Textbook - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(A) અહીં,ત્રિજ્યા $(r) = 0.63 \, m$ છે.
ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.63)^3 \, m^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{7} \times \frac{63 \times 63 \times 63}{1000000} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{21} \times \frac{250047}{1000000} \, m^3$
$V = 88 \times \frac{11907}{1000000} \, m^3$
$V = \frac{1047816}{1000000} \, m^3 = 1.047816 \, m^3$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ આશરે $1.05 \, m^3$ મળે છે.

(B) કોઈપણ ઘન પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ તે પદાર્થના કદ (ઘનફળ) જેટલું હોય છે.
દડાનો વ્યાસ $= 28 \, cm$.
દડાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{28}{2} \, cm = 14 \, cm$.
ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^3 \, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{4 \times 22 \times 2 \times 14 \times 14}{3} \, cm^3 = \frac{34496}{3} \, cm^3$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $34496 \div 3 = 11498$ અને શેષ $2$ વધે છે.
તેથી,ઘનફળ $= 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$.
આમ,વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ $11498 \frac{2}{3} \, cm^3$ છે.

(C) કોઈપણ ઘન પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ તેના કદ (ઘનફળ) જેટલું હોય છે.
ઘન ગોળાકાર દડાનો વ્યાસ $= 0.21 \, m$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{0.21}{2} \, m = \frac{21}{200} \, m$.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left( \frac{21}{200} \right)^3 \, m^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \, m^3$.
ઘનફળ $= \frac{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}{3 \times 7 \times 200 \times 200 \times 200} \, m^3$.
ઘનફળ $= \frac{4 \times 22 \times 3 \times 21 \times 21}{3 \times 8000000} \, m^3 = \frac{88 \times 441}{8000000} \, m^3 = \frac{38808}{8000000} \, m^3 = 0.004851 \, m^3$.

(D) આપેલ છે: ધાતુના ગોળાનો વ્યાસ $= 4.2\, cm$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{4.2}{2}\, cm = 2.1\, cm$.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3\, cm^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3$.
ઘનફળ $= 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3 = 38.808\, cm^3$.
ધાતુની ઘનતા $= 8.9\, g/cm^3$.
ગોળાનું દળ $= \text{ઘનતા} \times \text{ઘનફળ} = 8.9\, g/cm^3 \times 38.808\, cm^3$.
દળ $= 345.3912\, g \approx 345.39\, g$.
આમ,ગોળાનું દળ આશરે $345.39\, g$ છે.

(A) ધારો કે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ છે અને ચંદ્રની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે ચંદ્રનો વ્યાસ પૃથ્વીના વ્યાસનો $\frac{1}{4}$ ભાગ છે,તેથી ચંદ્રની ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યાનો $\frac{1}{4}$ ભાગ થાય,એટલે કે $r = \frac{R}{4}$.
ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
પૃથ્વીનું ઘનફળ $(V_E)$ $= \frac{4}{3} \pi R^3$.
ચંદ્રનું ઘનફળ $(V_M)$ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{4}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R^3}{64}\right) = \frac{1}{64} \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$.
તેથી,$V_M = \frac{1}{64} V_E$.
આમ,ચંદ્રનું ઘનફળ પૃથ્વીના ઘનફળનો $\frac{1}{64}$ ભાગ છે.

(B) અર્ધગોળાનો વ્યાસ $= 10.5\, cm$.
અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{10.5}{2}\, cm = 5.25\, cm$.
અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5.25)^3\, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25\, cm^3 = 303.1875\, cm^3$.
કારણ કે $1000\, cm^3 = 1\, l$,લિટરમાં ક્ષમતા $= \frac{303.1875}{1000}\, l = 0.3031875\, l$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ક્ષમતા આશરે $0.303\, l$ છે.

(C) આંતરિક ત્રિજ્યા $(r) = 1 \,m$.
જાડાઈ $= 1 \,cm = 0.01 \,m$.
બાહ્ય ત્રિજ્યા $(R) = 1 \,m + 0.01 \,m = 1.01 \,m$.
વપરાયેલ લોખંડનું ઘનફળ એ અર્ધગોળાકાર કવચના બાહ્ય ઘનફળ અને આંતરિક ઘનફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
લોખંડનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi R^3 - \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3)$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times ((1.01)^3 - (1)^3) \,m^3$.
ઘનફળ $= \frac{44}{21} \times (1.030301 - 1) \,m^3$.
ઘનફળ $= \frac{44}{21} \times 0.030301 \,m^3 \approx 0.06348 \,m^3$.

(D) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$4 \pi r^2 = 154$.
$r^2 = \frac{154}{4 \pi} = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{7 \times 7}{4} = \left(\frac{7}{2}\right)^2$.
તેથી,$r = \frac{7}{2} \, cm$.
હવે,ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^3 \, cm^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^3$.
$V = \frac{11 \times 7 \times 7}{3} \, cm^3 = \frac{539}{3} \, cm^3 = 179 \frac{2}{3} \, cm^3$.
આમ,ગોલકનું જરૂરી ઘનફળ $179 \frac{2}{3} \, cm^3$ છે.

(A) રંગકામનો કુલ ખર્ચ $= Rs. 4989.60$
રંગકામનો દર $= Rs. 20$ પ્રતિ $m^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}}$
$\text{અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$
આમ,ગુંબજની અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $249.48 \, m^2$ છે.

(B) રંગકામનો કુલ ખર્ચ $= Rs. 4989.60$; રંગકામનો દર $= Rs. 20$ પ્રતિ $m^2$.
$\therefore \text{આંતરિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{દર}} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$.
ધારો કે અર્ધગોળાકાર ગુંબજની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$\therefore$ આંતરિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 = 249.48$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 249.48 \Rightarrow r^2 = \frac{249.48 \times 7}{2 \times 22} = 39.69$.
$r = \sqrt{39.69} = 6.3 \, m$.
ગુંબજની અંદરની હવાનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^3$.
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 = 523.908 \, m^3$.
આમ,ગુંબજની અંદરની હવાનું ઘનફળ આશરે $523.9 \, m^3$ છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને નવા મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $r^{\prime}$ છે.
એક નાના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
$27$ નાના ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$ થાય.
જ્યારે તેમને ઓગાળીને $r^{\prime}$ ત્રિજ્યાનો નવો ગોળો બનાવવામાં આવે,ત્યારે નવા ગોળાનું ઘનફળ $\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3}$ થાય.
ઓગાળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3} = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$(r^{\prime})^{3} = 27 r^{3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r^{\prime} = \sqrt[3]{27 r^{3}} = 3r$.
આમ,નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $3r$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને નવા મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે કે $27$ નાના ગોળાઓને ઓગાળીને એક મોટો ગોળો બનાવવામાં આવે છે,તેથી ઘનફળ સમાન રહે છે.
$27$ નાના ગોળાઓનું ઘનફળ $= 27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
મોટા ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi R^3$.
ઘનફળને સરખાવતા: $27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$27 r^3 = R^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = 3r$.
નાના ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
મોટા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S' = 4 \pi R^2 = 4 \pi (3r)^2 = 4 \pi (9r^2) = 36 \pi r^2$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $S : S' = \frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2} = \frac{1}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 9$ છે.

(A) ગોળાકાર કેપ્સ્યુલનો વ્યાસ $d = 3.5 \, mm$ છે.
કેપ્સ્યુલની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, mm$ થાય.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{4}\right)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 7}{4 \times 4 \times 4} \, mm^3$
$V = \frac{22 \times 7 \times 7}{3 \times 4 \times 4} \, mm^3 = \frac{1078}{48} \, mm^3 \approx 22.4583 \, mm^3$.
દશાંશના બે અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ આશરે $22.46 \, mm^3$ મળે છે.

(A) $1$. પોલિશ કરવા માટેની બાહ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
બાહ્ય પરિમાણો: $H = 110\, cm, B = 85\, cm, D = 25\, cm$.
બાહ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (આગળની સપાટી સિવાય) $= 2(H \times D) + (B \times D) + 2(H \times B) = 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) = 5500 + 2125 + 18700 = 26325\, cm^2$.
આગળની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (ઓપનિંગ સિવાય) $= 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) - 3(100 \times 75) = 3825\, cm^2$.
$2$. રંગવા માટેની આંતરિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ:
દરેક ખાનાના આંતરિક પરિમાણો: $H' = 30\, cm, B' = 75\, cm, D' = 20\, cm$.
$3$ ખાનાનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times [2(H' \times D') + (B' \times D') + 2(H' \times B')] = 3 \times [2(30 \times 20) + (75 \times 20) + 2(30 \times 75)] = 3 \times [1200 + 1500 + 4500] = 3 \times 7200 = 21600\, cm^2$.
$3$. કુલ ખર્ચ:
પોલિશ કરવાનો ખર્ચ $= 3825 \times 0.20 = ₹ 765$.
રંગવાનો ખર્ચ $= 21600 \times 0.10 = ₹ 2160$.
કુલ ખર્ચ $= 765 + 2160 = ₹ 2925$.

(N/A) $1$. ગોળાઓ માટે:
દરેક ગોળાનો વ્યાસ = $21 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 10.5 \, cm$.
એક ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386 \, cm^2$.
જોકે,ગોળાનો એક નાનો ભાગ ટેકા દ્વારા ઢંકાયેલો છે. ટેકો $1.5 \, cm$ ત્રિજ્યાનો નળાકાર છે. ગોળા પર ઢંકાયેલા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi \times (1.5)^2 = \frac{22}{7} \times 2.25 \approx 7.07 \, cm^2$.
દરેક ગોળા માટે સિલ્વર રંગવાનું ક્ષેત્રફળ = $1386 - 7.07 = 1378.93 \, cm^2$.
$8$ ગોળાઓ માટે,કુલ સિલ્વર ક્ષેત્રફળ = $8 \times 1378.93 = 11031.44 \, cm^2$.
સિલ્વર રંગનો ખર્ચ = $11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$.
$2$. ટેકાઓ માટે:
દરેક ટેકો $r = 1.5 \, cm$ ત્રિજ્યા અને $h = 7 \, cm$ ઊંચાઈ ધરાવતો નળાકાર છે.
એક નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66 \, cm^2$.
$8$ ટેકાઓ માટે કાળો રંગવાનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $8 \times 66 = 528 \, cm^2$.
કાળા રંગનો ખર્ચ = $528 \times 0.05 = ₹ 26.40$.
કુલ ખર્ચ = $2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$.

(A) ધારો કે ગોળાનો પ્રારંભિક વ્યાસ $D_1$ છે. તેથી પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = D_1 / 2$ થાય.
પ્રારંભિક વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 4 \pi r_1^2$ છે.
જ્યારે વ્યાસમાં $25\%$ નો ઘટાડો થાય,ત્યારે નવો વ્યાસ $D_2 = D_1 - 0.25 D_1 = 0.75 D_1$ થાય.
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = D_2 / 2 = 0.75 (D_1 / 2) = 0.75 r_1$ થાય.
નવું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 4 \pi r_2^2 = 4 \pi (0.75 r_1)^2 = 4 \pi (0.5625 r_1^2) = 0.5625 A_1$ થાય.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો $A_1 - A_2 = A_1 - 0.5625 A_1 = 0.4375 A_1$ છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $((A_1 - A_2) / A_1) \times 100\% = 0.4375 \times 100\% = 43.75\%$ થાય.