int_{-pi}^pi frac{cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$  ...$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमे

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2022 !}{2^{2022}((1011) !)^2} \pi$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x$  ...$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022}(-x)}{1+(2022)^{-x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+\frac{1}{(2022)^x}} d x = \int_{-\pi}^\pi \frac{(2022)^x \cos ^{2022} x}{(2022)^x+1} d x$  ...(ii)$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x (1+(2022)^x)}{1+(2022)^x} d x = \int_{-\pi}^\pi \cos ^{2022} x d x$चूंकि $\cos ^{2022} x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x$,अतः $I = \int_0^\pi \cos ^{2022} x d x = 2 \int_0^{\pi/2} \cos ^{2022} x d x$.वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \cos^n x d x = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करने पर:$I = 2 \cdot \frac{2021!!}{2022!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{2021!!}{2022!!} \pi = \frac{2021!! \cdot 2022!!}{(2022!!)^2} \pi = \frac{2022!}{(2^{1011} \cdot 1011!)^2} \pi = \frac{2022!}{2^{2022} (1011!)^2} \pi$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x=$

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यदि $F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \log t \, dt$ $(x > 0)$ है,तो $F'(x) = $

$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx =$

यदि $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ है,तो:

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है कि $\frac{d}{d x}\left[\int_0^{\phi(x)} f(t) d t\right]=f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x)$. यदि $\int_0^{x^3} f(t) d t = x^2 \sin(2 \pi x)$ है,तो $f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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