Series completion Questions in Hindi

(D) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$647 - 563 = +84$
$479 - 647 = -168$ (जो $-(84 \times 2)$ है)
$815 - 479 = +336$ (जो $+(84 \times 4)$ या $+(84 \times 2^2)$ है)
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $84 \times 2^3 = 84 \times 8 = 672$ घटाने पर प्राप्त होगा।
लुप्त संख्या $= 815 - 672 = 143$.

(B) दी गई अनुक्रम दो श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$I.$ $11, 17, 23, (\ldots)$
$II.$ $12, 18, 24$
दोनों श्रृंखलाओं $I$ और $II$ में पैटर्न पिछले पद में $6$ जोड़ने का है।
श्रृंखला $I$ के लिए: $11 + 6 = 17$,$17 + 6 = 23$,$23 + 6 = 29$.
अतः,लुप्त संख्या $29$ है।

(C) दी गई श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें: $225, 336, 447, (...), 669, 7710$.
$1$. प्रत्येक संख्या के पहले दो अंकों का अवलोकन करें: $22, 33, 44, 55, 66, 77$। यह एक समांतर श्रेणी बनाती है जिसमें प्रत्येक पद $11$ से बढ़ता है।
$2$. प्रत्येक संख्या के तीसरे अंक (या शेष भाग) का अवलोकन करें: $5, 6, 7, 8, 9, 10$। यह एक सरल समांतर श्रेणी बनाती है जिसमें प्रत्येक पद $1$ से बढ़ता है।
$3$. इन पैटर्नों को मिलाने पर,लुप्त संख्या के पहले दो अंक $55$ और तीसरा अंक $8$ होने चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $558$ है।

(B) क्रमागत पदों के बीच के संबंध का अवलोकन करें:
$840 \div 5 = 168$
$168 \div 4 = 42$
$42 \div 3 = 14$
$14 \div 2 = 7$
घटते हुए पूर्णांकों $(5, 4, 3, 2)$ से भाग देने के पैटर्न का पालन करते हुए,अगली क्रिया $1$ से भाग देने की है।
लुप्त संख्या $= 7 \div 1 = 7$.

(A) दी गई श्रृंखला दो एकांतर श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $5, 7, 10, 14, \ldots$
पैटर्न: $+2, +3, +4, \ldots$
श्रृंखला $II$: $6, 8, 11, (\ldots)$
पैटर्न: $+2, +3, +4, \ldots$
श्रृंखला $II$ के पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $11 + 4 = 15$ होगा।

(A) दी गई श्रृंखला दो एकांतर श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $0, 3, 8, 15, 24, (\ldots)$
श्रृंखला $I$ के लिए पैटर्न: अंतर $+3, +5, +7, +9$ है। अगला अंतर $+11$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $24 + 11 = 35$ है।
श्रृंखला $II$: $2, 5, 10, 17, 26$
श्रृंखला $II$ के लिए पैटर्न: अंतर $+3, +5, +7, +9$ है।
इसलिए,लुप्त संख्या $35$ है।

(B) दी गई श्रृंखला तीन परस्पर जुड़ी हुई श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $0, 3, 6, \dots$ (पैटर्न: $+3$)
श्रृंखला $II$: $4, 7, (\dots)$ (पैटर्न: $+3$)
श्रृंखला $III$: $6, 9, 12$ (पैटर्न: $+3$)
श्रृंखला $II$ को देखने पर,पद $4, 7, x$ हैं। चूँकि सामान्य अंतर $+3$ है,इसलिए लुप्त संख्या $7 + 3 = 10$ होगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दी गई अनुक्रम दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $1, 3, 6, 10, (\ldots)$
पैटर्न: $+2, +3, +4, +5, \ldots$
अतः,अगला पद $10 + 5 = 15$ है।
श्रृंखला $II$: $1, 9, 36, 100, 225$
पैटर्न: $1^2, 3^2, 6^2, 10^2, 15^2$
इस प्रकार,लुप्त संख्या $15$ है।

(B) दी गई श्रृंखला तीन अंतर्निहित श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$I.$ $1^{st}, 4^{th}, 7^{th}, 10^{th}, 13^{th}$ पद: $2, 4, 6, 8, (\ldots)$
$II.$ $2^{nd}, 5^{th}, 8^{th}, 11^{th}$ पद: $1, 4, 7, 10$
$III.$ $3^{rd}, 6^{th}, 9^{th}, 12^{th}$ पद: $2, 5, 8, 11$
श्रृंखला $I$ में,अंतर $2$ है। इसलिए,$8$ के बाद का पद $8 + 2 = 10$ होगा।
अतः,लुप्त संख्या $10$ है।

(A) दी गई श्रृंखला $4, 23, 60, 121, \ldots$ है।
पदों के पैटर्न का अवलोकन करें:
$2^{3} - 4 = 8 - 4 = 4$
$3^{3} - 4 = 27 - 4 = 23$
$4^{3} - 4 = 64 - 4 = 60$
$5^{3} - 4 = 125 - 4 = 121$
यह पैटर्न $n^{3} - 4$ के नियम का पालन करता है,जहाँ $n$ का मान $2$ से शुरू होता है।
अतः,अगला पद $6^{3} - 4 = 216 - 4 = 212$ होगा।

(A) दी गई श्रृंखला $1, 4, 2, 8, 6, 24, 22, 88, (\ldots)$ है।
क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न का निरीक्षण करें:
$1 \times 4 = 4$
$4 - 2 = 2$
$2 \times 4 = 8$
$8 - 2 = 6$
$6 \times 4 = 24$
$24 - 2 = 22$
$22 \times 4 = 88$
यह पैटर्न $\times 4, -2, \times 4, -2, \times 4, -2, \times 4, \ldots$ के क्रम का पालन करता है।
इस पैटर्न के अनुसार,अगली क्रिया $-2$ होनी चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $88 - 2 = 86$ है।

(C) दी गई अनुक्रम दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I: 13, 24, 35, 46, 57$
पैटर्न: प्रत्येक पद में $11$ की वृद्धि होती है $(13+11=24, 24+11=35, 35+11=46, 46+11=57)$.
श्रृंखला $II: 32, 43, (\ldots), 65, 76$
पैटर्न: प्रत्येक पद में $11$ की वृद्धि होती है $(32+11=43, 43+11=54, 54+11=65, 65+11=76)$.
अतः,लुप्त संख्या $43+11=54$ है।

(B) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$I.$ विषम क्रम के पद: $3, 7, 13, 21, 31, \ldots$
अंतर इस प्रकार है: $(7-3)=4, (13-7)=6, (21-13)=8, (31-21)=10$। अगला अंतर $12$ होना चाहिए। अतः,इस श्रृंखला का अगला पद $31+12=43$ होगा।
$II.$ सम क्रम के पद: $4, 7, 13, 22, 44, \ldots$
अंतर इस प्रकार है: $(7-4)=3, (13-7)=6, (22-13)=9, (44-22)=22$।
चूंकि लुप्त पद $11$वां पद (विषम क्रम) है,इसलिए यह श्रृंखला $I$ के पैटर्न का पालन करता है। अतः,लुप्त पद $31+12=43$ है।

(D) दी गई श्रृंखला $2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, \dots$ है।
हम इस पैटर्न को इस प्रकार देख सकते हैं:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 3 = 6$
$3 \times 4 = 12$
$4 \times 5 = 20$
$5 \times 6 = 30$
$6 \times 7 = 42$
$7 \times 8 = 56$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $8 \times 9 = 72$ है।

(A) दी गई अनुक्रम तीन वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
$I.$ $1^{st}, 4^{th}, 7^{th}, 10^{th}$ पद: $8, 7, 6, (\dots)$
$II.$ $2^{nd}, 5^{th}, 8^{th}, 11^{th}$ पद: $9, 10, 11, 12$
$III.$ $3^{rd}, 6^{th}, 9^{th}$ पद: $8, 9, 10$
श्रृंखला $I$ में,प्रत्येक चरण में $1$ की कमी हो रही है $(8-1=7, 7-1=6)$।
अतः,लुप्त संख्या $6-1 = 5$ है।

(A) यह श्रृंखला तीन के समूहों में गुणन के पैटर्न का पालन करती है: $(a, b, c)$ जहाँ $c \times a = b$ है।
$1$. समूह $1$: $(30, 3, 90) \rightarrow 30 \times 3 = 90$
$2$. समूह $2$: $(6, 30, 180) \rightarrow 6 \times 30 = 180$
$3$. समूह $3$: $(2, 6, 12) \rightarrow 2 \times 6 = 12$
$4$. समूह $4$: $(25, 2, 50) \rightarrow 25 \times 2 = 50$
$5$. समूह $5$: $(4, 25, 100) \rightarrow 4 \times 25 = 100$
$6$. समूह $6$: $(50, 4, 200) \rightarrow 50 \times 4 = 200$
$7$. समूह $7$: $(x, 50, 3)$ जहाँ $x = 3 \times 50 = 150$।

(A) दी गई श्रृंखला दो एकांतर श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $11, (...), 1001, 10001$
श्रृंखला $II$: $10, 100, 1000$
श्रृंखला $I$ में,पैटर्न यह है कि जैसे-जैसे संख्या आगे बढ़ती है,दो $1$ के बीच एक अतिरिक्त शून्य जोड़ा जाता है $(11 \rightarrow 101 \rightarrow 1001 \rightarrow 10001)$।
अतः,लुप्त संख्या $101$ है।

(D) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$1$. पहला पद $123456147$ है।
$2$. दूसरा पद $12345614$ है (अंतिम अंक '$7$' को हटा दिया गया है)।
$3$. तीसरा पद $2345614$ है (दूसरे पद से पहला अंक '$1$' हटा दिया गया है)।
$4$. चौथा पद $234561$ है (तीसरे पद से अंतिम अंक '$4$' हटा दिया गया है)।
$5$. अंतिम अंक और पहले अंक को हटाने के इस वैकल्पिक पैटर्न का पालन करते हुए,अब चौथे पद से पहला अंक '$2$' हटाने की बारी है।
अतः,अगला पद $34561$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $2, 6, 12, 20, 30, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर देखें:
$6 - 2 = 4$
$12 - 6 = 6$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
अंतर $4, 6, 8, 10$ हैं,जो $2$ के सामान्य अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
अगला अंतर $10 + 2 = 12$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $30 + 12 = 42$ है।
वैकल्पिक रूप से,श्रृंखला $n^2 + n$ (या $n(n+1)$) के पैटर्न का पालन करती है:
$1^2 + 1 = 2$
$2^2 + 2 = 6$
$3^2 + 3 = 12$
$4^2 + 4 = 20$
$5^2 + 5 = 30$
$6^2 + 6 = 42$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $2, 6, 12, 20, 30, ?$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$6 - 2 = 4$
$12 - 6 = 6$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
अंतर $4, 6, 8, 10$ है,जो $2$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
इसलिए,अगला अंतर $10 + 2 = 12$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $30 + 12 = 42$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,यह श्रृंखला $n^2 + n$ के पैटर्न का पालन करती है:
$1^2 + 1 = 2$
$2^2 + 2 = 6$
$3^2 + 3 = 12$
$4^2 + 4 = 20$
$5^2 + 5 = 30$
$6^2 + 6 = 42$.

(B) दी गई श्रृंखला $2, 6, 12, 20, 30, ?$ है।
हम क्रमिक पदों के बीच का अंतर ज्ञात करके पैटर्न को समझ सकते हैं:
$6 - 2 = 4$
$12 - 6 = 6$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
यहाँ अंतर $4, 6, 8, 10$ है,जो $2$ के सामान्य अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाता है।
अतः,अगला अंतर $10 + 2 = 12$ होना चाहिए।
इसलिए,अगला पद $30 + 12 = 42$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,यह श्रृंखला $n^2 + n$ या $n(n+1)$ के नियम का पालन करती है:
$1^2 + 1 = 2$
$2^2 + 2 = 6$
$3^2 + 3 = 12$
$4^2 + 4 = 20$
$5^2 + 5 = 30$
$6^2 + 6 = 42$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दी गई श्रृंखला क्रमिक अभाज्य संख्याओं के जोड़ों से बनी है।
- पहला जोड़ा $(2, 3)$ है।
- दूसरा जोड़ा $(3, 5)$ है।
- तीसरा जोड़ा $(5, 7)$ है।
- चौथा जोड़ा $(7, 11)$ है।
- पांचवां जोड़ा $(11, 13)$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$13$ के बाद क्रमिक अभाज्य संख्याओं का अगला जोड़ा $(13, 17)$ है।

(B) दी गई श्रृंखला एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 10$ और सार्व अंतर $d = 7$ है।
श्रृंखला का सामान्य पद $T_n = a + (n - 1)d = 10 + (n - 1)7 = 7n + 3$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि श्रृंखला की कोई भी संख्या $7n + 3$ के रूप में होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि जब संख्या को $7$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $3$ बचना चाहिए।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$A) 48 = 7 \times 6 + 6$ (शेषफल $6$)
$B) 346 = 7 \times 49 + 3$ (शेषफल $3$)
$C) 574 = 7 \times 82 + 0$ (शेषफल $0$)
$D) 1003 = 7 \times 143 + 2$ (शेषफल $2$)
अतः,$346$ ही एकमात्र संख्या है जो इस श्रृंखला में आती है।

(A) दी गई श्रृंखला $1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, \ldots$ है,जो प्राकृतिक संख्याओं के घन को दर्शाती है।
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) 256 = 16^2$ (पूर्ण घन नहीं है)
$B) 512 = 8^3$
$C) 729 = 9^3$
$D) 1000 = 10^3$
अतः,$256$ इस श्रृंखला की संख्या नहीं है।

(C) दी गई श्रृंखला $3, 9, 15, . . .$ है।
यहाँ,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है: $9 - 3 = 6$ और $15 - 9 = 6$।
अतः,यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$21$ वें पद के लिए $(n = 21)$:
$a_{21} = 3 + (21 - 1) \times 6$
$a_{21} = 3 + 20 \times 6$
$a_{21} = 3 + 120 = 123$.

(B) दी गई श्रृंखला $2, 6, 18, 54, \ldots$ है।
यहाँ,प्रत्येक पद पिछले पद को $3$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = 3$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a \cdot r^{n-1}$ है।
$8$ वें पद $(n = 8)$ के लिए:
$T_8 = 2 \cdot 3^{8-1} = 2 \cdot 3^7$.
$3^7 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2187$ की गणना करने पर।
अतः,$T_8 = 2 \times 2187 = 4374$.

(C) दी गई श्रृंखला $5, 8, 11, 14, \ldots$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 8 - 5 = 3$ है।
हमें वह पद $n$ ज्ञात करना है जिसका $n^{th}$ पद $a_n = 320$ है।
समांतर श्रेणी के $n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $320 = 5 + (n - 1) \times 3$.
$320 - 5 = (n - 1) \times 3$.
$315 = (n - 1) \times 3$.
$n - 1 = \frac{315}{3} = 105$.
$n = 105 + 1 = 106$.
अतः,श्रृंखला का $106^{th}$ पद $320$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $5, 10, 20, 40, \ldots$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = \frac{10}{5} = 2$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वां पद ज्ञात करने का सूत्र $a_n = a \cdot r^{n-1}$ है।
हमें $n$ ज्ञात करना है ताकि $a_n = 1280$ हो।
मान रखने पर,$5 \cdot 2^{n-1} = 1280$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,$2^{n-1} = \frac{1280}{5} = 256$ प्राप्त होता है।
चूंकि $256 = 2^8$,इसलिए $2^{n-1} = 2^8$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,$n - 1 = 8$,जिसका अर्थ है $n = 9$।
अतः,$1280$ श्रृंखला का $9$ वां पद है।

(D) दी गई श्रृंखला $(n^{3} - 1)$ के पैटर्न का पालन करती है,जहाँ $n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ है।
पदों की गणना:
$2^{3} - 1 = 8 - 1 = 7$
$3^{3} - 1 = 27 - 1 = 26$
$4^{3} - 1 = 64 - 1 = 63$
$5^{3} - 1 = 125 - 1 = 124$
$6^{3} - 1 = 216 - 1 = 215$
$7^{3} - 1 = 343 - 1 = 342$
$8^{3} - 1 = 512 - 1 = 511$
$9^{3} - 1 = 729 - 1 = 728$
दी गई श्रृंखला $7, 28, 63, 124, 215, 342, 611$ से तुलना करने पर,$28$ गलत है ($26$ होना चाहिए) और $611$ भी गलत है ($511$ होना चाहिए)। हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$611$ श्रृंखला के पैटर्न में सबसे बड़ा विचलन है।

(C) दी गई श्रृंखला $3, 8, 15, 24, 34, 48, 63$ है।
आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर के पैटर्न का अवलोकन करें:
$8 - 3 = 5$
$15 - 8 = 7$
$24 - 15 = 9$
$35 - 24 = 11$
$48 - 35 = 13$
$63 - 48 = 15$
अंतर क्रमिक विषम संख्याएँ होनी चाहिए: $5, 7, 9, 11, 13, 15$।
दी गई श्रृंखला में,$24$ और $34$ के बीच का अंतर $10$ है और $34$ और $48$ के बीच का अंतर $14$ है।
अतः,$34$ गलत संख्या है और विषम संख्याओं के पैटर्न को बनाए रखने के लिए इसे $35$ से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

(C) श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$24 + 3 = 27$
$27 + 3 = 30$
$30 + 3 = 33$
$33 + 3 = 36$
दी गई श्रृंखला में,पद $31$ गलत है क्योंकि पैटर्न के अनुसार प्रत्येक पिछले पद में $3$ जोड़ना आवश्यक है। $31$ को $30$ से बदलने पर श्रृंखला सुसंगत हो जाती है $(24, 27, 30, 33, 36)$। अतः,$31$ गलत पद है।

(A) दी गई श्रृंखला $196, 169, 144, 121, 80$ है।
पदों के पैटर्न का अवलोकन करें:
$196 = (14)^2$
$169 = (13)^2$
$144 = (12)^2$
$121 = (11)^2$
इस अनुक्रम का अगला पद $(10)^2 = 100$ होना चाहिए।
हालाँकि,दिया गया पद $80$ है।
इसलिए,$80$ श्रृंखला का गलत पद है।

(D) दी गई श्रृंखला $3, 5, 7, 9, 11, 13$ है।
ये संख्याएँ क्रमिक अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए।
एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं होता है।
$3$ से शुरू होने वाली अभाज्य संख्याएँ $3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$ हैं।
दी गई श्रृंखला में,$9$ एक भाज्य संख्या है क्योंकि $9 = 3 \times 3$ है।
अतः,श्रृंखला में $9$ गलत पद है।

(C) इस श्रृंखला का तर्क यह है कि प्रत्येक पद पिछले पद में $22$ जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
$121 + 22 = 143$
$143 + 22 = 165$
$165 + 22 = 187$
$187 + 22 = 209$
इसकी तुलना दी गई श्रृंखला $(121, 143, 165, 186, 209)$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $186$ गलत पद है। इसके स्थान पर $187$ होना चाहिए।

(D) दी गई श्रृंखला एक ऐसे तर्क का पालन करती है जिसमें प्रत्येक पद को उसके पिछले पद में $2$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 = 8$
$8 \times 2 = 16$
$16 \times 2 = 32$
$32 \times 2 = 64$
$64 \times 2 = 128$
दी गई श्रृंखला में,अंतिम पद $96$ है,जो इस तर्क का पालन नहीं करता है। अतः,$96$ गलत पद है और इसके स्थान पर $128$ होना चाहिए।

(D) इस श्रृंखला में पैटर्न यह है कि प्रत्येक पद अपने पिछले पद के दोगुने से $2$ कम है।
आइए पदों की जाँच करें:
$8 \times 2 - 2 = 14$
$14 \times 2 - 2 = 26$
$26 \times 2 - 2 = 50$ (लेकिन दिया गया पद $48$ है)
$50 \times 2 - 2 = 98$
$98 \times 2 - 2 = 194$
$194 \times 2 - 2 = 386$
अतः,पद $48$ गलत है और इसके स्थान पर $50$ होना चाहिए।

(D) आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$13 - 8 = 5$
$21 - 13 = 8$
$32 - 21 = 11$
$47 - 32 = 15$
$63 - 47 = 16$
$83 - 63 = 20$
अंतर का पैटर्न $5, 8, 11, 14, 17, 20$ है ($3$ के सार्व अंतर वाली एक समांतर श्रेणी)।
इस पैटर्न के आधार पर सही पदों की गणना करने पर:
$8 + 5 = 13$
$13 + 8 = 21$
$21 + 11 = 32$
$32 + 14 = 46$
$46 + 17 = 63$
$63 + 20 = 83$
अतः,$47$ गलत पद है क्योंकि इसके स्थान पर $46$ होना चाहिए।

(C) दी गई श्रृंखला तीन के समूहों के पैटर्न का पालन करती है: $(n, n^2, n^3)$।
समूह $1$: $3, 3^2, 3^3$ जो कि $3, 9, 27$ है।
समूह $2$: $4, 4^2, 4^3$ जो कि $4, 16, 64$ है।
समूह $3$: $5, 5^2, 5^3$ जो कि $5, 25, 125$ है।
इसकी तुलना दी गई श्रृंखला $3, 10, 27, 4, 16, 64, 5, 25, 125$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $10$ गलत पद है,क्योंकि इसके स्थान पर $9$ होना चाहिए।

(C) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण दाईं ओर से बाईं ओर करें:
$2 \times 2 + 4 = 8$
$8 \times 2 + 4 = 20$
$20 \times 2 + 4 = 44$
$44 \times 2 + 4 = 92$
$92 \times 2 + 4 = 188$
$188 \times 2 + 4 = 380$
दी गई श्रृंखला $380, 188, 92, 48, 20, 8, 2$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $48$ गलत पद है,क्योंकि इसके स्थान पर $44$ होना चाहिए।

(C) दी गई श्रृंखला $1, 3, 7, 15, 27, 63, 127$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$3 - 1 = 2 = 2^1$
$7 - 3 = 4 = 2^2$
$15 - 7 = 8 = 2^3$
$27 - 15 = 12$
$63 - 27 = 36$
$127 - 63 = 64 = 2^6$
अंतर का पैटर्न $2$ की घात $(2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6)$ के रूप में होना चाहिए।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$15$ के बाद का अंतर $2^4 = 16$ होना चाहिए।
अतः,अगला पद $15 + 16 = 31$ होना चाहिए।
इसके बाद,अगला अंतर $2^5 = 32$ होना चाहिए,और $31 + 32 = 63$ होता है,जो अगले पद से मेल खाता है।
इसलिए,श्रृंखला में $27$ गलत पद है।

(C) दी गई श्रृंखला $5, 10, 17, 24, 37$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$10 - 5 = 5$
$17 - 10 = 7$
$24 - 17 = 7$
$37 - 24 = 13$
अंतर के पैटर्न को देखने पर: $5, 7, 9, 11, \dots$
अंतर $5$ से शुरू होने वाली क्रमागत विषम संख्याएँ होनी चाहिए।
यदि हम $24$ को $26$ से बदल दें,तो श्रृंखला $5, 10, 17, 26, 37$ बन जाती है।
तब अंतर इस प्रकार होगा:
$10 - 5 = 5$
$17 - 10 = 7$
$26 - 17 = 9$
$37 - 26 = 11$
यह क्रमागत विषम संख्याओं के पैटर्न का पालन करता है।
अतः,$24$ गलत पद है।

(D) आइए श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$1 \times 2 + 1 = 3$
$3 \times 3 + 1 = 10$
$10 \times 2 + 1 = 21$
$21 \times 3 + 1 = 64$
$64 \times 2 + 1 = 129$
$129 \times 3 + 1 = 388$
$388 \times 2 + 1 = 777$ (ध्यान दें: श्रृंखला $\times 2+1, \times 3+1$ के क्रम का पालन करती है)।
दी गई श्रृंखला $1, 3, 10, 21, 64, 129, 256, 778$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $256$ गलत पद है क्योंकि $129$ के बाद आने वाला पद $388$ होना चाहिए।

(B) आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$16 - 15 = 1 = 1^2$
$22 - 16 = 6 \neq 2^2$
$29 - 22 = 7 \neq 3^2$
आइए पिछले पद में वर्ग जोड़ने के पैटर्न को देखें:
$15 + 1^2 = 16$
$16 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
$20 + 3^2 = 20 + 9 = 29$
$29 + 4^2 = 29 + 16 = 45$
$45 + 5^2 = 45 + 25 = 70$
दी गई श्रृंखला $15, 16, 22, 29, 45, 70$ से तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $22$ गलत पद है और इसके स्थान पर $20$ होना चाहिए।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$6 \times 2 + 2 = 14$
$14 \times 2 + 2 = 30$
$30 \times 2 + 2 = 62$
$62 \times 2 + 2 = 126$
इस पैटर्न की तुलना दी गई श्रृंखला $6, 14, 30, 64, 126$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $64$ गलत पद है और इसके स्थान पर $62$ होना चाहिए।

(D) श्रृंखला का पैटर्न यह है कि प्रत्येक पद अपने पिछले पद के $3$ गुना से $4$ कम है।
आइए पदों की जाँच करें:
$10 \times 3 - 4 = 26$
$26 \times 3 - 4 = 74$
$74 \times 3 - 4 = 218$
$218 \times 3 - 4 = 650$
$650 \times 3 - 4 = 1946$
$1946 \times 3 - 4 = 5834$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,पद $654$ गलत है और इसके स्थान पर $650$ होना चाहिए।

(B) श्रृंखला का पैटर्न यह है कि प्रत्येक पद पिछले पद को $2$ से गुणा करके $1$ जोड़ने पर प्राप्त होता है $(x_{n+1} = 2x_n + 1)$।
आइए पदों की जाँच करें:
$3 \times 2 + 1 = 7$
$7 \times 2 + 1 = 15$
$15 \times 2 + 1 = 31$ ($39$ नहीं)
$31 \times 2 + 1 = 63$
$63 \times 2 + 1 = 127$
$127 \times 2 + 1 = 255$
$255 \times 2 + 1 = 511$
अतः,$39$ श्रृंखला में गलत पद है और इसके स्थान पर $31$ होना चाहिए।

(B) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न यह है: वर्तमान पद से $3$ घटाएं और फिर अगले पद को प्राप्त करने के लिए $2$ से विभाजित करें।
$1.$ $(445 - 3) / 2 = 442 / 2 = 221$
$2.$ $(221 - 3) / 2 = 218 / 2 = 109$
$3.$ $(109 - 3) / 2 = 106 / 2 = 53$
$4.$ $(53 - 3) / 2 = 50 / 2 = 25$
$5.$ $(25 - 3) / 2 = 22 / 2 = 11$
$6.$ $(11 - 3) / 2 = 8 / 2 = 4$
दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,पद $46$ गलत है और इसके स्थान पर $53$ होना चाहिए।

(D) आइए प्रत्येक संख्या में अंकों के पैटर्न का विश्लेषण करें:
$1$. पहले अंक $1, 2, 3, 4, 5$ हैं। यह $1$ की वृद्धि के साथ एक सुसंगत पैटर्न का पालन करते हैं।
$2$. दूसरे अंक $2, 3, 4, 5, 6$ हैं। यह भी $1$ की वृद्धि के साथ एक सुसंगत पैटर्न का पालन करते हैं।
$3$. तीसरे अंक $3, 4, 5, 6, 7$ हैं। इस पैटर्न के अनुसार,पांचवीं संख्या का तीसरा अंक $7$ होना चाहिए।
$4$. प्रत्येक संख्या का अंतिम अंक $6$ है।
इसलिए,पांचवीं संख्या $5686$ के स्थान पर $5676$ होनी चाहिए। अतः,$5686$ गलत पद है।

(C) श्रृंखला में पैटर्न $2$ और $4$ से बारी-बारी से गुणा करने का है:
$5 \times 2 = 10$
$10 \times 4 = 40$
$40 \times 2 = 80$
$80 \times 4 = 320$
$320 \times 2 = 640$
$640 \times 4 = 2560$
इसे दी गई श्रृंखला के साथ तुलना करने पर,पद $550$ गलत है और इसके स्थान पर $640$ होना चाहिए।

(B) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $3, 8, 13, 18, 23$ (तर्क: $+5$)
श्रृंखला $II$: $2, 9, 22, 32, 42$ (तर्क: $+10$)
श्रृंखला $I$ में,पद $a_n = 3 + (n-1)5$ के नियम का पालन करते हैं,जो सही है।
श्रृंखला $II$ में,पद $2, 12, 22, 32, 42$ होने चाहिए (प्रत्येक पिछले पद में $10$ जोड़ने पर)।
दी गई श्रृंखला $II$ $(2, 9, 22, 32, 42)$ की तुलना सही श्रृंखला $(2, 12, 22, 32, 42)$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $9$ गलत पद है और इसके स्थान पर $12$ होना चाहिए।