Kinetic molecular theory of gases and Molecular collisions Questions in Hindi

(A) गैसें पात्र के तल पर नहीं बैठती हैं क्योंकि उनके कणों में उच्च गतिज ऊर्जा होती है,जो उन्हें निरंतर और यादृच्छिक गति में रखती है।
इस उच्च गतिज ऊर्जा और उनके बहुत कम द्रव्यमान के कारण,गैस के अणुओं पर गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव नगण्य होता है,जो उन्हें तल पर बैठने से रोकता है।

(D) कथन गलत है क्योंकि गैस के अणु एक निश्चित तापमान पर विभिन्न गतियों का वितरण (मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण) रखते हैं,न कि समान गति।
कारण भी गलत है क्योंकि एक शुद्ध गैस के लिए,सभी अणु आकार और आकृति में समान होते हैं।
इसलिए,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(N/A) गतिज आणविक सिद्धांत गैसों के व्यवहार के लिए निम्नलिखित अभिधारणाओं पर आधारित एक सूक्ष्मदर्शी मॉडल प्रदान करता है:
$1$. गैसें बड़ी संख्या में समान कणों (परमाणुओं या अणुओं) से बनी होती हैं जो इतने छोटे और एक-दूसरे से इतने दूर होते हैं कि उनके बीच के खाली स्थान की तुलना में अणुओं का वास्तविक आयतन नगण्य होता है। उन्हें 'बिंदु द्रव्यमान' $(point masses)$ माना जाता है,जो गैसों की उच्च संपीड्यता की व्याख्या करता है।
$2$. सामान्य तापमान और दबाव पर गैस के कणों के बीच कोई आकर्षण बल नहीं होता है। यह बताता है कि गैसें उपलब्ध सभी स्थानों पर कब्जा करने के लिए क्यों फैलती हैं।
$3$. गैस के कण सीधी रेखाओं में निरंतर और यादृच्छिक गति में होते हैं। यदि वे स्थिर होते,तो गैस का आकार निश्चित होता,जो कि देखा नहीं जाता है।
$4$. गैस का दबाव पात्र की दीवारों के साथ कणों के टकराने के कारण उत्पन्न होता है।
$5$. गैस के अणुओं की टक्कर पूरी तरह से प्रत्यास्थ होती है। इसका मतलब है कि टक्कर से पहले और बाद में अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है,भले ही व्यक्तिगत ऊर्जा बदल जाए।
$6$. किसी भी दिए गए तापमान पर,हालांकि व्यक्तिगत कणों की गति और गतिज ऊर्जा अलग-अलग होती है और टक्करों के कारण लगातार बदलती रहती है,लेकिन गति का समग्र वितरण स्थिर रहता है।

(N/A) गैसों का सूक्ष्म मॉडल गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत (Kinetic Molecular Theory) की अभिधारणाओं पर आधारित है:
$1$. $\text{कण}$ $\text{बिंदु}$ $\text{द्रव्यमान}$ $\text{के}$ $\text{रूप}$ $\text{में}$: गैसें बड़ी संख्या में समान कणों (परमाणुओं या अणुओं) से बनी होती हैं जो इतने छोटे और एक-दूसरे से इतने दूर होते हैं कि उनके बीच के खाली स्थान की तुलना में अणुओं का वास्तविक आयतन नगण्य होता है। यह गैसों की उच्च संपीड्यता (compressibility) को समझाता है।
$2$. $\text{अंतर}-\text{आणविक}$ $\text{बलों}$ $\text{का}$ $\text{अभाव}$: सामान्य तापमान और दबाव पर गैस कणों के बीच कोई आकर्षण बल नहीं होता है। यह बताता है कि गैसें उपलब्ध सभी स्थानों को घेरने के लिए क्यों फैलती हैं।
$3$. $\text{निरंतर}$ $\text{यादृच्छिक}$ $\text{गति}$: गैस के कण निरंतर,यादृच्छिक और सीधी रेखा में गति करते हैं। यदि वे स्थिर होते,तो गैस का आकार निश्चित होता,जो कि नहीं देखा जाता है।
$4$. $\text{दबाव}$: गैस के कण एक-दूसरे के साथ और कंटेनर की दीवारों के साथ टकराते हैं। गैस द्वारा लगाया गया दबाव कंटेनर की दीवारों के साथ इन टक्करों का परिणाम है।
$5$. $\text{प्रत्यास्थ}$ $\text{टक्करें}$: गैस अणुओं के बीच की टक्करें पूरी तरह से प्रत्यास्थ होती हैं। हालांकि टक्कर के दौरान व्यक्तिगत ऊर्जा बदल सकती है,लेकिन एक निश्चित तापमान पर प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
$6$. $\text{गति}$ $\text{का}$ $\text{वितरण}$: किसी भी दिए गए तापमान पर,हालांकि टक्करों के कारण व्यक्तिगत कणों की गति अलग-अलग होती है और लगातार बदलती रहती है,लेकिन गति का समग्र वितरण स्थिर रहता है।

(N/A) $1$. गतिज ऊर्जा: किसी गैस की कुल गतिज ऊर्जा उसके सभी व्यक्तिगत अणुओं की गतिज ऊर्जाओं का योग होती है। एक आदर्श गैस के लिए,यह $E_k = \frac{3}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है।
$2$. औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा: यह गैस के अणुओं की प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा है,जो $E_{avg} = \frac{3}{2} RT$ द्वारा दी जाती है। एक एकल अणु के लिए,यह $\frac{3}{2} kT$ होती है,जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
$3$. वर्ग माध्य मूल चाल $(u_{rms})$: इसे गैस के विभिन्न अणुओं की चालों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस स्थिरांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।

(N/A) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत की दो मुख्य अनुचित धारणाएँ निम्नलिखित हैं:
$1$. गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन गैस के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
औचित्य: उच्च दबाव पर,गैस के अणु एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं,और उनका वास्तविक आयतन पात्र के कुल आयतन के सापेक्ष महत्वपूर्ण हो जाता है।
$2$. गैस के अणुओं के बीच कोई आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता है।
औचित्य: कम तापमान और उच्च दबाव पर,गैस के अणु धीरे-धीरे गति करते हैं और एक-दूसरे के करीब आते हैं,जिससे महत्वपूर्ण अंतर-आणविक आकर्षण बल उत्पन्न होते हैं,जो गैस को आदर्श व्यवहार से विचलित करते हैं और अंततः गैस द्रवीभूत हो जाती है।

(C) आदर्श गैस में यह माना जाता है कि अणुओं के बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होते हैं।
यह एक काल्पनिक अवधारणा है।

(C) गतिज आणविक सिद्धांत की अवधारणाएं गैस के कणों के व्यवहार से संबंधित हैं। यह गैसों के व्यवहार के लिए एक सूक्ष्मदर्शी मॉडल प्रदान करता है।

(B) गैस के अणु सभी संभव दिशाओं में निरंतर,यादृच्छिक और रैखिक गति में होते हैं। $ \newline $ जब ये अणु पात्र की दीवारों से टकराते हैं,तो वे प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल लगाते हैं,जिसे दबाव के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(A) जब गैस को गर्म किया जाता है,तो गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,अणु तेजी से गति करते हैं और पात्र की दीवारों से अधिक बार और अधिक बल के साथ टकराते हैं,जिससे यदि आयतन स्थिर हो तो दबाव में वृद्धि होती है।

(N/A) प्रत्यास्थ टक्कर वह टक्कर है जिसमें टक्कर के परिणामस्वरूप निकाय की कुल गतिज ऊर्जा में कोई शुद्ध हानि नहीं होती है। गतिज ऊर्जा केवल टकराने वाले अणुओं के बीच स्थानांतरित होती है।

(B) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $ \frac{3}{2} k_B T $ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$ k_B $ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $ T $ केल्विन में परम ताप है।
यह गैसों के गतिज सिद्धांत से प्राप्त होता है जहाँ $ 1 \text{ mole} $ गैस के लिए कुल गतिज ऊर्जा $ \frac{3}{2} RT $ होती है।

(C) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत में,टक्करों को पूर्णतः प्रत्यास्थ माना जाता है,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा में कोई हानि नहीं होती है। यदि टक्करें प्रत्यास्थ नहीं होतीं,तो अणु प्रत्येक टक्कर के साथ गतिज ऊर्जा खो देते। अंततः,अणु अपनी पूरी गतिज ऊर्जा खो देते,जिससे वे गति करना बंद कर देते और पात्र की दीवारों से शून्य बल के साथ टकराते,जिसके परिणामस्वरूप दबाव $0$ हो जाता।

(C) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा केवल उसके परम तापमान पर निर्भर करती है,जिसका सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ ($n$ मोल के लिए) या $KE = \frac{3}{2} kT$ (प्रति अणु) है।
चूंकि $N_2$ और $O_2$ दोनों $300 \ K$ के समान तापमान पर हैं,इसलिए उनकी औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,दोनों के लिए गतिज ऊर्जा समान है।

(B) एक आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
यह संबंध समीकरण $KE = \frac{3}{2} kT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।

(A) चूंकि $He$ और $Ne$ एकपरमाणुक उत्कृष्ट गैसें हैं,इसलिए उनमें घूर्णन या कंपन की स्वतंत्रता की कोटि नहीं होती है। वे केवल स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा प्रदर्शित करते हैं।

(D) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} n R T$ है।
$H_2$ के मोलों की संख्या $(n_{H_2})$ = $\frac{3 \ g}{2 \ g/mol} = 1.5 \ mol$.
$O_2$ के मोलों की संख्या $(n_{O_2})$ = $\frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.125 \ mol = \frac{1}{8} \ mol$.
चूंकि तापमान $T$ समान है,गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{KE_{H_2}}{KE_{O_2}} = \frac{n_{H_2}}{n_{O_2}} = \frac{1.5}{0.125} = 12: 1$.

(D) सबसे संभावित वेग $(V_{mp})$,औसत वेग $(\bar{V})$,और वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
$\bar{V} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \approx \sqrt{\frac{2.55RT}{M}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें यह क्रम प्राप्त होता है: $V_{mp} < \bar{V} < V_{rms}$।
मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण वक्र में,शिखर (peak) $V_{mp}$ के अनुरूप है,उसके बाद $\bar{V}$,और फिर शिखर के दाईं ओर $V_{rms}$ आता है।
अतः,सही आरेख वह है जिसमें बाएं से दाएं क्रम $V_{mp}$,$\bar{V}$,$V_{rms}$ है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है और गैस के अणुओं के द्रव्यमान या प्रकार पर निर्भर नहीं करती है।
किसी भी आदर्श गैस के लिए,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $(K.E.)_{avg} = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि ड्यूटेरियम $(D_2)$ और हाइड्रोजन $(H_2)$ दोनों समान तापमान $(298 \, K)$ पर हैं,इसलिए उनकी औसत गतिज ऊर्जा समान होती है।

(A) विसरण गुणांक $D$ माध्य मुक्त पथ $\lambda$ और माध्य गति $v$ के समानुपाती होता है,इसलिए $D \propto \lambda \cdot v$।
हम जानते हैं कि माध्य मुक्त पथ $\lambda \propto \frac{T}{P}$ और माध्य गति $v \propto \sqrt{T}$ होती है।
इसलिए,$D \propto \frac{T}{P} \cdot \sqrt{T} = \frac{T^{3/2}}{P}$।
यह दिया गया है कि तापमान $T_f = 4T_i$ और दबाव $P_f = 2P_i$ है,इसलिए हम अनुपात लिख सकते हैं:
$\frac{D_f}{D_i} = \left( \frac{T_f}{T_i} \right)^{3/2} \cdot \left( \frac{P_i}{P_f} \right)$
$\frac{D_f}{D_i} = (4)^{3/2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$
$\frac{D_f}{D_i} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$।
अतः,$D_f = 4D_i$,जिसका अर्थ है कि $x = 4$।

(A) . गैसों के अणुगति सिद्धांत की अभिधारणा के अनुसार,अणुओं के बीच और पात्र की दीवार के साथ टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ होती हैं।
$B$. दीवार पर स्थानांतरित संवेग $\Delta p = 2mu$ है। चूंकि संवेग द्रव्यमान $(m)$ के समानुपाती होता है,इसलिए भारी अणु टक्कर के समय अधिक संवेग स्थानांतरित करते हैं।
$C$. मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के अनुसार,बहुत अधिक या बहुत कम वेग वाले अणुओं का अंश अत्यंत कम होता है।
$D$. दो क्रमिक टक्करों के बीच,अंतर-आणविक बलों की अनुपस्थिति के कारण अणु स्थिर वेग के साथ सीधी रेखा में गति करते हैं।

(A) $1.$ ग्राहम के नियम के अनुसार,यदि सभी स्थितियाँ समान हैं,तो $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
चूंकि $X$ और $Y$ के लिए सभी स्थितियाँ समान हैं,इसलिए $\frac{r_x}{r_y} = \sqrt{\frac{M_y}{M_x}}$.
$\frac{d}{24-d} = \sqrt{\frac{40}{10}} = 2$.
$d = 48 - 2d \implies 3d = 48 \implies d = 16 \ cm$.
$2.$ माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{RT}{\sqrt{2} \pi d^2 N_A P}$ है।
$d$ और $P$ समान होने के कारण,$\lambda$ समान है। $X$ का मोलर द्रव्यमान कम होने के कारण इसकी औसत गति अधिक है,जिससे यह अक्रिय गैस के साथ अधिक टक्कर आवृत्ति का अनुभव करता है। परिणामस्वरूप,$X$ अधिक प्रतिरोध का सामना करता है और ग्राहम के नियम द्वारा अनुमानित दूरी से कम दूरी तय करता है।

(A) $Argon$ एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए इसके परमाणु अंतरिक्ष में किसी भी दिशा में गति कर सकते हैं।
चूंकि यह एक एकल परमाणु है,इसलिए इसमें कंपन के लिए कोई बंध या घूर्णन के लिए कोई अक्ष नहीं होती है।
अतः,इसमें केवल तीन स्वतंत्र गतियां (सभी स्थानांतरणीय) हो सकती हैं।
इसलिए,$Argon$ केवल स्थानांतरणीय गति प्रदर्शित करता है।

(B) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ आणविक द्रव्यमान है।
आणविक द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $H_{2} = 2 \text{ g/mol}$,$CH_{4} = 16 \text{ g/mol}$,$SO_{2} = 64 \text{ g/mol}$।
चूँकि $M(H_{2}) < M(CH_{4}) < M(SO_{2})$,विसरण की दर $r(H_{2}) > r(CH_{4}) > r(SO_{2})$ है।
इसलिए,$3 \text{ h}$ के बाद पात्र में बची हुई गैस की मात्रा उनके विसरण दर के विपरीत क्रम में होगी।
बची हुई मात्रा का क्रम: $SO_{2} > CH_{4} > H_{2}$ है।
चूँकि आंशिक दबाव $p$,मोल की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक है $(p = \frac{nRT}{V})$,इसलिए आंशिक दबाव का क्रम $pSO_{2} > pCH_{4} > pH_{2}$ होगा।

(B) एक मोल आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{3}{2} RT$।
चूंकि $R$ एक स्थिरांक है,इसलिए $KE \propto T$।
ऑक्सीजन $(O_{2})$ के लिए: $T_{O_{2}} = 273 \ K$।
सल्फर डाइऑक्साइड $(SO_{2})$ के लिए: $T_{SO_{2}} = 546 \ K$।
गतिज ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{KE_{O_{2}}}{KE_{SO_{2}}} = \frac{T_{O_{2}}}{T_{SO_{2}}} = \frac{273}{546} = \frac{1}{2}$।
अतः,$KE_{SO_{2}} = 2 \times KE_{O_{2}}$,जिसका अर्थ है $KE_{SO_{2}} > KE_{O_{2}}$ या $KE_{O_{2}} < KE_{SO_{2}}$।

(D) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ है।
$H_2$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान $M(H_2) = 2 \ g/mol$.
मोलों की संख्या $n_1 = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$.
तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
$x = \frac{3}{2} \times 2 \times R \times 300 = 900R$.
$O_2$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान $M(O_2) = 32 \ g/mol$.
मोलों की संख्या $n_2 = \frac{6.4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.2 \ mol$.
तापमान $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
$KE_2 = \frac{3}{2} \times 0.2 \times R \times 400 = 120R$.
अब,अनुपात ज्ञात करें: $\frac{KE_2}{x} = \frac{120R}{900R} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.
अतः,$KE_2 = \frac{2x}{15} \ J$.

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग $(u_{rms})$ का सूत्र $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है $u_{rms} = 412 \ ms^{-1}$ और मोलर द्रव्यमान $M = 44 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $u_{rms}^2 = \frac{3RT}{M} \implies \frac{3}{2}RT = \frac{1}{2} M u_{rms}^2$.
आदर्श गैस के $1 \ mol$ के लिए गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{3}{2}RT = \frac{1}{2} M u_{rms}^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $KE = \frac{1}{2} \times (44 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}) \times (412 \ ms^{-1})^2$.
$KE = 0.5 \times 0.044 \times 169744 \ J \ mol^{-1} = 3734.368 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ में बदलने पर: $KE = \frac{3734.368}{1000} \approx 3.7344 \ kJ \ mol^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $n$ मोल गैस के लिए $K.E. = \frac{3}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है।
किसी भी आदर्श गैस के $1 \ mol$ के लिए,$K.E. = \frac{3}{2} RT$ होता है।
यह दर्शाता है कि आदर्श गैस के $1 \ mol$ की गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस की प्रकृति (अणु के द्रव्यमान) से स्वतंत्र होती है।
अतः,यह कथन कि गतिज ऊर्जा गैस के अणु के द्रव्यमान पर निर्भर करती है,गलत है।

(D) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे समानुपाती होती है।
एक मोल आदर्श गैस के लिए,गतिज ऊर्जा का सूत्र है:
$KE = \frac{3}{2} RT$
चूंकि $R$ एक सार्वत्रिक गैस नियतांक है,इसलिए $KE$ केवल परम तापमान $T$ पर निर्भर करती है।

(D) आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{3}{2} n R T$।
गतिज ऊर्जा समान होने के लिए,$He$ और $Ar$ के समीकरणों को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} n_{He} R T_{He} = \frac{3}{2} n_{Ar} R T_{Ar}$।
समान पदों $\frac{3}{2}$ और $R$ को हटाने पर: $n_{He} \times T_{He} = n_{Ar} \times T_{Ar}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $n_{He} = 0.30 \ mol$,$n_{Ar} = 0.40 \ mol$,और $T_{Ar} = 400 \ K$।
मान रखने पर: $0.30 \times T_{He} = 0.40 \times 400$।
$T_{He} = \frac{0.40 \times 400}{0.30} = \frac{160}{0.30} = 533.33 \ K \approx 533 \ K$।

(B) गैस के अणु उच्च वेग के साथ निरंतर यादृच्छिक गति में होते हैं और अन्य अणुओं के साथ टकराने पर अपनी दिशा बदलते रहते हैं। इसलिए,गैसों में अणुओं की पूर्ण अव्यवस्था होती है।

(B) एक आदर्श गैस के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $KE_{avg} = \frac{3}{2} k T$
जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $(k = \frac{R}{N_A})$ है और $T$ केल्विन में तापमान है।
दिया गया है $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर:
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \frac{8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \times 300 \ K$
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 \ J$
$KE_{avg} \approx 6.21 \times 10^{-21} \ J \ molecule^{-1}$

(C) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = nRT$ है,जहाँ $n$ मोल की संख्या है,$R$ गैस स्थिरांक है और $T$ तापमान है।
हीलियम के लिए: $n_1 = 0.3 \ mol$,$T_1 = T$.
$KE_{He} = 0.3 \times R \times T$.
आर्गन के लिए: $n_2 = 0.4 \ mol$,$T_2 = 400 \ K$.
$KE_{Ar} = 0.4 \times R \times 400$.
प्रश्न के अनुसार,$KE_{He} = KE_{Ar}$.
$0.3 \times R \times T = 0.4 \times R \times 400$.
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर:
$0.3 \times T = 160$.
$T = \frac{160}{0.3} = 533.33 \ K \approx 533 \ K$.

(D) ग्राहम के विसरण नियम के अनुसार,विसरण की दर समान समय अंतराल में तय की गई दूरी के समानुपाती होती है।
$\frac{r_A}{r_B} = \frac{d_A}{d_B} = \sqrt{\frac{M_B}{M_A}}$
दिया गया है: $d_A = 40 \ m$,$d_B = 100 - 40 = 60 \ m$,$M_B = 18$।
मान रखने पर:
$\frac{40}{60} = \sqrt{\frac{18}{M_A}}$
$\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{18}{M_A}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{4}{9} = \frac{18}{M_A}$
$M_A = \frac{18 \times 9}{4} = 40.5 \ g/mol$।
अतः,$A$ का आणविक भार $40.5 \ g/mol$ है।

(C) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार:
$a$) अणुओं का वास्तविक आयतन उनके बीच के खाली स्थान की तुलना में नगण्य होता है। इसका अर्थ है कि कण का आकार बिंदु द्रव्यमान (point mass) माना जाता है।
$b$) गैस के अणुओं की टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ (elastic) होती हैं,अप्रत्यास्थ नहीं। अतः,कथन $b$ गलत है।
$c$) किसी भी विशेष समय पर,गैस में विभिन्न कणों की गति और गतिज ऊर्जा अलग-अलग होती है। केवल औसत गतिज ऊर्जा एक निश्चित तापमान पर स्थिर रहती है। अतः,कथन $c$ गलत है।
$d$) पात्र की दीवारों के साथ कणों की टक्कर के परिणामस्वरूप गैस द्वारा दबाव डाला जाता है। यह कथन सही है।
इसलिए,कथन $a$ और $d$ सही हैं।

(D) सही उत्तर $(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ है।
गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार:
$(i)$ गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया वास्तविक आयतन गैस के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
$(ii)$ गैस के अणुओं के बीच और पात्र की दीवारों के साथ टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ होती हैं,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता है।
$(iii)$ कणों को बिंदु द्रव्यमान माना जाता है,और उनका आकार उनके बीच की औसत दूरी की तुलना में अत्यंत छोटा होता है।

(C) दिए गए कथनों की व्याख्या इस प्रकार है:
$(a)$ गैस के कणों को बिंदु द्रव्यमान या कठोर कणों के रूप में माना जाता है।
$(b)$ गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होती है। $\text{K.E.} \propto T$। इसलिए,तापमान बढ़ने के साथ $\text{K.E.}$ बढ़ती है।
$(c)$ कठोर प्रत्यास्थ गैस कण टक्कर करते हैं और ऊर्जा संरक्षण के नियम का पालन करते हैं। इसलिए,टक्कर से पहले और बाद में अणुओं की कुल ऊर्जा समान रहती है।
$(d)$ एक निश्चित तापमान पर गैस की आणविक गति का वितरण स्थिर रहता है।
अतः,विकल्प $(C)$ गलत है।

(D) आदर्श गैस के $n$ मोल की गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $KE = \frac{3}{2} nRT$
दिए गए मान हैं:
$n = 1 \ mol$
$T = 27 + 273 = 300 \ K$
$R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$KE = \frac{3}{2} \times 1 \times 8.314 \times 300$
$KE = 1.5 \times 8.314 \times 300$
$KE = 3741.3 \ J$
निकटतम पूर्णांक में,यह $3741 \ J$ है।

(C) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा केवल परम तापमान $(T)$ पर निर्भर करती है और गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती है।
औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $\text{Average Kinetic Energy} = \frac{3}{2} KT$ है,जहाँ $K$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
चूंकि हाइड्रोजन और हीलियम दोनों समान तापमान $(298 \ K)$ पर हैं,इसलिए उनकी औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।

(A) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण के नियम के अनुसार,$x$-अक्ष अणुओं की गति को दर्शाता है और $y$-अक्ष अणुओं की संख्या को दर्शाता है।
कम तापमान पर,अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा कम होती है,इसलिए वितरण का शिखर कम गति की ओर स्थानांतरित हो जाता है और वक्र संकरा और ऊँचा होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जिससे वितरण का शिखर उच्च गति की ओर स्थानांतरित हो जाता है,और वक्र चौड़ा और सपाट हो जाता है।
इसलिए,$T_1 < T_2 < T_3$ तापमान के लिए,सही आरेख यह दर्शाता है कि तापमान बढ़ने के साथ शिखर दाईं ओर खिसकता है,जो विकल्प $A$ में दिए गए आरेख के अनुरूप है।

(B) $N_2$ के मोलों की संख्या $(n)$ = $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{280 \ g}{28 \ g \ mol^{-1}} = 10 \ mol$.
तापमान $(T)$ = $27^{\circ} C = (27 + 273) \ K = 300 \ K$.
आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} nRT$ है।
मान रखने पर: $K.E. = \frac{3}{2} \times 10 \ mol \times 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 300 \ K$.
$K.E. = 1.5 \times 10 \times 8.314 \times 300 = 37413 \ J$.
$kJ$ में बदलने पर: $37413 \ J = 37.413 \ kJ \approx 37.4 \ kJ$.

(A) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{3}{2} RT$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ और गैस नियतांक $R$ पर निर्भर करती है,यह गैस की प्रकृति या मोलर द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
इसलिए,समान तापमान $T$ पर,$CH_4$ और $O_2$ की गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,$KE_{(CH_4)} = KE_{(O_2)} = X$.

(D) आदर्श गैस के $n$ मोल के लिए गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = n \times \frac{3}{2} RT$ होता है।
$4$ $g$ $H_2$ के लिए,मोलों की संख्या $n_{H_2} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2$ $mol$ है।
अतः,$KE_{H_2} = 2 \times \frac{3}{2} RT = 3RT$ है।
$8$ $g$ $O_2$ के लिए,मोलों की संख्या $n_{O_2} = \frac{8 \ g}{32 \ g/mol} = 0.25$ $mol$ या $\frac{1}{4}$ $mol$ है।
अतः,$KE_{O_2} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} RT = \frac{3}{8} RT$ है।
अतः,$KE_{H_2} : KE_{O_2} = 3RT : \frac{3}{8} RT = 1 : \frac{1}{8} = 8 : 1$ है।

(B) आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र: $KE_{avg} = \frac{3}{2} k T$ है।
यहाँ,$k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है $(k = \frac{R}{N_A})$,$T$ केल्विन में तापमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
दिया गया है: $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर:
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \left( \frac{8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \right) \times 300 \ K$.
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \ J \ K^{-1} \times 300 \ K$.
$KE_{avg} \approx 6.21 \times 10^{-21} \ J \ \text{molecule}^{-1}$.

(A) आदर्श गैस के $n$ मोल की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ है।
$16 \ g$ मीथेन ($CH_4$,मोलर द्रव्यमान = $16 \ g/mol$) के लिए,$n = \frac{16}{16} = 1 \ mol$ है।
$32 \ g$ ऑक्सीजन ($O_2$,मोलर द्रव्यमान = $32 \ g/mol$) के लिए,$n = \frac{32}{32} = 1 \ mol$ है।
चूंकि दोनों नमूनों में समान तापमान $(300 \ K)$ पर $1 \ mol$ गैस है,इसलिए उनकी गतिज ऊर्जा समान है। अतः,$(A)$ सत्य है।
किसी भी आदर्श गैस के $1 \ mol$ की गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} RT$ होती है,जो केवल तापमान पर निर्भर करती है। अतः,$(R)$ सत्य है और $(A)$ की सही व्याख्या करता है।