Series completion Questions in Hindi

(D) दी गई श्रेणी $7, 14, 28, \ldots$ है।
पैटर्न का अवलोकन करने पर: $14/7 = 2$,$28/14 = 2$।
चूंकि क्रमिक पदों के बीच का अनुपात स्थिर है,इसलिए यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 7$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$वें पद का सूत्र $T_n = a \times r^{(n-1)}$ है।
$10$वें पद $(n = 10)$ के लिए:
$T_{10} = 7 \times 2^{(10-1)} = 7 \times 2^9$।
चूंकि $2^9 = 512$,इसलिए $T_{10} = 7 \times 512 = 3584$।

(B) दी गई श्रृंखला $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ है।
ये संख्याएँ क्रमिक प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग को दर्शाती हैं:
$1^{2} = 1$
$2^{2} = 4$
$3^{2} = 9$
$4^{2} = 16$
$5^{2} = 25$
श्रृंखला में अगली संख्या $6$ का वर्ग होनी चाहिए,जो $6^{2} = 36$ है।
अतः,लुप्त संख्या $36$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $20, 19, 17, (\ldots), 10, 5$ है।
आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का अवलोकन करें:
$20 - 19 = 1$
$19 - 17 = 2$
इस पैटर्न (क्रमिक पूर्णांकों $1, 2, 3, 4, 5$ को घटाने) का पालन करते हुए,अगला अंतर $3$ होना चाहिए।
लुप्त संख्या $= 17 - 3 = 14$.
सत्यापित करने के लिए,बाद के पदों की जाँच करें:
$14 - 4 = 10$
$10 - 5 = 5$
यह पैटर्न सही है। अतः,लुप्त संख्या $14$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $2, 3, 5, 7, 11, (\dots), 17$ है।
श्रृंखला का अवलोकन करने पर,ये क्रमिक अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) हैं।
एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$ है।
अतः,$11$ के बाद लुप्त संख्या $13$ है।

(D) दी गई श्रृंखला $6, 11, 21, 36, 56, \ldots$ है।
आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$11 - 6 = 5$
$21 - 11 = 10$
$36 - 21 = 15$
$56 - 36 = 20$
अंतर एक समांतर श्रेणी में है: $5, 10, 15, 20, \ldots$
अतः,अगला अंतर $20 + 5 = 25$ होना चाहिए।
इसलिए,लुप्त संख्या $56 + 25 = 81$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $1, 6, 13, 22, 33, \dots$ है।
आइए क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$6 - 1 = 5$
$13 - 6 = 7$
$22 - 13 = 9$
$33 - 22 = 11$
अंतर $5$ से शुरू होने वाली विषम संख्याओं का एक पैटर्न बनाते हैं: $5, 7, 9, 11, \dots$
अतः,अगला अंतर $11 + 2 = 13$ होना चाहिए।
इसलिए,लुप्त संख्या $33 + 13 = 46$ है।

(B) दी गई श्रृंखला एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रत्येक पद को उसके पिछले पद में $3$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
$3 \times 3 = 9$
$9 \times 3 = 27$
$27 \times 3 = 81$
इसी पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद होगा:
$81 \times 3 = 243$।

(A) दी गई श्रृंखला $1, 9, 17, 33, 49, 73, ...$ है।
क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करते हैं:
$9 - 1 = 8$
$17 - 9 = 8$
$33 - 17 = 16$
$49 - 33 = 16$
$73 - 49 = 24$
अंतर का पैटर्न $8, 8, 16, 16, 24, ...$ है।
यह दर्शाता है कि प्रत्येक अंतर दो बार दोहराया जाता है और हर दो चरणों के बाद अंतर में $8$ की वृद्धि होती है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $24$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $= 73 + 24 = 97$।

(A) दी गई श्रृंखला $2, 5, 9, (\ldots), 20, 27$ है।
आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$5 - 2 = 3$
$9 - 5 = 4$
अंतर का पैटर्न हर बार $1$ से बढ़ रहा है $(+3, +4, +5, +6, \ldots)$।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $+5$ होना चाहिए:
$9 + 5 = 14$।
सत्यापित करने के लिए,अगला अंतर $+6$ होना चाहिए:
$14 + 6 = 20$ (जो श्रृंखला से मेल खाता है)।
अंत में,$20 + 7 = 27$ (जो भी मेल खाता है)।
अतः,लुप्त संख्या $14$ है।

(B) श्रृंखला में देखी गई पैटर्न $4$ के क्रमिक गुणजों का योग है:
$9 - 5 = 4$
$17 - 9 = 8$
$29 - 17 = 12$
$45 - 29 = 16$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $16 + 4 = 20$ होना चाहिए।
इसलिए,लुप्त संख्या $45 + 20 = 65$ है।

(C) श्रृंखला की प्रत्येक संख्या पिछली संख्या को $2$ से गुणा करके और फिर $1$ जोड़कर प्राप्त की जाती है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए:
$(3 \times 2) + 1 = 7$
$(7 \times 2) + 1 = 15$
$(15 \times 2) + 1 = 31$
$(31 \times 2) + 1 = 63$
अतः,लुप्त संख्या है:
$(63 \times 2) + 1 = 126 + 1 = 127$।

(D) क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$15 - 6 = 9$
$91 - 66 = 25$
$66 - 45 = 21$
अंतर $9, \ldots, \ldots, 21, 25$ हैं।
यह दर्शाता है कि अंतर में $4$ की वृद्धि हो रही है $(9, 13, 17, 21, 25)$।
अतः,लुप्त पद $15 + 13 = 28$ है और $28 + 17 = 45$ होता है,जो पैटर्न के अनुरूप है।
सही विकल्प $28$ है।

(C) श्रृंखला में प्रत्येक पद अपने पिछले दो पदों का योग है।
अतः,$1 + 2 = 3$; $2 + 3 = 5$; $3 + 5 = 8$।
इस तर्क के अनुसार,लुप्त संख्या $5 + 8 = 13$ होगी।

(D) श्रृंखला का प्रत्येक पद पिछले पद को $3$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
$0.5 \times 3 = 1.5$
$1.5 \times 3 = 4.5$
$4.5 \times 3 = 13.5$
$13.5 \times 3 = 40.5$
अतः,लुप्त संख्या $40.5$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $121, 225, 361, \ldots$ है।
ये संख्याएँ क्रमिक विषम संख्याओं के वर्ग हैं,जिनके आधार में $4$ का सामान्य अंतर है:
$11^{2} = 121$
$15^{2} = 225$
$19^{2} = 361$
यहाँ आधार $11, 15, 19, \ldots$ हैं,जो $4$ के सामान्य अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
अतः,अगला आधार $19 + 4 = 23$ होगा।
इसलिए,लुप्त संख्या $23^{2} = 529$ है।

(A) आइए दी गई श्रृंखला के पैटर्न का विश्लेषण करें: $0, 2, 8, 14, (. . .), 34$.
क्रमागत पदों के बीच का अंतर:
$2 - 0 = 2$
$8 - 2 = 6$
$14 - 8 = 6$
यह एक साधारण समांतर श्रेणी नहीं है। आइए पदों को फिर से देखें:
$0 = 1^2 - 1$
$2 = 2^2 - 2$
$8 = 3^2 - 1$
$14 = 4^2 - 2$
यह पैटर्न क्रमागत पूर्णांकों के वर्गों से $1$ और $2$ की बारी-बारी से घटाव का पालन करता है ($n$ विषम होने पर $n^2 - 1$,$n$ सम होने पर $n^2 - 2$)।
इस पैटर्न के अनुसार,अगला पद $(n=5)$ $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$ होना चाहिए।
अगले पद $(n=6)$ की जाँच करने पर: $6^2 - 2 = 36 - 2 = 34$,जो श्रृंखला से मेल खाता है।
अतः,लुप्त संख्या $24$ है।

(D) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $19, 38, 114, \dots$
श्रृंखला $II$: $2, 3, 4, \dots$
श्रृंखला $I$ का विश्लेषण करने पर:
$19 \times 2 = 38$
$38 \times 3 = 114$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $114 \times 4 = 456$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $456$ है।

(B) दी गई श्रृंखला $1, 2, 3, 6, 9, 18, (...), 54$ है।
क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न को देखें:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 1.5 = 3$
$3 \times 2 = 6$
$6 \times 1.5 = 9$
$9 \times 2 = 18$
यह श्रृंखला बारी-बारी से $2$ और $1.5$ (जो कि $\frac{3}{2}$ है) से गुणा करने का पालन करती है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$18$ को $1.5$ से गुणा करने पर:
$18 \times 1.5 = 27$ प्राप्त होता है।
सत्यापन के लिए,अगला पद $27 \times 2 = 54$ होना चाहिए,जो श्रृंखला से मेल खाता है।
अतः,लुप्त पद $27$ है।

(D) श्रृंखला का पैटर्न प्राकृतिक संख्याओं के क्रमिक वर्गों के योग पर आधारित है:
$5 - 4 = 1 = 1^2$
$9 - 5 = 4 = 2^2$
$18 - 9 = 9 = 3^2$
$34 - 18 = 16 = 4^2$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $5^2 = 25$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $34 + 25 = 59$ है।

(D) श्रृंखला में पैटर्न इस प्रकार है:
$3 \times 2 = 6$
$6 \times 3 = 18$
$18 \times 4 = 72$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगली संक्रिया $5$ से गुणा करने की होनी चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $72 \times 5 = 360$ है।

(C) श्रृंखला की प्रत्येक संख्या उसके पूर्ववर्ती संख्या के अंकों का गुणनफल है।
इस तर्क के अनुसार:
$6 \times 6 = 36$
$3 \times 6 = 18$
$1 \times 8 = 8$
अतः,लुप्त संख्या $8$ है।

(A) श्रृंखला का पैटर्न $2$ की घातों को जोड़ने पर आधारित है:
$25 - 21 = 4 = 2^2$
$33 - 25 = 8 = 2^3$
$49 - 33 = 16 = 2^4$
$81 - 49 = 32 = 2^5$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $2^6 = 64$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $81 + 64 = 145$ है।

(A) दी गई श्रृंखला $12, 32, 72, 152, \ldots$ है।
आइए क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$32 - 12 = 20$
$72 - 32 = 40$
$152 - 72 = 80$
अंतर $20, 40, 80, \ldots$ है,जो पिछले अंतर को दोगुना करने के पैटर्न का पालन करता है $(20 \times 2 = 40, 40 \times 2 = 80)$।
इसलिए,अगला अंतर $80 \times 2 = 160$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $152 + 160 = 312$ है।

(D) दी गई श्रृंखला दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं का संयोजन है:
श्रृंखला $I$: $3, 5, 7, 9$ (जहाँ प्रत्येक पद में $2$ की वृद्धि होती है)
श्रृंखला $II$: $6, 20, 42, (...)$
आइए श्रृंखला $II$ में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$20 - 6 = 14$
$42 - 20 = 22$
अंतरों के बीच का अंतर $22 - 14 = 8$ है। इसलिए,अगला अंतर $22 + 8 = 30$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $42 + 30 = 72$ है।

(C) इस श्रृंखला का पैटर्न यह है कि किन्हीं भी तीन लगातार पदों का योग अगला पद देता है।
आइए इस पैटर्न की जाँच करें:
$1 + 3 + 4 = 8$
$3 + 4 + 8 = 15$
$4 + 8 + 15 = 27$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला पद पिछले तीन पदों का योग होगा:
लुप्त संख्या $= 8 + 15 + 27 = 50$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यह श्रृंखला बढ़ते हुए अंतर के पैटर्न का पालन करती है।
$15 - 2 = 13$
$41 - 15 = 26$
$80 - 41 = 39$
अंतर $13$ के गुणज हैं: $13 \times 1, 13 \times 2, 13 \times 3, \ldots$
अगला अंतर $13 \times 4 = 52$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $80 + 52 = 132$ है।

(C) आइए श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$10 - 8 = 2$
$14 - 10 = 4$
$18 - 14 = 4$
श्रृंखला के अंतिम भाग को देखने पर:
$66 - 50 = 16$
$50 - 34 = 16$
यह दर्शाता है कि अंतर का पैटर्न $2, 4, 4, 8, 8, 16, 16$ है।
इस पैटर्न को लागू करने पर लुप्त संख्या:
$18 + 8 = 26$
इसके बाद,$26 + 8 = 34$,जो श्रृंखला के अगले पद से मेल खाता है।
अतः,लुप्त संख्या $26$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $1, 2, 6, 24, \dots$ है।
क्रमागत पदों के बीच के पैटर्न को देखें:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 3 = 6$
$6 \times 4 = 24$
यह पैटर्न $2$ से शुरू होने वाली क्रमागत पूर्णांक संख्याओं से गुणा करने पर आधारित है (अर्थात,$\times 2, \times 3, \times 4, \dots$)।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $5$ से गुणा करने पर प्राप्त होगा:
$24 \times 5 = 120$.
अतः,लुप्त संख्या $120$ है।

(D) श्रृंखला का प्रत्येक पद पिछले पद का वर्ग करके उसमें से $1$ घटाने पर प्राप्त होता है।
चरण $1$: $(2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
चरण $2$: $(3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
चरण $3$: $(8)^2 - 1 = 64 - 1 = 63$
चरण $4$: $(63)^2 - 1 = 3969 - 1 = 3968$
अतः,लुप्त पद $3968$ है।

(B) श्रृंखला में क्रमिक पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$115.5 - 95 = 20.5$
$138 - 115.5 = 22.5$
अंतर प्रत्येक चरण में $2$ से बढ़ रहा है $(20.5, 22.5, 24.5, 26.5, \dots)$।
इसलिए,अगला अंतर $22.5 + 2 = 24.5$ होना चाहिए।
इसे अंतिम ज्ञात पद में जोड़ने पर: $138 + 24.5 = 162.5$।
सत्यापन के लिए,अगला पद $162.5 + 26.5 = 189$ होना चाहिए,जो श्रृंखला से मेल खाता है।
अतः,लुप्त पद $162.5$ है।

(B) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$4 \times 3 - 2 = 10$
$10 \times 3 - 2 = 28$
$28 \times 3 - 2 = 82$
$82 \times 3 - 2 = 244$
$244 \times 3 - 2 = 730$
अतः,लुप्त संख्या $28$ है।

(D) दी गई श्रृंखला $4, 32, 128, (\ldots)$ है।
क्रमागत पदों के बीच संबंध का अवलोकन करें:
$4 \times 8 = 32$
$32 \times 4 = 128$
यहाँ गुणक $8$ और $4$ हैं,जो $2$ के कारक से घट रहे हैं $(8/2 = 4)$।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला गुणक $4/2 = 2$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त पद $128 \times 2 = 256$ है।

(B) इस श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न $\times 2 + 1$ और $\times 2 - 1$ के बीच बदल रहा है।
चरण $1$: $2 \times 2 + 1 = 5$
चरण $2$: $5 \times 2 - 1 = 9$
चरण $3$: $9 \times 2 + 1 = 19$
चरण $4$: $19 \times 2 - 1 = 37$
चरण $5$: पैटर्न का पालन करते हुए,अगली क्रिया $\times 2 + 1$ है।
लुप्त संख्या $= 37 \times 2 + 1 = 74 + 1 = 75$।

(B) दी गई श्रृंखला $24, 60, 120, 210, \dots$ है।
आइए क्रमिक पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$60 - 24 = 36$
$120 - 60 = 60$
$210 - 120 = 90$
अंतर $36, 60, 90, \dots$ हैं।
अब,इन अंतरों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$60 - 36 = 24$
$90 - 60 = 30$
दूसरे क्रम का अंतर $24, 30, \dots$ है,जो $6$ की वृद्धि के साथ बढ़ता है।
इसलिए,अगला दूसरे क्रम का अंतर $30 + 6 = 36$ होना चाहिए।
अतः,अगला प्रथम क्रम का अंतर $90 + 36 = 126$ होना चाहिए।
इस प्रकार,लुप्त संख्या $210 + 126 = 336$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $165, 195, 255, 285, 345, (...)$ है।
प्रत्येक पद को $15$ और एक अभाज्य संख्या के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$165 = 15 \times 11$
$195 = 15 \times 13$
$255 = 15 \times 17$
$285 = 15 \times 19$
$345 = 15 \times 23$
यहाँ प्रयुक्त अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला $11, 13, 17, 19, 23$ है। $23$ के बाद अगली अभाज्य संख्या $29$ है।
अतः,लुप्त पद $15 \times 29 = 435$ होगा।

(D) दी गई श्रृंखला $5, 17, 37, 65, (\ldots), 145$ है।
हम पैटर्न को इस प्रकार देख सकते हैं:
$5 = 2^{2} + 1$
$17 = 4^{2} + 1$
$37 = 6^{2} + 1$
$65 = 8^{2} + 1$
यह पैटर्न $n^{2} + 1$ के रूप में है जहाँ $n$ एक सम संख्या है जो $2$ से शुरू होती है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला पद $10^{2} + 1$ होना चाहिए।
$10^{2} + 1 = 100 + 1 = 101$.
इसके बाद का पद $12^{2} + 1 = 144 + 1 = 145$ है,जो श्रृंखला के अंतिम पद से मेल खाता है।
अतः,लुप्त संख्या $101$ है।

(B) दी गई श्रृंखला उस पैटर्न का पालन करती है जहाँ प्रत्येक पद पिछले दो पदों का योग है (फाइबोनैचि जैसी श्रृंखला)।
$9 + 11 = 20$
$11 + 20 = 31$
$20 + 31 = 51$
$31 + 51 = 82$
अतः,लुप्त संख्या $51$ है।

(D) क्रमागत पदों के बीच का अंतर इस प्रकार है:
$16 - 5 = 11$
$49 - 16 = 33$
$104 - 49 = 55$
अंतर का पैटर्न $11, 33, 55, \dots$ है।
ये $11$ के गुणज हैं: $(11 \times 1), (11 \times 3), (11 \times 5), \dots$
अगला अंतर $(11 \times 7) = 77$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $104 + 77 = 181$ है।

(D) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$34 \div 2 + 1 = 17 + 1 = 18$
$18 \div 2 + 1 = 9 + 1 = 10$
$10 \div 2 + 1 = 5 + 1 = 6$
$6 \div 2 + 1 = 3 + 1 = 4$
$4 \div 2 + 1 = 2 + 1 = 3$
अतः,लुप्त पद $3$ है।

(C) दी गई श्रृंखला $462, 420, 380, (...), 306$ है।
आइए क्रमिक पदों के बीच के अंतर को देखें:
$462 - 420 = 42$
$420 - 380 = 40$
अंतर का पैटर्न हर बार $2$ कम हो रहा है (अर्थात,$-42, -40, -38, -36, \dots$)।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $-38$ होना चाहिए:
$380 - 38 = 342$
सत्यापित करने के लिए,अगला अंतर $-36$ होना चाहिए:
$342 - 36 = 306$
चूंकि यह अंतिम संख्या से मेल खाता है,इसलिए लुप्त संख्या $342$ है।

(A) इस श्रृंखला में तर्क इस प्रकार है: पिछले पद को $3$ से गुणा करके $1$ से शुरू होने वाली बढ़ती हुई संख्या को घटाया जाता है।
चरण $1$: $3 \times 3 - 1 = 8$
चरण $2$: $8 \times 3 - 2 = 22$
चरण $3$: $22 \times 3 - 3 = 63$
चरण $4$: $63 \times 3 - 4 = 185$
चरण $5$: $185 \times 3 - 5 = 550$
अतः,लुप्त संख्या $550$ है।

(C) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$1 \times 2 + 0 = 2$
$2 \times 2 + 1 = 5$
$5 \times 2 + 2 = 12$
$12 \times 2 + 3 = 27$
$27 \times 2 + 4 = 58$
$58 \times 2 + 5 = 121$
इस तर्क का पालन करते हुए,अगला पद है:
$121 \times 2 + 6 = 242 + 6 = 248$.

(C) श्रृंखला का पैटर्न इस प्रकार है:
$0.5 + 0.05 = 0.55$
$0.55 + 0.10 = 0.65$
$0.65 + 0.15 = 0.80$
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $0.20$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $0.8 + 0.20 = 1$ है।

(A) श्रृंखला में अनुसरण किया गया पैटर्न इस प्रकार है:
$1$ला पद: $3$
$2$सरा पद: $8$
$3$सरा पद: $13$
$4$था पद: $24$
$5$वां पद: $41$
पदों के बीच के संबंध का विश्लेषण करते हैं:
$3 + 8 + 2 = 13$ ($3$सरा पद)
$8 + 13 + 3 = 24$ ($4$था पद)
$13 + 24 + 4 = 41$ ($5$वां पद)
पैटर्न यह है: $(\text{पद}_{n} + \text{पद}_{n+1} + n) = \text{पद}_{n+2}$,जहाँ $n$ योग में पहले पद का सूचकांक है।
$6$ठा पद ज्ञात करने के लिए:
$24 + 41 + 5 = 70$
अतः,लुप्त पद $70$ है।

(A) क्रमागत पदों के बीच के अंतर का विश्लेषण करें:
$97 - 86 = 11$
$86 - 73 = 13$
$73 - 58 = 15$
$58 - 45 = 13$
अंतर का पैटर्न $-11, -13, -15, -13, \ldots$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,अगला अंतर $-11$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $= 45 - 11 = 34$।

(A) दी गई श्रृंखला $17$ से शुरू होने वाली क्रमागत अभाज्य संख्याओं (prime numbers) की है।
अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो $1$ से बड़ी होती हैं और जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: $1$ और वह संख्या स्वयं।
श्रृंखला इस प्रकार है: $17, 19, 23, 29, \dots, 37$.
$29$ के बाद अगली अभाज्य संख्या $31$ है।
अतः,लुप्त संख्या $31$ है।

(B) इस श्रृंखला का पैटर्न क्रमिक पूर्णांकों के योग पर आधारित है।
लगातार पदों के बीच का अंतर इस प्रकार है:
$6 - 5 = 1$
$9 - 6 = 3$
$15 - 9 = 6$
अंतर $1, 3, 6, \ldots$ हैं,जो त्रिकोणीय संख्याओं या क्रमिक पूर्णांकों के योग के पैटर्न का पालन करते हैं: $1, (1+2), (1+2+3), \ldots$
इस तर्क के अनुसार,अगला अंतर $(1+2+3+4) = 10$ होना चाहिए।
अतः,लुप्त संख्या $15 + 10 = 25$ है।
सत्यापन के लिए,अगला अंतर $(1+2+3+4+5) = 15$ होना चाहिए,और $25 + 15 = 40$,जो श्रृंखला के अंतिम पद से मेल खाता है।

(A) दी गई श्रृंखला $3, 12, 27, 48, 75, 108, \dots$ है।
हम देख सकते हैं कि प्रत्येक पद $3 \times n^{2}$ के पैटर्न का पालन करता है,जहाँ $n$ पद का क्रम है:
$3 \times 1^{2} = 3 \times 1 = 3$
$3 \times 2^{2} = 3 \times 4 = 12$
$3 \times 3^{2} = 3 \times 9 = 27$
$3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = 48$
$3 \times 5^{2} = 3 \times 25 = 75$
$3 \times 6^{2} = 3 \times 36 = 108$
श्रृंखला का अगला पद $n = 7$ के लिए है:
लुप्त संख्या $= 3 \times 7^{2} = 3 \times 49 = 147$।

(B) प्रत्येक पद पिछले पद में $111$ जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
$134 + 111 = 245$
$245 + 111 = 356$
$356 + 111 = 467$
अतः,लुप्त संख्या है:
$467 + 111 = 578$

(D) यह श्रृंखला इस नियम का पालन करती है: $\text{पद}_{n+1} = \text{पद}_n \times 2 + n$,जहाँ $n$ $1$ से शुरू होने वाली बढ़ती हुई संख्या है।
चरण $1$: $6 \times 2 + 1 = 13$
चरण $2$: $13 \times 2 + 2 = 28$
चरण $3$: $28 \times 2 + 3 = 59$
अतः,लुप्त संख्या $59$ है।