2 nd Law of thermodynamics and Entropy Questions in Hindi

(B) आदर्श गैस के लिए,एन्ट्रापी परिवर्तन $\Delta S$ को सामान्य व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$\Delta S = n C_p \ln \left( \frac{T_f}{T_i} \right) + n R \ln \left( \frac{p_i}{p_f} \right)$
समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $T_i = T_f$।
इसका अर्थ है कि $\ln \left( \frac{T_f}{T_i} \right) = \ln(1) = 0$।
अतः,व्यंजक सरल होकर हो जाता है:
$\Delta S = n R \ln \left( \frac{p_i}{p_f} \right)$

(A) किसी अभिक्रिया के लिए,$\Delta G^o = \Delta H^o - T \Delta S^o$ होता है। यदि $\Delta S^o > 0$ है,तो जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,$-T \Delta S^o$ पद अधिक ऋणात्मक हो जाता है,जिससे $\Delta G^o$ तेजी से घटता है।
$\Delta S^o$ तब धनात्मक होता है जब गैसीय उत्पादों के मोलों की संख्या गैसीय अभिकारकों के मोलों की संख्या से अधिक होती है (अर्थात $\Delta n_g > 0$)।
विकल्प $A$ में: $C_{(graphite)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to CO_{(g)}$,$\Delta n_g = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$ है।
विकल्प $B$ में: $CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to CO_{2(g)}$,$\Delta n_g = 1 - 1.5 = -0.5 < 0$ है।
विकल्प $C$ में: $Mg_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to MgO_{(s)}$,$\Delta n_g = 0 - 0.5 = -0.5 < 0$ है।
विकल्प $D$ में: $\frac{1}{2} C_{(graphite)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \to \frac{1}{2} CO_{2(g)}$,$\Delta n_g = 0.5 - 0.5 = 0$ है।
अतः,केवल अभिक्रिया $A$ में $\Delta S^o$ धनात्मक है।

(C) $0 \ ^\circ C$ $(273 \ K)$ पर बर्फ का पिघलना एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया है।
उत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S = \frac{\Delta H_{fus}}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta H_{fus} = 1.435 \ kcal/mol = 1435 \ cal/mol$ है।
तापमान $T = 273 \ K$ है।
अतः,$\Delta S = \frac{1435}{273} = 5.26 \ cal/(mol \ K)$।

(D) यह प्रक्रिया स्थिर तापमान पर द्रव जल का वाष्प में प्रावस्था संक्रमण है।
दिया गया है: $\Delta H_{vap} = 30 \ kJ \ mol^{-1} = 30000 \ J \ mol^{-1}$.
तापमान $T = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$.
एन्ट्रॉपी परिवर्तन का सूत्र: $\Delta S_{vap} = \frac{\Delta H_{vap}}{T}$.
मान रखने पर: $\Delta S_{vap} = \frac{30000 \ J \ mol^{-1}}{300 \ K} = 100 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.

(B) अभिक्रिया की स्वतःप्रवर्तितता न्यूनतम ऊर्जा अवस्था और अधिकतम यादृच्छिकता (एन्ट्रॉपी) प्राप्त करने की प्रवृत्ति पर निर्भर करती है।
एक विलगित निकाय (isolated system) में स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया के लिए,एन्ट्रॉपी में कुल परिवर्तन $(\Delta S_{total})$ शून्य से अधिक होना चाहिए,अर्थात $\Delta S > 0$।

(C) अभिक्रिया के साम्यावस्था पर होने के लिए $\Delta G = 0$ होता है।
चूंकि $\Delta G = \Delta H - T \Delta S$,साम्यावस्था पर $\Delta H = T \Delta S$ होता है।
अभिक्रिया $\frac{1}{2} X_2 + \frac{3}{2} Y_2 \to XY_3$ के लिए,$\Delta H = -30 \ kJ = -30000 \ J$ है।
अभिक्रिया के लिए $\Delta S$ की गणना:
$\Delta S = S^{\circ}(XY_3) - [\frac{1}{2} S^{\circ}(X_2) + \frac{3}{2} S^{\circ}(Y_2)]$
$\Delta S = 50 - [\frac{1}{2} \times 60 + \frac{3}{2} \times 40] \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$\Delta S = 50 - [30 + 60] = -40 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$।
साम्यावस्था पर,$T = \frac{\Delta H}{\Delta S} = \frac{-30000 \ J}{-40 \ J \ K^{-1}} = 750 \ K$।

(A) समतापीय उत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए एन्ट्रापी परिवर्तन का सूत्र: $\Delta S = n R \ln \frac{V_2}{V_1}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n = 2 \, \text{mol}$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, \text{mol}^{-1}$,$V_1 = 10 \, dm^3$,$V_2 = 100 \, dm^3$.
$\Delta S = 2 \times 8.314 \times 2.303 \log \left( \frac{100}{10} \right)$
$\Delta S = 2 \times 8.314 \times 2.303 \times 1 = 38.29 \, J \, K^{-1} \approx 38.3 \, J \, K^{-1}$

(D) अभिक्रिया के लिए एन्ट्रापी परिवर्तन का सूत्र: $\Delta S^{\circ} = \sum S^{\circ}_{products} - \sum S^{\circ}_{reactants}$
अभिक्रिया $H_{2(g)} + Cl_{2(g)} \to 2HCl_{(g)}$ के लिए,व्यंजक: $\Delta S^{\circ} = 2 S^{\circ}_{HCl} - (S^{\circ}_{H_2} + S^{\circ}_{Cl_2})$
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta S^{\circ} = 2 \times 186.7 - (130.6 + 223.0)$
$\Delta S^{\circ} = 373.4 - 353.6 = 19.8 \ J K^{-1} mol^{-1}$

(D) अवस्था परिवर्तन के लिए एन्ट्रापी में परिवर्तन का सूत्र है: $\Delta S = \frac{\Delta H_{vap}}{T_b}$
दिया गया है:
$H_2O$ का द्रव्यमान $= 9.0 \, g$
वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा $= x \, J / g$
कुल एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H_{vap} = 9.0 \, g \times x \, J / g = 9x \, J$
क्वथनांक $T_b = 100 \, ^\circ C = 100 + 273 = 373 \, K$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta S = \frac{9x}{373} \, J / K$
चूंकि $\frac{9}{373} = \frac{1}{2} \times \frac{18}{373}$,इसलिए:
$\Delta S = \frac{1}{2} \times \frac{18x}{373} \, J / K$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) गलन के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: $\Delta S_{fusion} = \frac{\Delta H_{fusion}}{T_{mp}}$.
दिया गया है,$\Delta H_{fusion} = 6.01 \, kJ \, mol^{-1} = 6010 \, J \, mol^{-1}$.
बर्फ का गलनांक $(T_{mp})$ $273 \, K$ है।
अतः,$\Delta S_{fusion} = \frac{6010 \, J \, mol^{-1}}{273 \, K} \approx 22 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.

(B) एन्ट्रॉपी परिवर्तन के लिए सामान्य सूत्र $\Delta S = nC_V \ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ है।
दिया गया है:
$n = 1 \ mol$
$T_1 = 25 \ ^{\circ}C = 298 \ K$
$T_2 = 100 \ ^{\circ}C = 373 \ K$
$C_V = 5 \ cal / mol \cdot K$
$R = 2 \ cal / mol \cdot K$
$V_1 = 1 \ L$
$V_2 = 10 \ L$
मान रखने पर:
$\Delta S = 1 \times 5 \ln \left(\frac{373}{298}\right) + 1 \times 2 \ln \left(\frac{10}{1}\right)$
$\Delta S = 5 \ln \left(\frac{373}{298}\right) + 2 \ln 10$.

(C) किसी भी प्रक्रिया के लिए,ब्रह्मांड की एन्ट्रापी में परिवर्तन $\Delta S_{univ} = \Delta S_{syst} + \Delta S_{surr}$ द्वारा दिया जाता है।
उत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए,$\Delta S_{univ} = 0$ होता है।
अनुत्क्रमणीय (स्वतः) प्रक्रिया के लिए,$\Delta S_{univ} > 0$ होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,$\Delta S_{syst}$ केवल तभी शून्य होता है यदि प्रक्रिया उत्क्रमणीय हो। यदि रुद्धोष्म प्रक्रिया अनुत्क्रमणीय है,तो $\Delta S_{syst} > 0$ होता है। अतः,यह कथन कि रुद्धोष्म प्रक्रिया में हमेशा $\Delta S_{syst} = 0$ होता है,गलत है।
समआयतनिक प्रक्रिया $(V = \text{स्थिर})$ के लिए,एन्ट्रापी परिवर्तन $\Delta S_{syst} = nC_v \ln(\frac{T_2}{T_1})$ है,जो सही है।

(D) $T_H = 500 \ K$ और $T_L = 300 \ K$ के बीच कार्य करने वाले हीट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H} = 1 - \frac{300}{500} = 0.4$ है।
दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$ है,जहाँ $Q_H = 100 \ J$ है।
ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार,$\frac{Q_L}{Q_H} \geq \frac{T_L}{T_H}$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{Q_L}{100} \geq 0.6$,जिसका अर्थ है $Q_L \geq 60 \ J$।
इसका मतलब है कि $60 \ J$ से कम ऊष्मा का निष्कासन असंभव है। इसलिए,$20 \ J$ एक असंभव मान है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1 = 500 \ K$ और $T_2 = 400 \ K$ है।
$\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$.
दक्षता को $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$ के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,जहाँ $Q_1 = 100 \ J$ अवशोषित ऊष्मा है और $Q_2$ निष्कासित ऊष्मा है।
उत्क्रमणीय इंजन के लिए,$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1} = 0.8$,इसलिए $Q_2 = 0.8 \times 100 \ J = 80 \ J$.
ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार,किसी भी वास्तविक इंजन के लिए,दक्षता $\eta_{real} \le \eta_{Carnot}$ होती है।
$1 - \frac{Q_2}{Q_1} \le 0.2 \implies \frac{Q_2}{Q_1} \ge 0.8$.
$Q_2 \ge 0.8 \times 100 \ J = 80 \ J$.
इसलिए,$80 \ J$ से कम $Q_2$ का कोई भी मान असंभव है। अतः,$10 \ J$ असंभव है।

(B) प्रणाली की एन्ट्रापी में परिवर्तन $\Delta S_{system} = m \times (s_2 - s_1) = 100 \ kg \times (0.4 - 0.3) \ kJ \ kg^{-1} \ K^{-1} = 10 \ kJ \ K^{-1}$ है।
परिवेश की एन्ट्रापी में परिवर्तन $\Delta S_{surrounding} = S_{2,surr} - S_{1,surr} = 75 \ kJ \ K^{-1} - 80 \ kJ \ K^{-1} = -5 \ kJ \ K^{-1}$ है।
ब्रह्मांड की एन्ट्रापी में परिवर्तन $\Delta S_{universe} = \Delta S_{system} + \Delta S_{surrounding} = 10 \ kJ \ K^{-1} + (-5 \ kJ \ K^{-1}) = 5 \ kJ \ K^{-1}$ है।

(B) यह प्रक्रिया बर्फ के गलनांक पर बर्फ का पानी में प्रावस्था परिवर्तन है: $H_2O_{(s)} \longrightarrow H_2O_{(\ell)}$.
साम्यावस्था पर,एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\Delta S = S_{H_2O(\ell)} - S_{H_2O(s)} = 60.01 - 38.2 = 21.81 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
तापमान $T = 273 \ K$ दिया गया है।
अतः,$\Delta H = \Delta S \times T = 21.81 \times 273 = 5954.13 \ J \ mol^{-1}$.

(B) जब तंत्र की अव्यवस्था (disorder) बढ़ती है,तो एन्ट्रापी परिवर्तन $(\Delta S)$ धनात्मक होता है।
अभिक्रिया $H_2O_{(s)} \to H_2O_{(l)}$ में,पदार्थ ठोस अवस्था से द्रव अवस्था में परिवर्तित होता है।
चूंकि $S_{(liquid)} > S_{(solid)}$,इसलिए एन्ट्रापी परिवर्तन $\Delta S = S_{(liquid)} - S_{(solid)}$ धनात्मक $(+ve)$ होता है।

(C) एन्ट्रॉपी किसी निकाय की यादृच्छिकता या अव्यवस्था का माप है।
किसी दिए गए पदार्थ के लिए,एन्ट्रॉपी का क्रम $S_{gas} > S_{liquid} > S_{solid}$ होता है।
इसके अतिरिक्त,तापमान बढ़ने के साथ एन्ट्रॉपी बढ़ती है।
चूंकि गैसीय अवस्था में अणुओं की स्वतंत्रता सबसे अधिक होती है,इसलिए $H_2O\, (g, 100\ ^\circ C, 1\ atm)$ की मोलर एन्ट्रॉपी अधिकतम होगी।

(A) आदर्श गैस के लिए एन्ट्रॉपी में परिवर्तन का सूत्र: $\Delta S = n C_p \ln(\frac{T_2}{T_1}) - nR \ln(\frac{P_2}{P_1})$ है।
दिया गया है: $n = 3 \ mol$,$C_p = 7 \ cal/mol \cdot K$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 1000 \ K$,$P_1 = 0.1 \ atm$,$P_2 = 1 \ atm$,$R \approx 2 \ cal/mol \cdot K$।
मान रखने पर:
$\Delta S = 3 \times 7 \times 2.3 \log(\frac{1000}{300}) - 3 \times 2 \times 2.3 \log(\frac{1}{0.1})$
$\Delta S = 21 \times 2.3 \log(3.33) - 6 \times 2.3 \log(10)$
$\log(3.33) \approx 0.52$ और $\log(10) = 1$ का उपयोग करने पर:
$\Delta S = 48.3 \times 0.52 - 13.8 \times 1$
$\Delta S = 25.116 - 13.8 = 11.316 \ cal/K$।
अतः,अनुमानित मान $11 \ cal/degree$ है।

(A) कुल एन्ट्रापी परिवर्तन और सिस्टम एन्ट्रापी परिवर्तन के बीच संबंध इस प्रकार है: $\Delta S_{Total} = \Delta S_{System} + \Delta S_{Surroundings}$.
हम जानते हैं कि $\Delta S_{Surroundings} = -\frac{\Delta H_{System}}{T}$.
मान रखने पर: $\Delta S_{Surroundings} = -\frac{2000 \ kJ/mol}{400 \ K} = -5 \ kJ/mol \cdot K$.
अब,$\Delta S_{Total} = \Delta S_{System} + \Delta S_{Surroundings}$.
$-40 \ kJ/mol \cdot K = \Delta S_{System} + (-5 \ kJ/mol \cdot K)$.
$\Delta S_{System} = -40 + 5 = -35 \ kJ/mol \cdot K$.

(B) एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए,एन्ट्रॉपी में परिवर्तन को $dS = \frac{dq_{rev}}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $dq_{rev} = 0$ होता है।
अतः,एक उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए $\Delta S = 0$ होता है,जिसे समएन्ट्रॉपिक (isentropic) प्रक्रिया भी कहा जाता है।

(B) एन्ट्रॉपी $(S)$ किसी निकाय की यादृच्छिकता या अव्यवस्था का माप है।
$1$. प्रक्रिया $(a)$: $Br_{2(l)} \to Br_{2(g)}$. द्रव से गैस में परिवर्तन से अव्यवस्था बढ़ती है। $\Delta S > 0$।
$2$. प्रक्रिया $(b)$: $H_2O_{(s)} \to H_2O_{(g)}$. ठोस से गैस में परिवर्तन से अव्यवस्था बढ़ती है। $\Delta S > 0$।
$3$. प्रक्रिया $(c)$: $N_2 \left[ 1 \ atm, 100 ^oC \right] \to N_2 \left[ 1 \ atm, 150 ^oC \right]$. गैस को गर्म करने से अणुओं की गतिज ऊर्जा और यादृच्छिकता बढ़ती है। $\Delta S > 0$।
$4$. प्रक्रिया $(d)$: $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \to 2NH_{3(g)}$. यहाँ,$4 \ mol$ गैस से $2 \ mol$ गैस बनती है। मोल की संख्या घटने से अव्यवस्था घटती है। $\Delta S < 0$।
$5$. प्रक्रिया $(e)$: $CaCO_{3(s)} \to CaO_{(s)} + CO_{2(g)}$. ठोस से गैस का उत्पादन होता है,जिससे अव्यवस्था काफी बढ़ जाती है। $\Delta S > 0$।
अतः,प्रक्रिया $(a)$,$(b)$,$(c)$ और $(e)$ में एन्ट्रॉपी बढ़ती है।

(B) अभिक्रिया के लिए एन्ट्रॉपी में परिवर्तन की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$\Delta S^o = \sum \nu_p S^o_{products} - \sum \nu_r S^o_{reactants}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta S^o = (4 \times 200 + 5 \times 150) - (2 \times 100 + 3 \times 120)$
$\Delta S^o = (800 + 750) - (200 + 360)$
$\Delta S^o = 1550 - 560 = 990 \ J \ K^{-1}$

(B) एन्ट्रापी $(S)$ किसी निकाय की अव्यवस्था या यादृच्छिकता का माप है।
जो प्रक्रियाएं अधिक व्यवस्थित अवस्था की ओर ले जाती हैं,उनमें एन्ट्रापी में कमी $(\Delta S < 0)$ होती है।
$(A)$ ठोस का तापमान बढ़ाने से कणों की कंपन गति बढ़ जाती है,जिससे एन्ट्रापी में वृद्धि होती है।
$(B)$ द्रव का ठोस में क्रिस्टलीकरण होने पर पदार्थ अव्यवस्थित द्रव अवस्था से अत्यधिक व्यवस्थित क्रिस्टलीय ठोस अवस्था में परिवर्तित हो जाता है,जिससे एन्ट्रापी में कमी आती है।
$(C)$ $2NaHCO_{3(s)}$ का अपघटन गैसीय उत्पाद ($CO_2$ और $H_2O$) उत्पन्न करता है,जो निकाय की अव्यवस्था को काफी बढ़ा देता है।
$(D)$ $H_{2(g)}$ का $2H_{(g)}$ में वियोजन होने से कणों की संख्या और निकाय की यादृच्छिकता बढ़ जाती है,जिससे एन्ट्रापी में वृद्धि होती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) साम्यावस्था पर प्रावस्था परिवर्तन के लिए,एन्ट्रॉपी परिवर्तन का सूत्र है:
$\Delta S = \frac{\Delta_{vap} H}{T_{BP}}$
यहाँ $\Delta_{vap} H = 39.2 \, kJ \, mol^{-1} = 39.2 \times 10^3 \, J \, mol^{-1}$ और $T = 373 \, K$ है।
मान रखने पर:
$\Delta S = \frac{39.2 \times 10^3}{373} \approx 105.09 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$।
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $105 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ है।

(B) एन्ट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S$ गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन $\Delta n_g$ से संबंधित है।
यदि $\Delta n_g < 0$ है,तो निकाय की एन्ट्रॉपी कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप $\Delta S$ ऋणात्मक होता है।
अभिक्रिया $2SO_{2_{(g)}} + O_{2_{(g)}} \to 2SO_{3_{(g)}}$ के लिए,गैसीय मोलों में परिवर्तन $\Delta n_g = 2 - (2 + 1) = -1$ है।
चूंकि $\Delta n_g$ ऋणात्मक है,इसलिए अभिक्रिया में अव्यवस्था कम होती है,जिससे $\Delta S$ का मान ऋणात्मक प्राप्त होता है।

(A) स्थिर तापमान और दबाव पर अवस्था परिवर्तन के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन का सूत्र: $\Delta S = \frac{\Delta H_{vap}}{T}$ है।
यहाँ,$\Delta H_{vap} = 37.3 \ kJ \ mol^{-1} = 37300 \ J \ mol^{-1}$ और $T = 373 \ K$ है।
मान रखने पर: $\Delta S = \frac{37300 \ J \ mol^{-1}}{373 \ K} = 100 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.

(B) वाष्पीकरण की एन्ट्रॉपी $(\Delta S_{vap})$ की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: $\Delta S_{vap} = \frac{\Delta H_{vap}}{T}$.
दिया गया है,वाष्पीकरण की मोलर ऊष्मा $\Delta H_{vap} = 9710\,cal/mol$.
तापमान $T = 100\,^{\circ}C = 100 + 273 = 373\,K$.
मान रखने पर: $\Delta S_{vap} = \frac{9710\,cal/mol}{373\,K} \approx 26.03\,cal/K/mol$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $26\,cal/K/mol$ प्राप्त होता है।

(D) यह प्रक्रिया अपने गलनांक पर पानी का जमना है,जो साम्यावस्था पर एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया है।
$\Delta H_{\text{freezing}} = -\Delta H_{\text{fusion}} = -80 \ cal/g \times 10 \ g = -800 \ cal$.
तापमान $T = 0 \ ^\circ C = 273 \ K$.
$\Delta S_{\text{freezing}} = \frac{\Delta H_{\text{freezing}}}{T} = \frac{-800 \ cal}{273 \ K} \approx -2.93 \ cal/K$.
$J/K$ में बदलने के लिए,रूपांतरण कारक $1 \ cal = 4.184 \ J$ का उपयोग करें।
$\Delta S = -2.93 \ cal/K \times 4.184 \ J/cal \approx -12.25 \ J/K$.

(C) एन्ट्रापी परिवर्तन का सूत्र $\Delta S = nC_V \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right) + nR \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$ है।
चूंकि प्रक्रिया समआयतनिक है,आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta S = nC_V \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$।
दिया गया है:
$n = 2 \, \text{mole}$
$C_V = \frac{3}{2} R$ (एकपरमाण्विक गैस के लिए)
$T_1 = 200 + 273 = 473 \, \text{K}$
$T_2 = 300 + 273 = 573 \, \text{K}$
मान रखने पर:
$\Delta S = 2 \times \left( \frac{3}{2} R \right) \times \ln \left( \frac{573}{473} \right)$
$\Delta S = 3 R \ln \left( \frac{573}{473} \right)$.

(B) गलनांक पर,संलयन (fusion) की प्रक्रिया साम्यावस्था में होती है,इसलिए $\Delta G = 0$ होता है।
$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$ संबंध का उपयोग करने पर,हमें $T = \frac{\Delta H_{fusion}}{\Delta S_{fusion}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\Delta H_{fusion} = 9.95 \ kJ/mol = 9950 \ J/mol$ और $\Delta S_{fusion} = 35.7 \ J/K \cdot mol$।
$T = \frac{9950 \ J/mol}{35.7 \ J/K \cdot mol} \approx 278.7 \ K$।

(B) . हीरे का ग्रेफाइट में परिवर्तन एक संरचनात्मक परिवर्तन है जिसमें एन्ट्रापी सामान्यतः बढ़ती है,इसलिए $\Delta S > 0$ है।
$B$. जब स्थिर तापमान पर गैस का दबाव बढ़ाया जाता है,तो गैस के अणु कम आयतन में संकुचित हो जाते हैं,जिससे उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं (microstates) की संख्या कम हो जाती है और यादृच्छिकता (randomness) में कमी आती है। अतः,$\Delta S < 0$ है।
$C$. गैस का तापमान बढ़ाने से अणुओं की गतिज ऊर्जा और यादृच्छिकता बढ़ती है,जिससे एन्ट्रापी बढ़ती है,इसलिए $\Delta S > 0$ है।
$D$. $H_2$ गैस का $2H$ परमाणुओं में वियोजन होने से गैस के कणों के मोलों की संख्या बढ़ जाती है,जो निकाय की अव्यवस्था को बढ़ाती है,इसलिए $\Delta S > 0$ है।

(B) अभिक्रिया के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$\Delta S^o = \sum S^o(\text{products}) - \sum S^o(\text{reactants})$
अभिक्रिया $CH_{4(g)} + 2O_{2(g)} \to CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$ के लिए:
$\Delta S^o = [S^o(CO_2) + 2 \times S^o(H_2O)] - [S^o(CH_4) + 2 \times S^o(O_2)]$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta S^o = [213.6 + 2 \times 69.9] - [186.2 + 2 \times 205.2]$
$\Delta S^o = [213.6 + 139.8] - [186.2 + 410.4]$
$\Delta S^o = 353.4 - 596.6$
$\Delta S^o = -242.8 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$

(D) एन्ट्रॉपी में परिवर्तन का सूत्र $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$ है।
यहाँ,$\Delta S = 0.836 \ J \ K^{-1}$ और $q_{rev} = 0.3344 \ J$ दिया गया है।
तापमान $T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $T = \frac{q_{rev}}{\Delta S}$।
मान रखने पर: $T = \frac{0.3344}{0.836} = 0.4 \ K$।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $\Delta S$ का सूत्र: $\Delta S = nR \ ln \ (P_1 / P_2)$ है।
यहाँ गैस का विस्तार प्रारंभिक दाब के आधे दाब तक किया गया है,इसलिए $P_2 = P_1 / 2$,अर्थात $P_1 / P_2 = 2$ है।
$n = 1 \ mol$ के लिए,समीकरण: $\Delta S = 1 \times R \times ln \ (2)$ होगा।
मान रखने पर: $\Delta S = 8.314 \times 0.693 = 5.76 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$।

(D) एन्ट्रापी परिवर्तन $(\Delta S)$ गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन से संबंधित है। गैसीय मोलों की संख्या में कमी होने पर एन्ट्रापी में कमी (ऋणात्मक परिवर्तन) होती है।
$A$: $CaSO_{4(s)} \to CaO_{(s)} + SO_{3(g)}$ (गैसीय मोल $0$ से बढ़कर $1$ हो जाते हैं,$\Delta S > 0$)
$B$: $CO_{2(s)} \to CO_{2(g)}$ (ठोस से गैस में परिवर्तन,$\Delta S > 0$)
$C$: $I_{2(s)} \to I_{2(aq)}$ (ठोस से जलीय अवस्था में परिवर्तन,$\Delta S > 0$)
$D$: $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \to 2NH_{3(g)}$ (गैसीय मोल $4$ से घटकर $2$ हो जाते हैं,$\Delta S < 0$)
अतः,अमोनिया का संश्लेषण एन्ट्रापी में कमी दर्शाता है।

(A) जब समान द्रव्यमान और समान ऊष्मा धारिता $C_p$ वाले दो ब्लॉकों को $T_1$ और $T_2$ तापमान पर संपर्क में लाया जाता है,तो अंतिम संतुलन तापमान $T_f = \frac{T_1 + T_2}{2}$ होता है।
पहले ब्लॉक के लिए एन्ट्रापी में परिवर्तन $\Delta S_1 = C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2T_1} \right)$ है।
दूसरे ब्लॉक के लिए एन्ट्रापी में परिवर्तन $\Delta S_2 = C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2T_2} \right)$ है।
कुल एन्ट्रापी परिवर्तन $\Delta S_{total} = C_p \ln \left( \frac{(T_1 + T_2)^2}{4T_1T_2} \right) = 2C_p \ln \left( \frac{T_1 + T_2}{2\sqrt{T_1T_2}} \right)$ है।

(C) गलनांक पर गलन प्रक्रिया के लिए,गलन की एन्थैल्पी,गलन की एन्ट्रॉपी और गलनांक तापमान के बीच संबंध इस प्रकार है: $\Delta_{fus}H = T_{mp} \times \Delta_{fus}S$.
दिया गया है: $\Delta_{fus}H = 600 \ cal \ mol^{-1}$,$\Delta_{fus}S = 2 \ cal \ mol^{-1} \ K^{-1}$,और $T_{mp} = x \ K$.
मान रखने पर: $600 = x \times 2$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 600 / 2 = 300 \ K$.

(D) एंट्रॉपी $(S)$ किसी निकाय की यादृच्छिकता या अव्यवस्था का माप है। एंट्रॉपी में धनात्मक परिवर्तन $(\Delta S > 0)$ तब होता है जब निकाय की अव्यवस्था बढ़ती है।
$A$. $H_2O_{(g)} \longrightarrow H_2O_{(l)}$: गैस से द्रव में परिवर्तन से अव्यवस्था कम होती है,इसलिए $\Delta S < 0$.
$B$. $H_2O_{(l)} \longrightarrow H_2O_{(s)}$: द्रव से ठोस में परिवर्तन से अव्यवस्था कम होती है,इसलिए $\Delta S < 0$.
$C$. $N_2(g) + 3H_2(g) \longrightarrow 2NH_3(g)$: गैस के मोलों की संख्या $4$ से घटकर $2$ हो जाती है,जिससे अव्यवस्था कम होती है,इसलिए $\Delta S < 0$.
$D$. $2O_3(g) \longrightarrow 3O_2(g)$: गैस के मोलों की संख्या $2$ से बढ़कर $3$ हो जाती है। गैसीय अणुओं की संख्या में वृद्धि से अव्यवस्था बढ़ती है,इसलिए $\Delta S > 0$.

(A) ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार,किसी भी स्वतःप्रवर्तित या अनुत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए,निकाय की एन्ट्रापी में परिवर्तन $(dS)$ हमेशा तापमान से विभाजित ऊष्मा विनिमय $(\frac{dq}{T})$ से अधिक होता है।
इसे क्लॉसियस असमानता द्वारा व्यक्त किया जाता है: $dS > \frac{dq_{irr}}{T}$।
उत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए,$dS = \frac{dq_{rev}}{T}$ होता है।

(A) जब अंडे को उबाला जाता है,तो अंडे के अंदर के प्रोटीन का विकृतीकरण (denaturation) होता है।
इस प्रक्रिया में प्रोटीन की अत्यधिक व्यवस्थित और कॉम्पैक्ट संरचना एक अधिक अव्यवस्थित और रैंडम कॉइल संरचना में बदल जाती है।
चूंकि एन्ट्रापी किसी निकाय की अव्यवस्था का माप है,इसलिए अत्यधिक व्यवस्थित अवस्था से अधिक अव्यवस्थित अवस्था में परिवर्तन के कारण एन्ट्रापी में वृद्धि $( \Delta S > 0 )$ होती है।

(B) ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम ($2^{nd}$ Law of Thermodynamics) के अनुसार,एक विलगित निकाय में किसी भी स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया के लिए,कुल एन्ट्रॉपी परिवर्तन $(\Delta S_{total})$ शून्य से अधिक होना चाहिए,अर्थात $\Delta S_{total} > 0$।
अनुत्क्रमणीय स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया के लिए,ब्रह्मांड (निकाय परिवेश) की एन्ट्रॉपी बढ़ती है।
विशेष रूप से,एक विलगित निकाय के लिए,अनुत्क्रमणीय स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया के लिए $\Delta S_{system} > 0$ होता है।
विकल्प $B$ सही है कि अनुत्क्रमणीय स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया के लिए,विलगित निकाय की एन्ट्रॉपी बढ़ती है।

(C) बर्फ $(H_2O(s))$ के पानी $(H_2O(l))$ में पिघलने के दौरान,बर्फ की ठोस संरचना टूटकर अधिक अव्यवस्थित तरल अवस्था में बदल जाती है।
एन्ट्रापी किसी निकाय की यादृच्छिकता या अव्यवस्था का माप है।
चूंकि तरल अवस्था में ठोस अवस्था की तुलना में अधिक अव्यवस्था होती है,इसलिए ठोस से तरल में चरण परिवर्तन के दौरान निकाय की एन्ट्रापी बढ़ जाती है।
अतः,$\Delta S > 0$.

(C) स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $\left( \Delta S \right)$ का सूत्र है: $\Delta S = n C_{p,m} \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$.
दिए गए मान हैं: $n = 2 \ mol$,$C_{p,m} = \frac{5}{2} R$,$T_1 = 300 \ K$,और $T_2 = 600 \ K$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta S = 2 \times \left( \frac{5}{2} R \right) \ln \left( \frac{600 \ K}{300 \ K} \right)$.
$\Delta S = 5 R \ln (2)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) यह प्रक्रिया बर्फ का गलन है: $H_2O_{(s)} \rightarrow H_2O_{(l)}$ जहाँ $T = 0 \ ^\circ C = 273 \ K$ है।
मोलर एन्ट्रॉपी परिवर्तन $\Delta S_{fus} = S_{product} - S_{reactant} = 60 - 38.2 = 21.8 \ J/mol \ K$ है।
साम्यावस्था पर उत्क्रमणीय प्रावस्था परिवर्तन के लिए,$\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$ होता है।
अतः,$\Delta H = \Delta S \times T = 21.8 \ J/mol \ K \times 273 \ K = 5951.4 \ J/mol$.

(C) अभिक्रिया: $4 Fe_3O_{4(s)} + O_{2(g)} \to 6 Fe_2O_{3(s)}$
दिया गया है $\Delta_rS^o = -266 \ J \ K^{-1}$
$S_m^o(O_2) = 205 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$S_m^o(Fe_2O_3) = 87 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
सूत्र: $\Delta_rS^o = \sum \nu_p S_m^o(products) - \sum \nu_r S_m^o(reactants)$
$-266 = [6 \times S_m^o(Fe_2O_3)] - [4 \times S_m^o(Fe_3O_4) + 1 \times S_m^o(O_2)]$
$-266 = (6 \times 87) - (4 \times S_m^o(Fe_3O_4) + 205)$
$-266 = 522 - 4 \times S_m^o(Fe_3O_4) - 205$
$4 \times S_m^o(Fe_3O_4) = 522 - 205 + 266$
$4 \times S_m^o(Fe_3O_4) = 583$
$S_m^o(Fe_3O_4) = \frac{583}{4} = 145.75 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$

(A) किसी भी उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,एन्ट्रापी में परिवर्तन $(\Delta S)$ को $\Delta S = \int \frac{dq_{rev}}{T}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि प्रक्रिया रुद्धोष्म है,इसलिए परिवेश के साथ कोई ऊष्मा विनिमय नहीं होता है,जिसका अर्थ है $dq_{rev} = 0$.
अतः,$\Delta S = \frac{0}{T} = 0\, cal/K$.

(A) एक स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया वह है जो बाहरी हस्तक्षेप के बिना स्वाभाविक रूप से होती है। ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के अनुसार,एक विलगित निकाय में किसी भी स्वतःप्रवर्तित प्रक्रिया के लिए,कुल एन्ट्रॉपी परिवर्तन धनात्मक होना चाहिए $(\Delta S_{total} > 0)$। चूंकि वास्तविक दुनिया की स्वतःप्रवर्तित प्रक्रियाओं में एन्ट्रॉपी बढ़ती है,इसलिए वे ऊष्मागतिकीय रूप से अनुत्क्रमणीय होती हैं। अतः,सभी स्वतःप्रवर्तित प्रक्रियाएं ऊष्मागतिकीय रूप से अनुत्क्रमणीय होती हैं।

(B) साम्यावस्था या मानक स्थितियों के लिए जहाँ $\Delta G = 0$ माना जाता है,हम $\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $\Delta H = -31.3\,kcal = -31300\,cal$ और $T = 25 + 273 = 298\,K$ है।
अतः,$\Delta S = \frac{-31300}{298}\,cal\,K^{-1}$ होगा।

(C) स्थिर तापमान पर एन्ट्रॉपी परिवर्तन की ऊष्मागतिक परिभाषा $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा के संदर्भ में,एक निकाय की कुल ऊर्जा को उपलब्ध ऊर्जा (गिब्स मुक्त ऊर्जा,$G$) और अनुपलब्ध ऊर्जा $(T \cdot \Delta S)$ में विभाजित किया जा सकता है।
इसलिए,अनुपलब्ध ऊर्जा $T \cdot \Delta S$ के बराबर होती है,जिसका अर्थ है कि एन्ट्रॉपी प्रति इकाई तापमान पर अनुपलब्ध ऊर्जा का माप है,अर्थात $\Delta S = \frac{\text{अनुपलब्ध ऊर्जा}}{T}$।
अतः,विकल्प $(c)$ सही कथन है।