$(a)$ $1$ पारसेक में कितने खगोलीय मात्रक $(AU)$ होते हैं?
$(b)$ $2$ पारसेक की दूरी पर स्थित एक सूर्य जैसे तारे पर विचार करें। जब इसे $100$ आवर्धन वाले टेलीस्कोप से देखा जाता है,तो तारे का कोणीय आकार क्या होना चाहिए? सूर्य पृथ्वी से $(\frac{1}{2})^{\circ}$ का दिखाई देता है। वायुमंडलीय उतार-चढ़ाव के कारण,आँख $1$ आर्क मिनट से छोटी वस्तुओं को स्पष्ट नहीं देख सकती है।
$(c)$ मंगल का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग आधा है। जब यह पृथ्वी के सबसे करीब होता है,तो यह पृथ्वी से लगभग $\frac{1}{2} AU$ की दूरी पर होता है। गणना करें कि उसी टेलीस्कोप से देखने पर इसका आकार कितना दिखाई देगा।

(N/A) परिभाषा के अनुसार,$1$ पारसेक वह दूरी है जिस पर $1 AU$ लंबाई का चाप $1^{\prime \prime}$ का कोण बनाता है।
चूंकि $1^{\circ} = 3600^{\prime \prime}$ और $1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$,इसलिए $1^{\prime \prime} = \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ rad}$ होता है।
अतः,$1 \text{ parsec} = \frac{1 AU}{1^{\prime \prime}} = \frac{180 \times 3600}{\pi} AU \approx 2.06 \times 10^{5} AU$.
$(b)$ $1 AU$ की दूरी पर सूर्य का कोणीय व्यास $0.5^{\circ} = 30^{\prime}$ है। $2$ पारसेक $(2 \times 2.06 \times 10^{5} AU)$ की दूरी पर,तारे का कोणीय व्यास $\alpha = \frac{0.5^{\circ}}{2 \times 2.06 \times 10^{5}} \approx 1.21 \times 10^{-6} \text{ degrees} \approx 0.0044^{\prime \prime}$ है।
$100$ आवर्धन के साथ,स्पष्ट आकार $100 \times 0.0044^{\prime \prime} = 0.44^{\prime \prime}$ होगा। चूंकि $0.44^{\prime \prime} < 1^{\prime}$,तारा स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं देगा और वायुमंडलीय अशांति के कारण यह केवल एक बिंदु स्रोत के रूप में दिखाई देगा।
$(c)$ मंगल का व्यास $0.5 \times D_{Earth}$ है। कोणीय आकार $\theta = \frac{\text{Diameter}}{\text{Distance}}$। $0.5 AU$ की दूरी पर,$\theta_{Mars} = \frac{0.5 \times D_{Earth}}{0.5 AU} = \frac{D_{Earth}}{1 AU} \approx 0.5^{\circ} = 30^{\prime}$ है।
$100$ आवर्धन के साथ,स्पष्ट आकार $100 \times 30^{\prime} = 3000^{\prime} = 50^{\circ}$ होगा।