Crystal packing Questions in Gujarati

(C) $hcp$ લેટીસમાં,$O$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 6$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= N = 6$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2N = 12$.
$A$ ના પરમાણુઓ $25\%$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે: $A = 0.25 \times 12 = 3$.
$B$ ના પરમાણુઓ $50\%$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે: $B = 0.50 \times 6 = 3$.
$hcp$ લેટીસમાં $O$ ના પરમાણુઓ $= 6$.
$A:B:O$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $3:3:6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1:1:2$ થાય છે.
તેથી,આણ્વીય સૂત્ર $ABO_2$ છે.

(A) ધારો કે $hcp$ લેટીસમાં $C$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની કુલ સંખ્યા $= n = 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની કુલ સંખ્યા $= 2n = 8$.
$A$ ના પરમાણુઓ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના $50\%$ રોકે છે,તેથી $A = 4 \times 0.5 = 2$.
$B$ ના પરમાણુઓ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $\frac{2}{3}$ ભાગ રોકે છે,તેથી $B = 8 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.
$A:B:C$ નો ગુણોત્તર $2 : \frac{16}{3} : 4$ છે.
પૂર્ણાંક સંખ્યા મેળવવા માટે $3$ વડે ગુણતા,આપણને $6 : 16 : 12$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,સૌથી સરળ ગુણોત્તર $3 : 8 : 6$ મળે છે.
આમ,આણ્વીય સૂત્ર $A_3 B_8 C_6$ છે.

(C) $ccp$ લેટીસમાં,ધારો કે $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= N = 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2N = 8$.
$X$ ના પરમાણુઓ $50\%$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે $= 0.5 \times 4 = 2$.
$X$ ના પરમાણુઓ $x\%$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે $= \frac{x}{100} \times 8 = 0.08x$.
$X$ ના કુલ પરમાણુઓ $= 2 + 0.08x$.
આપેલ સૂત્ર $X_3Y_2$ છે,તેથી ગુણોત્તર $X:Y = 3:2$.
$Y = 4$ હોવાથી,$X = \frac{3}{2} \times 4 = 6$.
$2 + 0.08x = 6$ $\Rightarrow 0.08x = 4$ $\Rightarrow x = 50$.
રોકાયેલા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની ટકાવારી $= 50\%$.
ખાલી રહેલા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની ટકાવારી $= 100 - 50 = 50\%$.

(D) $FCC$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ $4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= n = 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2n = 8$.
આપેલ છે કે $A$ પરમાણુઓ તમામ અષ્ટફલકીય અને તમામ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે:
$A$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= 4 + 8 = 12$.
આપેલ છે કે $B$ પરમાણુઓ $FCC$ લેટીસ બિંદુઓ પર છે:
$B$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= 4$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર $12:4$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3:1$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_3 B$ છે.

(A) $BCC$ એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ $B^{-x}$ આયનોની સંખ્યા $2$ છે.
સ્ફટિકમાં ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
$B^{-x}$ આયનો $BCC$ લેટીસ બનાવે છે,તેથી ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $= 2 \times 2 = 4$.
$A^{+y}$ આયનો તમામ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ રોકે છે,તેથી $A^{+y}$ આયનોની સંખ્યા $= 4$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર $= 4:2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2:1$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_2 B$ છે.

(C) $fcc$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $Z = 4$ જેટલી હોય છે અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2Z = 8$ જેટલી હોય છે. તેથી,વિધાન $(a)$ ખોટું છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો શરીરના વિકર્ણો પર આવેલા હોય છે,ધારના કેન્દ્રો પર નહીં. તેથી,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
$fcc$ લેટીસમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રો શરીરના કેન્દ્ર $(1)$ પર અને દરેક $12$ ધારના કેન્દ્રો $(12 \times 1/4 = 3)$ પર આવેલા હોય છે,જે કુલ $4$ થાય છે. તેથી,વિધાન $(c)$ સાચું છે.
$fcc$ અને $hcp$ બંને લેટીસની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $74 \%$ છે. તેથી,વિધાન $(d)$ ખોટું છે.

(D) $fcc$ એકમ કોષમાં,ઋણાયનો $(A)$ $8$ ખૂણાઓ અને $6$ ફલક કેન્દ્રો પર હાજર હોય છે.
$A$ ની અસરકારક સંખ્યા = $(\frac{1}{8} \times 8) + (\frac{1}{2} \times 6) = 1 + 3 = 4$.
ધનાયનો $(C)$ શરીરના કેન્દ્ર $(1)$ અને ધારના કેન્દ્રોના અડધા ભાગ ($12 \times \frac{1}{2} = 6$ ધાર) પર હાજર છે.
$C$ ની અસરકારક સંખ્યા = $1 + (6 \times \frac{1}{4}) = 1 + 1.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$.
$C:A$ નો ગુણોત્તર = $\frac{5}{2} : 4 = 5 : 8$.
આમ,અણુનું સૂત્ર $C_{5}A_{8}$ છે.

(B) $hcp$,$ccp$,અને $fcc$ લેટીસની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $74\%$ જેટલી સમાન હોય છે.
$fcc$ અને $ccp$ એ એક જ પ્રકારની ગોઠવણી (ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ) હોવાથી,તેમની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા સમાન હોય છે.
તેથી,$fcc$ લેટીસની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $>$ $ccp$ લેટીસની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા વાળું વિધાન ખોટું છે.

(A) $Ag$ એ $fcc$ લેટીસમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે. દરેક એકમ કોષમાં $4$ પરમાણુઓ અને $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ હોય છે.
$Ag$ ના મોલની સંખ્યા = $\frac{540 \ g}{108 \ g \ mol^{-1}} = 5 \ mol$.
$Ag$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $5 N_A$.
$Ag$ એ $fcc$ માં સ્ફટિકીકરણ પામતું હોવાથી,એકમ કોષની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ પરમાણુઓ}}{4} = \frac{5 N_A}{4} = 1.25 N_A$.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા = $8 \times \text{એકમ કોષની સંખ્યા} = 8 \times 1.25 N_A = 10 N_A$.

(B) $hcp$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $6$ છે.
ઋણાયનો $A$ એ $hcp$ રચના બનાવતા હોવાથી,ઋણાયનો $A$ ની સંખ્યા $= 6$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times$ (લેટીસમાં પરમાણુઓની સંખ્યા) $= 2 \times 6 = 12$ થાય.
આપેલ છે કે $2/3$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો ધનાયનો $C$ દ્વારા રોકાયેલા છે,તેથી ધનાયનો $C$ ની સંખ્યા $= \frac{2}{3} \times 12 = 8$ થાય.
$C : A$ નો ગુણોત્તર $= 8 : 6$,જેનું સાદું રૂપ $4 : 3$ થાય છે.
તેથી,સ્ફટિકનું સૂત્ર $C_4 A_3$ છે.

(C) ઘન સ્ફટિક પ્રણાલીઓને લેટીસ બિંદુઓની ગોઠવણીના આધારે ત્રણ પ્રકારમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$(a)$ સાદો ઘન $(SC)$: લેટીસ બિંદુઓ માત્ર ઘનના ખૂણાઓ પર ગોઠવાયેલા હોય છે.
$(b)$ અંતઃકેન્દ્રિત ઘન $(BCC)$: લેટીસ બિંદુઓ ખૂણાઓ પર અને ઘનના કેન્દ્રમાં ગોઠવાયેલા હોય છે.
$(c)$ ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$: લેટીસ બિંદુઓ ખૂણાઓ પર અને દરેક ફલકના કેન્દ્રમાં ગોઠવાયેલા હોય છે.
તેથી,ફલક-કેન્દ્રિત એકમ કોષમાં,લેટીસ બિંદુઓ એકમ કોષના ખૂણાઓ અને ફલક-કેન્દ્રો પર આવેલા હોય છે.

(A) ઓક્સાઇડ આયનો $(O^{2-})$ ની ક્લોઝ-પેક્ડ રચનામાં,ધારો કે $O^{2-}$ આયનોની સંખ્યા $N = 4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= N = 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2N = 8$.
$A$ બધા જ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4$.
$B$ એ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $(2/3)$ ભાગને રોકે છે,તેથી $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 8 \times (2/3) = 16/3$.
$A : B : O$ નો ગુણોત્તર $4 : (16/3) : 4$ છે.
સાદા પૂર્ણાંક ગુણોત્તર મેળવવા માટે $3$ વડે ગુણતા: $12 : 16 : 12$.
$4$ વડે ભાગતા: $3 : 4 : 3$.
આમ,આણ્વીય સૂત્ર $A_3 B_4 O_3$ છે.

(A) ધારો કે $ccp$ લેટીસમાં $Y$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $n = 4$.
સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2n = 8$.
$X$ ના પરમાણુઓ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના અડધા અને સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના અડધા ભાગને રોકે છે.
$X$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $\frac{1}{2} \times 4 + \frac{1}{2} \times 8 = 2 + 4 = 6$.
$X : Y$ નો ગુણોત્તર $6 : 4$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3 : 2$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $X_3 Y_2$ છે.

(A) ક્લોઝ પેક્ડ રચનામાં,જો પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ હોય,તો ઓક્ટાહેડ્રલ શૂન્યાવકાશની સંખ્યા $N$ અને ટેટ્રાહેડ્રલ શૂન્યાવકાશની સંખ્યા $2N$ હોય છે.
આપેલ છે,ધાતુના પરમાણુઓના મોલ $= 0.5 \ mol$.
ઓક્ટાહેડ્રલ શૂન્યાવકાશની સંખ્યા $= 0.5 \ mol$.
ટેટ્રાહેડ્રલ શૂન્યાવકાશની સંખ્યા $= 2 \times 0.5 \ mol = 1.0 \ mol$.
કુલ શૂન્યાવકાશની સંખ્યા $= \text{ઓક્ટાહેડ્રલ શૂન્યાવકાશ} + \text{ટેટ્રાહેડ્રલ શૂન્યાવકાશ} = 0.5 \ mol + 1.0 \ mol = 1.5 \ mol$.
આમ,કુલ શૂન્યાવકાશ $1.5 \ mol$ છે અને ટેટ્રાહેડ્રલ શૂન્યાવકાશ $1.0 \ mol$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો જવાબ છે.

(B) $hcp$ લેટીસમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસ બનાવતા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે.
તો,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પણ $N$ થાય.
સંયોજનનું સૂત્ર $XY_3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $Y$ ના દરેક $1$ પરમાણુ દીઠ $X$ ના $3$ પરમાણુઓ અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં છે.
જોકે,$hcp$ લેટીસમાં $Y$ ના દરેક પરમાણુ દીઠ માત્ર $1$ અષ્ટફલકીય છિદ્ર હોય છે.
આ સૂચવે છે કે $XY_3$ સૂત્ર સામાન્ય $hcp$ લેટીસ માટે અશક્ય છે.
જો આપણે પ્રશ્નનો અર્થ એવો કાઢીએ કે $X$ ઉપલબ્ધ છિદ્રોનો $1/3$ ભાગ રોકે છે,તો ન ભરાયેલા છિદ્રોનો અંશ $1 - 1/3 = 2/3$ થાય.

(D) હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ $(HCP)$ રચનામાં,એકમ કોષ દીઠ ઓક્સાઇડ આયનોની સંખ્યા $6$ છે.
$HCP$ રચનામાં અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જે $6$ છે.
આપેલ છે કે દર ત્રણમાંથી બે અષ્ટફલકીય છિદ્રો ધાતુ આયનો દ્વારા રોકાયેલા છે,તેથી ધાતુ આયનોની સંખ્યા $= \frac{2}{3} \times 6 = 4$ થાય.
ધાતુ આયનો અને ઓક્સાઇડ આયનોનો ગુણોત્તર $4 : 6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2 : 3$ થાય છે.
તેથી,ધાતુ ઓક્સાઇડનું સૂત્ર $M_2O_3$ છે.

(B) ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ $(CCP)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ (face diagonal) પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ફલક વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{2} a$ છે,જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
ફલક વિકર્ણ એ ખૂણાના પરમાણુની ત્રિજ્યા,ફલક-કેન્દ્રિત પરમાણુનો વ્યાસ અને બીજા ખૂણાના પરમાણુની ત્રિજ્યાનો બનેલો હોવાથી,આપણને મળે છે: $4r = \sqrt{2} a$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2} a}{4} = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $ccp$ લેટીસમાં $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
$B$ એ $ccp$ લેટીસ બનાવે છે,તેથી અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $n$ અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ છે.
$A$ ના ધનાયનો $50 \%$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.5 \times n = 0.5n$.
$A$ ના ધનાયનો $50 \%$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોમાં $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.5 \times 2n = n$.
$A$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= 0.5n + n = 1.5n$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર $= 1.5n : n = 1.5 : 1 = 3 : 2$.
તેથી,ઘન પદાર્થનું આણ્વીય સૂત્ર $A_3B_2$ છે.

(D) $ccp$ લેટીસમાં,જો પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ હોય,તો અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N$ અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ હોય છે.
સૂત્ર $AB_2O_4$ મુજબ,$O$ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ ધારો.
$O$ એ $ccp$ લેટીસ બનાવે છે,તેથી $N = 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times 4 = 8$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 4$.
$A$ પરમાણુઓ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $\frac{1}{8}$ ભાગમાં છે,તેથી $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{1}{8} \times 8 = 1$.
$B$ પરમાણુઓ અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં છે. સૂત્ર $AB_2O_4$ મુજબ,$B$ ના $2$ પરમાણુઓ છે.
ભરાયેલા અષ્ટફલકીય છિદ્રોનો અંશ $= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
ખાલી અષ્ટફલકીય છિદ્રોનો અંશ $= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) $ccp$ લેટીસમાં,જો ઓક્સિજન પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ હોય,તો:
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 4$
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 8$
આણ્વીય સૂત્ર $AB_2O_4$ મુજબ,$A$ પરમાણુ $1$,$B$ પરમાણુ $2$ અને $O$ પરમાણુ $4$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોમાં $A$ પરમાણુ માટે: $x \% \text{ of } 8 = 1 \implies x = (1/8) \times 100 = 12.5 \%$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં $B$ પરમાણુ માટે: $y \% \text{ of } 4 = 2 \implies y = (2/4) \times 100 = 50 \%$.
આમ,$x = 12.5 \%$ અને $y = 50 \%$ છે.

(B) યુનિટ સેલ દીઠ $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 1 \times 1 = 1$.
યુનિટ સેલ દીઠ $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= (8 - 1) \times \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$X : Y$ નો ગુણોત્તર $= 1 : \frac{7}{8} = 8 : 7$.
તેથી,પ્રાયોગિક સૂત્ર $X_8 Y_7$ છે.

(C) ધારો કે $ccp$ લેટીસમાં ઓક્સિજનના પરમાણુઓની સંખ્યા $1$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી જ હોવાથી,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $1$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,તેથી ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2$ છે.
$A$ ના પરમાણુઓ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $\frac{1}{8}$ ભાગમાં છે,તેથી $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}$.
$B$ ના પરમાણુઓ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના અડધા ભાગમાં છે,તેથી $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.
$A:B:O$ નો ગુણોત્તર $\frac{1}{4} : \frac{1}{2} : 1$ છે.
ગુણોત્તરને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $1 : 2 : 4$ મળે છે.
આમ,સંયોજનનું આણ્વીય સૂત્ર $AB_2O_4$ છે.

(C) $hcp$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $6$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,જે $2 \times 6 = 12$ છે.
આપેલ છે કે $A$ એ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સના $2/3$ ભાગને રોકે છે,તેથી $A$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{2}{3} \times 12 = 8$ છે.
પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $A : B = 8 : 6 = 4 : 3$ છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_4 B_3$ છે.

(C) સાદા ઘન બંધારણમાં,પરમાણુઓ ફક્ત ખૂણાઓ પર હાજર હોય છે. એકમ કોષ દીઠ અસરકારક પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 1$ છે.
એક પરમાણુનું કદ $= \frac{4}{3} \pi r^3$,જ્યાં $r$ એ પરમાણુની ત્રિજ્યા છે.
એકમ કોષનું કદ $= a^3$,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
સાદા ઘન એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ધાર પર એકબીજાને સ્પર્શે છે,તેથી $a = 2r$.
પેકિંગ અંશ $= \frac{Z \times \text{એક પરમાણુનું કદ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}} = \frac{1 \times \frac{4}{3} \pi r^3}{(2r)^3} = \frac{4 \pi r^3}{3 \times 8 r^3} = \frac{\pi}{6}$.

(A) હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ $(HCP)$ રચનામાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ $6$ છે.
$1$ મોલ સંયોજન માટે,પરમાણુઓની સંખ્યા $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ છે.
કોઈપણ ક્લોઝ-પેક્ડ રચનામાં,ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ જેટલી હોય છે,અને ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $2N$ હોય છે.
કુલ વોઇડ્સની સંખ્યા = (ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા) + (ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા) = $N + 2N = 3N$.
$1$ મોલ માટે,કુલ વોઇડ્સ = $3 \times N_A = 3 \times 6.022 \times 10^{23} = 1.8066 \times 10^{24}$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $1.8 \times 10^{24}$ મળે છે.

(A) $FCC$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
$Z$ એ $FCC$ લેટીસ બનાવે છે,તેથી $Z$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,તેથી $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,તેથી ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times 4 = 8$.
આપેલ છે કે $Y$ એ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $\frac{1}{3}$ ભાગને રોકે છે,તેથી $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{1}{3} \times 8 = \frac{8}{3}$.
$X:Y:Z$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $= 4 : \frac{8}{3} : 4$.
સાદા પૂર્ણાંક ગુણોત્તર મેળવવા માટે $3$ વડે ગુણતા: $12 : 8 : 12$,જેનું સાદું રૂપ $3 : 2 : 3$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $X_3Y_2Z_3$ છે.

(B) $hcp$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $6$ છે.
ધારો કે $Z$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 6$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે,તેથી $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= N = 6$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N = 12$ છે.
$Y$ ના પરમાણુઓ અડધા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{1}{2} \times 12 = 6$.
$X : Y : Z$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $6 : 6 : 6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1 : 1 : 1$ થાય છે.
તેથી,ઘન પદાર્થનું આણ્વીય સૂત્ર $XYZ$ છે.

(B) ક્લોઝ-પેક્ડ રચના ($CCP$ અથવા $HCP$) માં,જો પેકિંગમાં $n$ ગોળાઓ (પરમાણુઓ અથવા આયનો) હોય,તો:
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= n$
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2n$
$CCP$ એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times 4 = 8$.
આમ,ચતુષ્ફલકીય અને અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા અનુક્રમે $8$ અને $4$ છે.

(A) પેકિંગ કાર્યક્ષમતા એ સ્ફટિક લેટિસમાં ઘટક કણો દ્વારા રોકાયેલી કુલ જગ્યાની ટકાવારી છે.
સિમ્પલ ક્યુબિક $(sc)$ લેટિસ માટે,પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $52.4 \%$ છે.
બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ લેટિસ માટે,પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $68 \%$ છે.
ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ $(ccp)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ લેટિસ માટે,પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $74 \%$ છે.
તેથી,પેકિંગ કાર્યક્ષમતાનો ક્રમ $sc < bcc < ccp$ છે.

(A) ક્લોઝ પેક્ડ રચના ($hcp$ અથવા $ccp$) માં:
$(I)$ અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $=$ ક્લોઝ પેકિંગમાં હાજર કણોની સંખ્યા $(N)$.
$(II)$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times$ અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા.
અહીં $X$ પરમાણુઓ આપેલા હોવાથી,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $X$ અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2X$ થશે.