Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $\operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(BOC)$ થાય. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
(N/A) આપણને એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ આપેલ છે અને તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે,જેથી $\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ થાય.
હવે,$\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ [આપેલ છે].
બંને બાજુ $\operatorname{ar}(\Delta AOB)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta AOB) = \operatorname{ar}(\Delta BOC) + \operatorname{ar}(\Delta AOB)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
આ બે ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta ABC$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel DC$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ [આપેલ છે].
બંને બાજુ $\operatorname{ar}(\Delta AOB)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta AOB) = \operatorname{ar}(\Delta BOC) + \operatorname{ar}(\Delta AOB)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
આ બે ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta ABC$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel DC$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
Explore More
Similar Questions
આકૃતિમાં,$ABC$ અને $BDE$ બે સમબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $AE$ એ $BC$ ને $F$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
Medium
View Solutionએક ગ્રામીણ,ઇતવારી પાસે ચતુષ્કોણ આકારનો જમીનનો પ્લોટ છે. ગામની ગ્રામ પંચાયતે હેલ્થ સેન્ટર બનાવવા માટે તેના પ્લોટના એક ખૂણામાંથી થોડો ભાગ લેવાનું નક્કી કર્યું. ઇતવારી આ પ્રસ્તાવ સાથે સહમત થાય છે,પરંતુ શરત એ છે કે તેને તેની જમીનના બદલામાં તેની જમીનને અડીને તેટલી જ જમીન આપવામાં આવે જેથી એક ત્રિકોણાકાર પ્લોટ બને. આ પ્રસ્તાવનો અમલ કેવી રીતે કરવામાં આવશે તે સમજાવો.
Difficult
View Solution$P$ અને $Q$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\text{ar} (PBQ) = \text{ar} (ARC)$.
Medium
View Solutionજો $E, F, G$ અને $H$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ હોય,તો સાબિત કરો કે $\text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
Difficult
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ અનુક્રમે $BC$,$CA$ અને $AB$ બાજુઓ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એ $BC$ ને $Y$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે: $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(FCB)$.
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo