Textbook - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે લેમ્પ ટેબલ પર મૂકેલો છે. બે પાસપાસેની ધાર $DC$ અને $AD$ પસંદ કરો.
લેમ્પના સ્થાનથી ધાર $DC$ અને $AD$ પર લંબ દોરો અને આ લંબની લંબાઈ માપો.
ધારો કે આ લંબની લંબાઈ અનુક્રમે $30\, cm$ અને $20\, cm$ છે.
હવે,ડાબી ધાર $(AD)$ થી લેમ્પનું સ્થાન $20\, cm$ છે અને નીચેની ધાર $(DC)$ થી $30\, cm$ છે.
આને $(20, 30)$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $20$ એ ધાર $AD$ થી લેમ્પનું લંબ અંતર દર્શાવે છે અને $30$ એ ધાર $DC$ થી લેમ્પનું લંબ અંતર દર્શાવે છે.

(A) આપેલ પદ્ધતિ મુજબ,પ્રથમ સંખ્યા ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં જતી શેરી દર્શાવે છે,અને બીજી સંખ્યા પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં જતી શેરી દર્શાવે છે.
$(i)$ ક્રોસ-સ્ટ્રીટ $(4, 3)$ એ $4^{th}$ ઉત્તર-દક્ષિણ શેરી અને $3^{rd}$ પૂર્વ-પશ્ચિમ શેરીના છેદનથી બને છે. કારણ કે આવું માત્ર એક જ છેદનબિંદુ છે,તેથી માત્ર $1$ જ ક્રોસ-સ્ટ્રીટ છે જેને $(4, 3)$ તરીકે ઓળખી શકાય.
$(ii)$ ક્રોસ-સ્ટ્રીટ $(3, 4)$ એ $3^{rd}$ ઉત્તર-દક્ષિણ શેરી અને $4^{th}$ પૂર્વ-પશ્ચિમ શેરીના છેદનથી બને છે. તેવી જ રીતે,માત્ર $1$ જ ક્રોસ-સ્ટ્રીટ છે જેને $(3, 4)$ તરીકે ઓળખી શકાય.

(N/A) $(i)$ બિંદુ $B$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $4$ એકમ હોવાથી,બિંદુ $B$ નો $x$-યામ અથવા $x$-યામ (abscissa) $4$ છે. બિંદુ $B$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $3$ એકમ છે; તેથી,બિંદુ $B$ નો $y$-યામ,એટલે કે $y$-યામ (ordinate) $3$ છે. તેથી,બિંદુ $B$ ના યામ $(4, 3)$ છે.
ઉપર મુજબ $(i)$ માં:
$(ii)$ બિંદુ $M$ નો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $-3$ અને $4$ છે. તેથી,બિંદુ $M$ ના યામ $(-3, 4)$ છે.
$(iii)$ બિંદુ $L$ નો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $-5$ અને $-4$ છે. તેથી,બિંદુ $L$ ના યામ $(-5, -4)$ છે.
$(iv)$ બિંદુ $S$ નો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $3$ અને $-4$ છે. તેથી,બિંદુ $S$ ના યામ $(3, -4)$ છે.

(N/A) તમે જોઈ શકો છો કે:
$(i)$ બિંદુ $A$ એ $y$-અક્ષથી $+4$ એકમ અંતરે અને $x$-અક્ષથી $0$ અંતરે છે. તેથી,$A$ નો $x$-યામ $4$ છે અને $y$-યામ $0$ છે. આમ,$A$ ના યામ $(4, 0)$ છે.
(ii) બિંદુ $B$ એ ઉગમબિંદુથી $3$ એકમ અંતરે $y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$x$-યામ $0$ છે અને $y$-યામ $3$ છે. આમ,$B$ ના યામ $(0, 3)$ છે.
(iii) બિંદુ $C$ એ ઉગમબિંદુની ડાબી બાજુએ $5$ એકમ અંતરે $x$-અક્ષ પર છે. તેથી,$x$-યામ $-5$ છે અને $y$-યામ $0$ છે. આમ,$C$ ના યામ $(-5, 0)$ છે.
(iv) બિંદુ $D$ એ ઉગમબિંદુની નીચે $4$ એકમ અંતરે $y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$x$-યામ $0$ છે અને $y$-યામ $-4$ છે. આમ,$D$ ના યામ $(0, -4)$ છે.
$(v)$ બિંદુ $E$ એ ઉગમબિંદુથી $\frac{2}{3}$ એકમ અંતરે $x$-અક્ષ પર છે. તેથી,$x$-યામ $\frac{2}{3}$ છે અને $y$-યામ $0$ છે. આમ,$E$ ના યામ $(\frac{2}{3}, 0)$ છે.

(N/A) $(i)$ આડી રેખાનું નામ $x$-અક્ષ છે અને ઊભી રેખાનું નામ $y$-અક્ષ છે.
$(ii)$ આ બે રેખાઓ દ્વારા બનતા સમતલના દરેક ભાગને ચરણ (quadrant) કહેવામાં આવે છે.
$(iii)$ જે બિંદુએ આ બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે તેને ઉગમબિંદુ (origin) કહેવામાં આવે છે.

(N/A) $(i)$ બિંદુ $B$ નો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $-5$ અને $2$ છે. તેથી,બિંદુ $B$ ના યામ $(-5, 2)$ છે.
$(ii)$ બિંદુ $C$ નો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $5$ અને $-5$ છે. તેથી,બિંદુ $C$ ના યામ $(5, -5)$ છે.
$(iii)$ જે બિંદુનો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $-3$ અને $-5$ છે તે બિંદુ $E$ છે.
$(iv)$ જે બિંદુનો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $2$ અને $-4$ છે તે બિંદુ $G$ છે.
$(v)$ બિંદુ $D$ નો $x$-યામ $6$ છે. તેથી,બિંદુ $D$ નો $x$-યામ (ભુજ) $6$ છે.
$(vi)$ બિંદુ $H$ નો $y$-યામ $-3$ છે. તેથી,બિંદુ $H$ નો $y$-યામ (કોટી) $-3$ છે.
$(vii)$ બિંદુ $L$ નો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $0$ અને $5$ છે. તેથી,બિંદુ $L$ ના યામ $(0, 5)$ છે.
$(viii)$ બિંદુ $M$ નો $x$-યામ અને $y$-યામ અનુક્રમે $-3$ અને $0$ છે. તેથી,બિંદુ $M$ ના યામ $(-3, 0)$ છે.

(N/A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં બિંદુઓ દર્શાવવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. આલેખપત્ર પર $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ દોરો,જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર છેદે છે.
$2$. યોગ્ય માપક્રમ પસંદ કરો,ઉદાહરણ તરીકે,$1 \text{ cm} = 1 \text{ એકમ}$.
$3$. દરેક બિંદુ $(x, y)$ માટે,ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂઆત કરો. $x$-અક્ષ પર $x$ એકમ ખસો (જો $x > 0$ હોય તો જમણી બાજુ,જો $x < 0$ હોય તો ડાબી બાજુ) અને ત્યારબાદ $y$-અક્ષને સમાંતર $y$ એકમ ખસો (જો $y > 0$ હોય તો ઉપરની તરફ,જો $y < 0$ હોય તો નીચેની તરફ).
$4$. આપેલા બિંદુઓના સ્થાન નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
- $(5, 0)$: $x$-અક્ષ પર,ઉગમબિંદુથી જમણી બાજુ $5$ એકમ.
- $(0, 5)$: $y$-અક્ષ પર,ઉગમબિંદુથી ઉપરની તરફ $5$ એકમ.
- $(2, 5)$: $2$ એકમ જમણી તરફ અને $5$ એકમ ઉપરની તરફ.
- $(5, 2)$: $5$ એકમ જમણી તરફ અને $2$ એકમ ઉપરની તરફ.
- $(-3, 5)$: $3$ એકમ ડાબી તરફ અને $5$ એકમ ઉપરની તરફ.
- $(-3, -5)$: $3$ એકમ ડાબી તરફ અને $5$ એકમ નીચેની તરફ.
- $(5, -3)$: $5$ એકમ જમણી તરફ અને $3$ એકમ નીચેની તરફ.
- $(6, 1)$: $6$ એકમ જમણી તરફ અને $1$ એકમ ઉપરની તરફ.

(N/A) કોષ્ટકમાં આપેલી સંખ્યાઓની જોડીઓને બિંદુઓ $(-3, 7)$,$(0, -3.5)$,$(-1, -3)$,$(4, 4)$ અને $(2, -3)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવવા માટે:
$1$. $(-3, 7)$ માટે,ઉગમબિંદુથી શરૂ કરીને $X$-અક્ષ પર ડાબી બાજુ $3$ એકમ અને ત્યારબાદ $Y$-અક્ષને સમાંતર ઉપરની તરફ $7$ એકમ ખસો.
$2$. $(0, -3.5)$ માટે,ઉગમબિંદુથી શરૂ કરીને $X$-અક્ષ પર $0$ એકમ અને ત્યારબાદ $Y$-અક્ષ પર નીચેની તરફ $3.5$ એકમ ખસો.
$3$. $(-1, -3)$ માટે,ઉગમબિંદુથી શરૂ કરીને $X$-અક્ષ પર ડાબી બાજુ $1$ એકમ અને ત્યારબાદ $Y$-અક્ષને સમાંતર નીચેની તરફ $3$ એકમ ખસો.
$4$. $(4, 4)$ માટે,ઉગમબિંદુથી શરૂ કરીને $X$-અક્ષ પર જમણી બાજુ $4$ એકમ અને ત્યારબાદ $Y$-અક્ષને સમાંતર ઉપરની તરફ $4$ એકમ ખસો.
$5$. $(2, -3)$ માટે,ઉગમબિંદુથી શરૂ કરીને $X$-અક્ષ પર જમણી બાજુ $2$ એકમ અને ત્યારબાદ $Y$-અક્ષને સમાંતર નીચેની તરફ $3$ એકમ ખસો.
આ બિંદુઓના સ્થાન આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) બિંદુ $(-2, 4)$ માટે,યામ (x-યામ) ઋણ છે અને કોટિ (y-યામ) ધન છે. કારણ કે $(-, +)$ એ $2$જા ચરણમાં આવે છે,તેથી $(-2, 4)$ એ $2$જા ચરણમાં આવેલું છે.
બિંદુ $(3, -1)$ માટે,યામ ધન છે અને કોટિ ઋણ છે. કારણ કે $(+, -)$ એ $4$થા ચરણમાં આવે છે,તેથી $(3, -1)$ એ $4$થા ચરણમાં આવેલું છે.
બિંદુ $(-1, 0)$ માટે,કોટિ $0$ છે. જે બિંદુની કોટિ $0$ હોય તે $x$-અક્ષ પર આવેલું હોય છે. અહીં યામ ઋણ હોવાથી,$(-1, 0)$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.
બિંદુ $(1, 2)$ માટે,યામ અને કોટિ બંને ધન છે. કારણ કે $(+, +)$ એ $1$લા ચરણમાં આવે છે,તેથી $(1, 2)$ એ $1$લા ચરણમાં આવેલું છે.
બિંદુ $(-3, -5)$ માટે,યામ અને કોટિ બંને ઋણ છે. કારણ કે $(-, -)$ એ $3$જા ચરણમાં આવે છે,તેથી $(-3, -5)$ એ $3$જા ચરણમાં આવેલું છે.
આ બિંદુઓને કાર્તેઝિયન સમતલ પર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આલેખવામાં આવ્યા છે: $A(-2, 4)$,$B(3, -1)$,$C(-1, 0)$,$D(1, 2)$ અને $E(-3, -5)$.

(N/A) આપેલા બિંદુઓ $A(-2, 8), B(-1, 7), C(0, -1.25), D(1, 3)$ અને $E(3, -1)$ છે. આ બિંદુઓને આલેખવા માટે:
$(i)$ આપણે $X'OX$ અને $YOY'$ ને અક્ષો તરીકે દોરીએ છીએ.
$(ii)$ આપણે અક્ષો પર અંતરના યોગ્ય એકમો પસંદ કરીએ છીએ.
$(iii)$ $A(-2, 8)$ ને આલેખવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ કરીને,$x$-અક્ષ પર ડાબી બાજુ $2$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર ઉપરની તરફ $8$ એકમ જઈએ છીએ.
$(iv)$ $B(-1, 7)$ ને આલેખવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ કરીને,$x$-અક્ષ પર ડાબી બાજુ $1$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર ઉપરની તરફ $7$ એકમ જઈએ છીએ.
$(v)$ $C(0, -1.25)$ ને આલેખવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ કરીને,$x$-અક્ષ પર $0$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર નીચેની તરફ $1.25$ એકમ જઈએ છીએ.
$(vi)$ $D(1, 3)$ ને આલેખવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ કરીને,$x$-અક્ષ પર જમણી બાજુ $1$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર ઉપરની તરફ $3$ એકમ જઈએ છીએ.
$(vii)$ $E(3, -1)$ ને આલેખવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ કરીને,$x$-અક્ષ પર જમણી બાજુ $3$ એકમ અને $y$-અક્ષ પર નીચેની તરફ $1$ એકમ જઈએ છીએ.