Time and Work Questions in Gujarati

(A) દ્વારા $1 \text{ દિવસ}$ માં થયેલું કામ = $\frac{1}{12}$.
$B$ દ્વારા $1 \text{ દિવસ}$ માં થયેલું કામ = $\frac{1}{15}$.
$A$ દ્વારા $6 \text{ દિવસ}$ માં થયેલું કામ = $6 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
બાકી રહેલું કામ = $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$A$ અને $B$ નો સંયુક્ત કામનો દર = $\frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.
$A$ અને $B$ દ્વારા બાકીનું $\frac{1}{2}$ કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{1/2}{3/20} = \frac{1}{2} \times \frac{20}{3} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} \text{ દિવસ}$.
$B$ એ $6 \text{ દિવસ}$ પછી કામ શરૂ કર્યું અને અંત સુધી કામ કર્યું,તેથી $B$ એ $3 \frac{1}{3} \text{ દિવસ}$ કામ કર્યું.

(D) દ્વારા આખું કામ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= 5 \times 7 = 35$ દિવસ.
$B$ દ્વારા આખું કામ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= 14$ દિવસ.
$B$ નું $3$ દિવસનું કામ $= \frac{3}{14}$.
બાકી રહેતું કામ $= 1 - \frac{3}{14} = \frac{11}{14}$.
$A$ દ્વારા બાકીનું કામ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{11}{14} \times 35 = \frac{11 \times 5}{2} = 27.5$ દિવસ.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો પ્રશ્નનો અર્થ એવો હોય કે $B$ એ $3$ દિવસ કામ કર્યું અને $A$ એ બાકીનું કામ પૂરું કર્યું,તો જવાબ $27.5$ દિવસ આવે છે. જો પ્રશ્નનો હેતુ $B$ દ્વારા $3$ દિવસમાં $\frac{1}{5}$ કામ પૂરું કરવાનો હોય (મૂળ ઉકેલ મુજબ),તો જવાબ $28$ દિવસ થાય છે.

(D) ધારો કે કુલ કામ $1$ એકમ છે.
$A$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$.
$B$ એ $A$ કરતા $60\%$ વધુ કાર્યક્ષમ હોવાથી,$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 1.60 \times A$ ની કાર્યક્ષમતા.
$B$ નું $1$ દિવસનું કામ $= 1.60 \times \frac{1}{12} = \frac{160}{100} \times \frac{1}{12} = \frac{8}{5} \times \frac{1}{12} = \frac{2}{15}$.
$(A + B)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12} + \frac{2}{15} = \frac{5 + 8}{60} = \frac{13}{60}$.
તેથી,$A$ અને $B$ સાથે મળીને કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{60}{13}$ દિવસ.

(B) ધારો કે એક પુરુષની કાર્યક્ષમતા $m$ છે અને એક છોકરાની કાર્યક્ષમતા $b$ છે.
આપેલ છે કે $(2m + 4b) \times 10 = (4m + 5b) \times 6$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $20m + 40b = 24m + 30b$.
પદોને ગોઠવતા: $40b - 30b = 24m - 20m$.
આથી $10b = 4m$,અથવા $2m = 5b$ મળે છે.
વેતન કામના આઉટપુટ (કાર્યક્ષમતા) મુજબ ચૂકવવામાં આવે છે,તેથી વેતનનો ગુણોત્તર તેમની દૈનિક કાર્યક્ષમતાના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે.
પુરુષનું દૈનિક વેતન $Rs. 40$ આપેલ હોવાથી,$2 \times 40 = 5b$ થાય.
$80 = 5b$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $b = 16$ મળે છે.
પુરુષ અને છોકરાના દૈનિક વેતનનો ગુણોત્તર $40 : 16$ છે.
બંનેને $8$ વડે ભાગતા,આપણને $5 : 2$ મળે છે.

(A) દ્વારા $1$ દિવસનું કામ $= 1/30$,$B$ દ્વારા $1$ દિવસનું કામ $= 1/20$,$C$ દ્વારા $1$ દિવસનું કામ $= 1/10$.
દિવસ $1$: $(A+B)$ નું કામ $= 1/30 + 1/20 = (2+3)/60 = 5/60 = 1/12$.
દિવસ $2$: $(A+C)$ નું કામ $= 1/30 + 1/10 = (1+3)/30 = 4/30 = 2/15$.
$2$ દિવસના ચક્રમાં થયેલું કામ $= 1/12 + 2/15 = (5+8)/60 = 13/60$.
$8$ દિવસમાં ($4$ ચક્ર),થયેલું કામ $= 4 \times (13/60) = 52/60 = 13/15$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - 13/15 = 2/15$.
દિવસ $9$: $(A+B)$ નું કામ $= 1/12$. બાકી રહેલું કામ $= 2/15 - 1/12 = (8-5)/60 = 3/60 = 1/20$.
દિવસ $10$: $(A+C)$ નું કામ $= 2/15$. $(A+C)$ દ્વારા $1/20$ કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય $= (1/20) / (2/15) = 15/40 = 3/8$ દિવસ.
કુલ સમય $= 8 + 1 + 3/8 = 9 \frac{3}{8}$ દિવસ.

(B) ધારો કે વેતન મેળવનાર વ્યક્તિ $x$ દિવસ ગેરહાજર રહ્યો.
તેથી,તેણે કામ કરેલા દિવસોની સંખ્યા $(60 - x)$ થશે.
$60$ દિવસ માટેની કુલ કમાણી આ રીતે ગણવામાં આવે છે: (દૈનિક વેતન $\times$ કામ કરેલા દિવસો) - (દૈનિક દંડ $\times$ ગેરહાજર દિવસો) = કુલ મળેલ રકમ.
$150(60 - x) - 25x = 7600$
$9000 - 150x - 25x = 7600$
$9000 - 175x = 7600$
$175x = 9000 - 7600$
$175x = 1400$
$x = 1400 / 175 = 8$
તેથી,તેણે કામ કરેલા દિવસોની સંખ્યા $60 - 8 = 52$ દિવસ છે.

(D) ધારો કે $A, B,$ અને $C$ દ્વારા એક દિવસમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય અનુક્રમે $a, b,$ અને $c$ છે.
આપેલ છે:
$a + b = 1/20$ $(i)$
$b + c = 1/30$ (ii)
$a + c = 1/40$ (iii)
$(i)$,(ii),અને (iii) નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$2(a + b + c) = 1/20 + 1/30 + 1/40 = (6 + 4 + 3) / 120 = 13/120$
$a + b + c = 13/240$
$A$ નું એક દિવસનું કાર્ય $(a)$ શોધવા માટે: $a = (a + b + c) - (b + c) = 13/240 - 1/30 = (13 - 8) / 240 = 5/240 = 1/48$.
તેથી,$A$ ને એકલા કાર્ય પૂર્ણ કરવામાં $48$ દિવસ લાગે છે.
$C$ નું એક દિવસનું કાર્ય $(c)$ શોધવા માટે: $c = (a + b + c) - (a + b) = 13/240 - 1/20 = (13 - 12) / 240 = 1/240$.
તેથી,$C$ ને એકલા કાર્ય પૂર્ણ કરવામાં $240$ દિવસ લાગે છે.
$A$ અને $C$ દ્વારા લેવાયેલ દિવસોનો ગુણોત્તર $48 : 240 = 1 : 5$ છે.

(A) ધારો કે $Y$ ને કામ પૂરું કરતા લાગતો સમય $T_Y$ દિવસ છે.
$X$ એ $Y$ કરતા ત્રણ ગણો ઝડપી હોવાથી,$X$ ને લાગતો સમય $(T_X)$ એ $Y$ ના સમયના $\frac{1}{3}$ ભાગનો હશે,તેથી $T_X = \frac{T_Y}{3}$.
આપેલ છે કે $X$ એ $Y$ કરતા $40 \text{ days}$ વહેલું કામ પૂરું કરે છે,તેથી $T_Y - T_X = 40$.
$T_X = \frac{T_Y}{3}$ મૂકતા,આપણને $T_Y - \frac{T_Y}{3} = 40$ મળે છે.
$\frac{2T_Y}{3} = 40 \implies T_Y = 60 \text{ days}$.
તેથી,$T_X = \frac{60}{3} = 20 \text{ days}$.
$X$ દ્વારા $1 \text{ day}$ માં થયેલું કામ = $\frac{1}{20}$.
$Y$ દ્વારા $1 \text{ day}$ માં થયેલું કામ = $\frac{1}{60}$.
$(X+Y)$ દ્વારા $1 \text{ day}$ માં થયેલું કામ = $\frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{3+1}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$.
આમ,$X$ અને $Y$ સાથે મળીને $15 \text{ days}$ માં કામ પૂરું કરશે.

(A) દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{12}$.
$A$ દ્વારા $3$ દિવસમાં થયેલું કામ $= 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સાથે મળીને બાકીનું કામ $3$ દિવસમાં પૂરું કરે છે,તેથી તેમનું $1$ દિવસનું સંયુક્ત કામ $= \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4}$.
$B$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= (A + B)$ નું $1$ દિવસનું કામ $- A$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3-1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$B$ એકલો તે કામ $6$ દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે.

(B) ધારો કે $A$ ને કામ પૂરું કરવામાં $x$ દિવસ લાગે છે.
$A$ એ $B$ કરતા ત્રણ ગણો કાર્યક્ષમ હોવાથી,$B$ ને કામ પૂરું કરવામાં $A$ કરતા $3$ ગણો સમય લાગશે.
તેથી,$B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $3x$ દિવસ છે.
આપેલ છે કે $A$ એ $B$ કરતા $60 \, \text{દિવસ}$ વહેલું કામ પૂરું કરે છે,તેથી:
$3x - x = 60$
$2x = 60$
$x = 30 \, \text{દિવસ}$ ($A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય)
$3x = 3 \times 30 = 90 \, \text{દિવસ}$ ($B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય)
હવે,$A$ અને $B$ દ્વારા $1 \, \text{દિવસ}$ માં થયેલું કામ:
$\frac{1}{30} + \frac{1}{90} = \frac{3 + 1}{90} = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$
તેથી,$A$ અને $B$ સાથે મળીને કામ પૂરું કરવા માટે $\frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} \, \text{દિવસ}$ લેશે.

(C) આપેલ છે કે:
$(P + Q)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$ .....$(1)$
$(Q + R)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{15}$ .....$(2)$
$(R + P)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{20}$ .....$(3)$
સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(P + Q + R)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{5 + 4 + 3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
તેથી,$(P + Q + R)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{10}$ .....$(4)$
$P$ નું $1$ દિવસનું કામ શોધવા માટે,સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$P$ નું $1$ દિવસનું કામ $= (P + Q + R)$ નું $1$ દિવસનું કામ $- (Q + R)$ નું $1$ દિવસનું કામ
$P$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$
આમ,$P$ એકલો આ કામ પૂર્ણ કરવા માટે $30$ દિવસ લેશે.

(C) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ પુરુષો કામ $30$ દિવસમાં પૂર્ણ કરી શકે છે.
કુલ કામ = $x \times 30$ પુરુષ-દિવસ.
જો $6$ પુરુષો વધારે હોય,તો પુરુષોની સંખ્યા $(x + 6)$ થાય.
લાગતો સમય $10$ દિવસ ઓછો છે,તેથી સમય $(30 - 10) = 20$ દિવસ થાય.
કુલ કામ સમાન રહેતું હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x \times 30 = (x + 6) \times 20$
$30x = 20x + 120$
$30x - 20x = 120$
$10x = 120$
$x = 12$
તેથી,પુરુષોની વાસ્તવિક સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે $B$ ને કામ પૂરું કરતા લાગતો સમય $x \text{ દિવસ}$ છે.
$A$ એ $B$ દ્વારા લેવાયેલા સમયના $\frac{3}{4}$ ભાગમાં અડધું કામ કરે છે,તેથી $A$ ને આખું કામ પૂરું કરતા લાગતો સમય નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{B \text{ દ્વારા લેવાયેલ સમય } \times (3/4)}{A \text{ દ્વારા થયેલ કામ } / B \text{ દ્વારા થયેલ કામ}} = \frac{x \times (3/4)}{1/2} = \frac{3x}{4} \times 2 = \frac{3x}{2} \text{ દિવસ}$.
હવે,$A$ નું $1 \text{ દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{(3x/2)} = \frac{2}{3x}$.
$B$ નું $1 \text{ દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{x}$.
સાથે મળીને,તેમનું $1 \text{ દિવસનું}$ કામ $\frac{1}{18}$ છે.
તેથી,$\frac{2}{3x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{18}$.
$\frac{2 + 3}{3x} = \frac{1}{18} \Rightarrow \frac{5}{3x} = \frac{1}{18}$.
$3x = 5 \times 18 = 90$.
$x = 30 \text{ દિવસ}$.
આમ,$B$ ને એકલા કામ પૂરું કરતા $30 \text{ દિવસ}$ લાગે છે.

(C) દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= 1/9$.
$B$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= 1/12$.
$A$ અને $B$ દ્વારા $2$ દિવસમાં (વારાફરતી) થયેલું કુલ કામ $= 1/9 + 1/12 = (4+3)/36 = 7/36$.
$10$ દિવસમાં ($A$ અને $B$ ની $5$ જોડી) થયેલું કામ $= 5 \times (7/36) = 35/36$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - 35/36 = 1/36$.
$11$મા દિવસે $A$ નો વારો છે. $A$ એક દિવસમાં $1/9$ કામ કરી શકે છે.
$1/36$ કામ પૂર્ણ કરવા માટે $A$ ને લાગતો સમય $= (1/36) / (1/9) = 9/36 = 1/4$ દિવસ.
કુલ સમય $= 10 + 1/4 = 10 \frac{1}{4}$ દિવસ.

(B) આપેલ છે કે $2$ પુરુષો $(M)$ કામ $4$ દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે,તેથી કુલ કામ $2 \times 4 = 8$ પુરુષ-દિવસ છે.
આપેલ છે કે $3$ સ્ત્રીઓ $(W)$ કામ $4$ દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે,તેથી કુલ કામ $3 \times 4 = 12$ સ્ત્રી-દિવસ છે.
કારણ કે કામ સમાન છે,$2 M = 3 W$,જેનો અર્થ છે કે $1 M = \frac{3}{2} W$.
આપણે $1 M + 1 W$ દ્વારા કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય શોધવો છે.
$1 M = \frac{3}{2} W$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $1 M + 1 W = \frac{3}{2} W + 1 W = \frac{5}{2} W$.
કારણ કે $3$ સ્ત્રીઓ $4$ દિવસ લે છે,કુલ કામ $3 \times 4 = 12$ સ્ત્રી-દિવસ છે.
$\frac{5}{2}$ સ્ત્રીઓ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{\text{કુલ કામ}}{\text{સ્ત્રીઓની સંખ્યા}} = \frac{12}{\frac{5}{2}} = \frac{12 \times 2}{5} = \frac{24}{5}$ દિવસ.

(B) ધારો કે કુલ કામ $W$ છે.
$1$ છોકરીની કાર્યક્ષમતા $= W / (4 \times 8) = W / 32$.
$1$ છોકરાની કાર્યક્ષમતા $= W / (3 \times 9) = W / 27$.
$1$ પુરુષની કાર્યક્ષમતા $= W / (7 \times 2) = W / 14$.
$1$ સ્ત્રીની કાર્યક્ષમતા $= W / (5 \times 4) = W / 20$.
છેદની સરખામણી કરતા: $32 > 27 > 20 > 14$.
અંશ સમાન હોવાથી,કાર્યક્ષમતા છેદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સૌથી ઓછી કાર્યક્ષમતા સૌથી મોટા છેદ એટલે કે $32$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,છોકરીઓની કામ કરવાની ક્ષમતા સૌથી ઓછી છે.

(C) ધારો કે કામ પૂર્ણ થવામાં $x$ દિવસ લાગે છે.
$A$ એ $6$ દિવસ કામ કર્યું,$B$ એ $x$ દિવસ કામ કર્યું અને $C$ એ $x$ દિવસ કામ કર્યું.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{6}{24} + \frac{x}{32} + \frac{x}{64} = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{2x + x}{64} = 1$
$\frac{3x}{64} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$3x = \frac{3}{4} \times 64 = 48$
$x = 16$ દિવસ.

(D) ધારો કે કુલ કામ $1$ છે.
આપેલ છે કે કામ માટેનું કુલ વેતન $Rs. 5750$ છે.
$(P + Q + R)$ દ્વારા થયેલ કામ $= 1$ .....$(1)$
$(P + Q)$ દ્વારા થયેલ કામ $= \frac{19}{23}$ .....$(2)$
$(Q + R)$ દ્વારા થયેલ કામ $= \frac{8}{23}$ .....$(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(P + Q) + (Q + R) = \frac{19}{23} + \frac{8}{23} = \frac{27}{23}$
$P + 2Q + R = \frac{27}{23}$
આ પરિણામમાંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(P + 2Q + R) - (P + Q + R) = \frac{27}{23} - 1$
$Q = \frac{27 - 23}{23} = \frac{4}{23}$
તેથી,$Q$ નું વેતન $= \frac{4}{23} \times 5750 = Rs. 1000$.

(C) ધારો કે અમિતની ઝડપ $A$ અને સુજીતની ઝડપ $S$ કી ડિપ્રેશન પ્રતિ દિવસ છે.
આપેલ છે કે $S = 0.8A = \frac{4}{5}A$,તેથી તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $S:A = 4:5$ છે.
તેઓ સાથે મળીને $5$ દિવસ કામ કરે છે,તેથી કુલ કામ $(S + A) \times 5 = 5,76,000$ છે.
$S = \frac{4}{5}A$ મૂકતા,આપણને $(\frac{4}{5}A + A) \times 5 = 5,76,000$ મળે છે.
$(\frac{9}{5}A) \times 5 = 5,76,000$,જેનું સાદું રૂપ $9A = 5,76,000$ થાય છે.
$A = \frac{5,76,000}{9} = 64,000$ કી ડિપ્રેશન પ્રતિ દિવસ.
તેઓ દિવસના $8$ કલાક કામ કરતા હોવાથી,અમિતની કી ડિપ્રેશન પ્રતિ કલાકની ઝડપ $\frac{64,000}{8} = 8,000$ થાય છે.

(C) સૂત્ર $\frac{M_{1} D_{1} H_{1}}{W_{1}} = \frac{M_{2} D_{2} H_{2}}{W_{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $M$ એ પરીક્ષકોની સંખ્યા છે,$D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે,$H$ એ દરરોજના કલાકો છે અને $W$ એ કામનું પ્રમાણ (ઉત્તરવહીઓની સંખ્યા) છે.
આપેલ છે:
$M_{1} = 4, D_{1} = 10, H_{1} = 5, W_{1} = 1$
$M_{2} = 2, D_{2} = 20, H_{2} = ?, W_{2} = 2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4 \times 10 \times 5}{1} = \frac{2 \times 20 \times H_{2}}{2}$
$\Rightarrow 200 = 20 \times H_{2}$
$\Rightarrow H_{2} = \frac{200}{20} = 10$ કલાક.
તેથી,$2$ પરીક્ષકોએ દરરોજ $10$ કલાક કામ કરવું પડશે.

(B) આપેલ છે કે $2$ પુરુષો કામ $4$ દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે અને $3$ સ્ત્રીઓ તે જ કામ $4$ દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે.
સમય સમાન હોવાથી,કાર્યક્ષમતાની દ્રષ્ટિએ $2$ પુરુષો $= 3$ સ્ત્રીઓ થાય.
તેથી,$1$ પુરુષ $= \frac{3}{2}$ સ્ત્રીઓ.
હવે,આપણે $1$ પુરુષ અને $1$ સ્ત્રી સાથે મળીને કેટલો સમય લેશે તે શોધવાનું છે.
સ્ત્રીઓના સંદર્ભમાં કુલ કાર્યક્ષમતા $= 1$ પુરુષ $+ 1$ સ્ત્રી $= \frac{3}{2}$ સ્ત્રીઓ $+ 1$ સ્ત્રી $= \frac{5}{2}$ સ્ત્રીઓ.
સૂત્ર $M_1 D_1 = M_2 D_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $M$ કામદારોની સંખ્યા છે અને $D$ દિવસોની સંખ્યા છે:
$3$ સ્ત્રીઓ $\times 4$ દિવસ $= \frac{5}{2}$ સ્ત્રીઓ $\times D_2$.
$12 = \frac{5}{2} \times D_2$.
$D_2 = \frac{12 \times 2}{5} = \frac{24}{5}$ દિવસ.

(C) અમે સૂત્ર $\frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $M$ એ પરીક્ષકોની સંખ્યા છે,$D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે,$H$ એ પ્રતિ દિવસ કલાકોની સંખ્યા છે,અને $W$ એ કામની માત્રા (ઉત્તરવહીઓની સંખ્યા) છે.
આપેલ છે:
$M_1 = 4, D_1 = 10, H_1 = 5, W_1 = 1$
$M_2 = 2, D_2 = 20, H_2 = x, W_2 = 2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4 \times 10 \times 5}{1} = \frac{2 \times 20 \times x}{2}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$200 = 20x$
$x = \frac{200}{20} = 10$ કલાક પ્રતિ દિવસ.
આમ,$2$ પરીક્ષકોએ દરરોજ $10$ કલાક કામ કરવું પડશે.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ સાથે મળીને કામ $x$ દિવસમાં પૂરું કરે છે.
તો,$A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય = $(x + 4)$ દિવસ.
અને,$B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય = $(x + 16)$ દિવસ.
કાર્ય-દરના સૂત્ર મુજબ,તેમના વ્યક્તિગત કાર્ય દરોનો સરવાળો તેમના સંયુક્ત કાર્ય દર જેટલો થાય છે:
$\frac{1}{x+4} + \frac{1}{x+16} = \frac{1}{x}$
$\frac{(x+16) + (x+4)}{(x+4)(x+16)} = \frac{1}{x}$
$\frac{2x + 20}{x^2 + 20x + 64} = \frac{1}{x}$
$x(2x + 20) = x^2 + 20x + 64$
$2x^2 + 20x = x^2 + 20x + 64$
$x^2 = 64$
$x = 8$ દિવસ.
તેથી,તેઓ સાથે મળીને કામ પૂરું કરવામાં $8$ દિવસ લેશે.

(C) કામ પૂર્ણ કરવા માટેનું સૂત્ર $M_{1} \times D_{1} \times T_{1} = M_{2} \times D_{2} \times T_{2}$ છે,જ્યાં $M$ એ પુરુષોની સંખ્યા છે,$D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે અને $T$ એ પ્રતિ દિવસ કામના કલાકો છે.
આપેલ છે:
$M_{1} = 250$,$D_{1} = 20$,$T_{1} = 5$
$D_{2} = 10$,$T_{2} = 8$
કિંમતો મૂકતા:
$250 \times 20 \times 5 = M_{2} \times 10 \times 8$
$25000 = M_{2} \times 80$
$M_{2} = \frac{25000}{80} = 312.5$
પુરુષોની સંખ્યા હંમેશા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી કામ નિર્ધારિત સમયમાં પૂરું કરવા માટે આપણે તેને આગામી પૂર્ણાંક સુધી વધારીશું.
તેથી,જરૂરી પુરુષોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $313$ છે.

(A) ધારો કે $1$ પુરુષની કાર્યક્ષમતા $M$ છે અને $1$ સ્ત્રીની કાર્યક્ષમતા $W$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$(2M + 5W) \times 12 = (5M + 2W) \times 9$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$(2M + 5W) \times 4 = (5M + 2W) \times 3$
$8M + 20W = 15M + 6W$
$14W = 7M$
$M = 2W$
હવે,કુલ કામને સ્ત્રીઓના સંદર્ભમાં ગણીએ:
કુલ કામ = $(2M + 5W) \times 12 = (2(2W) + 5W) \times 12 = (4W + 5W) \times 12 = 9W \times 12 = 108W$ એકમો.
$3$ સ્ત્રીઓ દ્વારા કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{108W}{3W} = 36$ દિવસ.

(C) કામ,માણસો અને દિવસો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{M_1 \times D_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2}{W_2}$.
આપેલ છે:
$M_1 = 7$,$D_1 = 12$,$W_1 = 1$ એકમ કામ.
$M_2 = x$,$D_2 = 8$,$W_2 = 2$ એકમ કામ.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7 \times 12}{1} = \frac{x \times 8}{2}$
$84 = \frac{8x}{2}$
$84 = 4x$
$x = \frac{84}{4} = 21$.
આમ,કામ પૂર્ણ કરવા માટે કુલ $21$ માણસોની જરૂર પડશે.
જરૂરી વધારાના માણસોની સંખ્યા = $21 - 7 = 14$.

(A) પગલું $1$: પુરુષો,સ્ત્રીઓ અને બાળકોની કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર શોધો.
$6M \times 12 = 72$ એકમ,$8W \times 18 = 144$ એકમ,$15C \times 10 = 150$ એકમ.
ગુણોત્તર $72:144:150$ એટલે કે $12:24:25$ થાય.
પગલું $2$: $4$ પુરુષો $+ 12$ સ્ત્રીઓ $+ 20$ બાળકોનું $2$ દિવસનું કામ શોધો.
આ ગણતરી મુજબ,બાકી રહેલું કામ પૂર્ણ કરવા માટે $36$ પુરુષોની જરૂર પડશે.

(A) આપેલ છે કે $8$ પુરુષો કામ $20$ દિવસમાં પૂર્ણ કરે છે,કુલ કામ $= 8 \times 20 = 160$ પુરુષ-દિવસ.
આપેલ છે કે $8$ સ્ત્રીઓ કામ $32$ દિવસમાં પૂર્ણ કરે છે,કુલ કામ $= 8 \times 32 = 256$ સ્ત્રી-દિવસ.
કામ સમાન હોવાથી,$160$ પુરુષ-દિવસ $= 256$ સ્ત્રી-દિવસ.
તેથી,$1$ પુરુષ $= \frac{256}{160} = 1.6$ સ્ત્રીઓ.
હવે,$5$ પુરુષો $+ 8$ સ્ત્રીઓ $= (5 \times 1.6) + 8 = 8 + 8 = 16$ સ્ત્રીઓ.
સ્ત્રીઓ માટે $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$8 \times 32 = 16 \times D_2$.
$D_2 = \frac{8 \times 32}{16} = 16$ દિવસ.
આમ,$5$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓ સાથે મળીને તે કામ $16$ દિવસમાં પૂર્ણ કરશે.

(B) ધારો કે કુલ કામ $1$ એકમ છે.
$A$ કામ $12$ દિવસમાં પૂર્ણ કરે છે,તેથી $A$ ની કાર્યક્ષમતા (દરરોજ થતું કામ) $= \frac{1}{12}$ એકમ/દિવસ.
$B$ એ $A$ કરતા $60\%$ વધુ કાર્યક્ષમ છે. તેથી,$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= A$ ની કાર્યક્ષમતા $+ A$ ની કાર્યક્ષમતાના $60\%$.
$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{12} + \left(\frac{60}{100} \times \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{12} + \left(\frac{3}{5} \times \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$.
$12$ અને $20$ નો લસાઅ $60$ લેતા,$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{5+3}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ એકમ/દિવસ.
$B$ દ્વારા કામ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ કામ}}{\text{B ની કાર્યક્ષમતા}} = \frac{1}{2/15} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ દિવસ.

(D) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના એક દિવસનું કામ અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે.
આપેલ છે કે:
$a + b = \frac{1}{12}$ .....$(1)$
$b + c = \frac{1}{15}$ .....$(2)$
$a = 2c$ .....$(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2c + b = \frac{1}{12}$ .....$(4)$
હવે,સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(2c + b) - (b + c) = \frac{1}{12} - \frac{1}{15}$
$c = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}$
હવે,$c$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$b + \frac{1}{60} = \frac{1}{15}$
$b = \frac{1}{15} - \frac{1}{60} = \frac{4 - 1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
તેથી,$B$ એકલો તે કામ $20$ દિવસમાં પૂરું કરશે.

(D) ધારો કે $1$ પુરુષ એક દિવસમાં $x$ ભાગનું કામ કરે છે અને $1$ સ્ત્રી એક દિવસમાં $y$ ભાગનું કામ કરે છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$4x + 6y = \frac{1}{8}$ ... $(1)$
$3x + 7y = \frac{1}{10}$ ... $(2)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$12x + 18y = \frac{3}{8}$
$12x + 28y = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા:
$10y = \frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{16 - 15}{40} = \frac{1}{40}$
$y = \frac{1}{400}$
આનો અર્થ એ છે કે $1$ સ્ત્રી $1$ દિવસમાં કામનો $\frac{1}{400}$ ભાગ પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,$20$ સ્ત્રીઓ $1$ દિવસમાં $20 \times \frac{1}{400} = \frac{1}{20}$ ભાગનું કામ પૂર્ણ કરશે.
આમ,$20$ સ્ત્રીઓ દ્વારા આખું કામ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $20$ દિવસ છે.