Trigonometrical ratios of sum and difference of two and three angles Questions in Hindi

(B) हम हाइपरबोलिक फलनों के लिए योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग करते हैं:
$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
$\sinh(x-y) = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y$
$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$
$\cosh(x-y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$
अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sinh(x+y) + \sinh(x-y) = 2 \sinh x \cosh y$
हर में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cosh(x+y) - \cosh(x-y) = 2 \sinh x \sinh y$
अब,अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sinh x \cosh y}{2 \sinh x \sinh y} = \frac{\cosh y}{\sinh y} = \coth y$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin (A+B) \sin (A-B)+\cos (A+B) \cos (A-B)=\frac{1}{2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = A+B$ और $y = A-B$:
$\cos ((A+B) - (A-B)) = \frac{1}{2}$
$\cos (A+B-A+B) = \frac{1}{2}$
$\cos (2B) = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए $2B = \frac{\pi}{3}$
अतः,$B = \frac{\pi}{6}$
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(C) दिया है: $m \cos (\alpha+\beta)-n \cos (\alpha-\beta)=m \cos (\alpha-\beta)+n \cos (\alpha+\beta)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$m [\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)] = n [\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)]$
सर्वसमिकाओं $\cos (A+B) - \cos (A-B) = -2 \sin A \sin B$ और $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$m [-2 \sin \alpha \sin \beta] = n [2 \cos \alpha \cos \beta]$
$-2m \sin \alpha \sin \beta = 2n \cos \alpha \cos \beta$
दोनों पक्षों को $2m \cos \alpha \cos \beta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = -\frac{n}{m}$
$\tan \alpha \tan \beta = -\frac{n}{m}$

(A) दिया है: $\sin B = \frac{5}{13}$. चूँकि $B$ एक न्यून कोण है,$\cos B = \frac{12}{13}$ और $\tan B = \frac{5}{12}$ है।
दिया है: $\sin (A-B) = \frac{16}{65}$. अतः $\cos (A-B) = \frac{63}{65}$ और $\tan (A-B) = \frac{16}{63}$ है।
सूत्र $\tan (A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A - \frac{5}{12}}{1 + \tan A \cdot \frac{5}{12}} = \frac{16}{63}$
गणना करने पर $\tan A = \frac{507}{676}$ प्राप्त होता है।
अतः $\tan A + \cot A = \frac{507}{676} + \frac{676}{507} = \frac{714025}{342732}$।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
अतः,$\tan A - \tan B = \tan(A-B)(1 + \tan A \tan B)$.
$A = 80^{\circ}$ और $B = 10^{\circ}$ रखने पर:
$\tan 80^{\circ} - \tan 10^{\circ} = \tan(80^{\circ}-10^{\circ})(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}) = \tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})$.
अब,$\frac{\tan 80^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{\tan 70^{\circ}} = \frac{\tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})}{\tan 70^{\circ}} = 1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}$.
चूंकि $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ}$,इसलिए $1 + \cot 10^{\circ} \tan 10^{\circ} = 1 + 1 = 2$.

(C) दिया गया है $0 < A < B < \frac{\pi}{4}$,$\cos (A+B) = \frac{11}{61}$ और $\sin (A-B) = \frac{24}{25}$।
$\sin (A+B) = \frac{60}{61}$ और $\cos (A-B) = \frac{7}{25}$ प्राप्त होता है।
$\sin 2A = \sin ((A+B) + (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) + \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{684}{1525}$।
$\sin 2B = \sin ((A+B) - (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) - \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{156}{1525}$।
अतः,$\sin 2A + \sin 2B = \frac{684}{1525} + \frac{156}{1525} = \frac{168}{305}$।

(B) दिया गया है कि,$A=35^{\circ}, B=15^{\circ}$ और $C=40^{\circ}$ है।
चूंकि $A+B+C = 35^{\circ} + 15^{\circ} + 40^{\circ} = 90^{\circ}$,इसलिए $\tan(A+B+C) = \tan(90^{\circ})$ जो अपरिभाषित है।
$\tan(A+B+C)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$
इसके अपरिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A) = 0$
अतः,$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(C) दिया गया है $\sin A = -\frac{24}{25}$। चूंकि $A$ चतुर्थ चतुर्थांश में नहीं है और $\sin A < 0$ है,इसलिए $A$ तृतीय चतुर्थांश में होना चाहिए। अतः,$\cos A = -\frac{7}{25}$।
दिया गया है $\cos B = \frac{15}{17}$। चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\cos B > 0$ है,इसलिए $B$ चतुर्थ चतुर्थांश में होना चाहिए। अतः,$\sin B = -\frac{8}{17}$।
अब,$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = -\frac{304}{425} < 0$।
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = -\frac{297}{425} < 0$।
चूंकि $\sin(A+B) < 0$ और $\cos(A+B) < 0$ दोनों हैं,इसलिए $(A+B)$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

(A) हम सर्वसमिका $2 \cosh A \sinh B = \sinh(A+B) - \sinh(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = x+y$ और $B = x-y$ है।
तब $A+B = 2x$ और $A-B = 2y$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$2 \cosh (x+y) \sinh (x-y) = \sinh 2x - \sinh 2y$ प्राप्त होता है।
अब,इसमें $\sinh 2y$ जोड़ने पर:
$(\sinh 2x - \sinh 2y) + \sinh 2y = \sinh 2x$।

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = \frac{\pi}{6} + \theta$ और $B = \frac{\pi}{6} - \theta$.
तब $A+B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = \frac{\pi}{3}$.
और $A-B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = 2\theta$.
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2\theta)$.
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए उत्तर $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ प्राप्त होता है।

(A) माना शुरुआती बिंदु $O$ है। $2 \text{ घंटे}$ के बाद,पहले जहाज द्वारा तय की गई दूरी $OA = 3 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 6 \text{ km}$ है।
दूसरे जहाज द्वारा तय की गई दूरी $OB = 4 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 8 \text{ km}$ है।
दोनों रास्तों के बीच का कोण $\angle AOB = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
$\triangle AOB$ में कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos(60^{\circ})$
$AB^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8) \times \frac{1}{2}$
$AB^2 = 36 + 64 - 48$
$AB^2 = 100 - 48 = 52$
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2 \sqrt{13} \text{ km}$.

(C) हम जानते हैं कि $\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ और $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,$\cos^2 75^{\circ} + \cos^2 15^{\circ} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{8} + \frac{3+1+2\sqrt{3}}{8} = 1$.
साथ ही,$\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.
इन मानों को रखने पर: $1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $\cos (\theta+\phi) = \frac{3}{5}$,जहाँ $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan (\theta+\phi) = \frac{4}{3}$.
दिया गया है $\sin (\theta-\phi) = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan (\theta-\phi) = \frac{5}{12}$.
हम जानते हैं कि $2\theta = (\theta+\phi) + (\theta-\phi)$.
अतः,$\tan (2\theta) = \tan ((\theta+\phi) + (\theta-\phi)) = \frac{\tan (\theta+\phi) + \tan (\theta-\phi)}{1 - \tan (\theta+\phi) \tan (\theta-\phi)}$.
मान रखने पर: $\tan (2\theta) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{16+5}{12}}{1 - \frac{20}{36}} = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{16}{36}} = \frac{21}{12} \times \frac{36}{16} = \frac{21 \times 3}{16} = \frac{63}{16}$.
अतः,$\cot (2\theta) = \frac{1}{\tan (2\theta)} = \frac{16}{63}$.

(A) हम सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{a}{a+1} + \frac{1}{2a+1}}{1 - \left(\frac{a}{a+1}\right) \left(\frac{1}{2a+1}\right)}$
$= \frac{\frac{a(2a+1) + 1(a+1)}{(a+1)(2a+1)}}{\frac{(a+1)(2a+1) - a}{(a+1)(2a+1)}}$
$= \frac{2a^2 + a + a + 1}{2a^2 + a + 2a + 1 - a}$
$= \frac{2a^2 + 2a + 1}{2a^2 + 2a + 1} = 1$
चूंकि $\tan(\alpha + \beta) = 1$,इसलिए $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ है।

(B) दिया गया है कि $\theta + \phi = \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,$\tan(\theta + \phi) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi} = 1$ का उपयोग करने पर।
इससे $\tan \theta + \tan \phi = 1 - \tan \theta \tan \phi$,या $\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi = 1$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(1 + \tan \theta)(1 + \tan \phi) = 1 + \tan \phi + \tan \theta + \tan \theta \tan \phi$ पर विचार करें।
पिछले चरण से मान प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi) = 1 + 1 = 2$।

(B) हम जानते हैं कि $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
इसी प्रकार,$\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
दोनों का अंतर लेने पर:
$\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया है $\cos(\alpha+\beta) = -\frac{1}{10}$. चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$. चूँकि $\cos(\alpha+\beta) < 0$,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$.
अतः,$\sin(\alpha+\beta) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{10})^2} = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$.
इसलिए,$\tan(\alpha+\beta) = \frac{3\sqrt{11}/10}{-1/10} = -3\sqrt{11}$.
दिया है $\sin(\alpha-\beta) = \frac{3}{8}$. चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$. चूँकि $\sin(\alpha-\beta) > 0$,इसलिए $0 < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\cos(\alpha-\beta) = \sqrt{1 - (\frac{3}{8})^2} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$.
इसलिए,$\tan(\alpha-\beta) = \frac{3/8}{\sqrt{55}/8} = \frac{3}{\sqrt{55}}$.
अब,$\tan 2\alpha = \tan((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)) = \frac{\tan(\alpha+\beta) + \tan(\alpha-\beta)}{1 - \tan(\alpha+\beta)\tan(\alpha-\beta)}$.
मान रखने पर,$\tan 2\alpha = \frac{-3\sqrt{11} + \frac{3}{\sqrt{55}}}{1 - (-3\sqrt{11})(\frac{3}{\sqrt{55}})} = \frac{\frac{-3\sqrt{11}\sqrt{55} + 3}{\sqrt{55}}}{1 + \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{55}}} = \frac{-3(11\sqrt{5}) + 3}{\sqrt{55} + 9\sqrt{11}} = \frac{3(1 - 11\sqrt{5})}{\sqrt{11}(\sqrt{5} + 9)}$.
$\frac{3(1-r\sqrt{5})}{\sqrt{11}(s+\sqrt{5})}$ से तुलना करने पर,हमें $r=11$ और $s=9$ प्राप्त होता है।
अतः,$r+s = 11+9 = 20$.