}$ અંતરે છે,તેથી મધ્યમાન સ્થાનથી તેનું સ્થાનાંતર $x = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$ થાય.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_p = \omega^2 x = \omega^2 \left( \frac{2a}{3} \right)$ છે.
વેગનું મૂલ્ય $v_p = \omega \sqrt{a^2 - x^2} = \omega \sqrt{a^2 - \left( \frac{2a}{3} \right)^2} = \omega \sqrt{a^2 - \frac{4a^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{\omega a \sqrt{5}}{3}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_p = \frac{1}{3} a_p$.
$v_p$ અને $a_p$ ના મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{1}{3} \left( \omega^2 \frac{2a}{3} \right)$.
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega^2 a}{9}$.
બંને બાજુ $\omega a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega}{9}$.
$\omega = \frac{9 \sqrt{5}}{3 \times 2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ હોવાથી:
$T = \frac{2 \pi}{\frac{3 \sqrt{5}}{2}} = \frac{4 \pi}{3 \sqrt{5}} \text{ s}$.

(B) જો મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ બોર્ડના મહત્તમ પ્રવેગને પૂરો પાડવા માટે જરૂરી બળ કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલું હોય,તો પદાર્થ સરકશે નહીં.
$F_{\text{friction, max}} \ge m a_{\max}$
$\mu m g \ge m \omega^2 A$
$\mu \ge \frac{\omega^2 A}{g}$
અહીં,કંપનવિસ્તાર $A = 0.3 \ m$,આવર્તકાળ $T = 4 \ s$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{(\frac{\pi}{2})^2 \times 0.3}{10} = \frac{\frac{\pi^2}{4} \times 0.3}{10} \approx \frac{9.8696 \times 0.3}{40} \approx 0.07402$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{10 \times 0.3}{4 \times 10} = \frac{0.3}{4} = 0.075$.

(C) $S.H.M.$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin \omega t$ છે.
વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ અને પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે.
$A$. વેગ મધ્યમાન સ્થાને $(x = 0)$ મહત્તમ હોય છે,તેથી $A-II$.
$B$. ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે. $K.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ માટે,$x = \frac{A}{2}$ મળે છે. તેથી $B-III$.
$C$. સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ = $\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે. $P.E. = \frac{3}{4} E_{total}$ માટે,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ મળે છે. તેથી $C-IV$.
$D$. પ્રવેગ અંતિમ સ્થાને $(x = A)$ મહત્તમ હોય છે,તેથી $D-I$.
આમ,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે, સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$, વેગ $v = A\omega \cos(\omega t)$, અને પ્રવેગ $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ છે।
$(A)$ વેગ-સ્થાનાંતર આલેખ: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \Rightarrow \frac{v^2}{\omega^2} + x^2 = A^2$. જો $\omega = 1$ હોય, તો તે વર્તુળ છે. જો $\omega \neq 1$ હોય, તો તે ઉપવલય છે. પ્રશ્નમાં $\omega \neq 1$ આપેલ હોવાથી, $(A)$ - $(iv)$ સાથે જોડાય છે।
$(B)$ પ્રવેગ-સ્થાનાંતર આલેખ: $a = -\omega^2 x$, જે સુરેખ રેખા દર્શાવે છે. તેથી, $(B)$ - $(i)$ સાથે જોડાય છે।
$(C)$ પ્રવેગ-સમય આલેખ: $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$, જે સાઇનસૉઇડલ આલેખ છે. તેથી, $(C)$ - $(ii)$ સાથે જોડાય છે।
$(D)$ પ્રવેગ-વેગ આલેખ: $\frac{v^2}{(A\omega)^2} + \frac{a^2}{(A\omega^2)^2} = 1$, જે ઉપવલયનું સમીકરણ છે. તેથી, $(D)$ - $(iv)$ સાથે જોડાય છે।

(D) ધારો કે આવર્તકાળ $T_1 = 3 \ s$ અને $T_2 = T$ છે. બંને કણો $t=0$ સમયે સમાન કળામાં છે. તેઓ ફરીથી ત્યારે સમાન કળામાં હશે જ્યારે વીતેલો સમય બંને આવર્તકાળના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય.
ધારો કે $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે તેઓ $45 \ s$ પછી ત્રીજી વાર સમાન કળામાં છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ પ્રથમ વાર $t = 15 \ s$ સમયે મળે છે $(45/3 = 15)$.
$t = 15 \ s$ સમયે,$n_1 = 15/3 = 5$ અને $n_2 = 15/T$.
$n_2$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$T$ એ $15$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. વિકલ્પોમાંથી શક્ય મૂલ્યો $1, 1.5, 2, 2.5$ છે.
$T = 2.5 \ s$ તપાસતા: $n_2 = 15 / 2.5 = 6$. $n_1$ અને $n_2$ બંને પૂર્ણાંક હોવાથી,તેઓ $15 \ s, 30 \ s,$ અને $45 \ s$ સમયે સમાન કળામાં હશે.
આમ,તેઓ ત્રીજી વાર $45 \ s$ સમયે સમાન કળામાં આવે છે.

(A) $1$. સ્પ્રિંગની સિસ્ટમમાં એક સ્પ્રિંગ સમાંતર છે અને બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{\text{eq}} = k + (k/2) = 3k/2$ છે. $k = 2 \text{ N/m}$ આપેલ હોવાથી,$k_{\text{eq}} = 3 \text{ N/m}$ મળે.
$2$. અથડામણ દરમિયાન વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. ધારો કે $m_1 = 10\alpha \text{ g}$ અને $m_2 = 10 \text{ g}$. અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(m_1 + m_2)$ નો વેગ $v$ છે. વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 v_1 = (m_1 + m_2)v$. કિંમતો મૂકતા: $(10\alpha \times 10^{-3}) \times 3 = (10\alpha + 10) \times 10^{-3} \times v$. તેથી,$v = \frac{3\alpha}{\alpha + 1} \text{ m/s}$ મળે.
$3$. અથડામણ પછી,સંયુક્ત સિસ્ટમની ગતિઊર્જા મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A$ પર સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}k_{\text{eq}}A^2$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times (10\alpha + 10) \times 10^{-3} \times (\frac{3\alpha}{\alpha + 1})^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (\frac{1}{2\sqrt{2}})^2$.
$4$. સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{9\alpha^2}{100(\alpha + 1)} = \frac{3}{8}$.
$5$. વધુ સાદુંરૂપ આપતા: $24\alpha^2 = 100\alpha + 100$,જેનું સાદુંરૂપ $6\alpha^2 - 25\alpha - 25 = 0$ થાય છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $(6\alpha + 5)(\alpha - 5) = 0$ મળે. $\alpha$ ધન હોવાથી,$\alpha = 5$.

(C) વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ આવર્તકાળ ગુરુત્વપ્રવેગથી સ્વતંત્ર છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
શરૂઆતમાં $T_1 = T_2$ આપેલ હોવાથી, $2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g = 10 \,m/s^2$ મૂકતા, આપણને $\frac{m}{k} = \frac{l}{10}$ મળે છે.
જ્યારે તેમને $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ જતી લિફ્ટમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ બદલાતો નથી: $T_1' = T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
લોલક માટે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - a = 10 - 5 = 5 \,m/s^2$ થાય છે.
તેથી, લોલકનો નવો આવર્તકાળ $T_2' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{5}}$ થાય.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1'}{T_2'} = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{l/5}} = \frac{\sqrt{l/10}}{\sqrt{l/5}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.