Dimensions and Dimensional Formula Questions in Hindi

(C) एक भौतिक राशि की विमाएँ $[L^{a} M^{b} T^{c}]$ के रूप में दी गई हैं।
आइए दिए गए विकल्पों की विमाओं की जाँच करें:
$1$. वेग: $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$। यहाँ,$a=1, b=0, c=-1$ है। विकल्प $A$ गलत है।
$2$. बल: $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$। यहाँ,$a=1, b=1, c=-2$ है। विकल्प $B$ गलत है।
$3$. दाब: दाब को $\text{बल} / \text{क्षेत्रफल} = [M^{1} L^{1} T^{-2}] / [L^{2}] = [M^{1} L^{-1} T^{-2}]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। यहाँ,$a=-1, b=1, c=-2$ है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।
$4$. त्वरण: $[M^{0} L^{1} T^{-2}]$। यहाँ,$a=1, b=0, c=-2$ है। विकल्प $D$ गलत है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
संबंध $E = h \nu$ से,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $\nu$ आवृत्ति है।
$h = \frac{E}{\nu}$।
ऊर्जा $E$ की विमा $[ML^2 T^{-2}]$ है।
आवृत्ति $\nu$ की विमा $[T^{-1}]$ है।
अतः,$h$ की विमा $= \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-1}]$।
अब,बल,विस्थापन और समय के गुणनफल की विमा की जाँच करते हैं:
बल $F$ की विमा $= [MLT^{-2}]$।
विस्थापन $d$ की विमा $= [L]$।
समय $t$ की विमा $= [T]$।
गुणनफल की विमा $= [MLT^{-2}] \times [L] \times [T] = [ML^2 T^{-1}]$।
यह प्लांक नियतांक की विमा के समान है।

(A) $LR$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरकत्व $L$ का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]$ है।
प्रतिरोध $R$ का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]$ है।
अतः,$\frac{L}{R}$ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$\frac{[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]}{[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]} = M^{1-1} L^{2-2} T^{-2-(-3)} A^{-2-(-2)} = M^{0} L^{0} T^{1} A^{0}$.
इस प्रकार,$\left(\frac{L}{R}\right)$ की विमाएँ $[L^{0} M^{0} T^{1}]$ हैं।

(B) दिए गए समीकरण $F = P \cos(Ax) + Q \sin(Bt)$ में,त्रिकोणमितीय फलनों के तर्क (arguments) विमाहीन होने चाहिए।
अतः,$(Ax)$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
चूंकि $[x] = [L]$,इसलिए $[A][L] = [M^0 L^0 T^0]$,जिसका अर्थ है कि $[A] = [L^{-1}]$।
इसी प्रकार,$(Bt)$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
चूंकि $[t] = [T]$,इसलिए $[B][T] = [M^0 L^0 T^0]$,जिसका अर्थ है कि $[B] = [T^{-1}]$।
अब,अनुपात $\left[\frac{B}{A}\right]$ की विमाओं की गणना करने पर:
$\left[\frac{B}{A}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$।
विमा $[L T^{-1}]$ वेग (velocity) की भौतिक राशि को दर्शाती है।

(A) आघूर्ण (टॉर्क) की विमा $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
टॉर्क को बल और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\tau = F \times r$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
दूरी $(r)$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
अतः,टॉर्क $(\tau)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ है।

(B) गाइरोमैग्नेटिक अनुपात $(\gamma)$ को चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\gamma = \frac{M}{L}$
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $M = I \cdot A$ (जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है),इसकी विमाएँ $[I^1 L^2]$ हैं।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr$ है,इसकी विमाएँ $[M^1 L^2 T^{-1}]$ हैं।
अतः,गाइरोमैग्नेटिक अनुपात की विमाएँ हैं:
$\text{Dimension} = \frac{[I^1 L^2]}{[M^1 L^2 T^{-1}]} = [M^{-1} L^0 T^1 I^1]$।

(A) टॉर्क का विमीय सूत्र $\tau = r \times F$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $F$ की विमाएँ $[M^1L^1T^{-2}]$ हैं और दूरी $r$ की विमाएँ $[L^1]$ हैं,इसलिए टॉर्क की विमाएँ $[M^1L^1T^{-2}] \times [L^1] = [M^1L^2T^{-2}]$ होती हैं।
बल आघूर्ण (moment of force) को बल और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो टॉर्क की परिभाषा के समान ही है।
इसलिए,बल आघूर्ण की विमाएँ भी $[M^1L^2T^{-2}]$ होती हैं।
अतः,टॉर्क की विमाएँ बल आघूर्ण की विमाओं के समान होती हैं।

(A) दिया गया समीकरण $x = \pi R \left( \frac{P^2 - Q^2}{2} \right)$ है।
यहाँ,$P, Q$ और $R$ लंबाइयाँ हैं,इसलिए उनकी विमा $[L]$ है।
पद $(P^2 - Q^2)$ की विमा $[L^2] - [L^2] = [L^2]$ होती है।
स्थिरांक $\pi$ और गुणांक $1/2$ विमाहीन हैं।
अतः,$x$ की विमा $[L] \times [L^2] = [L^3]$ है।
$[L^3]$ विमा वाली भौतिक राशि आयतन (volume) को दर्शाती है।

(C) प्लांक नियतांक $h$ की विमाएँ $[h] = [M L^2 T^{-1}]$ होती हैं।
जड़त्व आघूर्ण $I$ की विमाएँ $[I] = [M L^2]$ होती हैं।
प्लांक नियतांक और जड़त्व आघूर्ण की विमाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{[h]}{[I]} = \frac{[M L^2 T^{-1}]}{[M L^2]} = [T^{-1}]$.
विमा $[T^{-1}]$ आवृत्ति की विमा को दर्शाती है।

(D) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$,निर्वात में प्रकाश की चाल $c$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $v$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है,अर्थात $n = \frac{c}{v}$।
हम जानते हैं कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ और $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \mu_{r} \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}}}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{1/\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}{1/\sqrt{\mu_{0} \mu_{r} \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}}} = \sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अपवर्तनांक $n$ दो चालों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन राशि है।
अतः,इसका विमीय सूत्र $M^{0} L^{0} T^{0} A^{0}$ है,जो विकल्पों में नहीं दिया गया है।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) विकिरण की तीव्रता $(I)$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा $(E)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$I = \frac{E}{A \times t}$।
ऊर्जा $(E)$ का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $(A)$ का विमीय सूत्र $[L^{2}]$ है।
समय $(t)$ का विमीय सूत्र $[T^{1}]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{[M^{1} L^{2} T^{-2}]}{[L^{2}] \times [T^{1}]}$
$I = [M^{1} L^{2-2} T^{-2-1}]$
$I = [M^{1} L^{0} T^{-3}]$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) ध्रुवण $P$ को प्रति इकाई आयतन द्विध्रुव आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{p}{V}$
चूंकि $p = q \times d$ (आवेश $\times$ दूरी) और $V = L^3$ (आयतन) है,
इसलिए,$P = \frac{q \times d}{L^3} = \frac{q}{L^2}$
आवेश $q$ का मात्रक $A \cdot T$ (एम्पियर-सेकंड) है और क्षेत्रफल $L^2$ का मात्रक $m^2$ है।
अतः,ध्रुवण का मात्रक $A \cdot T \cdot m^{-2}$ है।
इसका विमीय सूत्र $[A^1 T^1 L^{-2}]$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) धारिता का सूत्र $C = \frac{Q}{V}$ है।
चूँकि विभव $V = \frac{W}{Q}$ होता है,जहाँ $W$ कार्य है और $Q$ आवेश है,हम इसे धारिता के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$C = \frac{Q^2}{W}$.
कार्य $W$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$C = \frac{Q^2}{[M^1 L^2 T^{-2}]}$.
$C = M^{-1} L^{-2} T^2 Q^2$.

(B) स्प्रिंग या तार के लिए मरोड़ नियतांक $(k)$ को संबंध $\tau = k\theta$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\tau$ बलाघूर्ण (torque) है और $\theta$ रेडियन में कोणीय विस्थापन है।
चूंकि $\theta$ विमाहीन है,इसलिए मरोड़ नियतांक $(k)$ की विमाएँ बलाघूर्ण $(\tau)$ की विमाओं के समान होती हैं।
बलाघूर्ण को बल और लंबवत दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\tau = F \times d$।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
दूरी $(d)$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
इसलिए,बलाघूर्ण $(\tau)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
अतः,प्रभावी मरोड़ नियतांक का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता को क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो प्रति इकाई समय में होने वाले विघटन की संख्या है।
गणितीय रूप से,सक्रियता $A = -\frac{dN}{dt}$ है।
चूंकि $N$ (नाभिकों की संख्या) एक विमाहीन राशि है और $t$ समय को दर्शाता है,इसलिए सक्रियता की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
अतः,इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।

(B) $1$. ऊष्मीय चालकता $(K)$: $Q = \frac{KA(T_2 - T_1)t}{d}$ से,हमें $[K] = [M^{1} L^{1} T^{-3} K^{-1}]$ प्राप्त होता है। यह सही है।
$2$. विभव $(V)$: $V = \frac{W}{q}$. $[V] = \frac{[M^{1} L^{2} T^{-2}]}{[A^{1} T^{1}]} = [M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-1}]$. दिए गए विकल्प $B$ में $[M^{1} L^{2} T^{3} A^{-1}]$ दिया गया है,जो गलत है।
$3$. निर्वात की पारगम्यता $(\mu_{0})$: $F = \frac{\mu_{0} I_1 I_2 L}{2\pi d}$ से,हमें $[\mu_{0}] = [M^{1} L^{1} T^{-2} A^{-2}]$ प्राप्त होता है। यह सही है।
अतः,विकल्प $B$ गलत कथन है।

(D) कोणीय आवृत्ति का विमीय सूत्र $[M^{0} L^{0} T^{-1}]$ है।
इसे $[M^{a} L^{b} T^{c}]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=0, b=0, c=-1$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग नियतांक के लिए,सूत्र $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ है।
पृष्ठ तनाव के लिए,सूत्र $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ है।
बल के लिए,सूत्र $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(C) प्रतिरोध $R$ के लिए विमीय सूत्र $R = \frac{V}{I} = \frac{W}{qI}$ से प्राप्त किया जाता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[AT][A]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
अब,आइए $\frac{h}{e^2}$ की विमाओं की जाँच करें।
प्लांक नियतांक $h$ की विमाएँ $[ML^2 T^{-1}]$ हैं।
आवेश $e$ की विमाएँ $[AT]$ हैं।
अतः,$\frac{h}{e^2}$ की विमाएँ $= \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[AT]^2} = \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[A^2 T^2]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
चूँकि $R$ और $\frac{h}{e^2}$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(A) आवेग को बल और समय अंतराल के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आवेग = बल $\times$ समय
बल का विमीय सूत्र = $[MLT^{-2}]$
समय का विमीय सूत्र = $[T]$
अतः,आवेग का विमीय सूत्र = $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$।

(A) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$R$ दूरी पर स्थित दो द्रव्यमानों $M_1$ और $M_2$ के बीच बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{G M_1 M_2}{R^2}$
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$G = \frac{F R^2}{M_1 M_2}$
बल $[F] = [MLT^{-2}]$,दूरी $[R] = [L]$,और द्रव्यमान $[M] = [M]$ के विमीय सूत्र रखने पर:
$[G] = \frac{[MLT^{-2}] [L^2]}{[M] [M]} = \frac{[ML^3 T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$

(C) प्लांक नियतांक $(h)$ एक फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ और उसकी आवृत्ति $(
u)$ से समीकरण $E = h
u$ द्वारा संबंधित है।
इससे,हम लिख सकते हैं $h = \frac{E}{\nu}$।
ऊर्जा $(E)$ का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
आवृत्ति $(
u)$ का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ है।
इन मानों को $h$ के समीकरण में रखने पर:
$h = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-2+1}] = [ML^2 T^{-1}]$।
अतः,प्लांक नियतांक का सही विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-1}]$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि किस युग्म का विमीय सूत्र समान नहीं है,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$1$. कार्य और बल आघूर्ण: दोनों का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
$2$. कोणीय संवेग और प्लांक नियतांक: दोनों का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-1}]$ है।
$3$. प्रतिबल और रैखिक संवेग: प्रतिबल प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल है,जिसका सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ है। रैखिक संवेग द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है,जिसका सूत्र $[MLT^{-1}]$ है। ये समान नहीं हैं।
$4$. पृष्ठ तनाव और बल नियतांक: दोनों का विमीय सूत्र $[MT^{-2}]$ है।
अतः,वह युग्म जिसका विमीय सूत्र समान नहीं है,वह प्रतिबल और रैखिक संवेग है।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमा समान होनी चाहिए।
$1$. $(t+c)$ पद के लिए,$c$ की विमा समय $t$ की विमा के समान होनी चाहिए। अतः,$[c] = [T]$।
$2$. $at$ पद के लिए,$at$ की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। चूँकि $[v] = [LT^{-1}]$ और $[t] = [T]$,इसलिए $[a][T] = [LT^{-1}]$,जिससे $[a] = [LT^{-2}]$ प्राप्त होता है।
$3$. $\frac{b}{t+c}$ पद के लिए,इस पद की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। चूँकि $[t+c] = [T]$ और $[v] = [LT^{-1}]$,इसलिए $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$,जिससे $[b] = [L]$ प्राप्त होता है।
अतः,विमाएँ $[a] = [LT^{-2}]$,$[b] = [L]$,और $[c] = [T]$ हैं।

(A) गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ की विमा $[M L^2 T^{-2}]$ है।
पृष्ठ तनाव $(S)$ की विमा $[M T^{-2}]$ है।
माना अभीष्ट भौतिक राशि $X = \sqrt{\frac{K.E.}{S}}$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $X = \sqrt{\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M T^{-2}]}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $X = \sqrt{[L^2]} = [L]$.
विमा $[L]$ लंबाई या दूरी को दर्शाती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}$ है।
हम जानते हैं कि कूलम्ब बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ होता है,इसलिए $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} = F r^2$ होगा।
$\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ की विमाएँ $[M L T^{-2}] [L^2] = [M L^3 T^{-2}]$ हैं।
प्लांक नियतांक $h$ (या $\hbar$) की विमाएँ $[M L^2 T^{-1}]$ हैं।
अतः,इस व्यंजक की विमाएँ $\frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M L^2 T^{-1}]} = [L^1 T^{-1}]$ होंगी।
यह वेग (प्रकाश की गति $c$) की विमाओं को दर्शाता है।

(A) बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$ का $SI$ मात्रक जूल प्रति केल्विन $(J/K)$ है।
ऊर्जा $(J)$ का विमीय सूत्र $\left[ML^2 T^{-2}\right]$ होता है।
तापमान $(K)$ का विमीय सूत्र $\left[K^1\right]$ होता है।
अतः,बोल्ट्ज़मैन नियतांक का विमीय सूत्र $\left[ML^2 T^{-2}\right] / \left[K^1\right] = \left[ML^2 T^{-2} K^{-1}\right]$ है।

(A) प्रतिबल को पदार्थ के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे ग्रीक अक्षर $\sigma$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$
बल और क्षेत्रफल के विमीय सूत्र रखने पर:
$\text{बल} = [M L T^{-2}]$
$\text{क्षेत्रफल} = [L^2]$
$\text{प्रतिबल} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]} = [M L^{1-2} T^{-2}] = [M L^{-1} T^{-2}]$

(A) हम जानते हैं कि $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $F$,कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
परावैद्युतांक $\varepsilon_0$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$
अब,प्रत्येक भौतिक राशि के लिए विमीय सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
$\varepsilon_0$ के व्यंजक में इन मानों को रखने पर:
$[\varepsilon_0] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2 T^2]}{[ML^3 T^{-2}]}$
$[\varepsilon_0] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$

(C) इकाई $kg m s^{-2}$ एक न्यूटन $(N)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो बल की इकाई है।
इकाई $kg m^2 s^{-3}$ एक वाट $(W)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो शक्ति की इकाई है।
इकाई $kg m^2 s^{-2}$ एक जूल $(J)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो कार्य या ऊर्जा की इकाई है। कार्य को बल और विस्थापन के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(W = F \times d)$। चूंकि बल की इकाई $kg m s^{-2}$ है और विस्थापन की इकाई $m$ है,इसलिए कार्य की इकाई $(kg m s^{-2}) \times m = kg m^2 s^{-2}$ होती है।
इकाई $kg m^{-1} s^{-2}$ एक पास्कल $(Pa)$ का प्रतिनिधित्व करती है,जो दबाव की इकाई है। दबाव को बल बटा क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(P = F / A)$। अतः,इसकी इकाई $(kg m s^{-2}) / m^2 = kg m^{-1} s^{-2}$ होती है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंगों के लिए मैक्सवेल के संबंध से,प्रकाश की गति $c$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$.
अतः,गुणनफल $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ है।
प्रकाश की गति $c$ की विमा $[LT^{-1}]$ होती है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [LT^{-1}]^{-2}$.
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [L^{-2} T^2]$.
द्रव्यमान,लंबाई और समय के संदर्भ में,इसे $[M^0 L^{-2} T^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) स्प्रिंग नियतांक $k$ की विमा $k = \frac{F}{x}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए इसका मात्रक $\frac{N}{m} = \frac{kg \cdot m/s^2}{m} = kg \cdot s^{-2}$ है। इसका विमीय सूत्र $[M L^0 T^{-2}]$ है।
पृष्ठ ऊर्जा को प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{पृष्ठ ऊर्जा} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{J}{m^2} = \frac{N \cdot m}{m^2} = \frac{N}{m}$.
इस प्रकार,पृष्ठ ऊर्जा का मात्रक भी $\frac{N}{m}$ है,जो विमीय सूत्र $[M L^0 T^{-2}]$ के अनुरूप है।
चूंकि दोनों के विमीय सूत्र समान हैं,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(C) कोणीय संवेग $(L)$ को रैखिक संवेग $(p)$ और घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी $(r)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$L = p \times r = m \times v \times r$ होता है।
इसकी विमाएँ इस प्रकार हैं:
द्रव्यमान $(m)$ = $[M]$
वेग $(v)$ = $[LT^{-1}]$
दूरी $(r)$ = $[L]$
अतः,कोणीय संवेग की विमा = $[M] \times [LT^{-1}] \times [L] = [ML^2 T^{-1}]$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ का विमीय सूत्र इस प्रकार है:
$[E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[A^1 T^1]} = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}] \quad ... (i)$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0$ का विमीय सूत्र लंबे सीधे तार के लिए $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ संबंध से या चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ से प्राप्त किया जा सकता है। बल के नियम $F = qvB$ का उपयोग करके,हमें प्राप्त होता है:
$[\mu_0] = [M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}] \quad ... (ii)$
अब,हम $\frac{E^2}{\mu_0}$ का विमीय सूत्र ज्ञात करते हैं:
$\left[\frac{E^2}{\mu_0}\right] = \frac{[E]^2}{[\mu_0]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]^2}{[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]}$
$= \frac{[M^2 L^2 T^{-6} A^{-2}]}{[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]}$
$= [M^{2-1} L^{2-1} T^{-6-(-2)} A^{-2-(-2)}]$
$= [M^1 L^1 T^{-4}] = [MLT^{-4}]$

(A) दिया गया संबंध $P V^{5/3} = K$ है।
दाब $P$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$ होती हैं।
आयतन $V$ की विमाएँ $[L^3]$ होती हैं।
समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[K] = [P] [V]^{5/3} = [M L^{-1} T^{-2}] ([L^3])^{5/3}$.
$[K] = [M L^{-1} T^{-2}] [L^5]$.
$[K] = [M L^{4} T^{-2}]$.
अतः,$K$ की विमाएँ $ML^4T^{-2}$ हैं।

(D) समीकरण $x(t) = \frac{v_0}{A}(1 - e^{-At})$ में,घातांकीय फलन का घातांक विमाहीन होना चाहिए। इसलिए,$At$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
चूँकि $[t] = [T]$,हमारे पास $[A][T] = [1]$ है,जिसका अर्थ है कि $[A] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$।
आगे,पद $(1 - e^{-At})$ विमाहीन है। अतः,$x$ की विमाएँ $\frac{v_0}{A}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[x] = \frac{[v_0]}{[A]} \implies [L] = \frac{[v_0]}{[T^{-1}]}$।
इसलिए,$[v_0] = [L][T^{-1}] = [M^0 LT^{-1}]$।
अतः,$v_0$ और $A$ की विमाएँ क्रमशः $[M^0 LT^{-1}]$ और $[M^0 L^0 T^{-1}]$ हैं।

(B) श्यानता गुणांक $\eta = \frac{F dr}{A dv} = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[L^2][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$। अतः, $A-IV$।
$(B)$ पृष्ठ तनाव $S = \frac{F}{L} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$ या $[ML^0T^{-2}]$। अतः, $B-III$।
$(C)$ दाब $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$। अतः, $C-I$।
$(D)$ पृष्ठ ऊर्जा $E = S \times A = [MT^{-2}][L^2] = [ML^2T^{-2}]$। अतः, $D-II$।
अतः, सही मिलान $A-IV, B-III, C-I, D-II$ है।

(A) राशि $\frac{B^2}{2\mu_0}$ चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $(u_B)$ को दर्शाती है,जिसे चुंबकीय क्षेत्र में प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा $(E)$ का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ होता है।
आयतन $(V)$ का विमीय सूत्र $[L^3]$ होता है।
इसलिए,चुंबकीय ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) प्लांक नियतांक $(h)$ की विमाएँ 'एक्शन' (action) के समान होती हैं,जिसे ऊर्जा और समय के गुणनफल $(E \times t)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है और समय का मात्रक सेकंड $(s)$ है,इसलिए प्लांक नियतांक का मात्रक $J \cdot s$ होता है।
कोणीय संवेग $(L)$ को जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के गुणनफल के रूप में,या $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कोणीय संवेग की विमाएँ $[M L^2 T^{-1}]$ होती हैं,जो प्लांक नियतांक की विमाओं के समान हैं।
अतः,प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग दोनों का $SI$ मात्रक समान है,जो $kg \cdot m^2/s$ या $J \cdot s$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) व्यंजक $\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ विद्युत क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है,जिसे प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र = $[ML^2 T^{-2}]$.
आयतन का विमीय सूत्र = $[L^3]$.
अतः,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र = $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
इसकी तुलना $[M^a L^b T^c]$ से करने पर,हमें $a = 1$,$b = -1$,और $c = -2$ प्राप्त होता है।
अब,$2a - b + c$ का मान ज्ञात करने पर:
$2(1) - (-1) + (-2) = 2 + 1 - 2 = 1$.

(B) सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का विमीय सूत्र $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ है।
प्लांक नियतांक $h$ का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-1}]$ है।
हमें $G$ को $h, L, M, T$ के पदों में व्यक्त करना है। मान लीजिए $G = h^a L^b M^c T^d$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M^{-1}L^3T^{-2}] = [ML^2T^{-1}]^a [L]^b [M]^c [T]^d$ प्राप्त होता है।
$[M^{-1}L^3T^{-2}] = M^a L^{2a} T^{-a} \cdot L^b \cdot M^c \cdot T^d = M^{a+c} L^{2a+b} T^{-a+d}$।
दोनों पक्षों में $M, L, T$ की घातों की तुलना करने पर:
$a + c = -1$ $(1)$
$2a + b = 3$ $(2)$
$-a + d = -2$ $(3)$
विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $a = 1, b = 1, c = -2, d = -1$।
$(1)$ से: $1 + (-2) = -1$ (सही)।
$(2)$ से: $2(1) + 1 = 3$ (सही)।
$(3)$ से: $-1 + (-1) = -2$ (सही)।
अतः, $G = h^1 L^1 M^{-2} T^{-1}$, जो $[hT^{-1}LM^{-2}]$ है।