Compound Interest Questions in Gujarati

(C) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે. વ્યાજનો દર $R = 5 \%$ પ્રતિ વર્ષ અને સમય $T = 3$ વર્ષ છે.
સાદું વ્યાજ $(SI)$ આ મુજબ મળે છે: $SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{P \times 5 \times 3}{100} = \frac{15P}{100} = \frac{3P}{20}$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ આ મુજબ મળે છે: $CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^T - 1 \right] = P \left[ (1 + \frac{5}{100})^3 - 1 \right] = P \left[ (\frac{21}{20})^3 - 1 \right] = P \left[ \frac{9261}{8000} - 1 \right] = P \left[ \frac{1261}{8000} \right]$.
પ્રશ્ન મુજબ,$CI - SI = 183$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1261P}{8000} - \frac{3P}{20} = 183$.
બાદબાકી કરવા માટે,છેદ સમાન કરતા: $\frac{1261P}{8000} - \frac{1200P}{8000} = 183$.
$\frac{61P}{8000} = 183$.
$P = \frac{183 \times 8000}{61} = 3 \times 8000 = 24000$.
આમ,તે રકમ $Rs. 24000$ છે.

(D) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^{n}-1\right]$ છે.
અહીં $CI = 504.40$,$R = 5\%$,અને $n = 3$ વર્ષ આપેલ છે.
$504.40 = P \left[\left(1+\frac{5}{100}\right)^{3}-1\right]$
$504.40 = P \left[\left(\frac{21}{20}\right)^{3}-1\right]$
$504.40 = P \left[\frac{9261}{8000}-1\right]$
$504.40 = P \left[\frac{1261}{8000}\right]$
$P = \frac{504.40 \times 8000}{1261} = 3200$.
તેથી,મુદ્દલ $P = Rs. 3200$ છે.
હવે,સાદું વ્યાજ ગણો: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$.
$SI = \frac{3200 \times 5 \times 3}{100} = 32 \times 15 = 480$.
આમ,સાદું વ્યાજ $Rs. 480$ છે.

(A) આપેલ છે: મુદ્દલ $(P) = Rs. 1500$,વ્યાજનો દર $(R) = 25 \% \text{ પ્રતિ વર્ષ}$.
આપણે વર્ષોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $(n)$ શોધવાની છે જેથી વ્યાજ મુદ્દલ $(A)$ એ મુદ્દલ કરતા બમણાથી વધુ થાય,એટલે કે $A > 2P$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $A = P(1 + R/100)^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(1 + 25/100)^n > 2P$.
બંને બાજુ $P$ વડે ભાગતા: $(1 + 1/4)^n > 2$,જેનું સાદું રૂપ $(5/4)^n > 2$ થાય છે.
$n$ ની વિવિધ કિંમતો માટે ગણતરી કરતા:
$n = 1$ માટે: $(1.25)^1 = 1.25 < 2$.
$n = 2$ માટે: $(1.25)^2 = 1.5625 < 2$.
$n = 3$ માટે: $(1.25)^3 = 1.953125 < 2$.
$n = 4$ માટે: $(1.25)^4 = 2.44140625 > 2$.
આમ,જરૂરી ઓછામાં ઓછા પૂર્ણ વર્ષોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે અને વ્યાજનો દર $R\%$ છે.
$3$ વર્ષનું સાદું વ્યાજ $(SI)$ $= Rs. 240$.
તેથી,$1$ વર્ષનું સાદું વ્યાજ $= \frac{240}{3} = Rs. 80$.
$2$ વર્ષનું સાદું વ્યાજ $= 80 \times 2 = Rs. 160$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$,તેથી $2$ વર્ષ માટે: $160 = \frac{P \times R \times 2}{100} \Rightarrow PR = 8000$.
$2$ વર્ષનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ $= Rs. 164$.
$2$ વર્ષ માટે $CI$ અને $SI$ વચ્ચેનો તફાવત $CI - SI = P \left( \frac{R}{100} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$164 - 160 = P \left( \frac{R}{100} \right)^2 \Rightarrow 4 = P \left( \frac{R}{100} \right)^2$.
$PR = 8000$ હોવાથી,$R = \frac{8000}{P}$ મળે.
સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $4 = P \left( \frac{8000/P}{100} \right)^2 = P \left( \frac{80}{P} \right)^2 = P \times \frac{6400}{P^2} = \frac{6400}{P}$.
$P = \frac{6400}{4} = 1600$.
આમ,મુદ્દલ $Rs. 1600$ છે.

(A) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^{n}-1\right]$ છે.
આપેલ છે: મુદ્દલ $(P)$ = $Rs. 7850$,વ્યાજનો દર $(R)$ = $14\%$,સમય $(n)$ = $2$ વર્ષ.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CI = 7850 \times \left[\left(1+\frac{14}{100}\right)^{2}-1\right]$
$CI = 7850 \times \left[(1.14)^{2}-1\right]$
$CI = 7850 \times [1.2996 - 1]$
$CI = 7850 \times 0.2996$
$CI = 2351.86$
આમ,ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $Rs. 2351.86$ થશે.

(A) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ છે.
અહીં $CI = 6500.52$,$R = 15$,અને $n = 3$ આપેલ છે.
$6500.52 = P \left[ \left( 1 + \frac{15}{100} \right)^3 - 1 \right]$
$6500.52 = P \left[ \left( 1.15 \right)^3 - 1 \right]$
$6500.52 = P \left[ 1.520875 - 1 \right]$
$6500.52 = P \times 0.520875$
$P = \frac{6500.52}{0.520875} = 12480$.
આમ,મુદ્દલ રકમ $Rs. 12480$ છે.

(D) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ છે.
આપેલ છે: મુદ્દલ $(P)$ = $Rs. 7400$,વ્યાજનો દર $(R)$ = $13.5\%$,સમય $(n)$ = $2$ વર્ષ.
$CI = 7400 \left[ \left( 1 + \frac{13.5}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 7400 \left[ (1.135)^2 - 1 \right]$
$CI = 7400 \left[ 1.288225 - 1 \right]$
$CI = 7400 \times 0.288225$
$CI = 2132.865$
દશાંશ પછી બે અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $Rs. 2132.87$ મળે છે.

(B) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n - 1\right]$ છે.
અહીં $CI = 1414.4$,$R = 8$,અને $n = 2$ આપેલ છે.
$1414.4 = P \left[\left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 - 1\right]$
$1414.4 = P \left[(1.08)^2 - 1\right]$
$1414.4 = P \left[1.1664 - 1\right]$
$1414.4 = P \times 0.1664$
$P = \frac{1414.4}{0.1664} = 8500$.
મળતી કુલ રકમ = મુદ્દલ + ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ = $8500 + 1414.4 = 9914.4$.

(B) જુદા જુદા વ્યાજ દર સાથે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = P \left(1 + \frac{R_1}{100}\right) \left(1 + \frac{R_2}{100}\right) \left(1 + \frac{R_3}{100}\right)$
આપેલ છે:
$A = 5305.53$
$R_1 = 1\%$,$R_2 = 2\%$,$R_3 = 3\%$
કિંમતો મૂકતા:
$5305.53 = P \left(1 + \frac{1}{100}\right) \left(1 + \frac{2}{100}\right) \left(1 + \frac{3}{100}\right)$
$5305.53 = P \times (1.01) \times (1.02) \times (1.03)$
$5305.53 = P \times 1.061106$
$P$ માટે ઉકેલતા:
$P = \frac{5305.53}{1.061106}$
$P = 5000$
આમ,મુદ્દલ રકમ $Rs. 5000$ છે.

(A) $3$ વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ અને સાદા વ્યાજ $(SI)$ વચ્ચેના તફાવતનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
તફાવત $= \frac{P \times r^2}{100^2} \times \left(\frac{r}{100} + 3\right)$
અહીં,$r = 15$ અને તફાવત $= 595.35$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$595.35 = \frac{P \times 15^2}{100^2} \times \left(\frac{15}{100} + 3\right)$
$595.35 = \frac{P \times 225}{10000} \times (0.15 + 3)$
$595.35 = \frac{P \times 225}{10000} \times 3.15$
$595.35 = \frac{P \times 708.75}{10000}$
$P = \frac{595.35 \times 10000}{708.75}$
$P = \frac{5953500}{708.75} = 8400$
આમ,મુદ્દલ રકમ $Rs. 8400$ છે.

(C) પગલું $1$: મૂળ મુદ્દલ $(P)$ શોધો.
સાદું વ્યાજ $(SI)$ $= \frac{P \times R \times T}{100}$
$1000 = \frac{P \times 5 \times 4}{100}$
$1000 = \frac{P \times 20}{100}$
$P = \frac{1000 \times 100}{20} = Rs. 5000$
પગલું $2$: નવી મુદ્દલ $(P')$ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ શોધો.
નવી મુદ્દલ $(P')$ $= 2 \times P = 2 \times 5000 = Rs. 10000$
વ્યાજનો દર $(R)$ $= 5\%$,સમય $(T)$ $= 2$ વર્ષ.
$CI = P' \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \left( \frac{105}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \frac{11025}{10000} - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \frac{11025 - 10000}{10000} \right]$
$CI = 10000 \times \frac{1025}{10000} = Rs. 1025$

(B) પગલું $1$: સાદા વ્યાજના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યાજનો દર $(R)$ શોધો.
$SI = \frac{P \times R \times T}{100}$
$7200 = \frac{20000 \times R \times 3}{100}$
$7200 = 600 \times R$
$R = \frac{7200}{600} = 12\% \text{ પ્રતિ વર્ષ}$.
પગલું $2$: સમાન મુદ્દલ,દર અને સમય માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ શોધો.
$CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$
$CI = 20000 \left[ \left( 1 + \frac{12}{100} \right)^3 - 1 \right]$
$CI = 20000 \left[ (1.12)^3 - 1 \right]$
$CI = 20000 \left[ 1.404928 - 1 \right]$
$CI = 20000 \times 0.404928 = 8098.56$.
આમ,ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $Rs. 8098.56$ થશે.

(D) વસ્તીમાં થતો વધારો ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજના સૂત્ર મુજબ ગણવામાં આવે છે: $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$.
અહીં,શરૂઆતની વસ્તી $P = 15$ લાખ છે.
વસ્તી વધારાનો દર $r = 10 \%$ પ્રતિ વર્ષ છે.
સમયગાળો $n = 2005 - 2003 = 2$ વર્ષ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A = 15 \times (1 + \frac{10}{100})^2$
$A = 15 \times (1 + 0.1)^2$
$A = 15 \times (1.1)^2$
$A = 15 \times 1.21$
$A = 18.15$ લાખ.
તેથી,વર્ષ $2005$ માં વસ્તી $18.15$ લાખ હતી.

(B) મશીનની વર્તમાન કિંમત $P = Rs. 29644.032$ છે.
ઘસારાનો દર $r = 12\%$ વાર્ષિક છે.
સમયગાળો $n = 3$ વર્ષ છે.
ઘસારા પછીની કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $V = P_0 \times (1 - \frac{r}{100})^n$ છે,જ્યાં $P_0$ એ શરૂઆતની ખરીદ કિંમત છે.
ખરીદ કિંમત $P_0$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે ગોઠવીએ છીએ:
$P_0 = \frac{V}{(1 - \frac{r}{100})^n}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P_0 = \frac{29644.032}{(1 - \frac{12}{100})^3}$
$P_0 = \frac{29644.032}{(0.88)^3}$
$P_0 = \frac{29644.032}{0.681472}$
$P_0 = 43500$
તેથી,મશીનની ખરીદ કિંમત $Rs. 43500$ હતી.

(A) $2008$ માં પ્રવેશ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $(P)$ $5000$ છે.
વધારો થવાનો દર $(r)$ દર વર્ષે $24\%$ છે.
$2008$ થી $2010$ સુધીનો સમયગાળો $(n)$ $2010 - 2008 = 2$ વર્ષ છે.
જેમ કે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સતત ટકાવારીના દરે વધે છે,આપણે ચક્રવૃદ્ધિ વૃદ્ધિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$.
કિંમતો મૂકતા: $A = 5000 \left(1 + \frac{24}{100}\right)^2$.
$A = 5000 \times (1.24)^2$.
$A = 5000 \times 1.5376$.
$A = 7688$.
તેથી,વર્ષ $2010$ માં પ્રવેશ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $7688$ હશે.

(B) આપેલ છે: મુદ્દલ $(P) = Rs. 19800$,સાદું વ્યાજ $(SI) = Rs. 7128$,સમય $(T) = 3$ વર્ષ.
સૌ પ્રથમ,વ્યાજનો દર $(R)$ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$.
$7128 = \frac{19800 \times R \times 3}{100} \Rightarrow 7128 = 198 \times R \times 3$.
$7128 = 594 \times R \Rightarrow R = \frac{7128}{594} = 12 \%$.
હવે,ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^T - 1 \right]$.
$CI = 19800 \left[ (1 + \frac{12}{100})^3 - 1 \right] = 19800 \left[ (1.12)^3 - 1 \right]$.
$(1.12)^3 = 1.404928$.
$CI = 19800 \times (1.404928 - 1) = 19800 \times 0.404928$.
$CI = Rs. 8017.5744$.

(B) $2$ $\text{વર્ષ}$ ના સમયગાળા માટે,ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ અને સાદા વ્યાજ $(SI)$ વચ્ચેનો તફાવત નીચેના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\text{તફાવત} = P \times \left( \frac{R}{100} \right)^2$
જ્યાં:
$P$ = મુદ્દલ
$R$ = વ્યાજનો દર $(5\%)$
$\text{તફાવત} = 16$
કિંમતો મૂકતા:
$16 = P \times \left( \frac{5}{100} \right)^2$
$16 = P \times \left( \frac{1}{20} \right)^2$
$16 = P \times \frac{1}{400}$
$P = 16 \times 400$
$P = 6400$
આમ,મુદ્દલની રકમ $Rs. 6400$ છે.

(B) વર્ષ $2008$ માં ફેક્ટરીનું ઉત્પાદન $P = 70$ $lakh$ ટન આપેલ છે.
વૃદ્ધિ દર $R = 8 \%$ $p.a.$ છે.
વર્ષ $2008$ થી $2010$ સુધીનો સમયગાળો $n = 2$ વર્ષ છે.
ઉત્પાદન ચક્રવૃદ્ધિ દરે વધતું હોવાથી,આપણે ચક્રવૃદ્ધિ વૃદ્ધિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n$
કિંમતો મૂકતા:
$A = 70 \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2$
$A = 70 \left(1 + 0.08\right)^2$
$A = 70 \times (1.08)^2$
$A = 70 \times 1.1664$
$A = 81.648$ $lakh$ ટન.
તેથી,વર્ષ $2010$ માં ઉત્પાદન $81.648$ $lakh$ ટન થશે.

(B) માટે (સાદું વ્યાજ):
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{6000 \times 5 \times 2}{100} = Rs. 600$.
$B$ માટે (ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ):
વ્યાજ મુદ્દલ $= P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n = 5000 \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 = 5000 \left(\frac{108}{100}\right)^2 = 5000 \times 1.1664 = Rs. 5832$.
$CI = \text{વ્યાજ મુદ્દલ} - P = 5832 - 5000 = Rs. 832$.
તેમના વ્યાજ વચ્ચેનો તફાવત $= 832 - 600 = Rs. 232$.

(A) વિવિધ વ્યાજ દરો $R_1, R_2, R_3$ સાથેની કુલ રકમ $A$ શોધવાનું સૂત્ર $A = P \times (1 + \frac{R_1}{100}) \times (1 + \frac{R_2}{100}) \times (1 + \frac{R_3}{100})$ છે.
અહીં $P = 10000$,$R_1 = 4$,$R_2 = 5$,$R_3 = 6$ આપેલ છે.
$A = 10000 \times (1 + \frac{4}{100}) \times (1 + \frac{5}{100}) \times (1 + \frac{6}{100})$
$A = 10000 \times \frac{104}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{106}{100}$
$A = 10000 \times \frac{26}{25} \times \frac{21}{20} \times \frac{53}{50}$
$A = 10000 \times \frac{28938}{25000} = 4 \times 2893.8 = 11575.20$
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI) = A - P = 11575.20 - 10000 = Rs. 1575.20$.

(C) મુદલ $(P) = Rs. 5000$,વ્યાજનો દર $(R) = 10\%$ વાર્ષિક,સમય $(T) = 2$ વર્ષ.
સાદું વ્યાજ $(SI) = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{5000 \times 10 \times 2}{100} = Rs. 1000$.
અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટે:
દર $(r) = \frac{10}{2} = 5\%$ અર્ધવાર્ષિક.
સમય $(n) = 2 \times 2 = 4$ અર્ધવાર્ષિક ગાળા.
વ્યાજમુદ્દલ $(A) = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n = 5000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^4 = 5000 \left(1.05\right)^4$.
$A = 5000 \times 1.21550625 = Rs. 6077.53125$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI) = A - P = 6077.53125 - 5000 = Rs. 1077.53$.
તફાવત $= CI - SI = 1077.53 - 1000 = Rs. 77.53$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,તફાવત $Rs. 77.50$ છે.

(C) ધારો કે મુદ્દલ રકમ $P$ છે.
આપેલ છે: ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ = $Rs. 101.50$,વ્યાજનો દર $(r)$ = $3 \%$,સમય $(t)$ = $2$ $\text{વર્ષ}$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^t - 1 \right]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $101.50 = P \left[ \left( 1 + \frac{3}{100} \right)^2 - 1 \right]$.
$101.50 = P \left[ (1.03)^2 - 1 \right] = P [1.0609 - 1] = P(0.0609)$.
$P = \frac{101.50}{0.0609} = \frac{1015000}{609} = Rs. \frac{5000}{3}$.
હવે,સાદું વ્યાજ $(SI)$ શોધવા માટે $SI = \frac{P \times r \times t}{100}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
$SI = \frac{(5000/3) \times 3 \times 2}{100} = \frac{5000 \times 2}{100} = Rs. 100$.

(D) આપેલ છે: ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ = $Rs. 1272$,સમય $(t)$ = $2$ વર્ષ,વ્યાજનો દર $(r)$ = $12 \%$ પ્રતિ વર્ષ.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર છે: $CI = P \left[\left(1 + \frac{r}{100}\right)^t - 1\right]$
કિંમતો મૂકતા: $1272 = P \left[\left(1 + \frac{12}{100}\right)^2 - 1\right]$
$1272 = P \left[(1.12)^2 - 1\right]$
$1272 = P [1.2544 - 1]$
$1272 = P \times 0.2544$
$P = \frac{1272}{0.2544} = 5000$
હવે,સાદા વ્યાજ $(SI)$ ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરો: $SI = \frac{P \times r \times t}{100}$
$SI = \frac{5000 \times 12 \times 2}{100}$
$SI = 50 \times 24 = 1200$
તેથી,સાદું વ્યાજ $Rs. 1200$ થશે.

(A) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{r}{100})^t$ છે,જ્યાં $A$ એ રાશ,$P$ એ મુદ્દલ,$r$ એ વ્યાજનો દર અને $t$ એ વર્ષમાં સમય છે.
$t = 4$ વર્ષ માટે,$3840 = P(1 + \frac{r}{100})^4$ --- $(i)$
$t = 5$ વર્ષ માટે,$3936 = P(1 + \frac{r}{100})^5$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{3936}{3840} = \frac{P(1 + \frac{r}{100})^5}{P(1 + \frac{r}{100})^4}$
$\frac{3936}{3840} = 1 + \frac{r}{100}$
$\frac{3936}{3840} - 1 = \frac{r}{100}$
$\frac{3936 - 3840}{3840} = \frac{r}{100}$
$\frac{96}{3840} = \frac{r}{100}$
$r = \frac{96 \times 100}{3840} = \frac{9600}{3840} = 2.5$
તેથી,વ્યાજનો દર $2.5 \%$ પ્રતિ વર્ષ છે.

(A) $2$ વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ અને સાદા વ્યાજ $(SI)$ વચ્ચેના તફાવતનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
તફાવત $= \frac{P \times r^2}{100^2}$
જ્યાં $P$ એ મુદલ છે અને $r$ એ વાર્ષિક વ્યાજનો દર છે.
આપેલ છે: તફાવત $= 4$,$r = 4 \%$,સમય $= 2$ વર્ષ.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{P \times 4^2}{100^2}$
$4 = \frac{P \times 16}{10000}$
$P = \frac{4 \times 10000}{16}$
$P = \frac{10000}{4}$
$P = 2500$
આમ,તે રકમ $Rs. 2500$ છે.

(B) આપેલ છે: મુદ્દલ $(P) = 64000$,વ્યાજનો દર $(R) = 5 \%$ વાર્ષિક,સમય $(n) = 18$ મહિના.
વ્યાજ અર્ધવાર્ષિક રીતે ગણવાનું હોવાથી,અર્ધવાર્ષિક દર $(r) = \frac{5}{2} = 2.5 \%$.
અર્ધવાર્ષિક ગાળાની સંખ્યા $(n) = \frac{18}{6} = 3$.
રાશ $(A)$ શોધવાનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $A = 64000(1 + \frac{2.5}{100})^3$.
$A = 64000(1 + 0.025)^3 = 64000(1.025)^3$.
$A = 64000 \times (\frac{41}{40})^3 = 64000 \times \frac{68921}{64000}$.
$A = 68921$.

(B) $2$ વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને સાદા વ્યાજ વચ્ચેના તફાવતનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\text{તફાવત} = P \times \left(\frac{r}{100}\right)^2$.
અહીં,મુદ્દલ $P = ₹ 12500$ અને વ્યાજનો દર $r = 4 \%$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\text{તફાવત} = 12500 \times \left(\frac{4}{100}\right)^2$
$\text{તફાવત} = 12500 \times \left(\frac{1}{25}\right)^2$
$\text{તફાવત} = 12500 \times \frac{1}{625}$
$\text{તફાવત} = 20$.
આમ,સાદા વ્યાજ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ વચ્ચેનો તફાવત ₹ $20$ છે.

(C) $3$ વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને સાદા વ્યાજ વચ્ચેના તફાવતનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\text{તફાવત} = \frac{P \times r^2(300 + r)}{100^3}$.
અહીં,$P = 8000$,$r = 7.5$,અને $n = 3$ વર્ષ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{તફાવત} = \frac{8000 \times (7.5)^2 \times (300 + 7.5)}{100^3}$
$\text{તફાવત} = \frac{8000 \times 56.25 \times 307.5}{1000000}$
$\text{તફાવત} = \frac{450000 \times 307.5}{1000000}$
$\text{તફાવત} = \frac{138375000}{1000000} = ₹ 138.375$.

(C) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે અને વ્યાજનો દર $R \%$ છે.
$n$ વર્ષ પછીની રકમનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ છે.
$2$ વર્ષ માટે: $2809 = P(1 + \frac{R}{100})^2$ --- $(i)$
$3$ વર્ષ માટે: $2977.54 = P(1 + \frac{R}{100})^3$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2977.54}{2809} = 1 + \frac{R}{100}$
$1.06 = 1 + \frac{R}{100}$
$\frac{R}{100} = 0.06 \implies R = 6 \%$.
હવે,સમીકરણ $(i)$ માં $R = 6$ મુકતા:
$2809 = P(1 + \frac{6}{100})^2$
$2809 = P(1.06)^2$
$2809 = P(1.1236)$
$P = \frac{2809}{1.1236} = 2500$.
આમ,વ્યાજનો દર $6 \%$ છે અને મૂળ રકમ ₹ $2500$ છે.

(B) $3$ વર્ષના સમયગાળા માટે,ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ અને સાદા વ્યાજ $(SI)$ વચ્ચેનો તફાવત $(D)$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $D = P \times \left(\frac{r}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300+r}{100}\right)$.
આપેલ છે: $D = ₹ 122$,$r = 5 \%$,$t = 3$ વર્ષ.
કિંમતો મૂકતા: $122 = P \times \left(\frac{5}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300+5}{100}\right)$.
$122 = P \times \left(\frac{1}{20}\right)^2 \times \left(\frac{305}{100}\right)$.
$122 = P \times \frac{1}{400} \times \frac{305}{100}$.
$122 = P \times \frac{305}{40000}$.
$P = \frac{122 \times 40000}{305}$.
$P = \frac{122 \times 8000}{61}$.
$P = 2 \times 8000 = ₹ 16000$.

(C) ધારો કે મુદલ $P$ છે અને વાર્ષિક વ્યાજનો દર $R$ છે.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ મુજબ $n$ વર્ષ પછીની રકમનું સૂત્ર $A = P(1 + R/100)^n$ છે.
$3$ વર્ષ માટે: $P(1 + R/100)^3 = 800$ --- (સમીકરણ $1$)
$4$ વર્ષ માટે: $P(1 + R/100)^4 = 840$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{P(1 + R/100)^4}{P(1 + R/100)^3} = \frac{840}{800}$
$(1 + R/100) = 1.05$
$R/100 = 1.05 - 1 = 0.05$
$R = 0.05 \times 100 = 5 \%$
આમ,વાર્ષિક વ્યાજનો દર $5 \%$ છે.

(B) ધારો કે મુદલ $P$ છે.
$10 \%$ પ્રતિ વર્ષના દરે $2$ વર્ષ માટેનું સાદું વ્યાજ $(SI)$:
$SI = P \times \frac{10 \times 2}{100} = 0.2P$
અર્ધવાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ થતા $2$ વર્ષ માટેનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$:
વ્યાજનો દર $R = 10 \% / 2 = 5 \%$ પ્રતિ અર્ધ-વર્ષ.
સમય $n = 2 \times 2 = 4$ અર્ધ-વર્ષ.
$CI = P \left(1 + \frac{5}{100}\right)^4 - P = P \left(1.05^4 - 1\right)$
$CI = P (1.21550625 - 1) = 0.21550625P$
તફાવત $= CI - SI = 0.21550625P - 0.2P = 0.01550625P$
આપેલ છે કે,$0.01550625P = 124.05$
$P = \frac{124.05}{0.01550625} = 8000$
આમ,મુદલ ₹ $8000$ છે.

(A) ધારો કે મુદ્દલ રકમ $P$ છે.
$2$ વર્ષ માટે,સાદું વ્યાજ $(SI)$ સૂત્ર $SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{P \times 4 \times 2}{100} = \frac{8P}{100} = 0.08P$ દ્વારા મળે છે.
વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ સૂત્ર $CI = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T - P = P \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 - P = P \left(1.04^2 - 1\right) = P(1.0816 - 1) = 0.0816P$ દ્વારા મળે છે.
$CI$ અને $SI$ વચ્ચેનો તફાવત ₹ $1$ આપેલ છે.
$0.0816P - 0.08P = 1$
$0.0016P = 1$
$P = \frac{1}{0.0016} = \frac{10000}{16} = 625$.
આમ,તે રકમ ₹ $625$ છે.

(C) ધારો કે મુદ્દલ રકમ $P$ છે.
$3$ વર્ષ માટે $8 \%$ પ્રતિ વર્ષના દરે સાદું વ્યાજ ($S$.$I$.) નીચે મુજબ છે:
$S.I. = \frac{P \times 3 \times 8}{100} = \frac{24P}{100} = 0.24P$ (સમીકરણ $1$)
₹ $4000$ પર $2$ વર્ષ માટે $10 \%$ પ્રતિ વર્ષના દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ ($C$.$I$.) નીચે મુજબ છે:
$C.I. = 4000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 - 4000$
$C.I. = 4000 \left(\frac{11}{10}\right)^2 - 4000 = 4000 \times 1.21 - 4000 = 4840 - 4000 = 840$ (સમીકરણ $2$)
પ્રશ્ન મુજબ,સાદું વ્યાજ એ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ કરતા અડધું છે:
$S.I. = \frac{1}{2} \times C.I.$
$0.24P = \frac{1}{2} \times 840$
$0.24P = 420$
$P = \frac{420}{0.24} = \frac{42000}{24} = 1750$
આમ,સાદા વ્યાજે મૂકવામાં આવેલી રકમ ₹ $1750$ છે.

(D) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે.
આપેલ દર $R = 12 \frac{1}{2} \% = \frac{25}{2} \% = 12.5 \% = \frac{1}{8}$ પ્રતિ વર્ષ.
સમય $T = 2$ વર્ષ.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ ($C$.$I$.) નું સૂત્ર: $C.I. = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$.
$510 = P \left[ \left(1 + \frac{1}{8} \right)^2 - 1 \right]$.
$510 = P \left[ \left( \frac{9}{8} \right)^2 - 1 \right] = P \left[ \frac{81}{64} - 1 \right] = P \left( \frac{17}{64} \right)$.
$P = \frac{510 \times 64}{17} = 30 \times 64 = ₹ 1920$.
હવે,સાદું વ્યાજ ($S$.$I$.) = $\frac{P \times R \times T}{100} = \frac{1920 \times 12.5 \times 2}{100} = \frac{1920 \times 25}{100} = 1920 \times 0.25 = ₹ 480$.

(D) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ છે.
આપેલ છે: $A = 4913$,$R = 6 \frac{1}{4} \% = \frac{25}{4} \%$,$n = 3$ વર્ષ.
કિંમતો મૂકતા:
$4913 = P(1 + \frac{25/4}{100})^3$
$4913 = P(1 + \frac{25}{400})^3$
$4913 = P(1 + \frac{1}{16})^3$
$4913 = P(\frac{17}{16})^3$
$P = 4913 \times (\frac{16}{17})^3$
કારણ કે $17^3 = 4913$,તેથી:
$P = 4913 \times \frac{4096}{4913} = 4096$.
આમ,મુદ્દલ ₹ $4096$ છે.

(A) ધારો કે થાપણનો સમયગાળો $N$ વર્ષ છે.
આપેલ છે,મુદ્દલ $(P)$ = ₹ $30000$,વ્યાજનો દર $(R)$ = $7 \%$,ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI)$ = ₹ $4347$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100} \right)^N - 1 \right]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4347 = 30000 \left[ \left(1 + \frac{7}{100} \right)^N - 1 \right]$.
$4347 = 30000 \left[ \left(1.07 \right)^N - 1 \right]$.
બંને બાજુ $30000$ વડે ભાગતા: $\frac{4347}{30000} = (1.07)^N - 1$.
$0.1449 = (1.07)^N - 1$.
$(1.07)^N = 1.1449$.
કારણ કે $(1.07)^2 = 1.1449$,તેથી $(1.07)^N = (1.07)^2$.
આમ,$N = 2$ વર્ષ.

(D) $1000$ રૂપિયા પર $10 \%$ પ્રતિ વર્ષના દરે $4$ વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ ($S$.$I$.) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$S.I. = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{1000 \times 10 \times 4}{100} = ₹ 400$.
$1000$ રૂપિયા પર $10 \%$ પ્રતિ વર્ષના દરે $4$ વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ ($C$.$I$.) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C.I. = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right] = 1000 \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^4 - 1 \right]$
$= 1000 \left[ (1.1)^4 - 1 \right] = 1000 [1.4641 - 1] = 1000 \times 0.4641 = ₹ 464.10$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને સાદા વ્યાજ વચ્ચેનો તફાવત:
$C.I. - S.I. = 464.10 - 400 = ₹ 64.10$.

(C) આપેલ છે: મુદ્દલ $(P) = ₹ 15625$,વ્યાજનો દર $(R) = 16 \%$ વાર્ષિક,સમય $(n) = 9$ મહિના.
વ્યાજ ત્રિમાસિક ગણવાનું હોવાથી,ત્રિમાસિક દર $R' = 16 / 4 = 4 \%$ અને ત્રિમાસિક ગાળાની સંખ્યા $n' = 9 / 3 = 3$ થશે.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[ (1 + R'/100)^{n'} - 1 \right]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $CI = 15625 \left[ (1 + 4/100)^3 - 1 \right]$.
$CI = 15625 \left[ (1 + 1/25)^3 - 1 \right] = 15625 \left[ (26/25)^3 - 1 \right]$.
$CI = 15625 \times \left( \frac{17576 - 15625}{15625} \right)$.
$CI = 17576 - 15625 = ₹ 1951$.

(B) વ્યાજની ગણતરી વાર્ષિક $5 \%$ ના દરે અર્ધવાર્ષિક ધોરણે થાય છે,તેથી અર્ધવાર્ષિક દર $r = 2.5 \% = 0.025$ છે.
$1^{st}$ જાન્યુઆરીએ જમા કરાવેલ પ્રથમ ₹ $1600$ ની રકમ પર બે અર્ધવાર્ષિક ગાળા (એક વર્ષ) માટે વ્યાજ મળે છે.
પ્રથમ થાપણ માટે એક વર્ષ પછીની રકમ $= 1600(1 + 0.025)^2 = 1600(1.025)^2 = 1600(1.050625) = 1681$.
$1^{st}$ જુલાઈના રોજ જમા કરાવેલ બીજી ₹ $1600$ ની રકમ પર એક અર્ધવાર્ષિક ગાળા (છ મહિના) માટે વ્યાજ મળે છે.
બીજી થાપણ માટે છ મહિના પછીની રકમ $= 1600(1 + 0.025)^1 = 1600(1.025) = 1640$.
વર્ષના અંતે કુલ રકમ $= 1681 + 1640 = 3321$.
કુલ જમા કરાવેલ મુદ્દલ $= 1600 + 1600 = 3200$.
કુલ મળેલ વ્યાજ $= 3321 - 3200 = ₹ 121$.

(C) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ છે.
આપેલ છે: મુદ્દલ $(P) = ₹ 25000$,વ્યાજનો દર $(R) = 12 \%$,સમય $(n) = 3 \text{ વર્ષ}$.
$CI = 25000 \left[ \left( 1 + \frac{12}{100} \right)^3 - 1 \right]$
$CI = 25000 \left[ \left( 1.12 \right)^3 - 1 \right]$
$CI = 25000 \left[ 1.404928 - 1 \right]$
$CI = 25000 \times 0.404928$
$CI = ₹ 10123.20$

(D) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ હેઠળ મળતી કુલ રકમ $A$ શોધવાનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{R}{100})^N$ છે,જ્યાં $P$ એ મુદ્દલ છે,$R$ એ વ્યાજનો દર છે અને $N$ એ વર્ષોમાં સમયગાળો છે.
આપેલ છે: $P = ₹ 8000$,$R = 5 \%$,$N = 2$ વર્ષ.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$A = 8000(1 + \frac{5}{100})^2$
$A = 8000(1 + 0.05)^2$
$A = 8000(1.05)^2$
$A = 8000 \times 1.1025$
$A = 8820$
તેથી,મુદત પૂરી થતા આલ્બર્ટને ₹ $8820$ મળશે.

(C) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટેનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{R}{n \times 100})^{n \times T}$ છે,જ્યાં $P$ એ મુદ્દલ છે,$R$ એ વાર્ષિક દર છે,$n$ એ વર્ષમાં વ્યાજ કેટલી વાર ગણાય છે તે છે,અને $T$ એ વર્ષમાં સમય છે.
આપેલ છે: $P = 15000$,$R = 10 \%$,$T = 1$ વર્ષ,અને વ્યાજ અર્ધવાર્ષિક ગણાય છે $(n = 2)$.
અર્ધવાર્ષિક દર = $\frac{10 \%}{2} = 5 \%$.
અર્ધવાર્ષિક ગાળાની સંખ્યા $(N)$ = $1 \times 2 = 2$.
રાસ $A = 15000(1 + \frac{5}{100})^2$.
$A = 15000(1 + 0.05)^2 = 15000(1.05)^2$.
$A = 15000 \times 1.1025 = 16537.50$.
આમ,વર્ષના અંતે મળતી રકમ ₹ $16537.50$ થશે.

(A) મુદલ $(P)$ = ₹ $5000$,વ્યાજનો દર $(R)$ = $4 \%$ પ્રતિ વર્ષ,સમય $(n)$ = $1 \frac{1}{2}$ વર્ષ = $3$ અર્ધ-વર્ષ.
કિસ્સો $1$: વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ.
પ્રથમ વર્ષ માટે વ્યાજ વાર્ષિક ગણવામાં આવે છે. બાકીના અડધા વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ લાગુ પડે છે.
રાશિ $= 5000 \times (1 + \frac{4}{100})^1 \times (1 + \frac{2}{100})^1 = 5000 \times \frac{26}{25} \times \frac{51}{50} = 200 \times 26 \times \frac{51}{50} = 4 \times 26 \times 51 = ₹ 5304$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI_1)$ $= 5304 - 5000 = ₹ 304$.
કિસ્સો $2$: અર્ધ-વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ.
દર $(r)$ = $4/2 = 2 \%$ પ્રતિ અર્ધ-વર્ષ,સમય $(n)$ = $3$ અર્ધ-વર્ષ.
રાશિ $= 5000 \times (1 + \frac{2}{100})^3 = 5000 \times (1.02)^3 = 5000 \times 1.061208 = ₹ 5306.04$.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(CI_2)$ $= 5306.04 - 5000 = ₹ 306.04$.
તફાવત $= CI_2 - CI_1 = 306.04 - 304 = ₹ 2.04$.

(B) ધારો કે દરેક વાર્ષિક હપ્તો ₹ $x$ છે.
હપ્તાનું વર્તમાન મૂલ્ય કુલ દેવા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{x}{(1 + \frac{5}{100})^1} + \frac{x}{(1 + \frac{5}{100})^2} = 1025$
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{1.05} + \frac{x}{(1.05)^2} = 1025$
$\frac{x}{21/20} + \frac{x}{(21/20)^2} = 1025$
$\frac{20x}{21} + \frac{400x}{441} = 1025$
છેદ સમાન કરતા $(441)$:
$\frac{420x + 400x}{441} = 1025$
$\frac{820x}{441} = 1025$
$x = \frac{1025 \times 441}{820}$
$x = 1.25 \times 441 = 551.25$
આમ,વાર્ષિક હપ્તો ₹ $551.25$ છે.

(C) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ છે, જ્યાં $A$ એ વ્યાજમુદ્દલ છે, $P$ એ મુદ્દલ છે, $R$ એ વ્યાજનો દર છે અને $n$ એ વર્ષમાં સમય છે。
આપેલ છે કે રકમ $5 \, \text{વર્ષમાં}$ બમણી થાય છે, તેથી $2P = P(1 + \frac{R}{100})^5$, જેનું સાદું રૂપ $(1 + \frac{R}{100})^5 = 2$ થાય છે。
આપણે એવો સમય $N$ શોધવો છે જેમાં રકમ $8$ ગણી થાય: $8P = P(1 + \frac{R}{100})^N$.
આનું સાદું રૂપ $(1 + \frac{R}{100})^N = 8$ થાય છે。
કારણ કે $8 = 2^3$, આપણે સમીકરણમાં $2 = (1 + \frac{R}{100})^5$ મૂકી શકીએ છીએ:
$(1 + \frac{R}{100})^N = [(1 + \frac{R}{100})^5]^3$.
$(1 + \frac{R}{100})^N = (1 + \frac{R}{100})^{15}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા, આપણને $N = 15 \, \text{વર્ષ}$ મળે છે。

(A) ધારો કે યોજના $A$ માં રોકવામાં આવેલી રકમ ₹ $x$ છે.
તેથી,યોજના $B$ માં રોકવામાં આવેલી રકમ ₹ $(27000 - x)$ થશે.
$2$ વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $P[(1 + r/100)^n - 1]$ છે.
યોજના $A$ માટે: $CI_A = x[(1 + 8/100)^2 - 1] = x[1.1664 - 1] = 0.1664x$.
યોજના $B$ માટે: $CI_B = (27000 - x)[(1 + 9/100)^2 - 1] = (27000 - x)[1.1881 - 1] = 0.1881(27000 - x)$.
કુલ વ્યાજ ₹ $4818.30$ છે.
તેથી,$0.1664x + 0.1881(27000 - x) = 4818.30$.
$0.1664x + 5078.7 - 0.1881x = 4818.30$.
$-0.0217x = 4818.30 - 5078.7$.
$-0.0217x = -260.4$.
$x = 260.4 / 0.0217 = 12000$.
આમ,યોજના $A$ માં રોકવામાં આવેલી રકમ ₹ $12000$ છે.

(D) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે અને વ્યાજનો દર $R \%$ છે.
$2$ વર્ષ માટેનું સાદું વ્યાજ $(S.I.)$ નીચે મુજબ છે:
$S.I. = \frac{P \times R \times 2}{100} = 660$ --- $(1)$
$2$ વર્ષ માટેનું ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ $(C.I.)$ નીચે મુજબ છે:
$C.I. = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 - 1 \right] = 696.30$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{P \left[ \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 - 1 \right]}{\frac{P \times 2R}{100}} = \frac{696.30}{660}$
$\frac{\frac{R^2}{10000} + \frac{2R}{100}}{\frac{2R}{100}} = 1.055$
$\frac{R}{200} + 1 = 1.055$
$\frac{R}{200} = 0.055$
$R = 0.055 \times 200 = 11$
આમ,વ્યાજનો દર $11 \%$ છે.

(C) $6$ વર્ષ માટે સાદું વ્યાજ ($S$.$I$.) $= 0.6P$ છે.
સૂત્ર $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ મુજબ,$0.6P = \frac{P \times R \times 6}{100}$.
$R$ શોધતા,આપણને $R = \frac{0.6 \times 100}{6} = 10 \% \text{ પ્રતિ વર્ષ}$ મળે છે.
હવે,$P = ₹ 12000$,$R = 10 \%$ અને $T = 3$ વર્ષ માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ ($C$.$I$.) ગણીએ.
$C.I. = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$.
$C.I. = 12000 \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^3 - 1 \right] = 12000 \left[ (1.1)^3 - 1 \right]$.
$C.I. = 12000 \times (1.331 - 1) = 12000 \times 0.331 = ₹ 3972$.

(B) ધારો કે મુદ્દલ $P$ છે.
આપેલ છે કે $n = 2$ વર્ષ માટે $r = 10 \%$ વાર્ષિક દરે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ ($C$.$I$.) ₹ $525$ છે.
ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનું સૂત્ર $= P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right] = 525$.
$P \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^2 - 1 \right] = 525$
$P \left[ (1.1)^2 - 1 \right] = 525$
$P [1.21 - 1] = 525$
$P (0.21) = 525$
$P = \frac{525}{0.21} = \frac{52500}{21} = ₹ 2500$.
હવે,આપણે બમણા સમય ($n' = 2 \times 2 = 4$ વર્ષ) માટે અને અડધા વ્યાજ દરે ($r' = \frac{10}{2} = 5 \%$ વાર્ષિક) સાદું વ્યાજ ($S$.$I$.) શોધવાનું છે.
$S$.$I$. $= \frac{P \times r' \times n'}{100} = \frac{2500 \times 5 \times 4}{100} = 25 \times 20 = ₹ 500$.