AP EAMCET 2007 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^2-3 x y+y^2+x+2 y-8=0$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}(2 x^2) - \frac{d}{d x}(3 x y) + \frac{d}{d x}(y^2) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2 y) - \frac{d}{d x}(8) = 0$
$4 x - (3 y + 3 x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} + 1 + 2 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x}$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા:
$(2 y - 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = 3 y - 4 x - 1$
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x - 1}{2 y - 3 x + 2}$

(B) આપેલ છે,$y=\log \left\{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1 / 4}\right\}-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
ગુણધર્મ $\log(a^b) = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1}{4} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
કારણ કે $\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \tanh^{-1} x$,તેથી $y = \frac{1}{2} \tanh^{-1} x - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) - \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-x^2}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{2x^2}{1-x^4}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{1-x^4}$

(D) સંયુગ્મી એસિડ-બેઇઝ જોડી માત્ર એક પ્રોટોન $(H^+)$ દ્વારા અલગ પડે છે.
$(a)$ $HPO_3^{2-}$ અને $PO_3^{3-}$ એક $H^+$ દ્વારા અલગ પડે છે,તેથી તે સંયુગ્મી જોડી બનાવે છે.
$(b)$ $H_2PO_4^{-}$ અને $HPO_4^{2-}$ એક $H^+$ દ્વારા અલગ પડે છે,તેથી તે સંયુગ્મી જોડી બનાવે છે.
$(c)$ $H_3PO_4$ અને $H_2PO_4^{-}$ એક $H^+$ દ્વારા અલગ પડે છે,તેથી તે સંયુગ્મી જોડી બનાવે છે.
$(d)$ $H_2PO_4^{-}$ અને $PO_4^{3-}$ બે પ્રોટોન $(2H^+)$ દ્વારા અલગ પડે છે,તેથી તે સંયુગ્મી એસિડ-બેઇઝ જોડી બનાવતા નથી.

(B) $NH_4Cl$ એ નિર્બળ બેઇઝ $(NH_4OH)$ અને પ્રબળ એસિડ $(HCl)$ નો ક્ષાર છે. જ્યારે તેને પાણીમાં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે $NH_4^+$ આયનનું જળવિભાજન થઈને $H_3O^+$ આયનો ઉત્પન્ન થાય છે,જે દ્રાવણને એસિડિક બનાવે છે:
$NH_4^+ + H_2O \rightleftharpoons NH_4OH + H_3O^+$
$HCl$ પ્રબળ એસિડ હોવાથી અને $NH_4OH$ નિર્બળ બેઇઝ હોવાથી,પરિણામી દ્રાવણ એસિડિક હોય છે.

(B) આપેલ છે કે $z = \log(\tan x + \tan y)$.
પ્રથમ,$x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\tan x + \tan y} \cdot \sec^2 x$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\tan x + \tan y} \cdot \sec^2 y$
હવે,આ કિંમતોને $(\sin 2x) \frac{\partial z}{\partial x} + (\sin 2y) \frac{\partial z}{\partial y}$ માં મૂકતા:
$= \sin 2x \left( \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y} \right) + \sin 2y \left( \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y} \right)$
$= \frac{\sin 2x \sec^2 x + \sin 2y \sec^2 y}{\tan x + \tan y}$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ અને $\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(2 \sin x \cos x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + (2 \sin y \cos y) \cdot \frac{1}{\cos^2 y}}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2 \tan x + 2 \tan y}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2(\tan x + \tan y)}{\tan x + \tan y} = 2$.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળનો પરિઘ $S = 2\pi r = 56 \text{ cm}$.
આથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{56}{2\pi} = \frac{28}{\pi} \text{ cm}$ થાય.
પરિઘમાં ભૂલ $\delta S = 2\pi \delta r = 0.02 \text{ cm}$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\delta r = \frac{0.02}{2\pi} \text{ cm}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\delta A}{A} = 2 \frac{\delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\delta A}{A} = 2 \times \frac{0.02 / (2\pi)}{28 / \pi} = 2 \times \frac{0.02}{2\pi} \times \frac{\pi}{28} = \frac{0.02}{28} = \frac{2}{2800} = \frac{1}{1400}$ મળે.
ક્ષેત્રફળમાં ટકાવારી ભૂલ $\frac{\delta A}{A} \times 100 = \frac{1}{1400} \times 100 = \frac{1}{14} \%$ થાય.
આમ,ટકાવારી ભૂલ $\frac{1}{14} \%$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$.
અંશને $A(\text{છેદ}) + B(\frac{d}{dx}(\text{છેદ}))$ સ્વરૂપમાં લખતા:
$\sin x + 8 \cos x = A(4 \sin x + 6 \cos x) + B(4 \cos x - 6 \sin x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1 = 4A - 6B$ અને $8 = 6A + 4B$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$2 = 8A - 12B$ અને $24 = 18A + 12B$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $26 = 26A$,તેથી $A = 1$.
$A = 1$ ને $1 = 4(1) - 6B$ માં મૂકતા,$6B = 3$,તેથી $B = \frac{1}{2}$.
આમ,$I = \int \frac{(4 \sin x + 6 \cos x) + \frac{1}{2}(4 \cos x - 6 \sin x)}{4 \sin x + 6 \cos x} d x$.
$I = \int 1 d x + \frac{1}{2} \int \frac{4 \cos x - 6 \sin x}{4 \sin x + 6 \cos x} d x$.
$I = x + \frac{1}{2} \log |4 \sin x + 6 \cos x| + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 1 = e^{x+y}$ છે.
ધારો કે $x + y = z$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$ મળે છે.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{dz}{dx} = e^z$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$e^{-z} dz = dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-z} dz = \int dx$.
આથી $-e^{-z} = x + c$ મળે છે.
હવે $z = x + y$ મૂકતા,$-e^{-(x+y)} = x + c$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$x + e^{-(x+y)} + c = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j} = a_3 \hat{j} - a_2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{j} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{j} = a_1(\hat{i} \times \hat{j}) + a_3(\hat{k} \times \hat{j}) = a_1 \hat{k} - a_3 \hat{i}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{k} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{k} = a_1(\hat{i} \times \hat{k}) + a_2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a_1 \hat{j} + a_2 \hat{i} = a_2 \hat{i} - a_1 \hat{j}$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
હવે,માનના વર્ગોની ગણતરી કરીએ:
$|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2 = a_3^2 + (-a_2)^2 = a_3^2 + a_2^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2 = (-a_3)^2 + a_1^2 = a_3^2 + a_1^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = a_2^2 + (-a_1)^2 = a_2^2 + a_1^2$.
આનો સરવાળો કરતા:
$|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2 + |\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2 + |\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_3^2 + a_1^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\overrightarrow{a}|^2$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ નું સાચું કારણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $\vec{a} = -2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 7 \hat{i}-\hat{k}$ ને જોડતી રેખાનું $\vec{r} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ દ્વારા $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = \frac{\lambda \vec{b} + 1 \vec{a}}{\lambda + 1}$
$\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} = \frac{\lambda(7 \hat{i}-\hat{k}) + (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})}{\lambda+1}$
$(\lambda+1)(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (7 \lambda-2) \hat{i} + 3 \hat{j} + (5-\lambda) \hat{k}$
$\hat{i}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\lambda+1 = 7 \lambda-2$
$3 = 6 \lambda$
$\lambda = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $\lambda: 1 = 1: 2$ છે.

(B) સદિશ $\vec{AB}$ ના દિકગુણોત્તરો $(6-1, 11-(-1), 2-2) = (5, 12, 0)$ છે.
સદિશ $\vec{AC}$ ના દિકગુણોત્તરો $(1-1, 2-(-1), 6-2) = (0, 3, 4)$ છે.
સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેના ખૂણા $A$ નો કોસાઇન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\cos A = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos A = \frac{(5)(0) + (12)(3) + (0)(4)}{\sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2} \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2}}$
$\cos A = \frac{0 + 36 + 0}{\sqrt{25 + 144 + 0} \sqrt{0 + 9 + 16}}$
$\cos A = \frac{36}{\sqrt{169} \sqrt{25}}$
$\cos A = \frac{36}{13 \times 5} = \frac{36}{65}$.

(B) સદિશ $\overrightarrow{b}$ નો સદિશ $\overrightarrow{a}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપ $\frac{4}{3}(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ છે,તેથી:
$\frac{(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2} = \frac{4}{3}(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$
પ્રથમ,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (\lambda \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = \lambda(1) + (-3)(-1) + (1)(-1) = \lambda + 3 - 1 = \lambda + 2$.
હવે,$|\overrightarrow{a}|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\overrightarrow{a}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
આ કિંમતોને પ્રક્ષેપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{(\lambda + 2)(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})}{3} = \frac{4}{3}(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\lambda + 2}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow \lambda + 2 = 4 \Rightarrow \lambda = 2$.

(A) પ્રોડ્યુસર ગેસ એ $CO$ અને $N_2$ નું મિશ્રણ છે.
તેમાં રહેલા નાઈટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ ની ઊંચી ટકાવારીને કારણે તેનું કેલરીફિક મૂલ્ય ઓછું હોય છે.

(C) પદાર્થમાં કણોની સંખ્યા $N = n \times N_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો અચળાંક $(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ છે.
$N_A$ અચળ હોવાથી,જુદા જુદા પદાર્થોના સમાન મોલ $(n)$ સમાન સંખ્યામાં ઘટક કણો ધરાવે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,મોલની સંખ્યા $n = \frac{w}{M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $w$ એ વજન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
જુદા જુદા પદાર્થોના મોલર દળ $(M)$ અલગ-અલગ હોવાથી,જુદા જુદા પદાર્થોના સમાન વજન $(w)$ ને કારણે મોલની સંખ્યા $(n)$ અલગ-અલગ મળશે,અને પરિણામે,ઘટક કણોની સંખ્યા પણ અલગ-અલગ હશે.
તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) ઇથાઇલ આલ્કોહોલ $(C_2H_5OH)$ ના મોલની સંખ્યા = $\frac{138}{46} = 3 \ mol$.
પાણી $(H_2O)$ ના મોલની સંખ્યા = $\frac{72}{18} = 4 \ mol$.
આલ્કોહોલનો મોલ અંશ $(X_{C_2H_5OH})$ = $\frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$.
પાણીનો મોલ અંશ $(X_{H_2O})$ = $\frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$.
આલ્કોહોલ અને પાણીના મોલ અંશનો ગુણોત્તર $\frac{X_{C_2H_5OH}}{X_{H_2O}} = \frac{3/7}{4/7} = \frac{3}{4}$ છે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ, અચળ દબાણે, $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $V_1 = 2 \,L$, $T_1 = 273 \,K$ ($STP$ પર), $V_2 = 4 \,L$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{273} = \frac{4}{T_2}$.
$T_2 = \frac{273 \times 4}{2} = 546 \,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $546 \,K - 273 = 273^{\circ} C$.

(C) લાયમન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,જ્યાં $n_1 = 1$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{16}{15 R}$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{15 R}{16}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{15 R}{16} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા: $\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$n_2^2 = 16$,જે $n_2 = 4$ આપે છે.

(C) $N$ કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ છે.
ઉપ-સ્તરોની સંખ્યા $n$ જેટલી હોય છે,તેથી $4$ ઉપ-સ્તરો છે.
કક્ષકોની સંખ્યા $n^2 = 4^2 = 16$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2n^2 = 2 \times 4^2 = 32$ છે.
આમ,મૂલ્યો $4, 16, 32$ છે.

(C) સિલિન્ડર $A$ માટે (સમદાબી પ્રક્રિયા): આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T_A$. આપેલ છે કે $\Delta T_A = 42 ~K$ અને એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે $C_P = \frac{5}{2} R$. તેથી,$Q = n \left(\frac{5}{2} R\right) (42) = 105 nR$.
સિલિન્ડર $B$ માટે (સમકદ પ્રક્રિયા): આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_V \Delta T_B$. એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે $C_V = \frac{3}{2} R$.
બંને સિલિન્ડરને આપેલી ઉષ્મા સમાન હોવાથી,$n \left(\frac{3}{2} R\right) \Delta T_B = 105 nR$.
$\frac{3}{2} \Delta T_B = 105 \implies \Delta T_B = 105 \times \frac{2}{3} = 70 ~K$.

(A) બંધ વિયોજન ઉર્જા બંધની મજબૂતી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે કક્ષકોના ઓવરલેપ અને બંધ લંબાઈ સાથે સંબંધિત છે.
બંધ વિયોજન ઉર્જા આશરે નીચે મુજબ છે:
$H-H \approx 436 \ kJ/mol$
$C-H \approx 413 \ kJ/mol$
$C-C \approx 348 \ kJ/mol$
તેથી,ઘટતો ક્રમ $H-H > C-H > C-C$ છે.

(C) લક્ષ્ય પ્રક્રિયા: $2 C_{\text{(graphite)}} + 2 H_{2(g)} \longrightarrow C_2H_{4(g)}$.
હેસના નિયમ મુજબ: $\Delta H_f = 2 \times \Delta H_1 + 2 \times \Delta H_2 - \Delta H_3$
$\Delta H_f = 2(-393.5) + 2(-286.2) - (-1410.8)$
$\Delta H_f = -787.0 - 572.4 + 1410.8 = 51.4 \ kJ$.