TS EAMCET 2011 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है,$I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n \theta \, d\theta$.
हमें $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \, d\theta + \int_0^{\pi / 4} \tan^{n+1} \theta \, d\theta$.
$ an^{n-1} \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta$.
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,इसलिए:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
माना $u = \tan \theta$,तब $du = \sec^2 \theta \, d\theta$.
जब $\theta = 0$,तो $u = 0$ और जब $\theta = \pi / 4$,तो $u = 1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^1 u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_0^1 = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$.
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|\phi(v)| = \ln|x| + \ln|k|$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\phi(v) = kx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\phi\left(\frac{y}{x}\right) = kx$.

(B) मान लीजिए प्रारंभिक सदिश $\vec{A} = 4\hat{i} + 10\hat{j}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} ~m$ है।
जब सदिश को घुमाया जाता है,तो उसका परिमाण स्थिर रहता है।
मान लीजिए नया सदिश $\vec{A}' = 8\hat{i} + n\hat{j}$ है,जहाँ $x$-घटक दोगुना $(4 \times 2 = 8)$ हो गया है।
चूँकि परिमाण संरक्षित रहता है,$|\vec{A}'| = |\vec{A}|$.
इसलिए,$\sqrt{(8)^2 + n^2} = \sqrt{116}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$64 + n^2 = 116$.
$n^2 = 116 - 64 = 52$.
$n = \sqrt{52} \approx 7.21 ~m$.
अतः,नया $y$-घटक लगभग $7.2 ~m$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ दिक-अनुपात वाले अभिलंब सदिश वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(2, 3, -1)$ के लिए,समीकरण $a(x-2) + b(y-3) + c(z+1) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल $(3, -4, 7)$ दिक-अनुपात वाली रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश इस रेखा के समानांतर है। अतः,हम $a=3, b=-4, c=7$ ले सकते हैं।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(x-2) - 4(y-3) + 7(z+1) = 0$
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $Ax + By + Cz + D = 0$ समतल की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=3, B=-4, C=7, D=13$ है।
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(B) $7$ सफेद गेंदों और $3$ काली गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\frac{10!}{7!3!} = 120$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम पहले $7$ सफेद गेंदों को रखते हैं,जिससे $8$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $3$ काली गेंदें रखी जा सकती हैं।
$8$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{8}{3} = 56$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ है।

(D) दिया गया है,$p = 0.001$ और $n = 2000$।
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ बहुत छोटा है,इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे।
माध्य $\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$ है।
पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ है।
$x = 3$ के लिए,हमारे पास है:
$P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \times e^{-2}}{6} = \frac{4}{3e^2}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माध्य $E(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$E(X) = \sum x_i p_i = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{4}{10}$
$E(X) = 0 + \frac{2}{10} + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{20}{10} = 2$
प्रसरण $Var(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
सबसे पहले,$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ की गणना करें:
$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{2}{10} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{4}{10}$
$E(X^2) = 0 + \frac{2}{10} + \frac{12}{10} + \frac{36}{10} = \frac{50}{10} = 5$
अब,$Var(X) = 5 - (2)^2 = 5 - 4 = 1$
अतः,प्रसरण $1$ है।

(A) माना पिंड का आयतन $V$ है और द्रव का घनत्व $\rho_L$ है।
चूंकि पिंड तैर रहा है,पिंड का भार = विस्थापित द्रव का भार: $mg = V_{imm} \rho_L g$.
अतः,$V_{imm} \rho_L = \text{स्थिरांक}$.
$t_1 = 20^{\circ}C$ पर,$V_{imm,1} = \frac{2}{3}V$,इसलिए $\frac{2}{3}V \rho_1 = m$.
$t_2 = 100^{\circ}C$ पर,$V_{imm,2} = \frac{3}{4}V$,इसलिए $\frac{3}{4}V \rho_2 = m$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{2}{3} \rho_1 = \frac{3}{4} \rho_2$,जिससे $\rho_2 = \frac{8}{9} \rho_1$ प्राप्त होता है।
संबंध $\rho_2 = \frac{\rho_1}{1 + \gamma_R \Delta t}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $1 + \gamma_R \Delta t = \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{9}{8}$.
$\gamma_R \Delta t = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$.
यहाँ $\Delta t = 100 - 20 = 80^{\circ}C$ है,इसलिए $\gamma_R = \frac{1}{8 \times 80} = \frac{1}{640} = 0.0015625 = 15.6 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(C) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
चूंकि दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto \frac{1}{r})$,इसलिए छोटे बुलबुले में बड़े बुलबुले की तुलना में अधिक आंतरिक दबाव होता है।
जब उन्हें एक नली द्वारा जोड़ा जाता है,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से निम्न दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है।
इसलिए,हवा छोटे बुलबुले से बड़े बुलबुले की ओर बहती है।

(B) बोरॉन सांद्र $HNO_3$ के साथ अभिक्रिया करके ऑर्थोबोरिक अम्ल $(H_3BO_3)$ और नाइट्रोजन डाइऑक्साइड $(NO_2)$ बनाता है।
संतुलित रासायनिक समीकरण है:
$B + 3HNO_3 \longrightarrow H_3BO_3 + 3NO_2$
अतः,यह कथन कि बोरॉन सांद्र $HNO_3$ के साथ अभिक्रिया करके $N_2O$ देता है,गलत है।

(B) $ClO_2$ की संरचना कोणीय (bent) होती है।
$ClO_2$ में,केंद्रीय क्लोरीन परमाणु के पास एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होता है और यह $sp^3$-संकरित होता है।
अयुग्मित इलेक्ट्रॉन और एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की उपस्थिति के कारण,बंध कोण $118^{\circ}$ देखा जाता है और $Cl-O$ बंध की लंबाई $1.47 \mathring{A}$ होती है।

(B) फास्फोरस अम्ल $(H_3PO_3)$ एक द्वि-क्षारकीय (dibasic) अम्ल है,जिसका अर्थ है कि यह अम्ल के प्रति मोल $2$ मोल $H^+$ आयन प्रदान करता है।
$H_3PO_3$ विलयन की नॉर्मलता की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{Normality} = \text{Molarity} \times \text{Basicity} = 0.3 \ M \times 2 = 0.6 \ N$।
उदासीनीकरण सिद्धांत $N_1 V_1 = N_2 V_2$ का उपयोग करते हुए:
$NaOH$ के लिए,$N_1 = 0.1 \ N$ और $H_3PO_3$ के लिए,$N_2 = 0.6 \ N$।
$0.1 \times V_1 = 0.6 \times 100$।
$V_1 = \frac{0.6 \times 100}{0.1} = 600 \ mL$।

(B) प्रत्येक अभिक्रिया का विश्लेषण करते हैं:
$1$. गलित $NaOH$ की $C$ के साथ अभिक्रिया: $2NaOH + C \rightarrow Na_2CO_3 + H_2$. हाइड्रोजन मुक्त होती है।
$2$. $NaOH$ की सल्फर के साथ अभिक्रिया: $6NaOH + 3S \rightarrow 2Na_2S + Na_2SO_3 + 3H_2O$. हाइड्रोजन गैस मुक्त नहीं होती है।
$3$. सांद्र $NaOH$ को $Si$ के साथ गर्म करना: $Si + 2NaOH + H_2O \rightarrow Na_2SiO_3 + 2H_2$. हाइड्रोजन मुक्त होती है।
$4$. जिंक की $NaOH$ के साथ अभिक्रिया: $Zn + 2NaOH \rightarrow Na_2ZnO_2 + H_2$. हाइड्रोजन मुक्त होती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $NaHCO_3$ को गर्म करने की अभिक्रिया है: $2NaHCO_3 \rightarrow Na_2CO_3 + H_2O + CO_2$।
$Na_2CO_3$ गर्म करने पर विघटित नहीं होता है।
माना $NaHCO_3$ का द्रव्यमान $x \ g$ और $Na_2CO_3$ का द्रव्यमान $y \ g$ है।
$x + y = 19$ (समीकरण $1$)।
उत्पन्न $CO_2$ के मोल $= \frac{1.12 \ L}{22.4 \ L/mol} = 0.05 \ mol$।
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$2 \ mol$ $NaHCO_3$ से $1 \ mol$ $CO_2$ उत्पन्न होता है।
अतः,$NaHCO_3$ के मोल $= 2 \times 0.05 = 0.1 \ mol$।
$NaHCO_3$ का द्रव्यमान $= 0.1 \ mol \times 84 \ g/mol = 8.4 \ g$।
समीकरण $1$ में मान रखने पर: $8.4 + y = 19 \Rightarrow y = 10.6 \ g$।

(C) वास्तविक गैसें अंतर-आणविक बलों और गैस अणुओं के सीमित आयतन के कारण आदर्श व्यवहार से विचलित होती हैं।
उच्च तापमान पर,गैस अणुओं की गतिज ऊर्जा अधिक होती है,जिससे अंतर-आणविक बल नगण्य हो जाते हैं।
कम दबाव पर,गैस अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य हो जाता है।
इसलिए,वास्तविक गैसें उच्च तापमान और कम दबाव की स्थितियों में आदर्श गैस व्यवहार के निकट पहुँचती हैं।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज्ड होता है और इसे $L = n \frac{h}{2 \pi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
इसे $L = \frac{n}{2} \cdot \frac{h}{\pi}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n = 1$ के लिए,$L = 0.5 \frac{h}{\pi}$।
$n = 2$ के लिए,$L = 1.0 \frac{h}{\pi}$।
$n = 3$ के लिए,$L = 1.5 \frac{h}{\pi}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$1.25 \frac{h}{\pi}$ का मान $n$ के किसी भी पूर्णांक मान के अनुरूप नहीं है,इसलिए यह एक अनुमत मान नहीं है।

(D) आवृत्ति $(v)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $v = \frac{c}{\lambda}$.
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ और $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
मान रखने पर:
$v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) अवस्था परिवर्तन के दौरान एन्ट्रॉपी में परिवर्तन का सूत्र $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T} = \frac{m \times L_f}{T}$ है।
दिया गया है:
बर्फ का द्रव्यमान $(m)$ $= 27.3 \ g$
गलन की गुप्त ऊष्मा $(L_f)$ $= 330 \ J g^{-1}$
तापमान $(T)$ $= 0^{\circ} C = 273 \ K$
मान रखने पर:
$\Delta S = \frac{27.3 \ g \times 330 \ J g^{-1}}{273 \ K}$
$\Delta S = \frac{9009 \ J}{273 \ K} = 33 \ J K^{-1}$.