Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ બિંદુનો $x$-યામ એટલે તેનો $x$-નિર્દેશાંક. જે બિંદુઓનો $x$-યામ $0$ હોય તે $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય છે. આકૃતિ પરથી,$y$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $A(0, 3)$,$L(0, -4)$ અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$(ii)$ બિંદુનો $y$-યામ એટલે તેનો $y$-નિર્દેશાંક. જે બિંદુઓનો $y$-યામ $0$ હોય તે $x$-અક્ષ પર આવેલા હોય છે. આકૃતિ પરથી,$x$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $I(-2, 0)$,$G(5, 0)$ અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$(iii)$ બિંદુનો $x$-યામ એટલે તેનો $x$-નિર્દેશાંક. આપણે એવા બિંદુઓ શોધવાના છે જેનો $x$-નિર્દેશાંક $-5$ હોય. આકૃતિ પરથી,આ બિંદુઓ $D(-5, 1)$ અને $H(-5, -3)$ છે.

(N/A) $A(1, -1)$ અને $B(4, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ મેળવી શકાય:
ઢાળ $m = \frac{5 - (-1)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $y - (-1) = 2(x - 1) \implies y + 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 3$.
$(i)$ $A$ અને $B$ ની વચ્ચેનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $1$ અને $4$ ની વચ્ચેનો $x$-યામ પસંદ કરી શકીએ. ધારો કે $x = 2$,તો $y = 2(2) - 3 = 1$. આમ,$M(2, 1)$ એ રેખાખંડ $AB$ પરનું એક બિંદુ છે.
$(ii)$ રેખાખંડ $AB$ ની બહારનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $4$ થી મોટો અથવા $1$ થી નાનો $x$-યામ પસંદ કરી શકીએ. ધારો કે $x = 5$,તો $y = 2(5) - 3 = 7$. આમ,$N(5, 7)$ એ રેખા પરનું એક બિંદુ છે જે રેખાખંડ $AB$ ની બહાર આવેલું છે.

(N/A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $y$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર (જે $x$-યામ આપે છે) અને $x$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર (જે $y$-યામ આપે છે) નક્કી કરીએ છીએ.

બિંદુ	યામ $(x, y)$
$A$	$(3, 6)$
$B$	$(-4, 0)$
$C$	$(2, -5)$
$D$	$(0, 7)$
$E$	$(-3, 4)$
$F$	$(6, 0)$
$G$	$(-5, -4)$
$H$	$(0, -6)$
$O$	$(0, 0)$

(N/A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $Y$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર (જે $x$-યામ આપે છે) અને $X$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર (જે $y$-યામ આપે છે) નક્કી કરીએ છીએ. આપેલ માપદંડ $1 \,cm = 5$ એકમ મુજબ,આપણે ગ્રીડના એકમોની ગણતરી કરીએ છીએ.

બિંદુ	યામ $(x, y)$
$P$	$(10, 15)$
$Q$	$(-15, 0)$
$R$	$(20, -15)$
$S$	$(0, 25)$
$T$	$(-20, 20)$
$U$	$(-20, -25)$
$V$	$(0, -15)$
$W$	$(25, 0)$

(N/A) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $y$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર ($x$-યામ) અને $x$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર ($y$-યામ) નક્કી કરીએ છીએ.

બિંદુ	યામ
$A$	$(2, 5)$
$B$	$(-6, 0)$
$C$	$(-3, 4)$
$D$	$(-8, -8)$
$E$	$(3, -2)$
$F$	$(6, 0)$
$G$	$(0, -5)$
$H$	$(0, 7)$

(N/A) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ શોધવા માટે,આપણે $Y$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર ($x$-યામ આપે છે) અને $X$-અક્ષથી તેનું લંબ અંતર ($y$-યામ આપે છે) નક્કી કરીએ છીએ. આપેલ માપદંડ $1 \, cm = 10$ એકમ મુજબ,આપણે ગ્રીડના એકમોની ગણતરી કરીએ છીએ.

બિંદુ	યામ
$P$	$(-50, 40)$
$Q$	$(80, -60)$
$R$	$(0, 40)$
$S$	$(-70, 0)$
$T$	$(-70, -70)$
$U$	$(0, -40)$
$V$	$(80, 0)$
$W$	$(30, 30)$

(N/A)

બિંદુના યામ	બિંદુનું સ્થાન
$A(5, 0)$	$x$-અક્ષ પર
$B(3, -2)$	$4^{th}$ ચરણમાં
$C(-2, 5)$	$2^{nd}$ ચરણમાં
$D(0, 4)$	$y$-અક્ષ પર
$E(-3, -4)$	$3^{rd}$ ચરણમાં
$F(4, 3)$	$1^{st}$ ચરણમાં
$G(0, -4)$	$y$-અક્ષ પર
$H(-5, 0)$	$x$-અક્ષ પર

(N/A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં બિંદુ $(x, y)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે:
- જો $x > 0$ અને $y > 0$ હોય,તો તે $I$ ચરણમાં છે.
- જો $x < 0$ અને $y > 0$ હોય,તો તે $II$ ચરણમાં છે.
- જો $x < 0$ અને $y < 0$ હોય,તો તે $III$ ચરણમાં છે.
- જો $x > 0$ અને $y < 0$ હોય,તો તે $IV$ ચરણમાં છે.
- જો $x = 0$ હોય,તો તે $y$-અક્ષ પર છે.
- જો $y = 0$ હોય,તો તે $x$-અક્ષ પર છે.

બિંદુઓ	બિંદુનું સ્થાન
$P(-3, -5)$	$III$ ચરણ
$Q(0, 5)$	$y$-અક્ષ
$R(3, 4)$	$I$ ચરણ
$S(4, 3)$	$I$ ચરણ
$T(5, 0)$	$x$-અક્ષ
$U(-3, 5)$	$II$ ચરણ
$V(5, -3)$	$IV$ ચરણ
$W(0, -3)$	$y$-અક્ષ
$X(-3, 0)$	$x$-અક્ષ
$Y(3, -5)$	$IV$ ચરણ
$Z(-5, 3)$	$II$ ચરણ

(N/A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં બિંદુ $(x, y)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે:
- જો $x > 0, y > 0$ હોય,તો તે પ્રથમ ચરણમાં છે.
- જો $x < 0, y > 0$ હોય,તો તે દ્વિતીય ચરણમાં છે.
- જો $x < 0, y < 0$ હોય,તો તે તૃતીય ચરણમાં છે.
- જો $x > 0, y < 0$ હોય,તો તે ચતુર્થ ચરણમાં છે.
- જો $y = 0$ હોય,તો તે $x$-અક્ષ પર છે.
- જો $x = 0$ હોય,તો તે $y$-અક્ષ પર છે.

બિંદુ	સ્થાન
$A(15, -10)$	ચતુર્થ ચરણ
$B(-10, -20)$	તૃતીય ચરણ
$C(25, 0)$	$x$-અક્ષ
$D(-15, 25)$	દ્વિતીય ચરણ
$E(-5, 0)$	$x$-અક્ષ
$F(0, -15)$	$y$-અક્ષ
$G(25, 5)$	પ્રથમ ચરણ
$H(0, 15)$	$y$-અક્ષ

(A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં બિંદુ $(x, y)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે:
$1$. જો $x > 0$ અને $y > 0$ હોય,તો બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે.
$2$. જો $x < 0$ અને $y > 0$ હોય,તો બિંદુ દ્વિતીય ચરણમાં આવેલું છે.
$3$. જો $x < 0$ અને $y < 0$ હોય,તો બિંદુ તૃતીય ચરણમાં આવેલું છે.
$4$. જો $x > 0$ અને $y < 0$ હોય,તો બિંદુ ચતુર્થ ચરણમાં આવેલું છે.
$5$. જો $y = 0$ હોય,તો બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.
$6$. જો $x = 0$ હોય,તો બિંદુ $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.

બિંદુ	સ્થાન
$A(10, 40)$	પ્રથમ ચરણ
$B(-30, 0)$	$x$-અક્ષ
$C(50, -40)$	ચતુર્થ ચરણ
$D(0, -30)$	$y$-અક્ષ
$E(-20, 50)$	દ્વિતીય ચરણ
$F(0, 60)$	$y$-અક્ષ
$G(70, 0)$	$x$-અક્ષ
$H(-40, -50)$	તૃતીય ચરણ

(B) યામ સમતલને $(x, y)$ યામોની નિશાનીઓના આધારે ચાર ચરણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$1$. પ્રથમ ચરણ: $x$ અને $y$ બંને ધન $(+, +)$ હોય છે.
$2$. દ્વિતીય ચરણ: $x$ ઋણ અને $y$ ધન $(-, +)$ હોય છે.
$3$. તૃતીય ચરણ: $x$ અને $y$ બંને ઋણ $(-, -)$ હોય છે.
$4$. ચતુર્થ ચરણ: $x$ ધન અને $y$ ઋણ $(+, -)$ હોય છે.
બિંદુ $(-3, -5)$ માટે,$x$-યામ $-3$ (ઋણ) છે અને $y$-યામ $-5$ (ઋણ) છે. બંને યામ ઋણ હોવાથી,આ બિંદુ તૃતીય ચરણમાં આવેલું છે. તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) આ વિધાન ખરું છે.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ એ બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ છે જે ઉગમબિંદુ નામના બિંદુએ છેદે છે.
ઉગમબિંદુના યામ $(0,0)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(B) $x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, 0)$ સ્વરૂપના હોય છે,જ્યાં $x$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(5, -5)$ છે,તેનો $y$-યામ $-5$ છે,જે $0$ ની બરાબર નથી.
તેથી,બિંદુ $(5, -5)$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલું નથી.
આમ,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(A) જો કોઈ બિંદુનો $x$-યામ $0$ હોય,તો તે બિંદુ $y$-અક્ષ પર આવેલું હોય છે.
આપેલ બિંદુ $(0, 7)$ માં,$x$-યામ $0$ છે.
તેથી,બિંદુ $(0, 7)$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.
આમ,આપેલ વિધાન ખરું છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
કાર્તેઝિયન સમતલ બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ દ્વારા બને છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છેદે છે.
આ બે અક્ષો સમતલને ચાર ભાગમાં વિભાજિત કરે છે,જેને ચરણ (quadrants) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) જો બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ સમાન હોય,તો તેમના અનુરૂપ યામ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $x_1 = x_2$ અને $y_1 = y_2$.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(x+2, 7)$ અને $(2x-1, 7)$ છે.
અહીં $y$-યામ સમાન છે $(7 = 7)$,તેથી આપણે $x$-યામને સરખાવીએ:
$x + 2 = 2x - 1$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$2 = x - 1$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$x = 3$
તેથી,$x$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) રેખાખંડ બિંદુઓ $P(5,3)$ અને $Q(5,-8)$ ને જોડે છે.
બંને બિંદુઓના $x$-યામ સમાન હોવાથી,તે $x = 5$ સમીકરણ ધરાવતી શિરોલંબ રેખા છે.
શિરોલંબ રેખા $x = 5$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને $x$-અક્ષને તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y = 0$ હોય.
તેથી,આ રેખા $x$-અક્ષને $(5,0)$ બિંદુમાં છેદે છે.

(D) આપેલ છે કે $a=5, b=7, c=6$ અને $d=10.$
આ કિંમતોને બિંદુ $(a-b, c-d)$ માં મૂકતા:
$x = a - b = 5 - 7 = -2$
$y = c - d = 6 - 10 = -4$
તેથી બિંદુ $(-2, -4)$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ અને $y$-યામ બંને ઋણ હોવાથી,આ બિંદુ તૃતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(A) આપેલ છે કે $a=2, b=-3, c=-2, d=-5.$
સૌ પ્રથમ,બિંદુ $(ab, cd)$ ના યામ શોધો:
$x = a \times b = 2 \times (-3) = -6$
$y = c \times d = (-2) \times (-5) = 10$
આમ,બિંદુ $(-6, 10)$ મળે છે.
યામ સમતલમાં,જે બિંદુનો $x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન હોય તે બીજા ચરણમાં આવેલું હોય છે.
તેથી,બિંદુ $(-6, 10)$ એ બીજા ચરણમાં છે.

(B) બંને બિંદુઓના યામ $(x_1, y_1) = (5, -3)$ અને $(x_2, y_2) = (-5, -3)$ છે.
અહીં બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવાથી $(y_1 = y_2 = -3)$,આ બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ એક આડી રેખા છે.
આડી રેખા હંમેશા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$(5, -3)$ અને $(-5, -3)$ ને જોડતી રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે.

(A) આપેલ બિંદુઓ $(2x - 3, y + 3)$ અને $(x + 7, 2y - 2)$ સમાન હોવાથી,તેમના અનુરૂપ યામ સમાન હોવા જોઈએ.
$x$-યામને સરખાવતા: $2x - 3 = x + 7$
$2x - x = 7 + 3$
$x = 10$
$y$-યામને સરખાવતા: $y + 3 = 2y - 2$
$3 + 2 = 2y - y$
$y = 5$
આમ,$x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે $10$ અને $5$ છે.

(D) બિંદુઓ $A(3, -8)$ અને $B(3, 5)$ નો $x$-યામ સમાન છે,જે $3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા એક શિરોલંબ રેખા છે જેનું સમીકરણ $x = 3$ છે.
શિરોલંબ રેખા $x = 3$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર છે અને તે $x$-અક્ષને એવા બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y$-યામ $0$ હોય છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.

(A) આપેલ કિંમતો $a=5, b=7, c=3, d=-5$ છે.
આ કિંમતોને યામમાં મૂકતા:
$x = \frac{a}{b} = \frac{5}{7}$
$y = \frac{c}{d} = \frac{3}{-5} = -0.6$
અહીં $x$-યામ ધન $(>0)$ છે અને $y$-યામ ઋણ $( < 0)$ છે,તેથી બિંદુ $(\frac{5}{7}, -0.6)$ એ ચોથા ચરણમાં આવેલું છે.

(B) યામ સમતલમાં બે બિંદુઓ $(a, b)$ અને $(b, a)$ એક જ બિંદુ હોય,તો તેમના અનુરૂપ યામ સમાન હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $a = b$ અને $b = a$.
બંને શરતો એક જ જરૂરિયાત તરફ દોરી જાય છે: $a = b$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,કઈ જોડી $a = b$ નું પાલન કરે છે તે જોઈએ:
વિકલ્પ $A$: $2 \neq -2$
વિકલ્પ $B$: $-2 = -2$ (આ શરતનું પાલન કરે છે)
વિકલ્પ $C$: $-2 \neq 2$
વિકલ્પ $D$: $2 \neq \frac{1}{2}$
તેથી,માત્ર $a = -2$ અને $b = -2$ શક્ય છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(5, -3)$ અને $(5, 8)$ છે.
અહીં,$x_1 = 5, y_1 = -3$ અને $x_2 = 5, y_2 = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(5 - 5)^2 + (8 - (-3))^2}$
$d = \sqrt{(0)^2 + (8 + 3)^2}$
$d = \sqrt{0 + (11)^2}$
$d = \sqrt{121} = 11$.
અહીં $x$-યામ સમાન હોવાથી,અંતર એ $y$-યામોના તફાવતનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે: $|8 - (-3)| = |8 + 3| = 11$.

(D) આલેખપત્રમાં,બિંદુના યામ $(x, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચરણ માટે,$x > 0$ અને $y > 0$ બંને હોય છે.
બીજા ચરણ માટે,$x < 0$ અને $y > 0$ હોય છે.
ત્રીજા ચરણ માટે,$x < 0$ અને $y < 0$ બંને હોય છે.
ચોથા ચરણ માટે,$x > 0$ અને $y < 0$ હોય છે.
આપેલ બિંદુ $(2.8, 4.9)$ માટે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x = 2.8$ (જે $> 0$ છે) અને $y = 4.9$ (જે $> 0$ છે).
બંને યામ ધન હોવાથી,બિંદુ $(2.8, 4.9)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે.

(A) બંને યામ એક જ બિંદુ દર્શાવતા હોવાથી,આપણે $x$-યામ અને $y$-યામને અલગ-અલગ સરખાવીએ.
$1$. $x$-યામ સરખાવતા: $2a + 5 = a + 11$
$2a - a = 11 - 5$
$a = 6$
$2$. $y$-યામ સરખાવતા: $3b + 2 = b + 14$
$3b - b = 14 - 2$
$2b = 12$
$b = 6$
તેથી,$a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે $6$ અને $6$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a=5$ અને $b=7$.
આ કિંમતોને યામ $(a-b, b-a)$ માં મૂકતા:
$x$-યામ $= a - b = 5 - 7 = -2$.
$y$-યામ $= b - a = 7 - 5 = 2$.
તેથી બિંદુ $(-2, 2)$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ ઋણ છે અને $y$-યામ ધન છે,તેથી બિંદુ $(-2, 2)$ એ દ્વિતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
અહીં,બિંદુ $(7, 0)$ આપેલ છે,તેથી $x = 7$ અને $y = 0$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
અંતર $= \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,બિંદુ $(7, 0)$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $7$ છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
આપેલ બિંદુ $(0, -6)$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{0^2 + (-6)^2}$
$d = \sqrt{0 + 36}$
$d = \sqrt{36}$
$d = 6$
આમ,અંતર $6$ એકમ છે.

(C) કાર્તેઝિય યામ પદ્ધતિમાં,સમતલને $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
- $I$ ચરણમાં,બંને યામ ધન $(+, +)$ હોય છે.
- $II$ ચરણમાં,$x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન $(-, +)$ હોય છે.
- $III$ ચરણમાં,બંને યામ ઋણ $(-, -)$ હોય છે.
- $IV$ ચરણમાં,$x$-યામ ધન અને $y$-યામ ઋણ $(+, -)$ હોય છે.
તેથી,જે બિંદુના બંને યામ ઋણ હોય તે $III$ ચરણમાં આવેલું છે.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $(3, 2)$ છે અને બિંદુ $Q$ ના યામ $(3, -5)$ છે.
બંને બિંદુઓ માટે $x$-યામ $3$ હોવાથી,આ બિંદુઓને જોડતી રેખા એ $x = 3$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી શિરોલંબ રેખા છે.
$y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા $x$-અક્ષને $(3, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,આ રેખા $x$-અક્ષને છેદે છે.

(A) બિંદુઓના યામ $X(3, 5)$ અને $Y(-4, 5)$ છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવાથી $(y = 5)$,રેખાખંડ $XY$ એ આડી રેખા છે.
આડી રેખા હંમેશા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$X$ અને $Y$ ને જોડતી રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે.

(D) આલેખપત્ર (Cartesian plane) માં,ચરણો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$1$. પ્રથમ ચરણ: $x > 0, y > 0$
$2$. દ્વિતીય ચરણ: $x < 0, y > 0$
$3$. તૃતીય ચરણ: $x < 0, y < 0$
$4$. ચતુર્થ ચરણ: $x > 0, y < 0$
આપેલ બિંદુ માટે $x$-યામ ધન અને $y$-યામ ઋણ હોવાથી,તે ચતુર્થ ચરણમાં આવેલું છે.

(A) $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ જ્યાં એકબીજાને છેદે છે તે બિંદુને ઉગમબિંદુ કહેવામાં આવે છે. તેના યામ $(0, 0)$ છે.

(A) $x$-અક્ષ એ આડી રેખા છે જ્યાં $y$-યામ હંમેશા $0$ હોય છે.
બિંદુ $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ આવેલું હોવાથી,$x$-યામ ધન છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $5$ એકમ આપેલું હોવાથી,$x$-યામ $5$ થશે.
તેથી,બિંદુના યામ $(5, 0)$ છે.

(C) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,ઉગમબિંદુ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ એકબીજાને છેદે છે. વ્યાખ્યા મુજબ,ઉગમબિંદુના યામ $(0, 0)$ છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,આડી રેખાને $x$-અક્ષ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાને $y$-અક્ષ કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો જવાબ $y$-અક્ષ છે.

(C) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,અક્ષો $XOX'$ અને $YOY'$ સમતલને ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરે છે.
- પ્રથમ ચરણ ધન $X$-અક્ષ અને ધન $Y$-અક્ષ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
- દ્વિતીય ચરણ ઋણ $X$-અક્ષ $(OX')$ અને ધન $Y$-અક્ષ $(OY)$ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
- તૃતીય ચરણ ઋણ $X$-અક્ષ $(OX')$ અને ઋણ $Y$-અક્ષ $(OY')$ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
- ચતુર્થ ચરણ ધન $X$-અક્ષ $(OX)$ અને ઋણ $Y$-અક્ષ $(OY')$ વચ્ચેના પ્રદેશ દ્વારા રચાય છે.
તેથી,$\angle X'OY'$ નો આંતરિક ભાગ તૃતીય ચરણને અનુરૂપ છે.

(B) યામ ભૂમિતિમાં,ચરણો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$I$ ચરણ: $(+, +)$
$II$ ચરણ: $(-, +)$
$III$ ચરણ: $(-, -)$
$IV$ ચરણ: $(+, -)$
આપેલ બિંદુ $\left(-\frac{7}{2}, \frac{5}{2}\right)$ માં,$x$-યામ ઋણ છે અને $y$-યામ ધન છે.
તેથી,આ બિંદુ $II$ ચરણમાં આવેલું છે.

(C) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ સમતલને ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરે છે. $X^{\prime}OX$ રેખા $X$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $OX$ એ ધન $X$-અક્ષ છે અને $OX^{\prime}$ એ ઋણ $X$-અક્ષ છે. તેવી જ રીતે,$YOY^{\prime}$ એ $Y$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $OY$ એ ધન $Y$-અક્ષ છે અને $OY^{\prime}$ એ ઋણ $Y$-અક્ષ છે. ત્રીજું ચરણ ઋણ $X$-અક્ષ $(OX^{\prime})$ અને ઋણ $Y$-અક્ષ $(OY^{\prime})$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. તેથી,$\angle X^{\prime}OY^{\prime}$ નો અંદરનો ભાગ ત્રીજું ચરણ દર્શાવે છે.

(A) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનું ઉગમબિંદુથી આડું અંતર $0$ હોય છે. તેથી,$y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુનો $x$-યામ (જેને ભુજ પણ કહેવાય છે) હંમેશા $0$ હોય છે. $y$-અક્ષ પરના બિંદુના યામ $(0, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) કાર્તેઝિયન સમતલમાં,જો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ ના યામ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે એક યામ ધન છે અને બીજો યામ ઋણ છે.
કિસ્સો $1$: $x > 0$ અને $y < 0$. આ ચતુર્થ ચરણ દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: $x < 0$ અને $y > 0$. આ દ્વિતીય ચરણ દર્શાવે છે.
તેથી,વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા યામવાળું બિંદુ દ્વિતીય ચરણ અથવા ચતુર્થ ચરણમાં આવેલું હોય છે.

(A) આપેલા બે બિંદુઓના યામ $(8, 8)$ અને $(-8, 8)$ છે.
બંને બિંદુઓ માટે $y$-યામ સમાન હોવાથી $(y = 8)$,આ બિંદુઓને જોડતી રેખા એક આડી રેખા છે.
આડી રેખા હંમેશા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,આ રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે.

(D) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ સમતલને ચાર ચરણોમાં વિભાજિત કરે છે.
- પ્રથમ ચરણ કિરણ $OX$ અને કિરણ $OY$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
- દ્વિતીય ચરણ કિરણ $OX'$ અને કિરણ $OY$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
- તૃતીય ચરણ કિરણ $OX'$ અને કિરણ $OY'$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
- ચતુર્થ ચરણ કિરણ $OX$ અને કિરણ $OY'$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
તેથી,કિરણ $OY'$ અને કિરણ $OX$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ ચતુર્થ ચરણ છે.

(D) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,યામ અક્ષોમાં $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષનો સમાવેશ થાય છે.
આ બંને અક્ષો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર એકબીજાને છેદે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,યામ અક્ષોના છેદનથી બનતા ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ છે.

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કિરણ $OX$ એ ધન $x$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $x > 0$ હોય છે. કિરણ $OX^{\prime}$ એ ઋણ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે,જ્યાં $x < 0$ હોય છે. બિંદુ $(a, 0)$ એ કિરણ $OX^{\prime}$ પર આવેલું હોવાથી,$x$-યામ $a$ એ ઋણ સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(A) જો કોઈ બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય,તો તે બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે તેમ કહેવાય.
આપેલ બિંદુ $\left(7 \frac{3}{4}, 0\right)$ માં,$y$-યામ $0$ છે.
તેથી,આ બિંદુ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(B) આલેખપત્ર (Cartesian plane) માં ચરણો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$1$. પ્રથમ ચરણ: $x > 0, y > 0$
$2$. દ્વિતીય ચરણ: $x < 0, y > 0$
$3$. તૃતીય ચરણ: $x < 0, y < 0$
$4$. ચતુર્થ ચરણ: $x > 0, y < 0$
આપેલ બિંદુનો $x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન હોવાથી,તે બિંદુ દ્વિતીય ચરણમાં આવેલું છે.

(C) આપેલ કિંમતો $a=5, b=3, c=-8, d=-5$ છે.
આપણે બિંદુ $(a+c, b+d)$ ના યામ શોધવાના છે.
પ્રથમ,$x$-યામની ગણતરી કરો: $a+c = 5 + (-8) = -3$.
ત્યારબાદ,$y$-યામની ગણતરી કરો: $b+d = 3 + (-5) = -2$.
આમ,બિંદુ $(-3, -2)$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ અને $y$-યામ બંને ઋણ હોવાથી,આ બિંદુ તૃતીય ચરણમાં આવેલું છે.