MathematicsQ1–2 of 2 questions
Page 1 of 1 · Hindi
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MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1960
$\frac{18^3 + 7^3 + 3 \times 18 \times 7 \times 25}{3^6 + 6 \times 243 \times 2 + 15 \times 81 \times 4 + 20 \times 27 \times 8 + 15 \times 9 \times 16 + 6 \times 3 \times 32 + 64}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$5$
C
$25$
D
$100$
Solution
(A) अंश $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$ के रूप में है,जहाँ $a = 18$ और $b = 7$ है।
चूँकि $a + b = 18 + 7 = 25$,इसलिए अंश $25^3$ है।
हर $(x + y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} y^k$ के रूप में है।
यहाँ,$x = 3$ और $y = 2$ है,इसलिए हर $(3 + 2)^6 = 5^6$ है।
चूँकि $5^6 = (5^2)^3 = 25^3$,इसलिए हर $25^3$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{25^3}{25^3} = 1$ है।
चूँकि $a + b = 18 + 7 = 25$,इसलिए अंश $25^3$ है।
हर $(x + y)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} y^k$ के रूप में है।
यहाँ,$x = 3$ और $y = 2$ है,इसलिए हर $(3 + 2)^6 = 5^6$ है।
चूँकि $5^6 = (5^2)^3 = 25^3$,इसलिए हर $25^3$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{25^3}{25^3} = 1$ है।
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MathematicsEasyMCQIIT JEE · 1960
यदि $A(6, 3)$,$B(-3, 5)$,$C(4, -2)$ और $D(x, 3x)$ चार बिंदु हैं। यदि $\Delta DBC$ और $\Delta ABC$ के क्षेत्रफल का अनुपात $1 : 2$ है,तो $x$ का मान क्या होगा?
A
$\frac{11}{8}$
B
$\frac{8}{11}$
C
$3$
D
$\text{इनमें से कोई नहीं}$
Solution
(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\Delta ABC$ के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{49}{2}$.
$\Delta DBC$ के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = |14x - 7|$.
दिया गया है कि $\frac{\text{Area}(\Delta DBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{1}{2}$,इसलिए $2 \times |14x - 7| = \frac{49}{2}$.
$|14x - 7| = \frac{49}{4}$.
हल करने पर,$x = \frac{11}{8}$ या $x = -\frac{3}{8}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{11}{8}$ है।
$\Delta ABC$ के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{49}{2}$.
$\Delta DBC$ के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = |14x - 7|$.
दिया गया है कि $\frac{\text{Area}(\Delta DBC)}{\text{Area}(\Delta ABC)} = \frac{1}{2}$,इसलिए $2 \times |14x - 7| = \frac{49}{2}$.
$|14x - 7| = \frac{49}{4}$.
हल करने पर,$x = \frac{11}{8}$ या $x = -\frac{3}{8}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{11}{8}$ है।
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