Magnetization, Magnetic Induction Susceptibility Questions in Hindi

(A) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r}$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_{r} = 1 + \chi$.
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\chi = \mu_{r} - 1$.
हम यह भी जानते हैं कि निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r}$ और मुक्त स्थान की पारगम्यता $\mu_0$ से इस प्रकार संबंधित है: $\mu = \mu_0 \mu_{r}$.
इससे,हम सापेक्ष पारगम्यता को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_0}$.
$\mu_{r}$ के इस मान को प्रवृत्ति के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\chi = \frac{\mu}{\mu_0} - 1$.

(A) वायु-क्रोड परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 n I$ होता है।
जब क्रोड को $\mu_r$ सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो नया चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu n I = \mu_0 \mu_r n I$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B = B - B_0 = \mu_0 (\mu_r - 1) n I$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 \% = (\mu_r - 1) \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi = \mu_r - 1$ होती है,इसलिए प्रतिशत वृद्धि $\chi \times 100 \%$ है।
दिया गया है $\chi_{mg} = 1.2 \times 10^{-5}$,अतः प्रतिशत वृद्धि $(1.2 \times 10^{-5}) \times 100 \% = 1.2 \times 10^{-3} \%$ है।

(B) चुम्बकीय पदार्थ के भीतर चुम्बकीय क्षेत्र $B$ को $B = \mu_0(H + I)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I$ चुम्बकन की तीव्रता है और $H$ चुम्बकन क्षेत्र है।
चुम्बकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ को चुम्बकन की तीव्रता और चुम्बकन क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,अर्थात $\chi_m = I / H$,जिसका अर्थ है $I = \chi_m H$।
पहले समीकरण में $I = \chi_m H$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \mu_0(H + \chi_m H) = \mu_0 H(1 + \chi_m)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B = \mu H = \mu_0 \mu_r H$,इसलिए $\mu_r = 1 + \chi_m$ होता है।
इनकी तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ में $B = \mu_0(H + \chi_m)$ दिया गया है,जो विमीय और भौतिक रूप से गलत है क्योंकि $\chi_m$ एक विमाहीन राशि है और इसे सीधे $H$ (जिसकी इकाई $A/m$ है) में नहीं जोड़ा जा सकता है। इसलिए,केवल $(b)$ गलत है।

(B) चुंबकन की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है,$I = M/V$.
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^2$,द्रव्यमान $m = 1 \ gm = 10^{-3} \ kg$,और घनत्व $\rho = 5 \ gm/cm^3 = 5000 \ kg/m^3$.
सबसे पहले,आयतन $V$ की गणना करें: $V = m / \rho = 10^{-3} \ kg / 5000 \ kg/m^3 = 0.2 \times 10^{-6} \ m^3 = 2 \times 10^{-7} \ m^3$.
अब,चुंबकन की तीव्रता ज्ञात करें: $I = M / V = (6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^2) / (2 \times 10^{-7} \ m^3) = 3 \ A/m$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$,चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ और चुंबकीय तीव्रता $H$ के बीच का संबंध $B = \mu H$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\mu = \mu_0 \mu_r$ है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता $(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ है और $\mu_r$ सापेक्ष पारगम्यता है,इसलिए $B = \mu_0 \mu_r H$ होगा।
$\mu_r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\mu_r = \frac{B}{\mu_0 H}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\mu_r = \frac{1.6}{(4\pi \times 10^{-7}) \times 1000}$.
$\mu_r = \frac{1.6}{4 \times 3.14159 \times 10^{-4}} \approx \frac{1.6}{12.566 \times 10^{-4}} \approx 0.1273 \times 10^4 \approx 1.273 \times 10^3$.
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान लेने पर,$\mu_r \approx 1.3 \times 10^3$ प्राप्त होता है।

(A) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ उसके परम ताप $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\chi \propto \frac{1}{T}$।
दिया गया है:
तापमान $T_1 = -123^{\circ} C = -123 + 273 = 150 \ K$.
प्रवृत्ति $\chi_1 = 0.0060$.
तापमान $T_2 = -173^{\circ} C = -173 + 273 = 100 \ K$.
संबंध $\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2$ का उपयोग करने पर:
$0.0060 \times 150 = \chi_2 \times 100$.
$\chi_2 = \frac{0.0060 \times 150}{100} = 0.0060 \times 1.5 = 0.0090$.
अतः,$-173^{\circ} C$ पर चुंबकीय प्रवृत्ति $0.0090$ होगी।

(C) दिया गया है: $n = 500 \ turns/m$,$I = 3 \ A$,$\mu_r = 5001$.
सबसे पहले,परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ की गणना करें:
$H = nI = 500 \times 3 = 1500 \ A/m$.
इसके बाद,चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility) $\chi_m$ की गणना करें:
$\chi_m = \mu_r - 1 = 5001 - 1 = 5000$.
चुम्बकन $M$ का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = \chi_m H$.
मान रखने पर:
$M = 5000 \times 1500 = 7.5 \times 10^6 \ Am^{-1}$.

(D) चुंबकन की तीव्रता $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$M = \frac{m_{net}}{V}$
दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \ g$ और घनत्व $\rho = 5 \ g/cm^{3}$ है।
आयतन $V = \frac{m}{\rho} = \frac{5 \ g}{5 \ g/cm^{3}} = 1 \ cm^{3}$।
आयतन को $SI$ इकाइयों में परिवर्तित करने पर: $1 \ cm^{3} = 10^{-6} \ m^{3}$।
दिया गया चुंबकीय आघूर्ण $m_{net} = 6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}$ है।
$M = \frac{6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}}{10^{-6} \ m^{3}} = 6 \times 10^{-1} \ A/m = 0.6 \ A/m$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) नमूने का आयतन $V$,द्रव्यमान और घनत्व के अनुपात द्वारा प्राप्त होता है: $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
आयतन को $SI$ इकाइयों $(m^3)$ में परिवर्तित करने पर: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है: $M = \frac{m_{net}}{V}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ Am}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ Am}^{-1}$.

(C) दिया गया है: चुम्बकीय क्षेत्र,$H = 5000 \ A/m$.
चुम्बकीय फ्लक्स,$\phi = 4 \times 10^{-5} \ Wb$.
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 0.4 \ cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \ m^2 = 4 \times 10^{-5} \ m^2$.
चुम्बकीय फ्लक्स घनत्व $B = \frac{\phi}{A}$ द्वारा प्राप्त होता है।
पारगम्यता $\mu$ को $\mu = \frac{B}{H} = \frac{\phi}{A \cdot H}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर:
$\mu = \frac{4 \times 10^{-5}}{4 \times 10^{-5} \times 5000} = \frac{1}{5000} = 0.0002 = 2 \times 10^{-4} \ Wb/(A \cdot m)$.

(B) घन का आयतन $V = L^3 = (1 \mu m)^3 = (10^{-6} \ m)^3 = 10^{-18} \ m^3$ है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{total}$ परमाणुओं की संख्या और प्रति परमाणु द्विध्रुव आघूर्ण का गुणनफल है:
$M_{total} = (8 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} \ A \cdot m^2) = 72 \times 10^{-14} \ A \cdot m^2 = 7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2$.
चुम्बकन $I$ (या $M$) को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$I = \frac{M_{total}}{V} = \frac{7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2}{10^{-18} \ m^3} = 7.2 \times 10^5 \ A/m$.

(D) चुंबकीय पदार्थ के अंदर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$,बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $H$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र और पदार्थ के प्रेरित चुंबकन $M$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का योग होता है।
गणितीय रूप से,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \mu_0(H + M)$
यहाँ,$\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,और $M$ चुंबकन है।

(C) सापेक्ष पारगम्यता $(\mu_r)$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi_m)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu_r = 1 + \chi_m$
दिया गया है कि लोहे की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 5499$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\mu_r = 1 + 5499$
$\mu_r = 5500$
अतः,लोहे की सापेक्ष पारगम्यता $5500$ है।

(D) वायु-क्रोड वाले टोरोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है।
जब इस स्थान को $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति वाले पदार्थ से भर दिया जाता है,तो सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1 + \chi$ हो जाती है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r B_0 = (1 + \chi) B_0$ हो जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र में वृद्धि $\Delta B = B - B_0 = (1 + \chi) B_0 - B_0 = \chi B_0$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \frac{\chi B_0}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ द्वारा दी जाती है।

(B) चुंबकन की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = M/V$.
दिया गया चुंबकीय आघूर्ण $M = 2.4 \text{ Am}^2$.
छड़ का द्रव्यमान $m = 66 \text{ g} = 0.066 \text{ kg}$.
घनत्व $\rho = 7700 \text{ kg/m}^3$.
छड़ का आयतन $V = m / \rho = 0.066 / 7700 \text{ m}^3$.
अब,चुंबकन की तीव्रता $I = M / V = 2.4 / (0.066 / 7700)$ की गणना करें।
$I = (2.4 \times 7700) / 0.066$.
$I = 18480 / 0.066 = 280000 \text{ Am}^{-1}$.
$I = 2.8 \times 10^5 \text{ Am}^{-1}$.

(B) किसी पदार्थ के भीतर कुल चुंबकीय क्षेत्र $(B)$, बाहरी धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ और पदार्थ के चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_m)$ का योग होता है।
$B = B_0 + B_m$
हम जानते हैं कि $B_0 = \mu_0 H$, जहाँ $H$ चुंबकीय तीव्रता है।
पदार्थ का चुंबकन $(M)$, चुंबकीय तीव्रता से $M = \chi H$ द्वारा संबंधित है, जहाँ $\chi$ चुंबकीय संवेदनशीलता है।
चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_m = \mu_0 M = \mu_0 \chi H$ होता है।
इन मानों को $B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \mu_0 H + \mu_0 \chi H$
$B = \mu_0 H(1 + \chi)$
दोनों पक्षों को $H$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$

(B) निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\mu = \mu_r \mu_0 = (1 + \chi) \mu_0$
दिया गया है:
$\chi = 599$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
मान रखने पर:
$\mu = (1 + 599) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$
$\mu = 600 \times 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2400 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$
अतः,निरपेक्ष पारगम्यता $2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$ है।

(B) दिया गया है: चुंबकीय तीव्रता $H = 500 \,A/m$, चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 0.4 \,cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \,m^2$.
चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.4 \times 10^{-4}} = 0.6 \,T$.
चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{B}{H}$ है।
मान रखने पर: $\mu = \frac{0.6}{500} = 1.2 \times 10^{-3} \,T \cdot m/A$।

(C) किसी पदार्थ के भीतर कुल चुंबकीय क्षेत्र $(B)$,बाहरी धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_0 = \mu_0 H)$ और चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_m = \mu_0 M)$ का योग होता है।
$B = B_0 + B_m = \mu_0 H + \mu_0 M = \mu_0(H + M)$.
चूंकि चुंबकन $(M)$,चुंबकीय तीव्रता $(H)$ से संवेदनशीलता $(\chi)$ के माध्यम से $M = \chi H$ के रूप में संबंधित है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$B = \mu_0(H + \chi H) = \mu_0 H(1 + \chi)$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर अनुपात प्राप्त होता है:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$.

(B) चुंबकन की तीव्रता $(I)$ को पदार्थ के प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $I = \frac{M}{V} = \frac{M}{A \times L}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ = $6 \text{ Am}^2$
लंबाई $(L)$ = $4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$
क्षेत्रफल $(A)$ = $2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
गणना:
आयतन $(V)$ = $A \times L = (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (4 \times 10^{-2} \text{ m}) = 8 \times 10^{-6} \text{ m}^3$
$I = \frac{6 \text{ Am}^2}{8 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 0.75 \times 10^6 \text{ A/m} = 7.5 \times 10^5 \text{ A/m}$

(D) चुम्बकीय तीव्रता $H$ का मान $H = nI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
यहाँ $n = 400 \ m^{-1}$ और $I = 0.5 \ A$ दिया गया है,इसलिए $H = 400 \times 0.5 = 200 \ Am^{-1}$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुम्बकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध $\mu_r = 1 + \chi$ है,इसलिए $\chi = \mu_r - 1$ होगा।
यहाँ $\mu_r = 400$ दिया गया है,इसलिए $\chi = 400 - 1 = 399$ होगा।
चुम्बकन $M$ का मान $M = \chi H$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$M = 399 \times 200 = 79800 \ Am^{-1}$ प्राप्त होता है।
यह मान लगभग $8 \times 10^4 \ Am^{-1}$ के बराबर है।

$(A)$ चुम्बकीय प्रेरण $B$, चुम्बकीय फ्लक्स $\phi$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है: $B = \frac{\phi}{A}$.
दिया गया है: $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$ और $A = 0.3 \,cm^2 = 0.3 \times 10^{-4} \,m^2$.
$B$ की गणना: $B = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.3 \times 10^{-4}} = 0.8 \,T$.
चुम्बकीय पारगम्यता $\mu$, चुम्बकीय प्रेरण $B$ और चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ का अनुपात है: $\mu = \frac{B}{H}$.
यदि $H = 1000 \,A/m$ लिया जाए, तो $\mu = \frac{0.8}{1000} = 8 \times 10^{-4} \,T \cdot m/A$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$ और $\chi_m = 349$.
निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$,निर्वात की पारगम्यता $\mu_0$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ के बीच संबंध $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ है।
मान रखने पर:
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times (1 + 349)$
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times 350$
$\mu = 1400 \pi \times 10^{-7}$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$\mu \approx 1400 \times 3.14159 \times 10^{-7}$
$\mu \approx 4398.22 \times 10^{-7} \ H/m$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\mu \approx 4400 \times 10^{-7} \ H/m$ प्राप्त होता है।

(C) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r}$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_{r} = 1 + \chi$.
दिया गया है कि सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r} = 0.85$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $0.85 = 1 + \chi$.
अतः,$\chi = 0.85 - 1 = -0.15$.
इस प्रकार,माध्यम की चुंबकीय प्रवृत्ति $-0.15$ है।

(A) दिया है,धातु की पारगम्यता $\mu = 0.1256 \ TmA^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि मुक्त स्थान (free space) की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ होती है।
$\pi = 3.14$ रखने पर,$\mu_0 = 4 \times 3.14 \times 10^{-7} = 12.56 \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ को माध्यम की पारगम्यता और मुक्त स्थान की पारगम्यता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = \frac{0.1256}{12.56 \times 10^{-7}}$.
$\mu_r = \frac{12.56 \times 10^{-2}}{12.56 \times 10^{-7}} = 10^{-2} \times 10^7 = 10^5$.
अतः,सापेक्ष पारगम्यता $10^5$ है।

(C) निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$ का सूत्र $\mu = \mu_r \mu_0$ होता है।
यहाँ सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 2000$ और निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = 2000 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$.
$\mu = 8000 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$\mu = 8 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$.

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 3 \,cm = 3 \times 10^{-2} \,m$, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$, चुंबकीय आघूर्ण $M = 3 \,Am^2$।
चुंबकन की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आयतन $V = L \times A = (3 \times 10^{-2} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 6 \times 10^{-6} \,m^3$।
चुंबकन की तीव्रता $I = \frac{M}{V} = \frac{3 \,Am^2}{6 \times 10^{-6} \,m^3}$।
$I = 0.5 \times 10^6 \,A/m = 5 \times 10^5 \,A/m$।

(A) चुंबकन $(M)$ को पदार्थ के प्रति इकाई आयतन $(V)$ में कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(m_{net})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $M = \frac{m_{net}}{V}$।
यह दर्शाता है कि जब किसी पदार्थ को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो वह किस हद तक चुंबकित होता है।

(D) चुंबक का आयतन $V = \text{लंबाई} \times \text{क्षेत्रफल} = 5 \ cm \times 4 \ cm^{2} = 20 \ cm^{3}$.
$SI$ इकाइयों में परिवर्तित करने पर: $V = 20 \times 10^{-6} \ m^{3} = 2 \times 10^{-5} \ m^{3}$.
चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है: $M = \frac{m}{V} = \frac{2 \ Am^{2}}{2 \times 10^{-5} \ m^{3}} = 10^{5} \ A/m$.
चुंबकन $M$,चुंबकीय तीव्रता $H$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध $M = \chi H$ है।
अतः,$H = \frac{M}{\chi} = \frac{10^{5}}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{11} \ A/m = 2 \times 10^{10} \ A/m$.

(C) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_r = 1 + \chi$.
दिया गया है कि सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 5500$ है।
इसलिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi = \mu_r - 1$ होगी।
मान रखने पर: $\chi = 5500 - 1 = 5499$।
अतः,लोहे की चुंबकीय प्रवृत्ति $5499$ है।

(D) नमूने का आयतन $V$, द्रव्यमान और घनत्व के अनुपात द्वारा प्राप्त किया जाता है: $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
आयतन को $SI$ इकाइयों में बदलने पर: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण $m$ के रूप में परिभाषित किया जाता है: $M = \frac{m}{V}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ A/m}$.

(A) किसी पदार्थ के भीतर कुल चुंबकीय क्षेत्र $(B)$,बाहरी धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_{0} = \mu_{0}H)$ और चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_{m} = \mu_{0}M)$ के योग के बराबर होता है।
अतः,$B = \mu_{0}(H + M)$.
हम जानते हैं कि चुंबकन $(M)$ और चुंबकीय तीव्रता $(H)$ के बीच का संबंध संवेदनशीलता $(\chi)$ द्वारा $M = \chi H$ के रूप में दिया जाता है।
इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$B = \mu_{0}(H + \chi H) = \mu_{0}H(1 + \chi)$.
अनुपात $\frac{B}{H}$ प्राप्त करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{B}{H} = \mu_{0}(1 + \chi)$.

(C) चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ को चुंबकीय प्रेरण $B$ और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\mu = \frac{B}{H}$ है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ होता है,इसलिए $B = \frac{\phi}{A}$ होगा।
इस मान को पारगम्यता के सूत्र में रखने पर: $\mu = \frac{\phi}{A \cdot H}$।
दिए गए मान:
$\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
$A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$H = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$
$\mu$ की गणना करने पर:
$\mu = \frac{6 \times 10^{-4}}{(3 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^3)} = \frac{6 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-1}} = 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$।

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $a = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$,
चुंबकीय आघूर्ण $M = 1 \ A \cdot m^2$.
चुंबकन $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$I = \frac{M}{V}$
जहाँ $V$ छड़ चुंबक का आयतन है,$V = a \times l$.
मान रखने पर:
$V = (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times (5 \times 10^{-2} \ m) = 10 \times 10^{-6} \ m^3 = 10^{-5} \ m^3$.
अब,चुंबकन $I$ की गणना करने पर:
$I = \frac{1 \ A \cdot m^2}{10^{-5} \ m^3} = 10^5 \ A/m$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) चुंबकीय तीव्रता $(H)$ को प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चुंबकीय तीव्रता का सूत्र $H = \frac{nI}{L}$ है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ विद्युत धारा है और $L$ लंबाई है।
चूँकि फेरों की संख्या $(n)$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए $H$ की विमाएँ $\frac{I}{L}$ की विमाओं द्वारा दी जाती हैं।
विद्युत धारा $(I)$ की विमा $[I^1]$ है और लंबाई $(L)$ की विमा $[L^1]$ है।
अतः,चुंबकीय तीव्रता की विमाएँ $[L^{-1} M^0 T^0 I^1]$ हैं।

(D) किसी चुंबकीय पदार्थ की सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ को पदार्थ की पारगम्यता $\mu$ और निर्वात की पारगम्यता $\mu_0$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$ है।
साथ ही,सापेक्ष पारगम्यता और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ के बीच का संबंध $\mu_r = 1 + \chi_m$ है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\mu}{\mu_0} = 1 + \chi_m$ प्राप्त होता है।
अतः,पदार्थ की पारगम्यता $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ होती है।

(A) चुंबकन $(M)$ को प्रति इकाई आयतन शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है।
$M = \frac{M_{\text{net}}}{V}$
दिया गया है:
परमाणुओं की संख्या $(N)$ = $4 \times 10^{14}$
प्रत्येक परमाणु का चुंबकीय आघूर्ण $(m)$ = $16 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$
घन की भुजा की लंबाई $(a)$ = $2 \mu m = 2 \times 10^{-6} \text{ m}$
घन का आयतन $(V)$ = $a^3 = (2 \times 10^{-6})^3 = 8 \times 10^{-18} \text{ m}^3$
कुल चुंबकीय आघूर्ण $(M_{\text{net}})$ = $N \times m = (4 \times 10^{14}) \times (16 \times 10^{-24}) = 64 \times 10^{-10} \text{ A m}^2$
अब,चुंबकन की गणना करने पर:
$M = \frac{64 \times 10^{-10}}{8 \times 10^{-18}}$
$M = 8 \times 10^8 \times 10^{-4} = 8 \times 10^4 \text{ A m}^{-1}$

(B) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $ \chi $ उसके परम तापमान $ T $ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$ \chi \propto \frac{1}{T} $।
इसका अर्थ है कि $ \chi T = \text{स्थिरांक} $।
इसलिए,दो अलग-अलग तापमानों $ T_{1} $ और $ T_{2} $ के लिए,जिनकी संबंधित प्रवृत्तियाँ $ \chi_{1} $ और $ \chi_{2} $ हैं,हमारे पास $ \chi_{1} T_{1} = \chi_{2} T_{2} $ होगा।

(A) डोमेन का आयतन $V$ उसकी भुजा की लंबाई के घन के बराबर है: $V = (2 \times 10^{-6} m)^3 = 8 \times 10^{-18} m^3$.
कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{\text{net}}$ परमाणुओं की संख्या और प्रति परमाणु द्विध्रुव आघूर्ण का गुणनफल है: $M_{\text{net}} = (9 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} A m^2) = 81 \times 10^{-14} A m^2$.
चुंबकन $I$ को प्रति इकाई आयतन कुल चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है: $I = \frac{M_{\text{net}}}{V} = \frac{81 \times 10^{-14} A m^2}{8 \times 10^{-18} m^3}$.
गणना करने पर: $I = 10.125 \times 10^4 A m^{-1} \approx 10 \times 10^4 A m^{-1}$.

(B) चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B$,चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ और चुंबकीय तीव्रता $H$ के बीच का संबंध $B = \mu H$ है।
दिया गया है कि $\mu = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \ H m^{-1}$ और $B = 1 \ T$ है।
$\mu$ के व्यंजक को $B = \mu H$ सूत्र में रखने पर:
$B = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \times H$
$B = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
चूंकि $B = 1 \ T$ दिया गया है,इसलिए:
$1 = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
$0.6 = 12 \times 10^{-4} H$
$H = \frac{0.6}{12 \times 10^{-4}} = \frac{0.6 \times 10^4}{12} = \frac{6000}{12} = 500 \ A m^{-1}$.

(D) माना कि पदार्थ के बाहर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B_0$ है।
दिया गया है कि पदार्थ के अंदर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B = 4 B_0$ है।
पदार्थ के अंदर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व और बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के बीच का संबंध $B = \mu_r B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_r$ पदार्थ की सापेक्ष चुंबकीय पारगम्यता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 B_0 = \mu_r B_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu_r = 4$।

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = B \cdot A$ है।
चूंकि $B = \mu H$ और $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$,इसलिए $\phi = \mu_0(1 + \chi_m) H A$ होता है।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 0.25 \ cm^2 = 0.25 \times 10^{-4} \ m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = 1000 \ Am^{-1}$.
चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 313$.
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$.
मान रखने पर:
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1 + 313) \times 1000 \times (0.25 \times 10^{-4})$
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 314 \times 10^3 \times 0.25 \times 10^{-4}$
$\phi = 4 \pi \times 314 \times 0.25 \times 10^{-8}$
$\phi = 314 \pi \times 10^{-8} \approx 986.45 \times 10^{-8} \approx 9.87 \times 10^{-6} \ Wb$.

(A) चुंबकन $M$ का सूत्र $M = \chi H$ है,जहाँ $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility) है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
परिनालिका के लिए,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = nI$ होती है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
चुंबकीय प्रवृत्ति और सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ के बीच संबंध $\chi = \mu_r - 1$ है।
दिया गया है: $n = 900 \ m^{-1}$,$I = 2.5 \ A$,और $\mu_r = 501$।
इन मानों को सूत्र $M = nI(\mu_r - 1)$ में रखने पर:
$M = 900 \times 2.5 \times (501 - 1)$
$M = 2250 \times 500$
$M = 1,125,000 \ A \ m^{-1} = 1.125 \times 10^6 \ A \ m^{-1}$।

(A) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_r = 1 + \chi_m$.
दिया गया है कि चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 0.6$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\mu_r = 1 + 0.6 = 1.6$.
हम जानते हैं कि सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$,पदार्थ की पारगम्यता $\mu$ और मुक्त स्थान की पारगम्यता $\mu_0$ का अनुपात है,अर्थात $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$.
इसलिए,$\frac{\mu}{\mu_0} = 1.6$.
$1.6$ को भिन्न में बदलने पर: $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
अतः,पदार्थ की पारगम्यता और मुक्त स्थान की पारगम्यता का अनुपात $8:5$ है।

(C) चुम्बकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $B$ चुम्बकीय क्षेत्र है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \pi \times 10^{-5} \ Wb}{2 \times 10^{-5} \ m^2} = 1.2 \pi \ T$.
अब,चुम्बकीय क्षेत्र $B$ और चुम्बकन क्षेत्र $H$ के बीच का संबंध $B = \mu H$ है।
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{1.2 \pi \ T}{2400 \ A/m} = 5 \pi \times 10^{-4} \ T \cdot m/A$.
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ का सूत्र $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$ है।
$\mu_r = \frac{5 \pi \times 10^{-4}}{4 \pi \times 10^{-7}} = 1250$.
चूँकि $\mu_r = 1 + \chi$,इसलिए चुम्बकीय प्रवृत्ति $\chi = \mu_r - 1 = 1250 - 1 = 1249$ होगी।

(B) चुंबकीय पदार्थ से भरे टोरोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0(H + M) = \mu_0 H(1 + \chi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति है।
चूंकि निर्वात में प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 H$ है,इसलिए $B = B_0(1 + \chi)$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र में वृद्धि $\Delta B = B - B_0 = B_0 \chi$ है।
आंशिक वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} = \chi$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ है।
यहाँ $\chi = 2 \times 10^{-5}$ दिया गया है,इसलिए प्रतिशत वृद्धि $(2 \times 10^{-5}) \times 100 = 2 \times 10^{-3} \%$ होगी।

(D) सापेक्ष पारगम्यता $(\mu_r)$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi_m)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\mu_r = 1 + \chi_m$
यहाँ $\mu_r = 5500$ दिया गया है,इसलिए सूत्र को $\chi_m$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\chi_m = \mu_r - 1$
मान रखने पर:
$\chi_m = 5500 - 1 = 5499$
अतः,चुंबकीय प्रवृत्ति $5499$ है।

(D) चुंबकीय प्रेरण $B$,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ और सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ के बीच संबंध $B = \mu H = \mu_r \mu_0 H$ है।
यहाँ,$B = 1 \ Wb \ m^{-2}$ और $H = 150 \ A \ m^{-1}$ दिया गया है।
$\mu_r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\mu_r = \frac{B}{\mu_0 H}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu_r = \frac{1}{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 150}$
$\mu_r = \frac{1}{600 \pi \times 10^{-7}}$
$\mu_r = \frac{10^7}{600 \pi} = \frac{10^5}{6 \pi}$.