Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Hindi

(B) $M$ कोश $n=3$ मुख्य ऊर्जा स्तर के अनुरूप होता है।
$M$ कोश में $13$ इलेक्ट्रॉन होने के लिए,इलेक्ट्रॉनिक विन्यास में $3s^2, 3p^6, 3d^5$ होना चाहिए।
आउफबाऊ सिद्धांत और स्थिरता को ध्यान में रखते हुए,विन्यास $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^1$ है।
इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $2+2+6+2+6+5+1 = 24$ है।
परमाणु क्रमांक $24$ वाला तत्व क्रोमियम $(Cr)$ है।

(B) $Cu$ का परमाणु क्रमांक $29$ है।
आउफबाऊ सिद्धांत के अनुसार,अपेक्षित विन्यास $[Ar] 3d^{9} 4s^{2}$ है।
हालाँकि,पूर्ण रूप से भरे हुए $d$-कक्षक आंशिक रूप से भरे हुए कक्षकों की तुलना में अधिक स्थिर होते हैं।
इसलिए,$4s$ कक्षक से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ कक्षक में स्थानांतरित हो जाता है जिससे यह $3d^{10}$ बन जाता है।
सही इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^{10} 4s^{1}$ है।

(C) $Pauli$ $Exclusion$ $Principle$ (पाउली के अपवर्जन सिद्धांत) के अनुसार,एक कक्षक में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं,और इन इलेक्ट्रॉनों का चक्रण (spin) विपरीत होना चाहिए।
$\uparrow \uparrow$ निरूपण एक ही कक्षक में समान चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉनों को दर्शाता है,जो इस सिद्धांत का उल्लंघन करता है।

(A) $5d$ कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 5$ और दिगंशीय क्वांटम संख्या $l = 2$ है (क्योंकि $s=0, p=1, d=2, f=3$)।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक कोई भी पूर्णांक हो सकता है,जो कि $-2, -1, 0, 1, 2$ है।
अतः,$(5, 2, 1)$ और $(5, 2, -1)$ दोनों $5d$ इलेक्ट्रॉन के लिए मान्य क्वांटम संख्याएँ हैं।

(B) क्वांटम संख्याओं के नियम इस प्रकार हैं:
$1$. मुख्य क्वांटम संख्या $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, ...)$ हो सकती है।
$2$. दिगंशीय क्वांटम संख्या $\ell$,$0$ से $n-1$ तक होती है।
$3$. चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$,$-\ell$ से $+\ell$ तक होती है।
$4$. चक्रण क्वांटम संख्या $s$,$+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकती है।
विकल्पों का मूल्यांकन:
$A$: $(3, 0, -1, +\frac{1}{2})$ गलत है क्योंकि जब $\ell=0$ हो तो $m=-1$ नहीं हो सकता।
$B$: $(4, 3, -2, -\frac{1}{2})$ सही है क्योंकि $n=4$ के लिए $\ell=3$ संभव है,और $\ell=3$ के लिए $m=-2$ संभव है।
$C$: $(3, 1, -2, -\frac{1}{2})$ गलत है क्योंकि जब $\ell=1$ हो तो $m=-2$ नहीं हो सकता।
$D$: $(4, 2, -3, +\frac{1}{2})$ गलत है क्योंकि जब $\ell=2$ हो तो $m=-3$ नहीं हो सकता।

(A) कक्षीय कोणीय संवेग का सूत्र: $\text{Orbital angular momentum} = \sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2 \pi}$ है।
$4f$ कक्षक के लिए,$\ell = 3$ है। अतः,कक्षीय कोणीय संवेग $= \sqrt{3(3+1)} \frac{h}{2 \pi} = 2 \sqrt{3} \frac{h}{2 \pi}$ होगा।
$4s$ कक्षक के लिए,$\ell = 0$ है। अतः,कक्षीय कोणीय संवेग $= 0$ होगा।
इसलिए,अंतर $= 2 \sqrt{3} \frac{h}{2 \pi}$ है।

(D) मुख्य बिंदु: जिन स्पीशीज में एक या अधिक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं,उनका चुंबकीय आघूर्ण शून्य नहीं होता है।
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास:
$Na^{+} (Z=11) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6}$ (सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं)
$Mg (Z=12) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2}$ (सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं)
$F^{-} (Z=9) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6}$ (सभी इलेक्ट्रॉन युग्मित हैं)
$Ar^{+} (Z=18) = 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{5}$ ($3p$ कक्षक में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है)
चूंकि $Ar^{+}$ में एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन है,इसलिए इसका चुंबकीय आघूर्ण शून्य नहीं है। अतः,$(d)$ सही विकल्प है।

(D) पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं $(n, l, m, s)$ का सेट समान नहीं हो सकता है।
इसलिए,एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन की स्थिति को विशिष्ट रूप से पहचानने और उसका वर्णन करने के लिए चारों क्वांटम संख्याएँ आवश्यक हैं।
$n$ (मुख्य क्वांटम संख्या) कोश और ऊर्जा को परिभाषित करती है।
$l$ (दिगंशीय क्वांटम संख्या) उपकोश और कक्षक के आकार को परिभाषित करती है।
$m$ (चुंबकीय क्वांटम संख्या) अंतरिक्ष में कक्षकों के अभिविन्यास को परिभाषित करती है।
$s$ (चक्रण क्वांटम संख्या) इलेक्ट्रॉन के चक्रण की दिशा को परिभाषित करती है।

(A) $yz$ तल को $x = 0$ समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यदि किसी कक्षक का नोडल तल $yz$ तल के साथ संपाती है,तो उसमें इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य होगी।
$p_x$ कक्षक का इलेक्ट्रॉन घनत्व $x$-अक्ष के अनुदिश वितरित होता है और इसका नोडल तल $yz$ तल होता है।
अतः,$p_x$ कक्षक के लिए $yz$ तल में इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता शून्य है।

(D) क्वांटम संख्या $n=3$ और $\ell=2$ उपकोश $3d$ को दर्शाती है।
चूंकि अंतिम इलेक्ट्रॉन $3d$ उपकोश में भरा जाता है,इसलिए हम इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या ज्ञात करते हैं जब $3d$ उपकोश पूरी तरह से भरा हो।
पूरी तरह से भरे हुए $3d$ उपकोश के लिए इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10}$ है।
कुल इलेक्ट्रॉनों की संख्या की गणना करने पर: $2+2+6+2+6+2+10 = 30$।
यह परमाणु क्रमांक $30$ वाले जिंक $(Zn)$ तत्व के अनुरूप है।

(C) दिग्ंशीय क्वांटम संख्या $l$ के दिए गए मान के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ (शून्य सहित) के बीच हो सकता है।
यदि $l=0$ है,तो $m$ का मान $0$ ही होना चाहिए।
विकल्प $(c)$ में,$l=0$ है लेकिन $m=-1$ है,जो $-l \leq m \leq l$ नियम का उल्लंघन करता है।
अतः,$n=2, l=0, m=-1$ विन्यास असंभव और असंगत है।

(C) $n$ के दिए गए मान के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n-1$ तक हो सकता है।
$l$ के दिए गए मान के लिए,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ का मान $-l$ से $+l$ तक (शून्य सहित) हो सकता है।
विकल्प $C$ में,$n=2$ और $l=0$ है।
$l=0$ के लिए,$m$ का एकमात्र संभव मान $0$ है।
इसलिए,$l=0$ के लिए $m=-1$ संभव नहीं है।

(B) $Ni$ का परमाणु क्रमांक $28$ है।
इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^8$।
$3d$ उपकोश में $8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
हुंड के नियम के अनुसार,ये $8$ इलेक्ट्रॉन $5$ $d$-कक्षकों में इस प्रकार भरे जाते हैं:
पहले $5$ इलेक्ट्रॉन अकेले भरे जाते हैं और फिर शेष $3$ इलेक्ट्रॉन युग्मित होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप $3$ युग्मित कक्षक और $2$ अयुग्मित (अकेले) इलेक्ट्रॉन वाले कक्षक प्राप्त होते हैं।
अतः,$Ni$ में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2$ है।

(A) $(n+l)$ नियम के अनुसार:
$1$. जिस कक्षक के लिए $(n+l)$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
$2$. यदि $(n+l)$ के मान समान हैं,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
$(n+l)$ मानों की गणना:
$(i)$ $n+l = 4+1 = 5$
$(ii)$ $n+l = 4+0 = 4$
$(iii)$ $n+l = 3+2 = 5$
$(iv)$ $n+l = 3+1 = 4$
मानों की तुलना:
$(iv)$ और $(ii)$ के लिए,दोनों में $(n+l) = 4$ है। चूंकि $(iv)$ के लिए $n=3$ और $(ii)$ के लिए $n=4$ है,इसलिए $(iv) < (ii)$।
$(iii)$ और $(i)$ के लिए,दोनों में $(n+l) = 5$ है। चूंकि $(iii)$ के लिए $n=3$ और $(i)$ के लिए $n=4$ है,इसलिए $(iii) < (i)$।
अतः,बढ़ती हुई ऊर्जा का क्रम $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ होगा।

(B) $Cr$ $(Z=24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar]_{18} 4s^1 3d^5$ है।
$1$ से $18$ तक के इलेक्ट्रॉन $Ar$ कोर में भरे जाते हैं।
$19^{\text{th}}$ इलेक्ट्रॉन वह पहला इलेक्ट्रॉन है जो $4s$ कक्षक में प्रवेश करता है।
$4s$ कक्षक के लिए: मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l=0$,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l=0$,और चक्रण क्वांटम संख्या $m_s=+\frac{1}{2}$ है।
अतः,क्वांटम संख्याओं का सेट $(4, 0, 0, +\frac{1}{2})$ है।

(D) $n=5$ के लिए:
प्रत्येक उपकोष $l$ के लिए,$m_l=-1$ वाले कक्षकों की संख्या $1$ है (यदि $l \ge 1$ हो)।
$n=5$ में उपस्थित उपकोष $l=0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
$m_l=-1$,$l=1, 2, 3, 4$ के लिए संभव है।
प्रत्येक कक्षक में $2$ इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं।
कुल इलेक्ट्रॉन $= 4 \text{ कक्षक} \times 2 \text{ इलेक्ट्रॉन/कक्षक} = 8$ इलेक्ट्रॉन।
$(B)$ $n=3, l=2, m_l=-1, m_s=+\frac{1}{2}$ के लिए:
क्वांटम नंबरों का यह सेट एक विशिष्ट कक्षक और विशिष्ट चक्रण (स्पिन) को परिभाषित करता है।
केवल $1$ इलेक्ट्रॉन ही इन सटीक क्वांटम नंबरों को रख सकता है।

(C) नोड वह क्षेत्र है जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है। त्रिज्यीय तरंग फलन के लिए,यह उस बिंदु के अनुरूप है जहाँ तरंग फलन $\psi(r)$ x-अक्ष को काटता है,अर्थात $\psi(r) = 0$।
$2s$ कक्षक के लिए त्रिज्यीय तरंग फलन के आलेख में,वक्र नाभिक से एक निश्चित दूरी पर x-अक्ष को काटता है। इस आलेख के मानक निरूपण के आधार पर,बिंदु $C$ आमतौर पर उस प्रतिच्छेदन को चिह्नित करता है जहाँ $\psi(r) = 0$ होता है,जो गोलीय नोड का प्रतिनिधित्व करता है।

(D) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में परमाणु कक्षकों की ऊर्जा $(n+l)$ नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
$1$. $(n+l)$ नियम के अनुसार,जिस कक्षक के लिए $(n+l)$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
$2$. यदि $(n+l)$ के मान समान हैं,तो जिस कक्षक के लिए $n$ का मान कम होता है,उसकी ऊर्जा कम होती है।
प्रत्येक कक्षक के लिए $(n+l)$ की गणना:
$A: n=3, l=2 \implies n+l = 3+2 = 5$
$B: n=4, l=0 \implies n+l = 4+0 = 4$
$C: n=6, l=1 \implies n+l = 6+1 = 7$
$D: n=5, l=1 \implies n+l = 5+1 = 6$
$E: n=2, l=1 \implies n+l = 2+1 = 3$
$(n+l)$ मानों की तुलना करने पर: $3 (E) < 4 (B) < 5 (A) < 6 (D) < 7 (C)$।
अतः,बढ़ती ऊर्जा का सही क्रम $E < B < A < D < C$ है।

(D) त्रिज्यीय नोड की संख्या $(n-l-1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है और कोणीय नोड (नोडल तल) की संख्या $l$ द्वारा दी जाती है।
$A$. $2s$ कक्षक के लिए: $n=2, l=0$. त्रिज्यीय नोड $= 2-0-1 = 1$. नोडल तल $= l = 0$. यह $IV$ से मेल खाता है।
$B$. $3s$ कक्षक के लिए: $n=3, l=0$. त्रिज्यीय नोड $= 3-0-1 = 2$. नोडल तल $= l = 0$. यह $III$ से मेल खाता है।
$C$. $3p$ कक्षक के लिए: $n=3, l=1$. त्रिज्यीय नोड $= 3-1-1 = 1$. नोडल तल $= l = 1$. यह $II$ से मेल खाता है।
$D$. $4d$ कक्षक के लिए: $n=4, l=2$. त्रिज्यीय नोड $= 4-2-1 = 1$. नोडल तल $= l = 2$. यह $I$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-II, D-I$ है।

(D) $Cr$ $(Z=24)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5 4s^1$ है।
पहले $18$ इलेक्ट्रॉन आर्गन कोर $(1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6)$ में भरे जाते हैं।
Aufbau सिद्धांत के अनुसार,$19$ वां इलेक्ट्रॉन $4s$ कक्षक में प्रवेश करता है।
$4s$ कक्षक के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n=4$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l=0$,चुंबकीय क्वांटम संख्या $m=0$ और चक्रण क्वांटम संख्या $s=+\frac{1}{2}$ है।

(B) सत्य है: $(n+l)$ नियम के अनुसार,यदि दो कक्षकों का $(n+l)$ मान समान है,तो कम $n$ मान वाले कक्षक की ऊर्जा कम होती है।
$B$ असत्य है: बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में,कक्षक की ऊर्जा प्रभावी नाभिकीय आवेश $(Z_{eff})$ पर निर्भर करती है,न कि केवल परमाणु क्रमांक पर।
$C$ सत्य है: मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ने के साथ कक्षक का आकार बढ़ता है। $2p_x$ के लिए $n=2$ और $3p_x$ के लिए $n=3$ है,इसलिए $2p_x$ छोटा है।
$D$ असत्य है: रेडियल नोड्स की संख्या $(n-l-1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$5f$ के लिए: $5-3-1 = 1$ रेडियल नोड।
$6s$ के लिए: $6-0-1 = 5$ रेडियल नोड।
$4d$ के लिए: $4-2-1 = 1$ रेडियल नोड।
$5p$ के लिए: $5-1-1 = 3$ रेडियल नोड।
$5d$ के लिए: $5-2-1 = 2$ रेडियल नोड।
चूंकि $5d$ में $2$ रेडियल नोड हैं,इसलिए कथन $D$ गलत है।
अतः,केवल कथन $A$ और $C$ सत्य हैं।

(A) कक्षक को $nl$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $l$ दिगंशीय (एज़िमुथल) क्वांटम संख्या है।
$l$ के मान कक्षकों के अनुरूप हैं: $l=0$ $(s)$,$l=1$ $(p)$,$l=2$ $(d)$,$l=3$ $(f)$।
$(A)$ $n=2, l=1$ का अर्थ $2p$ है।
$(B)$ $n=4, l=0$ का अर्थ $4s$ है।
$(C)$ $n=5, l=3$ का अर्थ $5f$ है।
$(D)$ $n=3, l=2$ का अर्थ $3d$ है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।