Units Questions in Gujarati

(A) ટોર્શનલ કોન્સ્ટન્ટ $(k)$ એ એકમ કોણીય સ્થાનાંતર $(\theta)$ દીઠ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $(\tau)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે સમીકરણ $\tau = k\theta$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે।
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, આપણને $k = \tau / \theta$ મળે છે।
ટોર્ક $(\tau)$ નો એકમ ન્યૂટન-મીટર $(N \cdot m)$ છે અને કોણીય સ્થાનાંતર $(\theta)$ નો એકમ રેડિયન $(rad)$ છે।
તેથી, ટોર્શનલ કોન્સ્ટન્ટનો એકમ $N \cdot m/rad$ છે।

(A) આ વિધાન સાચું છે.
સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળઅચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$k = \frac{2U}{x^2}$ મળે છે.
ઊર્જા $U$ નો એકમ જૂલ $(J)$ છે અને સ્થાનાંતર $x$ નો એકમ મીટર $(m)$ છે.
તેથી,$k$ નો એકમ $\frac{J}{m^2} = J\,m^{-2}$ થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ MW} = 10^6 \text{ W}$.
કારણ કે $1 \text{ W} = 1 \text{ J/s}$ અને $1 \text{ J} = 10^7 \text{ erg}$,
તેથી $1 \text{ W} = 10^7 \text{ erg/s}$.
આમ,$1 \text{ MW} = 10^6 \times 10^7 \text{ erg/s} = 10^{13} \text{ erg/s}$.

$1 \text{ torr}$ દબાણ એટલે $1 \text{ mm}$ ઊંચાઈ ધરાવતા પારોના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ,જે આશરે $133.322 \text{ Pa}$ $(N/m^2)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}$,તેથી $1 \text{ Pa} = 10^{-5} \text{ bar}$ થાય.
આથી,$1 \text{ torr} = 133.322 \times 10^{-5} \text{ bar} = 1.33322 \times 10^{-3} \text{ bar}$.
વળી,$1 \text{ bar} = 1000 \text{ millibar}$ હોવાથી,$1 \text{ torr} = 1.33322 \times 10^{-3} \times 10^3 \text{ millibar} = 1.33322 \text{ millibar}$ થાય.

(N/A) પ્રમાણિત વાતાવરણીય દબાણ એ $0 \,^{\circ}C$ તાપમાને અને પ્રમાણિત ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $760 \,mm$ ઊંચાઈના પારોના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ છે.
$1 \,atm = 1.01325 \times 10^{5} \,N/m^{2}$ (અથવા $Pa$).
કારણ કે $1 \,bar = 10^{5} \,Pa$, તેથી આપણે લખી શકીએ:
$1 \,atm = 1.01325 \,bar$.

(D) ઉર્જાને જુલ $(J)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે ઉર્જાના મૂલ્યને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર વડે ભાગીએ છીએ,જે $1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
આપેલ ઉર્જા $E = 10^{-20} \ J$ છે.
$E \text{ (} eV \text{ માં)} = \frac{10^{-20} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV}$
$E = \frac{1}{1.6} \times 10^{-1} \ eV$
$E = 0.625 \times 0.1 \ eV$
$E = 0.0625 \ eV$.

(D) પ્રકાશ વર્ષ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ દ્વારા એક જુલિયન વર્ષ ($365.25$ દિવસ) માં કાપેલું અંતર છે.
પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ $\approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
એક વર્ષમાં સમય $(t)$ $= 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ સેકન્ડ} \approx 3.15576 \times 10^7 \text{ s}$ થાય.
અંતર $(d)$ $= c \times t = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (3.15576 \times 10^7 \text{ s}) \approx 9.461 \times 10^{15} \text{ m}$ થાય.
તેને કિલોમીટરમાં ફેરવતા: $9.461 \times 10^{15} \text{ m} = 9.461 \times 10^{12} \text{ km}$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સમતલ કોણ એ ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર છે $(d\theta = ds/r)$. ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યા બંને લંબાઈ $(L)$ ધરાવે છે,તેથી સમતલ કોણનું પરિમાણ $[L^1/L^1] = [M^0 L^0 T^0]$ થાય છે,જે પરિમાણરહિત છે. જોકે,તેનો એકમ રેડિયન $(rad)$ છે.
તે જ રીતે,ઘન કોણ એ ગોળીય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને ત્રિજ્યાના વર્ગનો ગુણોત્તર છે $(d\Omega = dA/r^2)$. ક્ષેત્રફળ અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ બંને લંબાઈના વર્ગ $(L^2)$ ધરાવે છે,તેથી ઘન કોણનું પરિમાણ $[L^2/L^2] = [M^0 L^0 T^0]$ થાય છે,જે પણ પરિમાણરહિત છે. જોકે,તેનો એકમ સ્ટેરેડિયન $(sr)$ છે.
તેથી,સમતલ કોણ અને ઘન કોણ પાસે એકમો છે પણ પરિમાણો નથી.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, ઉત્તેજિત અવસ્થા અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ વચ્ચેનો ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E$ એ દળના તફાવત $\Delta m$ ને અનુરૂપ છે, જે $\Delta E = \Delta m c^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઉત્તેજના આવૃત્તિ $\nu = 9.2 \times 10^9 \, Hz$ માટે, ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = h\nu$ છે.
તેથી, પરમાણુઓની એક જોડી માટે દળનો તફાવત $\Delta m = \frac{h\nu}{c^2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta m = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 9.2 \times 10^9}{(3 \times 10^8)^2} \, kg$
$\Delta m = \frac{6.63 \times 9.2 \times 10^{-25}}{9 \times 10^{16}} \, kg$
$\Delta m \approx 6.78 \times 10^{-41} \, kg$.
આ દળનો તફાવત $2$ પરમાણુઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, તેથી $1 \, kg$ નું કુલ દળ મેળવવા માટે જરૂરી પરમાણુઓની સંખ્યા $N$:
$N = \frac{2 \times 1 \, kg}{\Delta m} = \frac{2}{6.78 \times 10^{-41}} \approx 0.295 \times 10^{41} \approx 3 \times 10^{40}$.
આમ, સંખ્યાનો ક્રમ $10^{40}$ છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
એક ખગોળીય એકમ $(AU)$ એટલે પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર.
વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \, m$ થાય છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
$1$. $Nm$ (ન્યૂટન-મીટર) એ ટોર્ક અથવા કાર્યનો એકમ છે.
$2$. $mN$ (મિલી-ન્યૂટન) એ બળનો એકમ છે,જ્યાં $1 \, mN = 10^{-3} \, N$ થાય છે.
$3$. $nm$ (નેનોમીટર) એ લંબાઈનો એકમ છે.
$4$. $Ns$ (ન્યૂટન-સેકન્ડ) એ આઘાત અથવા વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો એકમ છે.
તેથી,આપેલ વિકલ્પોમાંથી $mN$ એ બળનો એકમ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના કેન્દ્ર પર $s$ લંબાઈના ચાપ દ્વારા આંતરવામાં આવતો સમતલીય ખૂણો $\theta = \frac{s}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપૂર્ણ વર્તુળ માટે,ચાપની લંબાઈ $s$ એ પરિઘ $2 \pi r$ જેટલી હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર આંતરવામાં આવતો કુલ સમતલીય ખૂણો $\theta = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi \, rad$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $1$ પ્રકાશ વર્ષ માટેનું સાચું મૂલ્ય એ પ્રકાશ દ્વારા એક વર્ષમાં કાપેલું અંતર છે,જે આશરે $9.46 \times 10^{15} \, m$ છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે: $1$ ફર્મી $= 10^{-15} \, m$.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે: $1$ એસ્ટ્રોનોમિકલ યુનિટ $(AU)$ $= 1.496 \times 10^{11} \, m$.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે: $1$ પાર્સેક $\approx 3.26$ પ્રકાશ વર્ષ.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે $1$ પ્રકાશ વર્ષ $= 9.46 \times 10^{15} \, m$ થાય,$9.46 \times 10^{12} \, m$ નહીં.

(B) આપેલા એકમોના મીટરમાં મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$
$1 \text{ ly} = 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$
$1 \text{ pc} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $1 \text{ AU} < 1 \text{ ly} < 1 \text{ pc}$ મળે છે.
વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે આ અંતરના એકમો છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે સાચો ક્રમ $AU < ly < pc$ છે.

(A) $a \times 10^b$ તરીકે દર્શાવેલ સંખ્યાનો પરિમાણનો ક્રમ (order of magnitude) $a$ ના મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો $1 \leq a \leq 5$ હોય,તો પરિમાણનો ક્રમ $b$ છે.
જો $5 < a < 10$ હોય,તો પરિમાણનો ક્રમ $b + 1$ છે.
તેથી,જ્યારે $a \leq 5$ હોય ત્યારે $b$ એ પરિમાણનો ક્રમ છે.

(A) લંબાઈનો સૌથી મોટો એકમ નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમના મૂલ્યોને મીટરમાં સરખાવીએ છીએ:
$1$. $1 \text{ પાર્સેક} \approx 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
$2$. $1 \text{ પ્રકાશ વર્ષ} \approx 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$
$3$. $1 \text{ ખગોળીય એકમ (AU)} \approx 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$
$4$. $1 \text{ ફર્મી} = 10^{-15} \text{ m}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$3.08 \times 10^{16} \text{ m} > 9.46 \times 10^{15} \text{ m} > 1.496 \times 10^{11} \text{ m} > 10^{-15} \text{ m}$.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી પાર્સેક એ લંબાઈનો સૌથી મોટો એકમ છે.

(B) $\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$
$\text{દળનો SI એકમ કિલોગ્રામ } (kg) \text{ છે.}$
$\text{કદનો SI એકમ ઘન મીટર } (m^3) \text{ છે.}$
$\text{તેથી, ઘનતાનો SI એકમ } \frac{kg}{m^3} \text{ અથવા } kg \cdot m^{-3} \text{ થાય.}$

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
કોણીય વેગમાનને $L = r \times p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનનો $SI$ એકમ $kg \cdot m^2/s$ છે,જે $J \cdot s$ ને સમાન છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$L = \frac{n h}{2 \pi}$.
અહીં $n$ અને $2 \pi$ પરિમાણરહિત હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ નો એકમ પ્લાન્ક અચળાંક $h$ ના એકમ જેટલો જ થાય છે,જે $J \cdot s$ છે.

(C) આપેલા એકમોના મૂલ્યો મીટરમાં નીચે મુજબ છે:
$1 \text{ parsec} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
$1 \text{ nanometer} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}$
$1 \text{ fermi} = 1 \times 10^{-15} \text{ m}$
$1 \text{ } \mathring{A} = 1 \times 10^{-10} \text{ m}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, $1 \times 10^{-15} \text{ m}$ એ સૌથી નાનું મૂલ્ય છે.
તેથી, આપેલા વિકલ્પોમાંથી લંબાઈનો સૌથી નાનો એકમ ફર્મી છે.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \text{ m}$ થાય છે.
આને મિલીમીટર $(\text{mm})$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ m} = 10^3 \text{ mm}$.
તેથી,$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-10} \times 10^3 \text{ mm}$.
$1 \text{ } \mathring{A} = 10^{-7} \text{ mm}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) લંબાઈનો $SI$ એકમ $1 \ m$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈનો નવો એકમ $x \ m$ છે.
તેથી,$1 \ m = \frac{1}{x}$ નવા એકમો થાય.
આપણે $1 \ m^2$ ક્ષેત્રફળને નવા એકમના સંદર્ભમાં દર્શાવવાનું છે.
ક્ષેત્રફળ $= 1 \ m^2 = 1 \ m \times 1 \ m$.
$1 \ m$ ની કિંમત નવા એકમમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= (\frac{1}{x} \text{ નવા એકમો}) \times (\frac{1}{x} \text{ નવા એકમો}) = \frac{1}{x^2} \text{ (નવા એકમો)}^2$.
આમ,તેનું મૂલ્ય $\frac{1}{x^2}$ છે.

(B) પ્રકાશ વર્ષ એ ખગોળીય અંતરનો એકમ છે,સમયનો નહીં. તે એક વર્ષમાં શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે આશરે $9.4607 \times 10^{12} \ km$ જેટલું છે.
ચંદ્ર માસ,લીપ વર્ષ અને માઈક્રોસેકન્ડ એ બધા સમય માપવા માટેના એકમો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ ઉર્જા $E = 13.6 eV$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$.
તેથી,$E = 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 21.76 \times 10^{-19} J$.
જૂલ $(J)$ ને કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $(1000 \times 3600)$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ કારણ કે $1 kWh = 1000 W \times 3600 s = 3.6 \times 10^6 J$.
$E = \frac{21.76 \times 10^{-19}}{3.6 \times 10^6} kWh$.
$E \approx 6.04 \times 10^{-25} kWh$.