Kinetic molecular theory of gases and Molecular collisions Questions in Hindi

(A) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,गैस द्वारा लगाया गया दाब पात्र की दीवारों के साथ गैस के अणुओं की टक्कर के कारण होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे औसत आणविक गति में वृद्धि होती है।
परिणामस्वरूप,अणु पात्र की दीवारों से अधिक बार और अधिक बल के साथ टकराते हैं,जिससे दाब में वृद्धि होती है।

(B) आदर्श गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि $He$ परमाणु और हाइड्रोजन अणु दोनों के लिए तापमान $T$ समान $(25\,^oC)$ है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
अतः,समान तापमान पर $He$ परमाणु की गतिज ऊर्जा हाइड्रोजन अणु की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।

(B) अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा निकाय के परम तापमान $(T)$ के सीधे समानुपाती होती है,जिसे सूत्र $KE_{avg} = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि तीनों अवस्थाएं (ठोस,द्रव और वाष्प) एक ही तापमान ($0\,^oC$ या $273.15\,K$) पर साम्यावस्था में हैं,इसलिए तीनों अवस्थाओं में जल के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।

(A) एकपरमाण्विक आदर्श गैस के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{3}{2} nRT$।
दिया गया है:
$n = 1 \ mol$
$T = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$
$R \approx 2 \ cal \ mol^{-1} K^{-1}$
मान रखने पर:
$KE = \frac{3}{2} \times 1 \times 2 \times 300 = 900 \ cal$।

(B) एक आदर्श गैस के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक $(1.38 \times 10^{-23} \, J/K)$ है और $T$ केल्विन में तापमान है।
यहाँ $T = 25 + 273.15 = 298.15 \, K$ है।
मान रखने पर: $KE_{avg} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23} \, J/K) \times 298.15 \, K$.
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 298.15 \times 10^{-23} \, J$.
$KE_{avg} \approx 6.17 \times 10^{-21} \, J$.

(D) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(KE_{avg})$ का सूत्र $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
यह दर्शाता है कि अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(A) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{V_1 / t_1}{V_2 / t_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$
यहाँ $SO_2$ के लिए $V_1 = 20 \ dm^3, t_1 = 60 \ s$ और $O_2$ के लिए $V_2 = ?, t_2 = 30 \ s$ लेने पर:
$\frac{20/60}{V_2/30} = \sqrt{\frac{32}{64}}$
$\frac{1/3}{V_2/30} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{10}{V_2} = \frac{1}{1.414}$
$V_2 = 14.14 \ dm^3$

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
समान दबाव और तापमान पर,गैस के भरने की दर उसके मोलर द्रव्यमान $(M)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $N_2 = 28 \ g/mol$,$O_2 = 32 \ g/mol$,$H_2 = 2 \ g/mol$ और $He = 4 \ g/mol$।
चूंकि $H_2$ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए यह ट्यूब में सबसे पहले भरेगी।

(B) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,औसत आणविक गति बढ़ती है।
परिणामस्वरूप,अणु पात्र की दीवारों से अधिक वेग के साथ और अधिक बार टकराते हैं,जिससे गैस द्वारा लगाया गया दबाव बढ़ जाता है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस की औसत गतिज ऊर्जा उसके परम तापमान के सीधे समानुपाती होती है।
$1 \ mol$ आदर्श गैस के लिए,कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{3}{2}RT$ है।
अतः,कुल गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है।

(D) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(K.E)$ का सूत्र $K.E = \frac{3}{2}RT$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा केवल तापमान $(T)$ और गैस स्थिरांक $(R)$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,समान तापमान पर सभी गैसों की प्रति मोल गतिज ऊर्जा समान होती है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $(U)$ पूरी तरह से गतिज ऊर्जा के रूप में होती है।
$1 \text{ मोल}$ आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा का व्यंजक $U = \frac{3}{2}RT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।

(B) औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र: $E_k = \frac{3}{2} kT$
यहाँ,$k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,जिसका मान $1.38 \times 10^{-23} \, J \, K^{-1} \, \text{molecule}^{-1}$ है।
तापमान $T$ केल्विन में $25 + 273 = 298 \, K$ है।
मान रखने पर: $E_k = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 298 = 6.17 \times 10^{-21} \, J$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $5.94 \times 10^{-21} \, J$ है।

(C) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{3}{2}nRT$ है।
दिया गया है: $n = 2\, \text{mol}$,$T = 27 + 273 = 300\, K$,$R = 8.314\, JK^{-1}mol^{-1}$.
मान रखने पर: $KE = \frac{3}{2} \times 2 \times 8.314 \times 300$.
$KE = 3 \times 8.314 \times 300 = 7482.6\, J$.
नोट: प्रश्न में दिए गए $R = 8.324$ का उपयोग करने पर: $KE = 3 \times 8.324 \times 300 = 7491.6\, J$.

(D) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ है।
यदि दोनों गैसों की गतिज ऊर्जा समान है,तो:
$\frac{3}{2} n_1 R T_1 = \frac{3}{2} n_2 R T_2$
$n_1 T_1 = n_2 T_2$
यहाँ,$n_1 = 0.3 \ mol$ $(He)$,$n_2 = 0.4 \ mol$ $(Ar)$,$T_2 = 400 \ K$ है।
यदि प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा पर विचार किया जाए,तो $T_1 = T_2 = 400 \ K$ होगा।

(A) गैस अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा $KE = \frac{3}{2}RT$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तापमान $(T)$ स्थिर है,इसलिए मोलर द्रव्यमान की परवाह किए बिना सभी गैसों के लिए औसत गतिज ऊर्जा समान रहती है।

(C) दिया गया है: $m_A = \frac{1}{2}m_B$ और $u_{rms,A} = 2 \times u_{rms,B}$.
हम जानते हैं कि दबाव $P = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m u_{rms}^2$,जहाँ $m$ एक अणु का द्रव्यमान है और $N$ अणुओं की संख्या है।
अतः,$P_A = \frac{1}{3} \frac{N_A}{V_A} m_A u_{rms,A}^2$ और $P_B = \frac{1}{3} \frac{N_B}{V_B} m_B u_{rms,B}^2$.
चूंकि $V_A = V_B$ और $N_A = N_B$,अनुपात $\frac{P_A}{P_B} = \frac{m_A u_{rms,A}^2}{m_B u_{rms,B}^2}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{(\frac{1}{2}m_B) (2 u_{rms,B})^2}{m_B u_{rms,B}^2} = \frac{\frac{1}{2} m_B \times 4 u_{rms,B}^2}{m_B u_{rms,B}^2} = 2$.
इसलिए,दबाव का अनुपात $2$ है।

(C) एक मोल आदर्श गैस के लिए औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2}RT$ होती है।
$rms$ वेग $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा समीकरण से,$RT = \frac{2E}{3}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $u_{rms}$ के समीकरण में रखने पर:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3}{M} \times \frac{2E}{3}} = \sqrt{\frac{2E}{M}}$.

(B) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा उसके परम तापमान (केल्विन तापमान) के सीधे समानुपाती होती है।
यह संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $K.E. = \frac{3}{2}kT$,जहाँ $k$ बोल्ट्जमान नियतांक है और $T$ केल्विन में तापमान है।

(C) आदर्श गैस के लिए,गैसों का गतिज सिद्धांत दाब $(P)$,आयतन $(V)$ और प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $(\overline{E})$ के बीच संबंध इस प्रकार देता है:
$PV = \frac{2}{3} N \overline{E}$
जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $V$ आयतन है।
दाब $(P)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \overline{E}$
अतः,सही संबंध $P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \overline{E}$ है।

(B) आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} nRT$ है।
दिया गया है: $n = 0.6 \ mol$,$T = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$,और $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$।
मान रखने पर: $K.E. = \frac{3}{2} \times 0.6 \times 8.314 \times 300$।
$K.E. = 0.9 \times 8.314 \times 300 = 2244.78 \ J \approx 2245 \ J$।

(A) आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} nRT$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1\,g$,$O_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 32\,g/mol$,और तापमान $T = 47 + 273 = 320\,K$ है।
मोल की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{1}{32}\,mol$ है।
मान रखने पर: $K.E. = \frac{3}{2} \times \frac{1}{32} \times 8.314 \times 320\,J$ है।
$K.E. = \frac{3}{2} \times 8.314 \times 10 = 1.5 \times 83.14 = 124.71\,J$ है।
दिए गए विकल्प के अनुसार सही उत्तर $1.24 \times 10^2\,J$ है।

(B) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(KE \propto T)$।
चूंकि प्रक्रिया स्थिर तापमान पर होती है,इसलिए अणुओं की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।

(A) यदि कोई गैस स्थिर तापमान पर फैलती है,तो अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान रहती है।
गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(KE)$ को निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$KE = \frac{3}{2} kT$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $KE \propto T$ है।
चूंकि तापमान $(T)$ स्थिर है,इसलिए अणुओं की गतिज ऊर्जा $(KE)$ भी स्थिर रहती है।

(C) स्थिर आयतन $(V)$ पर गर्म की गई आदर्श गैस के लिए,घनत्व $(d = m/V)$ स्थिर रहता है क्योंकि द्रव्यमान $(m)$ और आयतन $(V)$ स्थिर हैं।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गति $\sqrt{T}$ के समानुपाती होती है।
टक्कर आवृत्ति $(Z)$ का सूत्र $Z = \sqrt{2} \pi d^2 \bar{v} N^*$ है,जहाँ $\bar{v}$ औसत गति है और $N^*$ संख्या घनत्व है।
चूंकि $\bar{v} \propto \sqrt{T}$,जैसे-जैसे तापमान $(T)$ बढ़ता है,औसत गति बढ़ती है,जिससे टक्कर आवृत्ति $(Z)$ में वृद्धि होती है।
माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ का सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 N^*}$ है। स्थिर आयतन पर $N^*$ स्थिर रहता है,इसलिए $\lambda$ स्थिर रहता है।
मोलर द्रव्यमान गैस का एक आंतरिक गुण है और यह तापमान के साथ नहीं बदलता है।

(C) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे समीकरण $KE_{avg} = \frac{3}{2}RT$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसका अर्थ यह है कि स्थिर तापमान पर,सभी गैस अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान होती है,चाहे उनका मोलर द्रव्यमान कुछ भी हो।
इसलिए,यह कथन कि उच्च मोलर द्रव्यमान वाले गैस अणुओं की गतिज ऊर्जा अधिक होती है,गलत है।

(C) गैसों को अलग करने की सुगमता उनके विसरण की दर पर निर्भर करती है,जो ग्राहम के विसरण नियम $(r \propto \frac{1}{\sqrt{M}})$ द्वारा शासित होती है।
मोलर द्रव्यमान $(M)$ में जितना अधिक अंतर होगा,गैसों को अलग करना उतना ही आसान होगा।
$U^{235}F_6$ और $U^{238}F_6$ जैसे समस्थानिकों (isotopes) का पृथक्करण द्रव्यमान अंतर के आधार पर पृथक्करण का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।

(A) गैसों के अणुगति सिद्धांत की अभिधारणाओं के अनुसार,एक आदर्श गैस के अणु दो क्रमिक टक्करों के बीच एक सीधी रेखा में गति करते हैं। वे अपना पथ केवल तभी बदलते हैं जब वे अन्य अणुओं के साथ या पात्र की दीवारों के साथ टकराते हैं।

(D) टक्कर आवृत्ति $Z_{11}$ का सूत्र: $Z_{11} = \frac{1}{2} (\pi \sigma^{2}) (\sqrt{2} v_{avg}) (N^{*})^{2}$ है।
जहाँ $N^{*} = \frac{P}{kT}$ और $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
अतः,$Z_{11} \propto \sqrt{T} \times \frac{1}{T^{2}} = T^{-3/2}$ होता है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,$V \propto T$ होता है,इसलिए यदि आयतन $4$ गुना बढ़ता है,तो तापमान $T$ भी $4$ गुना बढ़ जाता है।
अतः,$Z_{11}' = Z_{11} \times (4)^{-3/2} = Z_{11} \times \frac{1}{8}$ होगा।
इस प्रकार,$Z_{11}$ अपने प्रारंभिक मान का $\frac{1}{8}$ गुना हो जाएगा।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,दबाव $P$ को $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है।
इकाई आयतन के लिए आंतरिक ऊर्जा $E$ का मान $E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ होता है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $P = \frac{2}{3} E$ प्राप्त होता है।

(C) गैसों का गतिज सिद्धांत यह मानता है कि गैस कणों का आयतन नगण्य होता है और टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ होती हैं। हालाँकि,यह यह नहीं मानता कि उच्च दबाव पर गैस कणों को संपीड़ित करना कठिन होता है। वास्तव में,गैसें संपीड़ित होती हैं।

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,अणु टक्करों के बीच सीधी रेखा में गति करते हैं,लेकिन उनके पास अलग-अलग वेग होते हैं (मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण)। इसलिए,यह मानना गलत है कि सभी अणु समान वेग के साथ गति करते हैं।

(C) एक आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{3}{2} nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ गैस स्थिरांक है और $T$ तापमान है।
चूंकि $n = \frac{\text{द्रव्यमान}(m)}{\text{मोलर द्रव्यमान}(M)}$,इसलिए सूत्र $E = \frac{3}{2} \times \frac{m}{M} \times R \times T$ हो जाता है।
मान लीजिए कि दोनों गैसों का द्रव्यमान $m$ है। $H_2$ का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ और $CH_4$ का $M_{CH_4} = 16 \ g/mol$ है।
$H_2$ के लिए: $(E)_{H_2} = \frac{3}{2} \times \frac{m}{2} \times R \times 100 = 75 \times m \times R$.
$CH_4$ के लिए: $(E)_{CH_4} = \frac{3}{2} \times \frac{m}{16} \times R \times 200 = 18.75 \times m \times R$.
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{(E)_{H_2}}{(E)_{CH_4}} = \frac{75}{18.75} = 4$.
अतः,$(E)_{H_2} = 4 \times (E)_{CH_4}$.

(B) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,गैस द्वारा लगाया गया दबाव पात्र की दीवारों के साथ गैस के अणुओं की टक्कर के कारण होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जिससे अणुओं की औसत गति में वृद्धि होती है।
परिणामस्वरूप,अणु पात्र की दीवारों से अधिक बार और अधिक बल के साथ टकराते हैं।
इसलिए,गैस का दबाव बढ़ जाता है।

(C) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार:
$1$. गैस के व्यक्तिगत अणुओं का आयतन गैस के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
$2$. गैस के अणुओं के बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता है।
$3$. गैस के अणुओं के बीच की टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ (perfectly elastic) होती हैं,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा में कोई हानि नहीं होती है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) एक आदर्श गैस की प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{3}{2} RT$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा केवल तापमान $(T)$ और गैस स्थिरांक $(R)$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह गैस की प्रकृति से स्वतंत्र है।
अतः,समान तापमान पर सभी गैसों की प्रति मोल गतिज ऊर्जा समान होती है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $(U)$ केवल तापमान $(T)$ पर निर्भर करती है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक मोल आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा का व्यंजक $U = 3/2 \, RT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(KE_{avg})$ का सूत्र है: $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक $(1.38 \times 10^{-23} \, J \, K^{-1})$ है और $T$ केल्विन में तापमान है।
दिया गया तापमान $T = 25 + 273.15 = 298.15 \, K$.
मान रखने पर: $KE_{avg} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23} \, J \, K^{-1}) \times 298.15 \, K$.
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 298.15 \times 10^{-23} \, J$.
$KE_{avg} \approx 6.17 \times 10^{-21} \, J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $6.13 \times 10^{-21} \, J$ है।

(C) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ है।
यहाँ,$n = 2 \, {\text{मोल}}$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$,और $T = 27 273 = 300 \, K$ है।
मान रखने पर: $KE = \frac{3}{2} \times 2 \times 8.314 \times 300$.
$KE = 3 \times 8.314 \times 300 = 7482.6 \, J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7491.6 \, J$ है।

(C) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} \mu R T$ है।
दिया गया है:
मोल की संख्या $(\mu)$ = $4 \ mol$.
तापमान $(T)$ = $127 \ ^oC = 127 + 273 = 400 \ K$.
गैस नियतांक $(R)$ = $2 \ cal \ mol^{-1} K^{-1}$.
मान रखने पर:
$K.E. = \frac{3}{2} \times 4 \times 2 \times 400$.
$K.E. = 3 \times 2 \times 2 \times 400 = 4800 \ cal$.

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार, गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mu^2 = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है, इसलिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा समान होती है।
अतः, $\frac{1}{2}m_1u_1^2 = \frac{1}{2}m_2u_2^2$।
यह $m_1u_1^2 = m_2u_2^2$ में सरल हो जाता है।

(C) आदर्श गैस का दबाव गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m v_{rms}^2$.
दिया गया है: $m_A = \frac{1}{2} m_B$,$v_{rms,A} = 2 v_{rms,B}$,$N_A = N_B$,और $V_A = V_B$.
दबाव का अनुपात लेने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{\frac{1}{3} \frac{N_A}{V_A} m_A v_{rms,A}^2}{\frac{1}{3} \frac{N_B}{V_B} m_B v_{rms,B}^2}$.
चूंकि $N_A = N_B$ और $V_A = V_B$,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \left( \frac{v_{rms,A}}{v_{rms,B}} \right)^2$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

(B) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(KE_{avg})$ का सूत्र $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ केल्विन में तापमान है।
यह समीकरण दर्शाता है कि गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा गैस के परम तापमान $(T)$ के सीधे समानुपाती होती है।

(C) आदर्श गैस के लिए,गैसों का गतिज सिद्धांत बताता है कि दबाव $P$,संख्या घनत्व $\frac{N}{V}$ और प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\bar{E}$ से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:
$P = \frac{2}{3} \left( \frac{N}{V} \right) \bar{E}$
जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है,$V$ आयतन है,और $\bar{E}$ प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा है।
अतः,सही व्यंजक $P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E}$ है।

(B) आदर्श गैस के $n$ मोल की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{3}{2} nRT$।
दिया गया है: $n = 0.6 \ mol$,$T = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$,और $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$।
मान रखने पर: $KE = \frac{3}{2} \times 0.6 \times 8.314 \times 300$।
$KE = 1.5 \times 0.6 \times 8.314 \times 300 = 0.9 \times 8.314 \times 300 = 2244.78 \ J$।
निकटतम पूर्णांक में,हमें $2245 \ J$ प्राप्त होता है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,$P = \frac{F}{A}$.
$F$ संवेग परिवर्तन की दर है,जो गैस के अणुओं के वेग के सीधे आनुपातिक होती है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जिससे औसत आणविक गति में वृद्धि होती है।
परिणामस्वरूप,अणु पात्र की दीवारों से अधिक बार और अधिक संवेग के साथ टकराते हैं,जिससे दबाव में वृद्धि होती है।

(A) ऊष्मा धारिता का अनुपात $\gamma = C_p/C_v = 1.3$ दिया गया है।
गैस के लिए,$\gamma = 1 + 2/f$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
दिए गए विकल्पों और प्रश्न के संदर्भ में,यदि गैस का परमाणु द्रव्यमान $M$ है,तो उसका आणविक द्रव्यमान $M$ ही होगा।

(A) विसरण (Diffusion) वह प्रक्रिया है जिसके द्वारा बल्क फ्लो की अनुपस्थिति में पदार्थ का परिवहन होता है।

(B) ग्राहम के विसरण के नियम के अनुसार,विसरण की दर $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का आणविक द्रव्यमान है।
$NH_3$ का आणविक द्रव्यमान $17 \ g/mol$ है और $HCl$ का आणविक द्रव्यमान $36.5 \ g/mol$ है।
चूँकि $M_{HCl} > M_{NH_3}$,इसलिए $NH_3$ के विसरण की दर $HCl$ से अधिक है।
अतः,$NH_3$ गैस समान समय में अधिक दूरी तय करती है,और $NH_4Cl$ की सफेद रिंग $HCl$ बोतल के करीब बनती है।