Nature of radiation Questions in Gujarati

(A) તરંગસંખ્યા $(\bar{\nu})$ એ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નો વ્યસ્ત છે:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$
આપેલ છે $\lambda = 5800 \ \mathring{A} = 5800 \times 10^{-8} \ cm = 5.8 \times 10^{-5} \ cm$.
$\bar{\nu} = \frac{1}{5.8 \times 10^{-5} \ cm} = 17241.37 \ cm^{-1}$.
આપણને આપેલ છે $\bar{\nu} = x \times 10 \ cm^{-1}$.
તેથી,$x \times 10 = 17241.37$.
$x = 1724.137 \approx 1724$.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\lambda = 300 \times 10^{-9} \ m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{300 \times 10^{-9}} \ J = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
તેને $1.602 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગીને $eV$ માં રૂપાંતર કરતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 4.136 \ eV$.
જો કાર્ય વિધેય $\phi < E$ હોય તો ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર જોવા મળે છે. આમ,$\phi < 4.136 \ eV$ ધરાવતી ધાતુઓ આ અસર દર્શાવશે.
આપેલ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $Li \ (2.4)$,$Na \ (2.3)$,$K \ (2.2)$,અને $Mg \ (3.7)$ એ $4.136 \ eV$ કરતા ઓછી છે.
તેથી,આવી $4$ ધાતુઓ છે.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s}{330 \times 10^{-9} \ m} = 2 \times 10^{-27} \ kg \ m \ s^{-1}$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$He$ પરમાણુ દ્વારા મેળવેલ વેગમાન એ શોષાયેલા ફોટોનના વેગમાન જેટલું હોય છે.
$p_{atom} = m \times v$,જ્યાં $m$ એ એક $He$ પરમાણુનું દળ છે.
$m = \frac{\text{મોલર દળ}}{\text{એવોગેડ્રો આંક}} = \frac{4 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}}{6 \times 10^{23} \ mol^{-1}} = \frac{2}{3} \times 10^{-26} \ kg$.
વેગમાનને સરખાવતા: $2 \times 10^{-27} = (\frac{2}{3} \times 10^{-26}) \times v$.
$v = \frac{2 \times 10^{-27} \times 3}{2 \times 10^{-26}} = 0.3 \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.3 \ m \ s^{-1} = 30 \ cm \ s^{-1}$.

(C) મોઝલેના નિયમ મુજબ,તત્વ દ્વારા ઉત્સર્જિત લાક્ષણિક $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $\nu$ એ તેના પરમાણ્વીય ક્રમાંક $Z$ સાથે સમીકરણ $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{\nu}$ વિરુદ્ધ પરમાણ્વીય ક્રમાંક $(Z)$ નો આલેખ એક સીધી રેખા છે.
વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે $\sqrt{\nu}$ વિરુદ્ધ પરમાણ્વીય દળનો આલેખ સીધી રેખા નથી.
વિધાન $(II)$ ખોટું છે કારણ કે $\nu$ ($\sqrt{\nu}$ નહીં) વિરુદ્ધ પરમાણ્વીય ક્રમાંકનો આલેખ સીધી રેખા નથી; તેના બદલે,$\sqrt{\nu}$ વિરુદ્ધ પરમાણ્વીય ક્રમાંકનો આલેખ સીધી રેખા છે.
તેથી,બંને વિધાનો ખોટા છે.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $P$ એ સંબંધ $P = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે $E = 1 \ MeV = 1 \times 10^6 \ eV = 1.602 \times 10^{-13} \ J.$
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}.$
$P = \frac{1.602 \times 10^{-13}}{3 \times 10^8} = 0.534 \times 10^{-21} \ kg \ ms^{-1}.$

(C) $\gamma$-કિરણો એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે જેનો વીજભાર શૂન્ય અને સ્થિર દળ શૂન્ય હોય છે.
તેમના વિદ્યુતચુંબકીય સ્વભાવને કારણે,તેઓ પ્રકાશની ગતિ સાથે મુસાફરી કરે છે,જે આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$ છે.

(B) આવૃત્તિ એટલે એક સેકન્ડમાં આપેલા બિંદુમાંથી પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા.
તે હર્ટ્ઝ $(Hz)$ માં માપવામાં આવે છે,જ્યાં $1 \ Hz = 1 \ s^{-1}$.
- $(A)$ તરંગલંબાઈ: બે ક્રમિક શૃંગ અથવા ગર્ત વચ્ચેનું અંતર.
- $(C)$ તરંગ સંખ્યા: એકમ લંબાઈ દીઠ તરંગોની સંખ્યા $(1 / \lambda)$.
- $(D)$ કંપવિસ્તાર: તરંગનું તેના સરેરાશ સ્થાનથી મહત્તમ સ્થાનાંતર.

(A) એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$\lambda = 700 \ nm = 700 \times 10^{-9} \ m$.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{700 \times 10^{-9}} \ J = 2.84 \times 10^{-19} \ J$.
મોલ દીઠ ઊર્જા શોધવા માટે,એવોગેડ્રો આંક $(N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ વડે ગુણો:
$E_{mole} = E \times N_A = 2.84 \times 10^{-19} \times 6.022 \times 10^{23} \ J/mol \approx 1.71 \times 10^5 \ J/mol$.

(B) આવૃત્તિ $(\nu)$,પ્રકાશની ગતિ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે:
$c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$
$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\nu = \frac{3 \times 10^8 \ ms^{-1}}{6 \times 10^{-7} \ m} = 0.5 \times 10^{15} \ Hz = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને તરંગ આંક $(\bar{\nu})$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{1}{\bar{\nu}}$
આપેલ છે $\bar{\nu} = 11516 \ cm^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{11516 \ cm^{-1}} \approx 8.6835 \times 10^{-5} \ cm$.
તેને નેનોમીટર $(nm)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \ nm = 10^{-7} \ cm$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lambda = 8.6835 \times 10^{-5} \ cm \times \frac{1 \ nm}{10^{-7} \ cm} = 868.35 \ nm \approx 868 \ nm$.

(B) તરંગ આંક $(\bar{\nu})$ એ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નો વ્યસ્ત છે.
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$
આપેલ છે,$\lambda = 0.25 \mu m = 0.25 \times 10^{-6} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\bar{\nu} = \frac{1}{0.25 \times 10^{-6} \ m} = 4.0 \times 10^6 \ m^{-1}$.

(D) $Balmer$ શ્રેણી હાઇડ્રોજન માટે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દૃશ્યમાન વિભાગમાં ઉત્સર્જન વર્ણપટ રેખાઓની શ્રેણીનો સંદર્ભ આપે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n \geq 3)$ થી બીજા ઉર્જા સ્તર $(n=2)$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે આ રેખાઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
$Balmer$ શ્રેણીમાં રેખાઓની તરંગલંબાઇ દૃશ્યમાન પ્રકાશના વર્ણપટમાં આવે છે.
તેઓ હાઇડ્રોજનના ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં જોવા મળતા રંગોને અનુરૂપ છે,જેમાં લાલ,વાદળી અને જાંબલી રેખાઓનો સમાવેશ થાય છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2 > 1)$ થી ધરાસ્થિતિ $(n_1 = 1)$ માં કૂદકો મારે છે,ત્યારે મળતી ઉત્સર્જન વર્ણપટ રેખાઓ લાયમન શ્રેણીમાં આવે છે.
અહીં સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ હોવાથી,તે લાયમન શ્રેણીની સીમાંત રેખા દર્શાવે છે.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દર્શાવે છે કે ઉર્જા તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તરંગલંબાઇ જેટલી ટૂંકી,આવૃત્તિ તેટલી વધારે અને ઉર્જા તેટલી વધારે.
આપેલા રંગોમાં,જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સૌથી ટૂંકી (આશરે $400 \ nm$) છે,તેથી તે સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવે છે.

(B) આવૃત્તિ $(v)$,પ્રકાશની ગતિ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને $\lambda = 750 \ nm = 750 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{750 \times 10^{-9} \ m} = 4 \times 10^{14} \ Hz$.

(B) આવૃત્તિ $(v)$,પ્રકાશની ગતિ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ અને $\lambda = 460 \ nm = 460 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{460 \times 10^{-9} \ m} = 6.52 \times 10^{14} \ Hz$.
આમ,આવૃત્તિ આશરે $6.5 \times 10^{14} \ Hz$ છે.

(C) પ્રકાશની ઝડપ $(c)$,આવૃત્તિ $(\nu)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \nu \times \lambda$ છે.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ અને $\nu = 50 \ Hz$.
તરંગલંબાઈ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{50} = 0.06 \times 10^8 \ m = 6 \times 10^6 \ m$.

(C) આવૃત્તિ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{c}{\lambda}$ છે.
આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 480 \ nm = 480 \times 10^{-9} \ m$.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{480 \times 10^{-9} \ m} = 6.25 \times 10^{14} \ Hz$.

(C) આવૃત્તિ $\nu$ ની ગણતરી $\nu = \frac{c}{\lambda}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{400 \times 10^{-9} \ m} = 7.5 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) જ્યારે યોગ્ય આવૃત્તિ ધરાવતો પ્રકાશ ધાતુની સપાટી પર પડે છે ત્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થાય છે,જેનાથી ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થાય છે.
ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય.
ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા વધવાથી ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા વધે છે.

(A) ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ તરંગલંબાઈ છે.
$h$ અને $c$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,ઉર્જાનો ગુણોત્તર તેમની તરંગલંબાઈના ગુણોત્તરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
આપેલ છે કે $\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{2}$,તેથી $\frac{3}{2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
આમ,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\lambda_1 : \lambda_2 = 2:3$ થાય.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારિત કણનું વિચલન લોરેન્ઝ બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને પરિણામી પ્રવેગ $a = F/m = (qvB \sin \theta)/m$ છે.
વિચલન એ વિદ્યુતભાર અને દળના ગુણોત્તર $(q/m)$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,જે કણનો $q/m$ ગુણોત્તર સૌથી વધુ હોય તેનું વિચલન મહત્તમ થાય છે.
$\alpha$-કણો $(He^{2+})$ નું દળ આશરે $4 \ amu$ અને વિદ્યુતભાર $+2$ છે.
$\beta$-કણો $(e^-)$ નું દળ આશરે $1/1837 \ amu$ અને વિદ્યુતભાર $-1$ છે.
$\gamma$-કિરણો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જેનો કોઈ વિદ્યુતભાર કે દળ હોતું નથી,તેથી તેમાં કોઈ વિચલન જોવા મળતું નથી.
ન્યુટ્રોન પર કોઈ વિદ્યુતભાર હોતો નથી,તેથી તેમાં પણ વિચલન થતું નથી.
$q/m$ ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,$\beta$-કણનો $q/m$ ગુણોત્તર $\alpha$-કણ કરતા ઘણો વધારે હોવાથી,તેનું વિચલન મહત્તમ થાય છે.

(A) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે તત્વના સમસ્થાનિકોની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના સમાન હોય છે અને તેથી તેઓ સમાન રાસાયણિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે લાયમન શ્રેણી $n=1$ ઉર્જા સ્તર પર ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ સાથે સંબંધિત છે,જે અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિભાગમાં ઉર્જા મુક્ત કરે છે.
વિધાન $III$ સાચું છે કારણ કે મેક્સવેલના તરંગ સિદ્ધાંત મુજબ,વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણમાં દોલિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો હોય છે જે એકબીજાને અને તરંગ પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે.
તેથી,વિધાન $II$ અને $III$ સાચા છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની ઊર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ માટે: $\nu_a = 3 \times 10^{15} \ Hz$.
$b$ માટે: $\nu_b = 2 \times 10^{14} \ Hz$.
$c$ માટે: $\lambda_c = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$. આવૃત્તિ $\nu_c = \frac{c}{\lambda_c} = 7.5 \times 10^{14} \ Hz$.
$d$ માટે: $\lambda_d = 750 \ nm = 750 \times 10^{-9} \ m$. આવૃત્તિ $\nu_d = \frac{c}{\lambda_d} = 4 \times 10^{14} \ Hz$.
આવૃત્તિઓની સરખામણી કરતા: $\nu_b < \nu_d < \nu_c < \nu_a$.
તેથી,ઊર્જાનો વધતો ક્રમ $b < d < c < a$ છે.

(A) તરંગલંબાઇ $(\lambda)$,આવૃત્તિ $(\nu)$ અને પ્રકાશની ગતિ $(c)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને $\nu = 103.4 \ MHz = 103.4 \times 10^6 \ s^{-1} = 1.034 \times 10^8 \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{1.034 \times 10^8 \ s^{-1}} \cong 2.90 \ m$.

(C) હાઇડ્રોજનની વર્ણપટ શ્રેણીઓ નીચલા ઉર્જા સ્તર $n_2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ સ્તરો $n_1$ માંથી સંક્રમણ કરે છે:
$n_2 = 1$ (લાયમન શ્રેણી): અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તાર.
$n_2 = 2$ (બામર શ્રેણી): દ્રશ્યમાન વિસ્તાર.
$n_2 = 3$ (પાશ્ચન શ્રેણી): ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર.
$n_2 = 4$ (બ્રેકેટ શ્રેણી): ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર.
$n_2 = 5$ (ફંડ શ્રેણી): ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર.
પ્રશ્ન $n = 3, 4, 5$ માં સંક્રમણનો ઉલ્લેખ કરે છે,તેથી આ તમામ શ્રેણીઓ (પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ) ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે.

(D) તરંગલંબાઇ $\lambda = 7.8 \times 10^2 \ nm$ આપેલ છે.
તરંગલંબાઇને મીટરમાં ફેરવતા: $\lambda = 7.8 \times 10^2 \times 10^{-9} \ m = 7.8 \times 10^{-7} \ m$.
આવૃત્તિ $\nu$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\nu = \frac{c}{\lambda}$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ પ્રકાશની ગતિ છે.
$\nu = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{7.8 \times 10^{-7} \ m} \approx 3.846 \times 10^{14} \ s^{-1}$.
આમ,આવૃત્તિ આશરે $3.8 \times 10^{14} \ s^{-1}$ છે.

(C) આપાત વિકિરણની ઉર્જા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે: $E = \frac{hc}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{400 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 3.1 \text{ eV}$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે,આપાત વિકિરણની ઉર્જા વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે અથવા સમાન હોવી જોઈએ $(E \ge W_0)$.
તેથી,જો વર્ક ફંક્શન $E$ કરતા વધારે હોય $(W_0 > E)$ તો ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં.
આપેલ વર્ક ફંક્શનની $3.1 \text{ eV}$ સાથે સરખામણી કરતા:
$Mg (3.7 > 3.1)$,$Cu (4.8 > 3.1)$,અને $Ag (4.3 > 3.1)$ ના વર્ક ફંક્શન $3.1 \text{ eV}$ કરતા વધારે છે.
આમ,$3$ ધાતુઓ ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે નહીં.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ આ મુજબ છે: $KE = h\nu - \varphi$,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત વિકિરણની ઉર્જા છે અને $\varphi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અચળ આપાત ઉર્જા $(h\nu)$ માટે,ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ એ ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\varphi)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જે ધાતુનું વર્ક ફંક્શન સૌથી વધુ હશે,તેની ગતિજ ઉર્જા સૌથી ઓછી હશે.
આપેલ ધાતુઓ માટે વર્ક ફંક્શનનો ક્રમ આ મુજબ છે: $Cu (4.70 \ eV) > Ag (4.26 \ eV) > Li (2.90 \ eV) > Na (2.75 \ eV)$.
$Cu$ નું વર્ક ફંક્શન સૌથી વધુ હોવાથી,તે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોન માટે સૌથી ઓછી ગતિજ ઉર્જા દર્શાવશે.

(C) આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 6300 \ \mathring{A} = 6.3 \times 10^{-7} \ m$.
$(I)$ તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ એ તરંગલંબાઈનો વ્યસ્ત છે:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{6.3 \times 10^{-7} \ m} \approx 1.587 \times 10^6 \ m^{-1}$.
$(II)$ આવૃત્તિ $(\nu)$ માટે સૂત્ર $\nu = \frac{c}{\lambda}$,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$:
$\nu = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{6.3 \times 10^{-7} \ m} \approx 4.761 \times 10^{14} \ s^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(KE)$ સમીકરણ $KE = h\nu - h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આપાત આવૃત્તિ $\nu > \nu_0$ હોય,ત્યારે $KE > 0$ થાય છે. તેથી,વિધાન $3$ સાચું છે.
અહીં,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
અન્ય વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$1$. ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નહીં.
$2$. જ્યારે $\nu < \nu_0$ હોય,ત્યારે $KE < 0$ થાય છે,જે અશક્ય છે; તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર જોઈ શકાતી નથી.
$4$. જ્યારે $\nu = \nu_0$ હોય,ત્યારે $KE = 0$ થાય છે,એટલે કે ઈલેક્ટ્રોન માત્ર ઉત્સર્જિત થાય છે પરંતુ તેમની પાસે સપાટીથી દૂર જવા માટે કોઈ ગતિ ઊર્જા હોતી નથી.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\lambda = 450 \ nm = 450 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{450 \times 10^{-9} \ m} \approx 4.417 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{4.417 \times 10^{-19} \ J}{1.602 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 2.76 \ eV$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા વર્ક ફંક્શન $(E \ge W_0)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય તો ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થાય છે.
$W_0 < 2.76 \ eV$ ધરાવતી ધાતુઓ $K (2.25 \ eV), Na (2.30 \ eV)$,અને $Li (2.42 \ eV)$ છે. આ ધાતુઓ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવશે.
$W_0 > 2.76 \ eV$ ધરાવતી ધાતુઓ $Mg (3.70 \ eV)$ અને $Cu (4.80 \ eV)$ છે. આ ધાતુઓ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવશે નહીં.
આવી ધાતુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\lambda = 300 \times 10^{-9} \ m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{300 \times 10^{-9}} = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
આ ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{6.626 \times 10^{-19}}{1.6022 \times 10^{-19}} \approx 4.135 \ eV$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય તો ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર જોવા મળે છે.
$\Phi$ મૂલ્યોની સરખામણી:
$Ag: 4.3 \ eV > 4.135 \ eV$ (ઉત્સર્જન નહીં)
$Mg: 3.7 \ eV < 4.135 \ eV$ (ઉત્સર્જન)
$K: 2.25 \ eV < 4.135 \ eV$ (ઉત્સર્જન)
$Na: 2.30 \ eV < 4.135 \ eV$ (ઉત્સર્જન)
આમ,$Mg, K,$ અને $Na$ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરશે. આવી ધાતુઓની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની ઉર્જા $(E)$ તેની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સમીકરણ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જેમ તરંગલંબાઇ વધે છે,તેમ વિકિરણની ઉર્જા ઘટે છે.
ઘટતી ઉર્જાના ક્રમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ આ મુજબ છે: $\gamma-rays > X-rays > UV > visible > IR > microwave > radio \ waves$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો ક્રમ $X-rays > UV > IR > microwave$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ વર્ણપટમાં પાંચ શ્રેણીઓ હોય છે જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ચોક્કસ વિસ્તારોમાં આવે છે:
$1$. લાયમન શ્રેણી: $UV$ વિસ્તાર
$2$. બામર શ્રેણી: દ્રશ્યમાન વિસ્તાર
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: $IR$ વિસ્તાર
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: $IR$ વિસ્તાર
$5$. ફંડ શ્રેણી: $IR$ વિસ્તાર
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
$(i)$ $\gamma$-કિરણોત્સર્ગ: જોવા મળતું નથી.
$(ii)$ $UV$: જોવા મળે છે (લાયમન શ્રેણી).
$(iii)$ $X$-કિરણો: જોવા મળતા નથી.
$(iv)$ ઇન્ફ્રારેડ: જોવા મળે છે (પાશ્ચન,બ્રેકેટ,ફંડ શ્રેણી).
તેથી,$\gamma$-કિરણોત્સર્ગ અને $X$-કિરણો હાઇડ્રોજન પરમાણુ વર્ણપટમાં જોવા મળતા નથી.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના આધારે,આવૃત્તિની શ્રેણી નીચે મુજબ છે:
| નામ | આવૃત્તિ ($Hz$ માં) |
| :--- | :--- |
| $X$-કિરણો | $10^{17}$ થી $10^{21}$ |
| રેડિયો તરંગો | $10^{5}$ થી $10^{8}$ |
| $UV$ કિરણો | $10^{15}$ થી $10^{16}$ |
| $IR$ કિરણો | $10^{12}$ થી $10^{13}$ |
આપેલ શ્રેણીઓની તુલના કરતા,$X$-કિરણો સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવે છે ($10^{17}$ થી $10^{21} \ Hz$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિકિરણની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda} = hc \bar{\nu}$,જ્યાં $\bar{\nu}$ એ તરંગ આંક છે.
તરંગ આંક માટેનું સૂત્ર: $\bar{\nu} = \frac{E}{hc}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13} \ erg}{6.625 \times 10^{-27} \ erg \ sec \times 3 \times 10^{10} \ cm \ sec^{-1}}$.
$\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13}}{19.875 \times 10^{-17}} = 10^4 \ cm^{-1}$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\lambda = 310 \ nm = 310 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{310 \times 10^{-9}} \approx 6.41 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{6.41 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 4.0 \ eV$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા સમાન હોય તો જ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થાય છે. જો $E < \Phi$ હોય,તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થતી નથી.
અહીં,$E = 4.0 \ eV$.
વર્ક ફંક્શન સાથે સરખામણી કરતા:
$M_1: 4.8 \ eV > 4.0 \ eV$ (અસર નથી)
$M_2: 4.3 \ eV > 4.0 \ eV$ (અસર નથી)
$M_3: 4.75 \ eV > 4.0 \ eV$ (અસર નથી)
$M_4: 3.75 \ eV < 4.0 \ eV$ (અસર થાય છે)
આમ,$M_1, M_2$ અને $M_3$ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવતા નથી.

(D) આપાત વિકિરણની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
$\lambda = 300 \ nm$ માટે,$E \approx 4.14 \ eV$ મળે છે.
ધાતુઓના કાર્ય વિધેય $(\Phi)$ આ મુજબ છે: $Li \approx 2.5 \ eV$,$Mg \approx 3.7 \ eV$,$Ag \approx 4.3 \ eV$,$Cu \approx 4.7 \ eV$,અને $K \approx 2.3 \ eV$.
જ્યારે $E > \Phi$ હોય ત્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર જોવા મળે છે.
અહીં $Li, Mg$ અને $K$ નું કાર્ય વિધેય $4.14 \ eV$ કરતા ઓછું છે.
તેથી,$3$ ધાતુઓ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવે છે.

(B) વિધાન $(i)$ સાચું છે: ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર એ ત્વરિત પ્રક્રિયા છે જેમાં પ્રકાશના આપાત થવા અને ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન વચ્ચે કોઈ સમયનો વિલંબ થતો નથી.
વિધાન $(ii)$ ખોટું છે: ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: $K$,$Rb$ અને $Cs$ જેવી આલ્કલી ધાતુઓનું કાર્ય વિધેય (work function) ઓછું હોય છે અને તે દ્રશ્ય પ્રકાશ સાથે પણ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવે છે.
તેથી,વિધાનો $(i)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = 3 \ eV$ આપેલ છે.
ઊર્જાને $erg$ માં ફેરવતા: $E = 3 \times 1.6 \times 10^{-12} \ erg = 4.8 \times 10^{-12} \ erg$.
સૂત્ર $\lambda = \frac{hc}{E}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s \times 3 \times 10^{10} \ cm/s}{4.8 \times 10^{-12} \ erg}$.
$\lambda = \frac{19.878 \times 10^{-17}}{4.8 \times 10^{-12}} \ cm = 4.141 \times 10^{-5} \ cm$.
$1 \ cm = 10^8 \ \mathring{A}$ હોવાથી,$\lambda = 4.141 \times 10^{-5} \times 10^8 \ \mathring{A} = 4141 \ \mathring{A}$.

(D) આવૃત્તિ $(v)$,પ્રકાશની ગતિ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ અને $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.

(C) $H_2$ બંધના એક મોલને તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા $436 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
એક બંધ તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા $(E)$ = $\frac{436 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}}{6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \approx 7.24 \times 10^{-19} \ J$.
ઉર્જા અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{h \cdot c}{\lambda}$ છે,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}$.
તરંગલંબાઇ માટે સૂત્ર: $\lambda = \frac{h \cdot c}{E}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}}{7.24 \times 10^{-19} \ J} \approx 2.745 \times 10^{-7} \ m$.
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર: $\lambda \approx 274.5 \ nm \approx 274 \ nm$.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda} = hc \cdot \bar{\nu}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $\lambda = 300 \ nm = 300 \times 10^{-9} \ m$. $E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^{8} \ m/s)}{300 \times 10^{-9} \ m} = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $\nu = 3 \times 10^{4} \ s^{-1}$. $E = h \nu = (6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^{4} \ s^{-1}) = 1.9878 \times 10^{-29} \ J$.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $\bar{\nu} = 30 \ cm^{-1} = 3000 \ m^{-1}$. $E = hc \cdot \bar{\nu} = (6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^{8} \ m/s)(3000 \ m^{-1}) = 5.9634 \times 10^{-22} \ J$.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $E = 6.626 \times 10^{-27} \ J$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(A)$ માં ઊર્જા સૌથી વધુ છે.

(B) $(1)$. $A$ ની તરંગલંબાઈ $= 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
$(2)$. $B$ ની તરંગલંબાઈ $(\lambda) = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \times 10^{8} \ m/s}{10^{16} \ s^{-1}} = 3 \times 10^{-8} \ m = 30 \ nm$.
$(3)$. $C$ ની તરંગલંબાઈ $(\lambda) = \frac{1}{\bar{\nu}} = \frac{1}{10^{4} \ cm^{-1}} = 10^{-4} \ cm = 10^{-6} \ m = 1000 \ nm$.
તરંગલંબાઈની સરખામણી કરતા: $\lambda_{C} (1000 \ nm) > \lambda_{A} (400 \ nm) > \lambda_{B} (30 \ nm)$.
ઉર્જા $(E) = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,ઉર્જાનો ક્રમ $E_{B} > E_{A} > E_{C}$ છે.

(C) વિકિરણની ઊર્જા $E$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 2000 \mathring{A}$ અને $\lambda_2 = 6000 \mathring{A}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{E_1}{E_2} = \frac{6000}{2000} = 3$ મળે છે.