Leibnitz's rule, Wall's Formula Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt.$
कलन के मूलभूत प्रमेय (Leibniz's Rule) के अनुसार,यदि $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \,dt$ है,तो $f^{\prime}(x) = g(x)$ होता है।
यहाँ,$g(t) = t \sin t$ है।
इसलिए,$f^{\prime}(x) = x \sin x$ होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना $L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,अंश का अवकलन $\frac{d}{dx} \int_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt = (x-1)^{2} \cos((x-1)^{4}) \cdot 2(x-1) = 2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})$ है।
हर का अवकलन $\frac{d}{dx} ((x-1) \sin(x-1)) = \sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)$ है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{3} \cos((x-1)^{4})}{\sin(x-1) + (x-1) \cos(x-1)}$.
अंश और हर को $(x-1)$ से विभाजित करने पर:
$L = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2(x-1)^{2} \cos((x-1)^{4})}{\frac{\sin(x-1)}{x-1} + \cos(x-1)}$.
जैसे ही $x \rightarrow 1$,$(x-1) \rightarrow 0$,इसलिए $\frac{\sin(x-1)}{x-1} \rightarrow 1$ और $\cos(x-1) \rightarrow 1$.
$L = \frac{2(0)^{2} \cdot \cos(0)}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$.

(A) सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt}{x^{3}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम देखते हैं कि यह $\frac{0}{0}$ रूप में है।
एल-हॉस्पिटल नियम और लाइबनिज इंटीग्रल नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt = (\sin \sqrt{x^{2}}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = (\sin x) \cdot (2x)$.
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$.
अब,सीमा इस प्रकार होगी:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin x}{3x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x}{3x}$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$.

(D) दिया गया है $\int\limits_{\cos x}^{1} t^{2} f(t) d t = \sin^{3} x + \cos x - 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):
$-(\cos x)^{2} f(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3 \sin^{2} x \cos x - \sin x$.
$\sin x \cos^{2} x f(\cos x) = \sin x (3 \sin x \cos x - 1)$.
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $\sin x \neq 0$,अतः $\cos^{2} x f(\cos x) = 3 \sin x \cos x - 1$.
$f(\cos x) = 3 \tan x \sec x - \sec^{2} x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(\cos x) \cdot (-\sin x) = 3(\sec x \cdot \sec^{2} x + \tan x \cdot \sec x \tan x) - 2 \sec x \cdot \sec x \tan x$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर,$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,$\sec x = \sqrt{3}$,और $\tan x = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) = 3(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) - 2(3)(\sqrt{2}) = 15\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$.
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}} f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 6 - \frac{9}{\sqrt{2}}$।

(B) दिया गया समीकरण: $f(x)+\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t=\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) \cos 2 x+\frac{2}{a} x$ $(i)$.
$x=0$ पर,$f(0) + 0 = (1+1)\cos(0) + 0$,अतः $f(0)=2$.
समाकलन $\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t$ के लिए लेबनीज नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t = \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) d t = f(x) - f(0)$.
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) + f(x) - f(0) = \frac{d}{dx} [2 \cosh(2x) \cos(2x)] + \frac{2}{a}$.
$f^{\prime}(x) + f(x) - 2 = 4 \sinh(2x) \cos(2x) - 4 \cosh(2x) \sin(2x) + \frac{2}{a}$.
$x=0$ रखने पर,$f^{\prime}(0) + f(0) - 2 = 0 - 0 + \frac{2}{a}$.
दिया गया है कि $f^{\prime}(0)=4$ और $f(0)=2$,अतः $4 + 2 - 2 = \frac{2}{a}$,जिसका अर्थ है $4 = \frac{2}{a}$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$.
अंत में,$(2a+1)^5 a^2 = (2(\frac{1}{2})+1)^5 (\frac{1}{2})^2 = (2)^5 \cdot \frac{1}{4} = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$.

(B) मान लीजिए $t = \frac{\lambda^{2} x}{3}$। तब $dt = \frac{2\lambda x}{3} d\lambda$,जिसका अर्थ है $d\lambda = \frac{3}{2\lambda x} dt = \frac{3}{2\sqrt{3tx/3} x} dt = \frac{3}{2x\sqrt{tx/3}} dt = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{x} f(t) \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$।
अतः,$\sqrt{x} f(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} f(x) + \sqrt{x} f'(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$।
$2\sqrt{x}$ से गुणा करने पर:
$f(x) + 2x f'(x) = 2f(x) \implies 2x f'(x) = f(x)$।
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|f(x)| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \implies f(x) = k\sqrt{x}$।
दिया गया है $f(1) = \sqrt{3}$,इसलिए $k\sqrt{1} = \sqrt{3} \implies k = \sqrt{3}$।
अतः,$f(x) = \sqrt{3x}$।
चूंकि $f(\alpha) = 6$,इसलिए $\sqrt{3\alpha} = 6 \implies 3\alpha = 36 \implies \alpha = 12$।

(A) दिया गया है $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x$.
लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt + e^x (e^{-x} f'(x)) - [(2x - 1) e^x + (x^2 - x + 1) e^x]$.
चूँकि $f(x) = e^x \int_{0}^{x} e^{-t} f'(t) dt$,इसलिए $f'(x) = f(x) + f'(x) - (x^2 + x) e^x$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $f(x) = (x^2 + x) e^x$ देता है।
अब,$f'(x) = (2x + 1) e^x + (x^2 + x) e^x = (x^2 + 3x + 1) e^x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 + 3x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
न्यूनतम मान $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ पर प्राप्त होता है।
इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर न्यूनतम मान $-\frac{2}{\sqrt{e}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ है।
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
$L'\text{Hospital}$ नियम लागू करने पर,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^4)}$.
$\text{Leibniz}$ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx} \int _{0}^{x} f(t) dt = f(x)$:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{x^6+1}}{4x^3}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4x^3(x^6+1)} = 48 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{4(x^6+1)}$.
$x \rightarrow 0$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$L = \frac{48}{4(0^6+1)} = \frac{48}{4} = 12$.

(A) दिया गया समीकरण $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dt} \left( \int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} t^3 \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए: $(f(t^2) + (t^2)^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = 4t^2$.
$(f(t^2) + t^4) \cdot 2t = 4t^2$.
चूंकि $t > 0$,हम $2t$ से विभाजित कर सकते हैं:
$f(t^2) + t^4 = 2t$.
$f(t^2) = 2t - t^4$.
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$t^2 = \frac{\pi^2}{4}$ रखने पर,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{2}$ ($t > 0$ होने के कारण)।
$t = \frac{\pi}{2}$ को $f(t^2)$ के समीकरण में रखने पर:
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = 2 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{2}\right)^4$.
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi - \frac{\pi^4}{16}$.
$\pi$ को कॉमन लेने पर:
$f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$.

(B) रेखा का समीकरण $45 x+5 y+3=0$ है,जिसे $5 y = -45 x - 3$ या $y = -9 x - \frac{3}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः ढाल $-9$ है।
दिया गया है कि ढाल $27 r_1+\frac{9 r_2}{2} = -9$ है।
मान लीजिए $f(x) = \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt$ है। हमें $\lim_{x \rightarrow 3} f(x)$ ज्ञात करना है।
चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\frac{d}{dx} \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt}{\frac{d}{dx} (\text{हर})}$.
Leibniz के नियम के अनुसार,$x=3$ पर सीमा $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{8 x^2}{\frac{3 r_2}{2} - 2 r_2 x - 3 r_1 x^2 - 3}$ हो जाती है।
$x=3$ रखने पर: $\frac{8(9)}{\frac{3 r_2}{2} - 6 r_2 - 27 r_1 - 3} = \frac{72}{-\frac{9 r_2}{2} - 27 r_1 - 3}$.
चूंकि $27 r_1 + \frac{9 r_2}{2} = -9$ है,इसलिए हर $-(-9) - 3 = 9 - 3 = 6$ हो जाता है।
अतः,सीमा का मान $\frac{72}{6} = 12$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. चूँकि समाकल्य एक सम फलन है,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.
लाइबनीज के नियम के अनुसार,$f'(x) = 2(x - x^2) e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$.
दिया गया है $g(x) = \int_{0}^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$. मान लीजिए $t = u^2$,तो $dt = 2u du$. जब $t=0, u=0$ और जब $t=x^2, u=x$.
अतः,$g(x) = \int_{0}^{x} u e^{-u^2} (2u) du = 2 \int_{0}^{x} u^2 e^{-u^2} du$.
लाइबनीज के नियम के अनुसार,$g'(x) = 2x^2 e^{-x^2}$.
अब,$f'(x) + g'(x) = (2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}) + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$f(x) + g(x) = \int 2xe^{-x^2} dx = -e^{-x^2} + C$.
चूँकि $f(0) = 0$ और $g(0) = 0$,हमारे पास $f(0) + g(0) = 0$ है,इसलिए $C = 1$.
अतः,$f(x) + g(x) = 1 - e^{-x^2}$.
$x = \sqrt{\log_{e} 9}$ के लिए,$x^2 = \log_{e} 9$.
तब $f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}) = 1 - e^{-\log_{e} 9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
नोट: दिए गए विकल्प $9$ के गुणक में प्रतीत होते हैं। यदि प्रश्न $9(f+g)$ का मान पूछता है,तो उत्तर $8$ है।

(B) फलन $f(x) = \int_0^{x \tan^{-1} x} \frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा दिया गया है।
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ प्राप्त किया जा सकता है।
हालाँकि,फलन की संरचना को देखते हुए,हम ध्यान देते हैं कि $x=0$ के लिए,$f(0) = \int_0^0 \dots dt = 0$ होता है।
$x \neq 0$ के लिए,$x \tan^{-1} x > 0$ होता है क्योंकि $\tan^{-1} x$ का चिह्न $x$ के समान ही होता है।
चूंकि समाकल्य (integrand) $\frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}}$,$t \geq 0$ के लिए धनात्मक है,और ऊपरी सीमा $x \tan^{-1} x$ हमेशा अ-ऋणात्मक (non-negative) है,इसलिए समाकलन $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अ-ऋणात्मक है।
विशेष रूप से,सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ और $f(0) = 0$ है।
अतः,फलन का न्यूनतम मान $0$ है।

(C) दिया गया है $g(x) = \int_{\sin x}^{\sin(2x)} \sin^{-1}(t) \, dt$।
लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए:
$g^{\prime}(x) = \sin^{-1}(\sin(2x)) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x)) - \sin^{-1}(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$।
$g^{\prime}(x) = \sin^{-1}(\sin(2x)) \cdot (2\cos(2x)) - \sin^{-1}(\sin x) \cdot (\cos x)$।
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए:
$g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin^{-1}(\sin(\pi)) \cdot (2\cos(\pi)) - \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2})) \cdot (\cos(\frac{\pi}{2}))$।
चूंकि $\sin(\pi) = 0$,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए दूसरा पद भी $0$ होगा।
अतः,$g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \cdot (-2) - (\frac{\pi}{2}) \cdot 0 = 0$।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है $f(x)=\int_{1 / x}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(x) = e^{-\left(x+\frac{1}{x}\right)} \cdot \frac{1}{x} - e^{-\left(\frac{1}{x}+x\right)} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2 e^{-\left(x+\frac{1}{x}\right)}}{x}$.
$(A)$ $x \in [1, \infty)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$,अतः $f(x)$ वर्धमान फलन है। अतः $(A)$ सही है।
$(B)$ $x \in (0, 1)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$,अतः $f(x)$ वर्धमान फलन है। अतः $(B)$ गलत है।
$(C)$ $f(1/x) = \int_{x}^{1/x} e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{dt}{t}$. $t = 1/u$ रखने पर,$f(1/x) = -f(x)$. अतः $f(x) + f(1/x) = 0$. अतः $(C)$ सही है।
$(D)$ $g(x) = f(2^x)$ लेने पर,$g(-x) = f(2^{-x}) = -f(2^x) = -g(x)$. अतः $f(2^x)$ एक विषम फलन है। अतः $(D)$ सही है।
सही विकल्प $(A, C, D)$ है।

(B) दिया गया है $F'(a) + 2 = \int_0^a f(x) \, dx$.
दोनों पक्षों का $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$F''(a) = f(a)$.
अब,लेबनीज़ नियम का उपयोग करके $F'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$F(x) = \int_x^{x^2+\frac{\pi}{6}} 2 \cos^2 t \, dt$.
$F'(x) = 2 \cos^2(x^2 + \frac{\pi}{6}) \cdot (2x) - 2 \cos^2(x)$.
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,हमें $F''(0)$ की आवश्यकता है।
$F''(x) = \frac{d}{dx} [4x \cos^2(x^2 + \frac{\pi}{6}) - 2 \cos^2(x)]$.
$F''(x) = 4 \cos^2(x^2 + \frac{\pi}{6}) - 8x^2 \sin(2(x^2 + \frac{\pi}{6})) + 2 \sin(2x)$.
$x=0$ रखने पर:
$f(0) = F''(0) = 4 \cos^2(\frac{\pi}{6}) - 0 + 0$.
$f(0) = 4 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.

(B) चूंकि $f$ एक विषम फलन है,$f(-t) = -f(t)$।
$F(1) = \int_{-1}^1 f(t) dt = 0$ क्योंकि एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है।
$G(1) = \int_{-1}^1 t|f(f(t))| dt = 0$ क्योंकि समाकल्य $h(t) = t|f(f(t))|$ एक विषम फलन है $(h(-t) = -t|f(f(-t))| = -t|f(-f(t))| = -t|f(f(t))| = -h(t))$।
सीमा $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)}$ के लिए $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F'(x)}{G'(x)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x|f(f(x))|} = \frac{f(1)}{1 \cdot |f(f(1))|} = \frac{1/2}{|f(1/2)|} = \frac{1}{14}$।
अतः,$|f(1/2)| = 7$। चूंकि $f$ एक सतत विषम फलन है जो केवल एक बिंदु $(x=0)$ पर शून्य होता है और $f(1) = 1/2 > 0$ है,इसलिए $x > 0$ के लिए $f(x)$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,$f(1/2) = 7$।

(A) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x} t f(t) dt = x^2 f(x)$ जहाँ $x > 0$ है।
लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x f(x) = x^2 f'(x) + 2x f(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 f'(x) = x f(x) - 2x f(x) = -x f(x)$.
चूँकि $x > 0$,हम $x^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\ln|f(x)| = -\ln|x| + C = \ln|\frac{k}{x}|$,जहाँ $C = \ln|k|$ है।
अतः,$f(x) = \frac{k}{x}$.
दिया गया है कि $f(2) = 3$,इसलिए $3 = \frac{k}{2}$,जिसका अर्थ है $k = 6$.
इस प्रकार,$f(x) = \frac{6}{x}$.
अंततः,$f(6) = \frac{6}{6} = 1$.

(D) माना $I = \int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ तब $\theta = 0$,और जब $x = 1$ तब $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} \theta (\cos^{2} \theta)^{3/2} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} \theta \cos^{4} \theta d\theta$.
वालिस सूत्र या बीटा फलन $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{m} \theta \cos^{n} \theta d\theta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $m=2, n=4$ है,अतः $I = \frac{\Gamma(3/2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(4)} = \frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{2 \cdot 6} = \frac{\frac{3}{8} \pi}{12} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}$.

(C) दिया गया है $I = \int_{-a}^a (x^4 - 2x^2) dx$.
चूंकि फलन $f(x) = x^4 - 2x^2$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_{0}^a (x^4 - 2x^2) dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^a = 2 \left( \frac{a^5}{5} - \frac{2a^3}{3} \right)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dI}{da} = 2(a^4 - 2a^2) = 2a^2(a^2 - 2)$.
$\frac{dI}{da} = 0$ रखने पर,हमें $a = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2I}{da^2} = 2(4a^3 - 4a) = 8a(a^2 - 1)$.
$a = \sqrt{2}$ के लिए,$\frac{d^2I}{da^2} = 8(\sqrt{2})(2 - 1) = 8\sqrt{2} > 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $I$ का मान $a = \sqrt{2}$ पर न्यूनतम है।

(B) चूँकि $f(x) = (4-x^2)^{5/2}$ एक सम फलन है, इसलिए $I = 2 \int_0^2 (4-x^2)^{5/2} dx$ होगा।
मान लीजिए $x = 2 \sin \theta$, तब $dx = 2 \cos \theta d\theta$ होगा।
जब $x = 0, \theta = 0$ और जब $x = 2, \theta = \frac{\pi}{2}$।
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (4 - 4 \sin^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta$.
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (4 \cos^2 \theta)^{5/2} (2 \cos \theta) d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} (32 \cos^5 \theta) (2 \cos \theta) d\theta$.
$I = 128 \int_0^{\pi/2} \cos^6 \theta d\theta$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\int_0^{\pi/2} \cos^n \theta d\theta = \frac{(n-1)(n-3)...(1)}{n(n-2)...(2)} \times \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है)।
$I = 128 \times \frac{5 \times 3 \times 1}{6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} = 128 \times \frac{15}{48} \times \frac{\pi}{2} = 128 \times \frac{5}{16} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times 5 \times \frac{\pi}{2} = 20 \pi$.

(D) माना $I = \int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx$.
चूँकि $f(x) = (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}}$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{5 \pi} (2 \sin^2 x)^{\frac{5}{2}} dx$.
$I = 2 \int_{0}^{5 \pi} 2^{\frac{5}{2}} |\sin x|^5 dx = 2 \times 4 \sqrt{2} \int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx = 8 \sqrt{2} \int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx$.
चूँकि $|\sin x|^5$ का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\int_{0}^{5 \pi} |\sin x|^5 dx = 5 \int_{0}^{\pi} \sin^5 x dx = 5 \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x dx = \frac{4 \times 2}{5 \times 3} = \frac{8}{15}$.
अतः,$I = 8 \sqrt{2} \times 5 \times 2 \times \frac{8}{15} = 80 \sqrt{2} \times \frac{8}{15} = 16 \sqrt{2} \times \frac{8}{3} = \frac{128 \sqrt{2}}{3}$.

(A) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)\dots] \cdot [(n-1)(n-3)\dots]}{(m+n)(m+n-2)\dots} \cdot k$,जहाँ यदि $m$ और $n$ दोनों सम हैं तो $k = \frac{\pi}{2}$,और अन्यथा $k = 1$ है।
दिया गया है $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^4 x \, dx = \frac{7 \pi}{2048}$।
चूँकि परिणाम में $\pi$ है,इसलिए $m$ और $4$ दोनों सम होने चाहिए,अतः $m$ सम है और $k = \frac{\pi}{2}$ है।
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$I = \frac{(m-1)(m-3)\dots(1) \cdot (4-1)(4-3)}{(m+4)(m+2)(m)(m-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{7 \pi}{2048}$।
यदि $m = 8$ हो:
$I = \frac{(7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 1)}{(12 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{105 \cdot 3}{46080} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{315 \pi}{92160} = \frac{7 \pi}{2048}$।
अतः,$m = 8$ है।

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022}(-x)}{1+(2022)^{-x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+\frac{1}{(2022)^x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{(2022)^x \cos ^{2022} x}{(2022)^x+1} d x$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x (1+(2022)^x)}{1+(2022)^x} d x = \int_{-\pi}^\pi \cos ^{2022} x d x$
चूंकि $\cos ^{2022} x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x$,अतः $I = \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x = 2 \int_0^{\pi/2} \cos ^{2022} x d x$.
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \cos^n x d x = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{2021!!}{2022!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2021!!}{2022!!} \pi = \frac{2021!! \cdot 2022!!}{(2022!!)^2} \pi = \frac{2022!}{(2^{1011} \cdot 1011!)^2} \pi = \frac{2022!}{2^{2022} (1011!)^2} \pi$.

(B) चूंकि फलन $f(x) = \sin^4 x \cos^6 x$ एक सम फलन है,इसलिए:
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times \frac{\Gamma(\frac{4+1}{2}) \Gamma(\frac{6+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{4+6+2}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{7}{2})}{\Gamma(6)}$
$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ और $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ का उपयोग करने पर:
$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$
$\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{15}{8} \sqrt{\pi}$
$\Gamma(6) = 5! = 120$
$I = \frac{(\frac{3}{4} \sqrt{\pi}) (\frac{15}{8} \sqrt{\pi})}{120} = \frac{45 \pi}{32 \times 120} = \frac{3 \pi}{256}$

(B) माना $I = \int_0^\pi x \sin^5 x \cos^6 x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx$
चूंकि $\sin^5 x \cos^6 x$,$x = \pi/2$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx$।
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ का उपयोग करने पर:
$\int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx = \frac{(4 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 3 \cdot 1)}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 15}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 15} = \frac{8}{693}$।
अतः,$2I = \pi \cdot 2 \cdot \frac{8}{693} = \frac{16\pi}{693}$।
$I = \frac{8\pi}{693}$।

(A) माना $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$.
चूंकि $f(x) = \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x)$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x$.
माना $2x = t$,तब $2 dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{1}{2} dt$.
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = 2 \pi, t = 4 \pi$.
$I = 2 \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) \frac{1}{2} dt = \int_{0}^{4 \pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$.
गुणधर्म $\int_{0}^{n T} f(t) dt = n \int_{0}^{T} f(t) dt$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $T = \pi$:
$I = 4 \int_{0}^{\pi} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 4 \times 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4(t) \cos ^6(t) dt$.
वालिस के सूत्र $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m(x) \cos^n(x) dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$I = 8 \times \frac{(3 \times 1) \times (5 \times 3 \times 1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times \frac{45 \pi}{7680} = \frac{3 \pi}{64}$.

(A) माना $I = \int_0^\pi x \sin^4 x \cos^6 x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो,तो $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \cos^6 x \, dx$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जब $m, n$ सम हों) का उपयोग करने पर:
$I = \pi \left( \frac{3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{45}{3840} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{3}{256} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3 \pi^2}{512}$.

(B) दिया गया समीकरण $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t = \cos 2 x$ है।
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t = \frac{d}{dx} (\cos 2 x)$
$(\cos x)^2 f(\cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = -2 \sin 2 x$
$\cos^2 x \cdot f(\cos x) \cdot (-\sin x) = -2 \sin 2 x$
चूंकि $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए:
$-\cos^2 x \cdot f(\cos x) \cdot \sin x = -2(2 \sin x \cos x)$
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$\sin x \neq 0$ और $\cos x \neq 0$ है,इसलिए हम $-\sin x \cos x$ से विभाजित कर सकते हैं:
$f(\cos x) = \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x \sin x} = \frac{4}{\cos x}$
हमें $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ज्ञात करना है। मान लीजिए $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{4}$।
इस मान को $f(\cos x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{1/\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.

(D) समाकलन के अंतर्गत अवकलन के लिए $Leibnitz$ नियम के अनुसार,हमारे पास है: $\frac{d}{dt} \int_{g(t)}^{h(t)} f(x) dx = f(h(t)) \cdot h'(t) - f(g(t)) \cdot g'(t)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy = 2 \sqrt{x} - 6$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy \right) = \frac{d}{dx} (2 \sqrt{x} - 6)$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,बाएँ पक्ष का अवकलन $\frac{f(x)}{x^2}$ है।
दाएँ पक्ष का अवकलन $2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{f(x)}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$f(x)$ के लिए हल करने पर: $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = x^{2 - 1/2} = x^{3/2} = x \sqrt{x}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$.
चूंकि $x$,$t$ से स्वतंत्र है,हम इसे $x \int_0^{x^2} f(t) dt = x^5 - x^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है $\int_0^{x^2} f(t) dt = x^4 - x^2$.
लेबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2)$.
$f(x^2) \cdot (2x) = 4x^3 - 2x$.
$f(x^2) = \frac{4x^3 - 2x}{2x} = 2x^2 - 1$.
$f(1)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = 1$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $x = 1$.
$f(x^2)$ के व्यंजक में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$.
अतः,$f(1)$ का मान $1$ है।

(C) समाकल $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वालिस के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)(n-3) \dots (1)}{n(n-2) \dots (2)} \times \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n$ एक सम संख्या है।
यहाँ,$n = 8$ है।
$I = \frac{7 \times 5 \times 3 \times 1}{8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{105}{384} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{105 \pi}{768}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{35 \pi}{256}$.

(D) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \sin ^5\left(\frac{r \pi}{6 n}\right)$ है।
निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{kn} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \sin^5\left(\frac{\pi}{6} x\right)$ और $k=3$ है।
अतः,समाकलन $\int_0^3 \sin ^5\left(\frac{\pi}{6} x\right) dx$ होगा।
मान लीजिए $t = \frac{\pi}{6} x$,तो $dt = \frac{\pi}{6} dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{6}{\pi} dt$।
जब $x=0, t=0$ और जब $x=3, t=\frac{\pi}{2}$ होता है।
समाकलन $\frac{6}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt$ बन जाता है।
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt = \frac{4 \times 2}{5 \times 3 \times 1} = \frac{8}{15}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,मान $\frac{6}{\pi} \times \frac{8}{15} = \frac{2 \times 8}{5 \pi} = \frac{16}{5 \pi}$ है।

(C) माना $I = \int_0^\pi x \sin^7 x \cos^6 x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin^7 x \cos^6 x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो,तो $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \sin^7 x \cos^6 x \, dx$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \times \frac{6 \times 4 \times 2 \times 5 \times 3 \times 1}{13 \times 11 \times 9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1} = \pi \times \frac{48}{13 \times 11 \times 9 \times 7} = \pi \times \frac{16}{13 \times 11 \times 3 \times 7} = \frac{16 \pi}{3003}$.

(D) माना $I = \int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ है।
$x = \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ है,तो $\theta = 0$ और जब $x = 1$ है,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{3/2} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot (2 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \cdot \cos \theta \cdot 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta$
वालिस सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \left[ \frac{(3 \cdot 1) \cdot (1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$
$I = 2 \cdot \left[ \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{16}$.

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_0^{x^3} f(t) d t = x^2 \sin(2 \pi x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{d x}\left[\int_0^{x^3} f(t) d t\right] = \frac{d}{d x}\left[x^2 \sin(2 \pi x)\right]$
$f(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 2x \sin(2 \pi x) + x^2 \cdot \cos(2 \pi x) \cdot 2 \pi$
$f(x^3) \cdot 3x^2 = 2x \sin(2 \pi x) + 2 \pi x^2 \cos(2 \pi x)$
दोनों पक्षों को $3x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ के लिए):
$f(x^3) = \frac{2x \sin(2 \pi x) + 2 \pi x^2 \cos(2 \pi x)}{3x^2}$
$f(x^3) = \frac{2}{3x} \sin(2 \pi x) + \frac{2 \pi}{3} \cos(2 \pi x)$
$f(8)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x^3 = 8$ रखने पर,जिसका अर्थ है $x = 2$:
$f(8) = \frac{2}{3(2)} \sin(4 \pi) + \frac{2 \pi}{3} \cos(4 \pi)$
चूंकि $\sin(4 \pi) = 0$ और $\cos(4 \pi) = 1$:
$f(8) = \frac{1}{3}(0) + \frac{2 \pi}{3}(1) = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) माना $I = \int_0^2 x^{5/2} \sqrt{2-x} \, dx$ है।
$x = 2 \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 4 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, \theta=0$ और जब $x=2, \theta=\pi/2$ होता है।
$I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin^2 \theta)^{5/2} \sqrt{2 - 2 \sin^2 \theta} \cdot (4 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} (2^{5/2} \sin^5 \theta) (\sqrt{2} \cos \theta) (4 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} (2^{5/2} \cdot 2^{1/2} \cdot 4) \sin^6 \theta \cos^2 \theta \, d\theta$
$I = 32 \int_0^{\pi/2} \sin^6 \theta \cos^2 \theta \, d\theta$
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 32 \cdot \frac{(5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (1)}{(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2}$
$I = 32 \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = 32 \cdot \frac{5}{128} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5 \pi}{8}$.

(C) माना $I = \int_0^{2a} x^2 \sqrt{2ax-x^2} dx$.
$x = 2a \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 4a \sin \theta \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
सीमाएँ बदलती हैं: जब $x=0, \theta=0$; जब $x=2a, \theta=\frac{\pi}{2}$.
साथ ही,$\sqrt{2ax-x^2} = \sqrt{4a^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = 2a \sin \theta \cos \theta$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (2a \sin^2 \theta)^2 (2a \sin \theta \cos \theta) (4a \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$I = 32a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^6 \theta \cos^2 \theta d\theta$.
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 32a^4 \cdot \frac{(5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (1)}{(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi a^4}{8}$.
दिया गया है कि $I = ka^4$,अतः $k = \frac{5\pi}{8}$,जिसका अर्थ है $k : \pi = 5 : 8$.

(D) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.
यहाँ,$m = 8$ और $n = 2$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \cos^2 x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \Gamma(6)} = \frac{\Gamma(\frac{9}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2 \cdot 120}$.
$\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)$ का उपयोग करते हुए,$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ और $\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ है।
अतः,समाकलन $\frac{(\frac{105}{16} \sqrt{\pi}) \cdot (\frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{240} = \frac{105 \pi}{32 \cdot 240} = \frac{7 \pi}{512}$ है।

(D) माना $I = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ है।
चूंकि $f(x) = \sin ^4 x \cos ^6 x$ एक सम फलन है,$f(-x) = \sin ^4(-x) \cos ^6(-x) = \sin ^4 x \cos ^6 x = f(x)$,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_{0}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$।
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 4 \int_{0}^{a/2} f(x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$ और $f(a-x) = f(x)$,हम देखते हैं कि $\sin ^4 x \cos ^6 x$ का आवर्तकाल $\pi/2$ है।
अतः,$I = 2 \times 4 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$।
वालिस के सूत्र $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ (यदि $m, n$ सम हैं) का उपयोग करने पर:
$I = 8 \times \frac{3 \times 1 \times 5 \times 3 \times 1}{10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} = 8 \times \frac{45}{3840} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{64}$।

(C) माना $I = \int_{-5}^5 x^4(25-x^2)^{5/2} dx$. चूँकि फलन $f(x) = x^4(25-x^2)^{5/2}$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_0^5 x^4(25-x^2)^{5/2} dx$.
प्रतिस्थापन $x = 5 \sin \theta$ लेने पर,$dx = 5 \cos \theta d\theta$. जब $x=0, \theta=0$ और जब $x=5, \theta=\pi/2$.
$I = 2 \int_0^{\pi/2} (5 \sin \theta)^4 (25 - 25 \sin^2 \theta)^{5/2} (5 \cos \theta) d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} 5^4 \sin^4 \theta (25 \cos^2 \theta)^{5/2} (5 \cos \theta) d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} 5^4 \sin^4 \theta (5^5 \cos^5 \theta) (5 \cos \theta) d\theta = 2 \times 5^{10} \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^6 \theta d\theta$
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^m \theta \cos^n \theta d\theta = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times 5^{10} \times \frac{(3 \times 1) \times (5 \times 3 \times 1)}{(10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2)} \times \frac{\pi}{2}$
$I = 2 \times 5^{10} \times \frac{3 \times 15}{3840} \times \frac{\pi}{2} = 5^{10} \times \frac{45}{3840} \pi = 5^{10} \times \frac{3}{256} \pi = \frac{3(5^{10}) \pi}{256}$.

(B) हमें दिया गया है,$I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$।
$x = a \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$ और जब $x = a$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{a^n \sin^n \theta}{a \cos \theta} \cdot a \cos \theta d\theta = a^n \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta d\theta$।
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,सम $n$ के लिए $\int_0^{\pi/2} \sin^n \theta d\theta = \frac{(n-1)(n-3)\dots(1)}{n(n-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2}$।
$I_8 = a^8 \int_0^{\pi/2} \sin^8 \theta d\theta = a^8 \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right)$।
$I_4 = a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta d\theta = a^4 \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right)$।
इसलिए,$\frac{I_8}{I_4} = \frac{a^8 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{a^4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}} = a^4 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{35}{48} a^4$।

(C) माना $x = 2 \sin \theta$,तब $dx = 2 \cos \theta \, d\theta$।
जब $x = -2$,तो $\theta = -\frac{\pi}{2}$ और जब $x = 2$,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2 \sin \theta)^4 (4 - 4 \sin^2 \theta)^{7/2} (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16 \sin^4 \theta (4 \cos^2 \theta)^{7/2} (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16 \sin^4 \theta (2^7 \cos^7 \theta) (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = 16 \times 2^8 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta$
चूंकि फलन सम है,$I = 2 \times 2^{12} \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta = 2^{13} \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta$।
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 2^{13} \times \frac{(3 \times 1) \times (7 \times 5 \times 3 \times 1)}{12 \times 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = 2^{13} \times \frac{315}{46080} \times \pi = 28 \pi$।

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x \cos^4 x \, dx$ है।
वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)(m-3)\dots(1) \times (n-1)(n-3)\dots(1)}{(m+n)(m+n-2)\dots(2)} \times \frac{\pi}{2}$ (यदि $m$ और $n$ दोनों सम संख्याएँ हैं)।
यहाँ,$m = 6$ और $n = 4$ है।
$I = \frac{(6-1)(6-3)(6-5) \times (4-1)(4-3)}{(6+4)(6+4-2)(6+4-4)(6+4-6)(6+4-8)} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{5 \times 3 \times 1 \times 3 \times 1}{10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{45}{3840} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3}{256} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{512}$।

(D) माना $I = \int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \sin^2 6\theta \, d\theta$.
$3\theta = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d\theta = \frac{dt}{3}$.
जब $\theta = 0, t = 0$ और जब $\theta = \pi/6, t = \pi/2$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t \sin^2 2t \, dt$.
$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t (2 \sin t \cos t)^2 \, dt = \frac{4}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^6 t \sin^2 t \, dt$.
वालिस के सूत्र (Wallis's Formula) का उपयोग करने पर:
$I = \frac{4}{3} \left[ \frac{(2-1)!!(6-1)!!}{(2+6)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{4}{3} \left[ \frac{1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$.
$I = \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{192}$.

(D) माना $I = \int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a-x) = f(x)$ है,तो हम देखते हैं कि $(\sin^3(\pi-x) + \cos^2(\pi-x))^2 = (\sin^3 x + \cos^2 x)^2$.
अतः,$I = 2 \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^4 x + 2 \sin^3 x \cos^2 x) dx$.
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जब $n$ सम हो) या $\frac{(n-1)!!}{n!!}$ (जब $n$ विषम हो) का उपयोग करते हुए:
$I = 2 [ \int_0^{\pi/2} \sin^6 x dx + \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx + 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^2 x dx ]$.
$I = 2 [ (\frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + (\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + 2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx ]$.
माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x dx$.
$2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx = 2 \int_0^1 (u^2 - u^4) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_0^1 = 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2(\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$.
$I = 2 [ \frac{5\pi}{32} + \frac{3\pi}{16} ] + \frac{4}{15} = 2 [ \frac{5\pi + 6\pi}{32} ] + \frac{4}{15} = \frac{11\pi}{16} + \frac{4}{15}$.