Series completion Questions in Gujarati

(D) આપેલી શ્રેણીમાં $+2$ અને $\times 2$ ની ક્રમિક પ્રક્રિયાઓનું પાલન થાય છે.
પગલું $1$: $4 + 2 = 6$
પગલું $2$: $6 \times 2 = 12$
પગલું $3$: $12 + 2 = 14$
પગલું $4$: $14 \times 2 = 28$
પગલું $5$: $28 + 2 = 30$
આ તર્ક મુજબ,હવે પછીની પ્રક્રિયા $\times 2$ છે:
પગલું $6$: $30 \times 2 = 60$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $60$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં દરેક પદને અગાઉના પદ સાથે $-2$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
પગલું $1$: $4 \times (-2) = -8$
પગલું $2$: $-8 \times (-2) = 16$
પગલું $3$: $16 \times (-2) = -32$
પગલું $4$: $-32 \times (-2) = 64$
પગલું $5$: $64 \times (-2) = -128$
તેથી,ખૂટતું પદ $-128$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $2, 7, 14, 23, ?, 47$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$7 - 2 = 5$
$14 - 7 = 7$
$23 - 14 = 9$
તફાવત એકી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં છે: $5, 7, 9, \dots$
આથી,પછીનો તફાવત $9 + 2 = 11$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $23 + 11 = 34$ છે.
ચકાસણી માટે,આગળનું પદ $34 + 13 = 47$ થાય છે,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $2, 6, 11, 17, (\ldots), 32$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$6 - 2 = 4$
$11 - 6 = 5$
$17 - 11 = 6$
તફાવતની પેટર્ન ક્રમિક પૂર્ણાંકોની વધતી જતી શ્રેણી છે: $+4, +5, +6, \ldots$
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગળનો તફાવત $+7$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતું પદ $17 + 7 = 24$ છે.
ચકાસણી કરવા માટે,આગળનું પદ $24 + 8 = 32$ હોવું જોઈએ,જે શ્રેણીના છેલ્લા પદ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$10 - 3 = 7$
$20 - 10 = 10$
$33 - 20 = 13$
$49 - 33 = 16$
$68 - 49 = 19$
અહીં તફાવત $7, 10, 13, 16, 19$ છે,જે $3$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $19 + 3 = 22$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $68 + 22 = 90$ છે.

(B) આ શ્રેણીમાં તર્ક એ છે કે દરેક સંખ્યા અગાઉની સંખ્યાને $2$ વડે ગુણીને તેમાં $1$ ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.
પગલું $1$: $3 \times 2 + 1 = 7$
પગલું $2$: $7 \times 2 + 1 = 15$
પગલું $3$: $15 \times 2 + 1 = 31$
પગલું $4$: $31 \times 2 + 1 = 63$
પગલું $5$: $63 \times 2 + 1 = 126 + 1 = 127$
તેથી,શ્રેણીમાં પછીની સંખ્યા $127$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $1$: $6, 12, 18, 24$ ($6$ ના ગુણકો)
શ્રેણી $2$: $24, (\ldots), 8$ ($8$ ના ઉતરતા ક્રમમાં ગુણકો: $24, 16, 8$)
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $16$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $212, 179, 146, 113, (\ldots)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$212 - 179 = 33$
$179 - 146 = 33$
$146 - 113 = 33$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $33$ અચળ હોવાથી,ખૂટતું પદ શોધવા માટે આપણે છેલ્લા પદમાંથી $33$ બાદ કરીશું.
$\therefore$ ખૂટતું પદ $= 113 - 33 = 80$.

(C) આ શ્રેણી ત્રણ ક્રમિક પદોના જૂથમાં ગોઠવાયેલી છે,જ્યાં વચ્ચેનું પદ એ બે અંતિમ પદોનો ગુણાકાર છે.
જૂથ $1$: $2, 6, 3 \implies 2 \times 3 = 6$
જૂથ $2$: $4, 20, 5 \implies 4 \times 5 = 20$
જૂથ $3$: $6, (\ldots), 7 \implies 6 \times 7 = 42$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $42$ છે.

(B) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ: $2, 5, 9, 19, 37, \ldots$
પગલું $1$: $2 \times 2 + 1 = 5$
પગલું $2$: $5 \times 2 - 1 = 9$
પગલું $3$: $9 \times 2 + 1 = 19$
પગલું $4$: $19 \times 2 - 1 = 37$
આ પેટર્ન $2$ વડે ગુણીને $1$ ઉમેરવા અને ત્યારબાદ $2$ વડે ગુણીને $1$ બાદ કરવાની વૈકલ્પિક ક્રિયાને અનુસરે છે.
પગલું $5$: અગાઉની ક્રિયા $1$ બાદ કરવાની હતી,તેથી હવે પછીની ક્રિયા $1$ ઉમેરવાની રહેશે.
$37 \times 2 + 1 = 74 + 1 = 75$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $75$ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી $2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, (\ldots)$ છે.
આપણે નીચે મુજબની પેટર્ન જોઈ શકીએ છીએ:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 3 = 6$
$3 \times 4 = 12$
$4 \times 5 = 20$
$5 \times 6 = 30$
$6 \times 7 = 42$
$7 \times 8 = 56$
આ પેટર્ન ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ગુણાકાર $n \times (n+1)$ ને અનુસરે છે.
તેથી,પછીનું પદ $8 \times 9 = 72$ થશે.

(A) આ શ્રેણી વારાફરતી $3$ વડે ગુણાકાર અને $2$ વડે ભાગાકાર કરવાથી મળે છે.
પેટર્ન મુજબ:
$8 \times 3 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$12 \times 3 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \times 3 = 54$
તેથી,હવે પછીનું પદ મેળવવા માટે $54$ ને $2$ વડે ભાગવા પડશે:
$54 \div 2 = 27$.
આમ,ખૂટતું પદ $27$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી છે: $165, 195, 255, 285, 345, \ldots$
આ પદોને $15$ ના ગુણક તરીકે ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સાથે દર્શાવી શકાય છે:
$165 = 15 \times 11$
$195 = 15 \times 13$
$255 = 15 \times 17$
$285 = 15 \times 19$
$345 = 15 \times 23$
અહીં વપરાયેલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $11, 13, 17, 19, 23$ છે. $23$ પછીની આગામી અવિભાજ્ય સંખ્યા $29$ છે.
તેથી,ખૂટતું પદ $15 \times 29 = 435$ છે.

(A) આપેલી શ્રેણીમાં $5$ ઉમેરવા અને $7$ બાદ કરવાની વૈકલ્પિક પદ્ધતિ જોવા મળે છે.
પગલાવાર વિશ્લેષણ:
$71 + 5 = 76$
$76 - 7 = 69$
$69 + 5 = 74$
$74 - 7 = 67$
$67 + 5 = 72$
આ પેટર્ન મુજબ,હવે પછીની ક્રિયા છેલ્લા પદમાંથી $7$ બાદ કરવાની છે:
$72 - 7 = 65$
તેથી,ખૂટતું પદ $65$ છે.

(B) આ શ્રેણીમાં $3$ ઉમેરવા અને $1$ બાદ કરવાના વૈકલ્પિક તર્કનો ઉપયોગ થયો છે.
પગલાવાર વિશ્લેષણ:
$9 + 3 = 12$
$12 - 1 = 11$
$11 + 3 = 14$
$14 - 1 = 13$
આ તર્ક મુજબ,હવે પછીના પદ માટે $13$ માં $3$ ઉમેરવા પડશે:
$13 + 3 = 16$
તપાસતા: $16 - 1 = 15$,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ખૂટતું પદ $16$ છે.

(B) શ્રેણીના પદો $2$ થી શરૂ થતી બેકી સંખ્યાઓ માટે $n^{2}-1$ પેટર્ન અનુસરે છે.
$2^{2}-1 = 4-1 = 3$
$4^{2}-1 = 16-1 = 15$
$6^{2}-1 = 36-1 = 35$
$8^{2}-1 = 64-1 = 63$
$10^{2}-1 = 100-1 = 99$
$12^{2}-1 = 144-1 = 143$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $8^{2}-1 = 63$ છે.

(C) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$10 - 3 = 7$
$20 - 10 = 10$
$33 - 20 = 13$
$49 - 33 = 16$
$68 - 49 = 19$
તફાવતો $3$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $7, 10, 13, 16, 19, \ldots$
શ્રેણીમાં હવે પછીનો તફાવત $19 + 3 = 22$ થશે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $68 + 22 = 90$ છે.

(C) શ્રેણીના કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો કરવાથી પછીનું પદ મળે છે.
$1 + 3 + 4 = 8$
$3 + 4 + 8 = 15$
$4 + 8 + 15 = 27$
આ પેટર્નને અનુસરીને,ખૂટતી સંખ્યા તેની આગળના ત્રણ પદોનો સરવાળો છે:
$8 + 15 + 27 = 50$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) શ્રેણીની દરેક સંખ્યા તેની અગાઉની સંખ્યાના અંકોનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
પગલું $1$: પ્રથમ સંખ્યા $66$ છે. તેના અંકોનો ગુણાકાર $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
પગલું $2$: બીજી સંખ્યા $36$ છે. તેના અંકોનો ગુણાકાર $3 \times 6 = 18$ થાય છે.
પગલું $3$: ત્રીજી સંખ્યા $18$ છે. તેના અંકોનો ગુણાકાર $1 \times 8 = 8$ થાય છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $8$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $11, 13, 17, 19, 23, 25, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસતા:
$13 - 11 = 2$
$17 - 13 = 4$
$19 - 17 = 2$
$23 - 19 = 4$
$25 - 23 = 2$
તફાવતની પેટર્ન $+2, +4, +2, +4, +2, \ldots$ છે.
આ પેટર્ન મુજબ,હવે પછીનો તફાવત $+4$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $25 + 4 = 29$ છે.

(C) ક્રમિક સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત દરેક પગલે $1$ જેટલો વધે છે.
આ પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$2 + 2 = 4$
$4 + 3 = 7$
$7 + 4 = 11$
$11 + 5 = 16$
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગળનો તફાવત $6$ હોવો જોઈએ.
$\therefore$ ખૂટતી સંખ્યા $= 16 + 6 = 22$.

(C) આપેલ શ્રેણી $0, 2, 6, (\ldots), 20, 30, 42$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$2 - 0 = 2$
$6 - 2 = 4$
તફાવતની પેટર્ન $2$ ના વધારા સાથે આગળ વધે છે $(2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots)$.
આ પેટર્ન મુજબ,$4$ પછીનો તફાવત $6$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતું પદ $6 + 6 = 12$ છે.
ચકાસણી કરવા માટે,પછીનું પદ $12 + 8 = 20$,ત્યારબાદ $20 + 10 = 30$,અને $30 + 12 = 42$ થાય છે,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $12$ છે.

(A) શ્રેણીમાં રહેલી સંખ્યાઓ વારાફરતી $2$ વડે ગુણવામાં આવે છે અને $3$ ઉમેરવામાં આવે છે.
પગલાંવાર વિશ્લેષણ:
$13 \times 2 = 26$
$26 + 3 = 29$
$29 \times 2 = 58$
$58 + 3 = 61$
આ પેટર્ન મુજબ,આગામી સંખ્યા $61 \times 2 = 122$ થશે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $122$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $2, 9, 28, 65, 126, \ldots$ છે.
ભાત (pattern) નું અવલોકન કરતા,દરેક પદ $n^{3} + 1$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $n$ એ પદનો ક્રમ છે:
$1^{3} + 1 = 1 + 1 = 2$
$2^{3} + 1 = 8 + 1 = 9$
$3^{3} + 1 = 27 + 1 = 28$
$4^{3} + 1 = 64 + 1 = 65$
$5^{3} + 1 = 125 + 1 = 126$
આ ભાત મુજબ,પછીનું પદ $6^{3} + 1 = 216 + 1 = 217$ થશે.

(A) આપેલી શ્રેણી એક એવા તર્કને અનુસરે છે જેમાં દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો સરવાળો છે.
$4 + 9 = 13$
$9 + 13 = 22$
$13 + 22 = 35$
આ તર્ક મુજબ,આગળનું પદ છેલ્લા બે પદોનો સરવાળો થશે:
$22 + 35 = 57$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $57$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1, 8, 27, 64, 125, 216, (\ldots)$ છે.
પદોનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘન છે:
$1^{3} = 1$
$2^{3} = 8$
$3^{3} = 27$
$4^{3} = 64$
$5^{3} = 125$
$6^{3} = 216$
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગામી પદ $7^{3}$ હોવું જોઈએ.
$7^{3} = 7 \times 7 \times 7 = 343$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $343$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $1, 2, 3, 6, 9, 18, (\ldots), 54$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક સમજો:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 1.5 = 3$
$3 \times 2 = 6$
$6 \times 1.5 = 9$
$9 \times 2 = 18$
આ શ્રેણીમાં વારાફરતી $2$ અને $1.5$ (અથવા $\frac{3}{2}$) વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
આ તર્ક મુજબ,$18$ પછીની સંખ્યા મેળવવા માટે $18$ ને $1.5$ વડે ગુણવા પડે:
$18 \times 1.5 = 27$.
ચકાસણી માટે,આગળનું પદ $27 \times 2 = 54$ થાય છે,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $27$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી છે: $11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, (\ldots)$
સંખ્યાઓનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે શ્રેણીનું દરેક પદ ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન ભાજક નથી.
$41$ પછી તરત આવતી અવિભાજ્ય સંખ્યા $43$ છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $43$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $2, 5, 11, 23, 47, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$5 - 2 = 3$
$11 - 5 = 6$
$23 - 11 = 12$
$47 - 23 = 24$
તફાવતો $3, 6, 12, 24, \ldots$ છે,જે એક ગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં દરેક પદને $2$ વડે ગુણવામાં આવે છે.
આથી,હવે પછીનો તફાવત $24 \times 2 = 48$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $47 + 48 = 95$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે:
શ્રેણી $1$: $4, 5, 7, 8, 10$ (જ્યાં તર્ક $+1, +2, +1, +2, \ldots$ છે)
શ્રેણી $2$: $9, 12, 15, (\ldots)$ (જ્યાં તર્ક $+3$ છે)
શ્રેણી $2$ ના તર્કને અનુસરતા,પછીનું પદ $15 + 3 = 18$ થશે.
તેથી,ખૂટતું પદ $18$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓની બનેલી છે:
શ્રેણી $1$: $10, 13, 16, 19$ (દરેક પદમાં $3$ નો વધારો થાય છે)
શ્રેણી $2$: $5, 10, 20, (\ldots)$ (દરેક પદને $2$ વડે ગુણવામાં આવે છે)
તેથી,બીજી શ્રેણીમાં ખૂટતી સંખ્યા $20 \times 2 = 40$ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી $2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, \ldots$ છે.
આપણે નીચે મુજબની પેટર્ન જોઈ શકીએ છીએ:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 3 = 6$
$3 \times 4 = 12$
$4 \times 5 = 20$
$5 \times 6 = 30$
$6 \times 7 = 42$
$7 \times 8 = 56$
આ પેટર્ન $n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે $n \times (n+1)$ સ્વરૂપને અનુસરે છે.
તેથી,પછીનું પદ $8 \times 9 = 72$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $2$ થી શરૂ થતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ થી મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન ભાજક નથી.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \ldots$ છે.
તેથી,$11$ પછીની ખૂટતી સંખ્યા $13$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $3, 8, 15, 24, 34, 48, 63$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$8 - 3 = 5$
$15 - 8 = 7$
$24 - 15 = 9$
$34 - 24 = 10$
$48 - 34 = 14$
$63 - 48 = 15$
તફાવતની પેટર્ન $5$ થી શરૂ થતી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $(5, 7, 9, 11, 13, 15)$ હોવી જોઈએ.
જો આપણે $34$ ને બદલે $35$ લઈએ,તો તફાવત નીચે મુજબ થશે:
$35 - 24 = 11$
$48 - 35 = 13$
$63 - 48 = 15$
આમ,શ્રેણી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ ઉમેરવાની પેટર્ન અનુસરે છે. તેથી,$34$ એ શ્રેણીમાં ખોટી સંખ્યા છે.

(D) આ શ્રેણીની પેટર્ન એવી છે કે દરેક પદ તેના અગાઉના પદને $3$ વડે ગુણીને તેમાંથી $4$ બાદ કરવાથી મળે છે.
ચાલો પદોની ચકાસણી કરીએ:
$10 \times 3 - 4 = 30 - 4 = 26$
$26 \times 3 - 4 = 78 - 4 = 74$
$74 \times 3 - 4 = 222 - 4 = 218$
$218 \times 3 - 4 = 654 - 4 = 650$
$650 \times 3 - 4 = 1950 - 4 = 1946$
$1946 \times 3 - 4 = 5838 - 4 = 5834$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$654$ એ ખોટી સંખ્યા છે,કારણ કે ત્યાં $650$ હોવું જોઈએ.

(D) આ શ્રેણીમાં તર્ક એ છે કે દરેક પદ તેના અગાઉના પદને $2$ વડે ગુણીને તેમાંથી $2$ બાદ કરવાથી મળે છે.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$8 \times 2 - 2 = 16 - 2 = 14$
$14 \times 2 - 2 = 28 - 2 = 26$
$26 \times 2 - 2 = 52 - 2 = 50$
$50 \times 2 - 2 = 100 - 2 = 98$
$98 \times 2 - 2 = 196 - 2 = 194$
$194 \times 2 - 2 = 388 - 2 = 386$
આપેલ શ્રેણી $8, 14, 26, 48, 98, 194, 386$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $48$ એ ખોટું પદ છે,કારણ કે ત્યાં $50$ હોવું જોઈએ.

(D) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$13 - 8 = 5$
$21 - 13 = 8$
$32 - 21 = 11$
$47 - 32 = 15$
$63 - 47 = 16$
$83 - 63 = 20$
તફાવતની પેટર્ન $5, 8, 11, 14, 17, 20$ હોવી જોઈએ.
તફાવત જોતા: $5, 8, 11, 15, 16, 20$ મળે છે.
જો આપણે તફાવતમાં $3$ ઉમેરવાની પેટર્ન અનુસરીએ $(5, 8, 11, 14, 17, 20)$:
$8 + 5 = 13$
$13 + 8 = 21$
$21 + 11 = 32$
$32 + 14 = 46$ ($47$ ના બદલે)
$46 + 17 = 63$
$63 + 20 = 83$
આમ,$47$ એ ખોટું પદ છે.

(A) શ્રેણીની પેટર્ન $x_{n+1} = (x_n \times 2) + 1$ સૂત્ર પર આધારિત છે.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$3 \times 2 + 1 = 7$
$7 \times 2 + 1 = 15$
$15 \times 2 + 1 = 31$ ($39$ ના બદલે)
$31 \times 2 + 1 = 63$
$63 \times 2 + 1 = 127$
$127 \times 2 + 1 = 255$
$255 \times 2 + 1 = 511$
અહીં $39$ એ પેટર્નમાં બંધબેસતું નથી,તેથી તે ખોટું પદ છે. સાચું પદ $31$ હોવું જોઈએ.

(C) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન એ છે કે દરેક પદ અગાઉના પદમાંથી $3$ બાદ કરીને અને પરિણામને $2$ વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$221 = (445 - 3) / 2 = 442 / 2 = 221$
$109 = (221 - 3) / 2 = 218 / 2 = 109$
$53 = (109 - 3) / 2 = 106 / 2 = 53$
આપેલી શ્રેણીમાં,પદ $46$ ખોટું છે કારણ કે અપેક્ષિત મૂલ્ય $53$ છે.
$53$ સાથે આગળ વધતા:
$25 = (53 - 3) / 2 = 50 / 2 = 25$
$11 = (25 - 3) / 2 = 22 / 2 = 11$
$4 = (11 - 3) / 2 = 8 / 2 = 4$
તેથી,$46$ એ ખોટું પદ છે.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન ક્રમિક વર્ગોના સરવાળા પર આધારિત છે:
$1 + 1^2 = 2$
$2 + 2^2 = 6$
$6 + 3^2 = 15$
$15 + 4^2 = 31$
$31 + 5^2 = 56$
$56 + 6^2 = 92$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,પદ $91$ ખોટું છે.
સાચું પદ $92$ હોવું જોઈએ.

(D) આપેલી શ્રેણી $n^{2} + 1$ પેટર્ન અનુસરે છે,જ્યાં $n$ એ પદનો ક્રમ છે જે $n = 1$ થી શરૂ થાય છે.
$1^{2} + 1 = 2$
$2^{2} + 1 = 5$
$3^{2} + 1 = 10$
$4^{2} + 1 = 17$
$5^{2} + 1 = 26$
$6^{2} + 1 = 37$
$7^{2} + 1 = 50$
$8^{2} + 1 = 65$
આ શ્રેણીને આપેલી શ્રેણી સાથે સરખાવતા,પદ $64$ ખોટું છે. સાચું પદ $65$ હોવું જોઈએ.

(C) ચાલો શ્રેણીમાં ભાગાકારની પેટર્નનું અવલોકન કરીએ:
$46080 \div 12 = 3840$
$3840 \div 10 = 384$
$384 \div 8 = 48$
$48 \div 6 = 8$
$8 \div 4 = 2$
$2 \div 2 = 1$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખામણી કરતા,પદ $24$ ખોટું છે.
સાચું પદ $8$ હોવું જોઈએ.

(C) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$52 - 51 = 1$
$51 - 48 = 3$
$48 - 43 = 5$
$43 - 34 = 9$
$34 - 27 = 7$
$27 - 16 = 11$
તફાવતની પેટર્ન ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ: $1, 3, 5, 7, 9, 11$.
આ પેટર્ન મુજબ:
$52 - 1 = 51$
$51 - 3 = 48$
$48 - 5 = 43$
$43 - 7 = 36$ ($34$ ના બદલે)
$36 - 9 = 27$
$27 - 11 = 16$
આમ,પદ $34$ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $36$ હોવું જોઈએ.

(D) ચાલો શ્રેણીમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$325 - 259 = 66$
$259 - 202 = 57$
$202 - 160 = 42$
$160 - 127 = 33$
$127 - 105 = 22$
$105 - 94 = 11$
તફાવતની પેટર્ન $11$ ના ગુણકો ઉતરતા ક્રમમાં હોવી જોઈએ: $66, 55, 44, 33, 22, 11$.
જો આપણે $325$ થી આ પેટર્ન લાગુ કરીએ તો:
$325 - 66 = 259$
$259 - 55 = 204$ ($202$ ને બદલે)
$204 - 44 = 160$
$160 - 33 = 127$
$127 - 22 = 105$
$105 - 11 = 94$
આમ,ખોટું પદ $202$ છે.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$125 + 1 = 126$
$126 - 2 = 124$
$124 + 3 = 127$
$127 - 4 = 123$
$123 + 5 = 128$
આ પેટર્નને આપેલી શ્રેણી $(125, 126, 124, 127, 123, 129)$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે છેલ્લું પદ $129$ ખોટું છે.
સાચું પદ $128$ હોવું જોઈએ.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$3 \times 1 + 1 = 4$
$4 \times 2 + 2 = 10$
$10 \times 3 + 3 = 33$
$33 \times 4 + 4 = 136$
$136 \times 5 + 5 = 685$
$685 \times 6 + 6 = 4116$
આપેલ શ્રેણી $3, 4, 10, 32, 136, 685, 4116$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $32$ એ ખોટું પદ છે,કારણ કે ત્યાં $33$ હોવું જોઈએ.

(A) આપેલી શ્રેણી $25, 36, 49, 81, 121, 169, 225$ છે.
આ સંખ્યાઓને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગ તરીકે લખી શકાય છે:
$5^{2} = 25$
$6^{2} = 36$
$7^{2} = 49$
$9^{2} = 81$
$11^{2} = 121$
$13^{2} = 169$
$15^{2} = 225$
ભાતનું અવલોકન કરતા,આ શ્રેણી $5$ થી શરૂ થતી એકી સંખ્યાઓના વર્ગની બનેલી છે,સિવાય કે $36$,જે બેકી સંખ્યા $(6^{2})$ નો વર્ગ છે. તેથી,$36$ એ શ્રેણીનું ખોટું પદ છે.

(D) શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$72 - 56 = 16$
$90 - 72 = 18$
$110 - 90 = 20$
$132 - 110 = 22$
$150 - 132 = 18$
તફાવતની પેટર્ન એક સમાંતર શ્રેણી છે: $16, 18, 20, 22, 24, \dots$
આ પેટર્ન મુજબ,$132$ પછીનો તફાવત $24$ હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચું પદ $132 + 24 = 156$ હોવું જોઈએ.
શ્રેણીમાં $156$ ના બદલે $150$ હોવાથી,$150$ એ ખોટું પદ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી $6, 13, 18, 25, 30, 37, 40$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતની પેટર્ન જોઈએ:
$13 - 6 = 7$
$18 - 13 = 5$
$25 - 18 = 7$
$30 - 25 = 5$
$37 - 30 = 7$
$40 - 37 = 3$
તફાવતની પેટર્ન $+7, +5, +7, +5, +7, \dots$ છે.
આ પેટર્ન મુજબ, $7$ પછીનો તફાવત $5$ હોવો જોઈએ.
તેથી, $37$ પછીનું પદ $37 + 5 = 42$ હોવું જોઈએ.
છેલ્લું પદ $42$ ને બદલે $40$ હોવાથી, $40$ એ ખોટું પદ છે.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$1$લું પદ: $10$
$2$જું પદ: $10 + 4 = 14$
$3$જું પદ: $14 \times 2 = 28$
$4$થું પદ: $28 + 4 = 32$
$5$મું પદ: $32 \times 2 = 64$
$6$ઠું પદ: $64 + 4 = 68$
$7$મું પદ: $68 \times 2 = 136$
આપેલી શ્રેણીમાં,છેલ્લું પદ $132$ છે,જે ખોટું છે. સાચું પદ $136$ હોવું જોઈએ.