Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumઆકૃતિમાં,$BC$ પર $D$ અને $E$ એવા બે બિંદુઓ છે કે જેથી $BD = DE = EC$ થાય. સાબિત કરો કે $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
શું હવે તમે આ પ્રકરણની 'પ્રસ્તાવના'માં છોડેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો છો કે શું બુધિયાનું ખેતર ખરેખર સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રણ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે?
શું હવે તમે આ પ્રકરણની 'પ્રસ્તાવના'માં છોડેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો છો કે શું બુધિયાનું ખેતર ખરેખર સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રણ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે?
(N/A) ધારો કે આપણે $AF$ ને $BC$ પર લંબ દોરીએ છીએ જેથી $AF$ એ $\Delta ABD$,$\Delta ADE$ અને $\Delta AEC$ ની ઊંચાઈ બને.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ (ઊંચાઈ) થાય છે.
તેથી,$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AF$.
તે જ રીતે,$ar(ADE) = \frac{1}{2} \times DE \times AF$.
અને $ar(AEC) = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
આપેલ છે કે $BD = DE = EC$,તેથી આપણે આ કિંમતો મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,$\frac{1}{2} \times BD \times AF = \frac{1}{2} \times DE \times AF = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
આ સૂચવે છે કે $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
હા,કારણ કે બધા ત્રિકોણોના વેધ (ઊંચાઈ) સમાન છે અને તેમના પાયા પણ સમાન છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,બુધિયા આ પરિણામનો ઉપયોગ કરીને તેની જમીનને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચી શકે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ (ઊંચાઈ) થાય છે.
તેથી,$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AF$.
તે જ રીતે,$ar(ADE) = \frac{1}{2} \times DE \times AF$.
અને $ar(AEC) = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
આપેલ છે કે $BD = DE = EC$,તેથી આપણે આ કિંમતો મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,$\frac{1}{2} \times BD \times AF = \frac{1}{2} \times DE \times AF = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
આ સૂચવે છે કે $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
હા,કારણ કે બધા ત્રિકોણોના વેધ (ઊંચાઈ) સમાન છે અને તેમના પાયા પણ સમાન છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,બુધિયા આ પરિણામનો ઉપયોગ કરીને તેની જમીનને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચી શકે છે.
Explore More
Similar Questions
આકૃતિમાં,$ABC$ અને $BDE$ બે સમબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $AE$ એ $BC$ ને $F$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
Medium
View Solutionચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $P$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $ar(APB) \times ar(CPD) = ar(APD) \times ar(BPC)$.
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$ar(DRC) = ar(DPC)$ અને $ar(BDP) = ar(ARC)$ છે. સાબિત કરો કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ અને $DCPR$ બંને સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ અનુક્રમે $BC$,$CA$ અને $AB$ બાજુઓ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એ $BC$ ને $Y$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$
Medium
View Solutionત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
Difficult
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo