Profit and Loss Questions in Gujarati

(C) $500 \text{ m}$ વાયરની કુલ ખરીદ કિંમત $(C.P.)$ $= 500 \times 0.50 = ₹ 250$.
તેણે $50 \%$ વાયર વેચ્યો,જે $250 \text{ m}$ થાય. આ $250 \text{ m}$ ની ખરીદ કિંમત $250 \times 0.50 = ₹ 125$ છે.
આ $50 \%$ પર $5 \%$ નફો મળે છે,તેથી વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $= 125 \times 1.05 = ₹ 131.25$.
સમગ્ર વ્યવહાર પર $10 \%$ નફો મેળવવા માટે,કુલ વેચાણ કિંમત $250$ ના $110 \% = ₹ 275$ હોવી જોઈએ.
બાકીના $250 \text{ m}$ વાયર માટે જરૂરી વેચાણ કિંમત $= 275 - 131.25 = ₹ 143.75$.
બાકીના વાયર પર નફો $= 143.75 - 125 = ₹ 18.75$.
જરૂરી નફાની ટકાવારી $= (18.75 / 125) \times 100 = 15 \%$.

(A) ધારો કે કુલ ખરીદ કિંમત $(C.P)$ = $ 300$ છે.
વસ્તુનો $1/3$ ભાગ = $ 100$,જે $15 \%$ નુકસાન પર વેચાય છે.
તેથી,વેચાણ કિંમત = $100 \times (1 - 0.15) = 85$.
બાકીની વસ્તુઓનો $C.P$ = $ 200$ છે.
કુલ વ્યવહાર પર $10 \%$ નફો મેળવવા માટે,કુલ વેચાણ કિંમત = $300 \times 1.10 = 330$ હોવી જોઈએ.
બાકીની વસ્તુઓ માટે જરૂરી વેચાણ કિંમત = $330 - 85 = 245$.
નફાની ટકાવારી = $((245 - 200) / 200) \times 100 = (45 / 200) \times 100 = 22.5 \%$.
તેથી,બાકીની વસ્તુઓ $22 \frac{1}{2} \%$ ના નફા પર વેચવી જોઈએ.

(B) દરેક વસ્તુની ખરીદ કિંમત $(CP)$ = $Rs. 4000$.
બે વસ્તુઓની કુલ ખરીદ કિંમત = $4000 + 4000 = Rs. 8000$.
$12.5\%$ નફા સાથે પ્રથમ વસ્તુની વેચાણ કિંમત $(SP)$ = $4000 \times (1 + 0.125) = 4000 \times 1.125 = Rs. 4500$.
$20\%$ નુકસાન સાથે બીજી વસ્તુની વેચાણ કિંમત $(SP)$ = $4000 \times (1 - 0.20) = 4000 \times 0.80 = Rs. 3200$.
કુલ વેચાણ કિંમત = $4500 + 3200 = Rs. 7700$.
કુલ નુકસાન = કુલ ખરીદ કિંમત - કુલ વેચાણ કિંમત = $8000 - 7700 = Rs. 300$.
કુલ નુકસાનની ટકાવારી = $(\text{કુલ નુકસાન} / \text{કુલ ખરીદ કિંમત}) \times 100 = (300 / 8000) \times 100 = 3.75\%$.

(C) પગલું $1$: વસ્તુની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ શોધો.
આપેલ છે કે વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $Rs. 170$ છે અને નુકસાન $15\%$ છે.
$C.P. = \frac{S.P. \times 100}{100 - \text{Loss}\%} = \frac{170 \times 100}{100 - 15} = \frac{170 \times 100}{85} = Rs. 200$.
પગલું $2$: $20\%$ નફો મેળવવા માટે જરૂરી વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ શોધો.
જરૂરી $S.P. = C.P. \times \frac{100 + \text{Gain}\%}{100} = 200 \times \frac{100 + 20}{100} = 200 \times \frac{120}{100} = Rs. 240$.

(A) $80$ બોલપેનની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $= 140 \times \frac{100}{100 - 30} = 140 \times \frac{100}{70} = ₹ 200$ છે.
$30 \%$ નફો મેળવવા માટે,$80$ બોલપેનની જરૂરી વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $= 200 \times \frac{130}{100} = ₹ 260$ થાય.
આમ,$₹ 260$ માં $80$ બોલપેન વેચી શકાય છે,તેથી $₹ 104$ માં વેચવા માટેની બોલપેનની સંખ્યા:
બોલપેનની સંખ્યા $= \frac{80}{260} \times 104 = \frac{8}{26} \times 104 = 8 \times 4 = 32$ બોલપેન.

(A) ધારો કે $1$ વસ્તુની ખરીદ કિંમત $(C.P)$ $x$ છે.
તેથી,$50$ વસ્તુઓની $C.P = 50x$ થાય.
આપેલ છે કે $40$ વસ્તુઓની વેચાણ કિંમત $(S.P)$ $= 50x$.
તેથી,$1$ વસ્તુની $S.P = \frac{50x}{40} = 1.25x$ થાય.
અહીં $S.P > C.P$ હોવાથી,નફો થાય છે.
નફો $= S.P - C.P = 1.25x - x = 0.25x$.
નફાની ટકાવારી $= \left( \frac{\text{નફો}}{C.P} \right) \times 100 = \left( \frac{0.25x}{x} \right) \times 100 = 25 \%$.

(C) આપેલ છે કે નુકસાન $20 \%$ છે.
ધારો કે મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $100$ છે.
નુકસાન $20 \%$ હોવાથી,વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ એ $C.P. - 20 \% \text{ of } C.P. = 100 - 20 = 80$ થશે.
આપણે એવો અપૂર્ણાંક $x$ શોધવો છે કે જેથી $S.P. \times x = C.P.$
$80 \times x = 100$
$x = \frac{100}{80} = \frac{5}{4}$.
તેથી,મૂળ કિંમત મેળવવા માટે વેચાણ કિંમતને $\frac{5}{4}$ વડે ગુણવી પડે.

(B) ધારો કે $100 \, g$ ચોખાની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $₹ 100$ છે.
દુકાનદાર $10 \%$ નફા પર વેચે છે,તેથી $100 \, g$ માટે વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $₹ 110$ થાય.
જોકે,દુકાનદાર વાસ્તવિક માપ કરતા $30 \%$ ઓછું વજન વાપરે છે. તેથી,ખરેખર વેચાયેલ ચોખાનો જથ્થો $100 \, g - 30 \% \text{ of } 100 \, g = 70 \, g$ છે.
$70 \, g$ ચોખાની મૂળ કિંમત $₹ 70$ થાય.
દુકાનદાર આ $70 \, g$ ચોખા $₹ 110$ માં વેચે છે.
નફો = $S.P. - C.P. = 110 - 70 = ₹ 40$.
નફાની ટકાવારી = $\frac{\text{નફો}}{\text{મૂળ કિંમત}} \times 100 = \frac{40}{70} \times 100 = \frac{400}{7} = 57 \frac{1}{7} \%$.

(C) $4$ ડઝન ઈંડાની ખરીદ કિંમત $(C.P)$ $= 4 \times 24 = ₹ 96$.
$2$ ડઝન ઈંડાની ખરીદ કિંમત $(C.P)$ $= 2 \times 32 = ₹ 64$.
કુલ ખરીદ કિંમત $(C.P)$ $= 96 + 64 = ₹ 160$.
ઈંડાનો કુલ જથ્થો $= 4 + 2 = 6$ ડઝન.
$20\%$ નફો મેળવવા માટે,કુલ વેચાણ કિંમત $(S.P)$ એ કુલ ખરીદ કિંમતના $120\%$ હોવી જોઈએ.
કુલ વેચાણ કિંમત $(S.P)$ $= 160 \times \frac{120}{100} = ₹ 192$.
પ્રતિ ડઝન વેચાણ કિંમત $= \frac{192}{6} = ₹ 32$ પ્રતિ ડઝન.

(D) ધારો કે કાપડની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $x$ પ્રતિ મીટર છે.
આપેલ છે કે દુકાનદાર તેને $Rs. 9$ પ્રતિ મીટરના ભાવે વેચીને $10 \%$ નુકસાન કરે છે.
તેથી,$C.P.$ ના $90 \% = 9$.
$0.90 \times C.P. = 9 \Rightarrow C.P. = \frac{9}{0.90} = 10$.
કાપડની મૂળ કિંમત $Rs. 10$ પ્રતિ મીટર છે.
$15 \%$ નફો મેળવવા માટે,વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ એ $C.P.$ ના $115 \%$ હોવી જોઈએ.
$S.P. = 1.15 \times 10 = 11.5$.
તેથી,$15 \%$ નફો મેળવવા માટે કાપડને $Rs. 11.5$ પ્રતિ મીટરના ભાવે વેચવું જોઈએ.

(C) ધારો કે કમલે ખાધેલા સફરજનની સંખ્યા $x$ છે.
તેણે ખાધેલા સફરજન કરતા $40\%$ વધારે સફરજન વેચ્યા,જેનો અર્થ છે કે વેચાયેલા સફરજનની સંખ્યા $x + 0.40x = 1.4x$ છે.
આપેલ છે કે તેણે $70$ સફરજન વેચ્યા છે,તેથી આપણી પાસે સમીકરણ છે: $1.4x = 70$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{70}{1.4} = \frac{700}{14} = 50$.
તેથી,કમલે $50$ સફરજન ખાધા.

(B) ધારો કે $A$ નો નફો $A$ છે અને $B$ નો નફો $B$ છે.
આપેલ છે કે $A + B = 1650$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{1}{3} A = \frac{2}{5} B$.
આના પરથી,આપણે $A$ ને $B$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ: $A = \frac{2}{5} \times 3 \times B = \frac{6}{5} B$.
આ કિંમતને કુલ નફાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{6}{5} B + B = 1650$.
$\frac{6B + 5B}{5} = 1650$.
$\frac{11B}{5} = 1650$.
$B = \frac{1650 \times 5}{11}$.
$B = 150 \times 5 = 750$.
તેથી,$B$ નો નફો $Rs. 750$ છે.

(A) નફાનો ગુણોત્તર રોકાણ અને સમયગાળાના ગુણાકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અનિલનું રોકાણ $= Rs. 25,000$ જે $12$ મહિના માટે છે.
વિશાલનું રોકાણ $= Rs. 30,000$ જે $(12 - 3) = 9$ મહિના માટે છે.
નફાનો ગુણોત્તર (અનિલ : વિશાલ) $= (25,000 \times 12) : (30,000 \times 9)$.
$= 300,000 : 270,000 = 30 : 27 = 10 : 9$.
કુલ ગુણોત્તર ભાગ $= 10 + 9 = 19$.
નફામાં અનિલનો હિસ્સો $= \frac{10}{19} \times 19,000 = Rs. 10,000$.

(C) સાચો ગુણોત્તર $\frac{1}{5}: \frac{1}{4}: \frac{1}{8}$ છે. તેને સરળ બનાવવા માટે $5, 4, 8$ ના લ.સા.અ. $(40)$ વડે ગુણતા,ગુણોત્તર $8: 10: 5$ મળે છે. ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $8 + 10 + 5 = 23$ થાય છે.
સાચો હિસ્સો:
$A = \frac{8}{23} \times 391 = 136$
$B = \frac{10}{23} \times 391 = 170$
$C = \frac{5}{23} \times 391 = 85$
કૂકીઝને $5: 4: 8$ ના ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવી હતી. ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $5 + 4 + 8 = 17$ થાય છે.
નવો હિસ્સો:
$A = \frac{5}{17} \times 391 = 115$
$B = \frac{4}{17} \times 391 = 92$
$C = \frac{8}{17} \times 391 = 184$
ફાયદાની સરખામણી:
$A$ નો ફાયદો: $115 - 136 = -21$ (નુકસાન)
$B$ નો ફાયદો: $92 - 170 = -78$ (નુકસાન)
$C$ નો ફાયદો: $184 - 85 = 99$ (ફાયદો)
આમ,$C$ ને સૌથી વધુ $99$ કૂકીઝનો ફાયદો થયો.

(B) ધારો કે ખાંડનો કુલ જથ્થો $x \text{ kg}$ છે.
ખાંડના $5 \%$ વેચ્યા પછી,બાકી રહેલો જથ્થો કુલ જથ્થાના $(100 \% - 5 \%) = 95 \%$ છે.
આપેલ છે કે બાકી રહેલો જથ્થો $5 \text{ kg}$ છે.
તેથી,$x$ ના $95 \% = 5 \text{ kg}$.
$\frac{95}{100} \times x = 5$.
$x = \frac{5 \times 100}{95}$.
$x = \frac{500}{95} = \frac{100}{19} \text{ kg}$.
આને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $5 \frac{5}{19} \text{ kg}$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ વસ્તુની ખરીદ કિંમત $x$ છે અને બીજી વસ્તુની ખરીદ કિંમત $(520 - x)$ છે.
કુલ કોઈ નફો કે નુકસાન થતું ન હોવાથી,પ્રથમ વસ્તુ પરનો નફો એ બીજી વસ્તુ પરની ખોટ જેટલો જ છે.
પ્રથમ વસ્તુ પરનો નફો = $x$ ના $16\% = 0.16x$.
બીજી વસ્તુ પરની ખોટ = $(520 - x)$ ના $10\% = 0.10(520 - x)$.
બંનેને સરખાવતા: $0.16x = 0.10(520 - x)$.
$0.16x = 52 - 0.10x$.
$0.26x = 52$.
$x = 52 / 0.26 = 200$.
તેથી,પ્રથમ વસ્તુની ખરીદ કિંમત $Rs. 200$ છે અને બીજી વસ્તુની ખરીદ કિંમત $520 - 200 = Rs. 320$ છે.
બીજી વસ્તુ $10\%$ ની ખોટ સાથે વેચવામાં આવે છે.
બીજી વસ્તુની વેચાણ કિંમત = $320 - (320$ ના $10\%) = 320 - 32 = Rs. 288$.

(A) ધારો કે છાપેલી કિંમત $(M.P)$ $= Rs. 5000$ છે.
શ્રી $X$ એ વસ્તુ ડિસ્કાઉન્ટવાળી કિંમતે ખરીદી,જે તેમની મૂળ કિંમત $(C.P)$ બને છે.
તેમણે વસ્તુ $Rs. 5000$ માં વેચી,જે વેચાણ કિંમત $(S.P)$ છે.
નફાની ટકાવારી $11 \frac{1}{9} \% = \frac{100}{9} \% = \frac{1}{9}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Profit \% = \frac{S.P - C.P}{C.P} \times 100$.
આપેલ $Profit \% = \frac{1}{9}$ હોવાથી,$\frac{S.P}{C.P} - 1 = \frac{1}{9}$,તેથી $\frac{S.P}{C.P} = \frac{10}{9}$.
$S.P = 5000$ હોવાથી,$C.P = 5000 \times \frac{9}{10} = 4500$.
ડિસ્કાઉન્ટ $= M.P - C.P = 5000 - 4500 = 500$.
ડિસ્કાઉન્ટની ટકાવારી $= \frac{500}{5000} \times 100 = 10 \%$.
આમ,આપવામાં આવેલ ડિસ્કાઉન્ટ $10 \%$ હતું.

(C) ધારો કે ટેબલની ખરીદ કિંમત $T$ છે અને ખુરશીની ખરીદ કિંમત $C$ છે.
આપેલ છે કે કુલ ખરીદ કિંમત $T + C = 500$ ... $(I)$.
ટેબલ $10\%$ ના નુકસાન સાથે અને ખુરશી $10\%$ ના નફા સાથે વેચવામાં આવે છે,જેના પરિણામે કુલ $Rs. 10$ નો નફો થાય છે.
આને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $0.10C - 0.10T = 10$.
આખા સમીકરણને $0.10$ વડે ભાગતા,આપણને $C - T = 100$ મળે છે ... $(II)$.
સમીકરણ $(I)$ અને $(II)$ નો સરવાળો કરતા:
$(T + C) + (C - T) = 500 + 100$
$2C = 600$
$C = 300$.
આમ,ખુરશીની ખરીદ કિંમત $Rs. 300$ છે.

(B) ધારો કે પુસ્તકની છાપેલી કિંમત $(MP)$ $100$ છે.
આપેલ છે કે કમિશન $10 \%$ છે,તેથી પ્રકાશક માટે વેચાણ કિંમત $(SP_1)$ $100 - 10 = 90$ થશે.
પ્રકાશકને $20 \%$ નફો થાય છે,તેથી મૂળ કિંમત $(CP)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$CP = \frac{SP_1}{1 + \text{Gain} \%} = \frac{90}{1.20} = 75$.
હવે,જો કમિશન વધારીને $15 \%$ કરવામાં આવે,તો નવી વેચાણ કિંમત $(SP_2)$ $100 - 15 = 85$ થશે.
નવો નફો $SP_2 - CP = 85 - 75 = 10$ છે.
નવી નફાની ટકાવારી $\frac{\text{Gain}}{CP} \times 100 = \frac{10}{75} \times 100 = \frac{2}{15} \times 100 = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3} \%$ થશે.

(D) ધારો કે નારંગીની કુલ ખરીદ કિંમત $(C.P.)$ $₹ 1200$ છે.
કુલ જરૂરી નફો $10\%$ છે,તેથી કુલ વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $1200 + (1200 \text{ ના } 10\%) = 1200 + 120 = ₹ 1320$ હોવી જોઈએ.
$A$ એ $1/3$ નારંગી $20\%$ ના નુકસાન પર વેચી. $1/3$ નારંગીની ખરીદ કિંમત $1200 / 3 = ₹ 400$ છે.
આ $1/3$ ભાગની વેચાણ કિંમત $400 - (400 \text{ ના } 20\%) = 400 - 80 = ₹ 320$ છે.
બાકીની નારંગીની ખરીદ કિંમત $1200 - 400 = ₹ 800$ છે.
બાકીની નારંગી માટે જરૂરી વેચાણ કિંમત $1320 - 320 = ₹ 1000$ છે.
બાકીની નારંગી પર નફો $= 1000 - 800 = ₹ 200$ છે.
નફાની ટકાવારી $= (200 / 800) \times 100 = 25\%$.

(A) ધારો કે બોબની હાલની ઉંમર $B$ છે અને એબીની હાલની ઉંમર $A$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $B = A - 8$,જેનો અર્થ છે $A = B + 8$.
ચાર વર્ષ પછી,બોબની ઉંમર $B + 4$ થશે અને એબીની ઉંમર $A + 4$ થશે.
તેમની ઉંમરનો ગુણોત્તર $4:5$ હશે,તેથી: $\frac{B + 4}{A + 4} = \frac{4}{5}$.
સમીકરણમાં $A = B + 8$ મૂકતા: $\frac{B + 4}{(B + 8) + 4} = \frac{4}{5}$.
$\frac{B + 4}{B + 12} = \frac{4}{5}$.
ગુણાકાર કરતા: $5(B + 4) = 4(B + 12)$.
$5B + 20 = 4B + 48$.
$5B - 4B = 48 - 20$.
$B = 28$.
ગણતરી મુજબ બોબની હાલની ઉંમર $28$ વર્ષ છે.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 + 19x + 45 = 0$
$2x^2 + 10x + 9x + 45 = 0$
$2x(x + 5) + 9(x + 5) = 0$
$(2x + 9)(x + 5) = 0$
$x = -4.5$ અથવા $x = -5$
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^2 + 11y + 12 = 0$
$2y^2 + 8y + 3y + 12 = 0$
$2y(y + 4) + 3(y + 4) = 0$
$(2y + 3)(y + 4) = 0$
$y = -1.5$ અથવા $y = -4$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = -4.5, -5$
$y = -1.5, -4$
અહીં $x$ ની બંને કિંમતો $y$ ની બંને કિંમતો કરતા નાની છે (એટલે કે,$-5 < -4$ અને $-4.5 < -1.5$),તેથી $x < y$ સાચો જવાબ છે.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $3x^2 - 13x + 12 = 0$
$3x^2 - 9x - 4x + 12 = 0$
$3x(x - 3) - 4(x - 3) = 0$
$(3x - 4)(x - 3) = 0$
$x = 4/3 \approx 1.33$ અથવા $x = 3$
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^2 - 15y + 28 = 0$
$2y^2 - 8y - 7y + 28 = 0$
$2y(y - 4) - 7(y - 4) = 0$
$(2y - 7)(y - 4) = 0$
$y = 7/2 = 3.5$ અથવા $y = 4$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = 1.33, 3$
$y = 3.5, 4$
અહીં $1.33 < 3.5$,$1.33 < 4$,$3 < 3.5$,અને $3 < 4$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.

(D) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો: $x^{2} = 16$. બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x = 4$ અથવા $x = -4$ મળે છે.
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો: $2y^{2} - 17y + 36 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 2, b = -17, c = 36$.
$y = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^{2} - 4(2)(36)}}{2(2)}$
$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{4}$
$y = \frac{17 \pm 1}{4}$
તેથી,$y = \frac{18}{4} = 4.5$ અથવા $y = \frac{16}{4} = 4$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો:
$x = 4$ માટે,$y$ ની કિંમત $4$ અથવા $4.5$ હોઈ શકે છે. અહીં $x \leq y$ છે.
$x = -4$ માટે,$y$ ની કિંમત $4$ અથવા $4.5$ હોઈ શકે છે. અહીં $x < y$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \leq y$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $6x^2 + 19x + 15 = 0$
$6x^2 + 9x + 10x + 15 = 0$
$3x(2x + 3) + 5(2x + 3) = 0$
$(3x + 5)(2x + 3) = 0$
$x = -5/3 \approx -1.67$ અથવા $x = -3/2 = -1.5$
સમીકરણ $II$ માટે: $3y^2 + 11y + 10 = 0$
$3y^2 + 6y + 5y + 10 = 0$
$3y(y + 2) + 5(y + 2) = 0$
$(3y + 5)(y + 2) = 0$
$y = -5/3 \approx -1.67$ અથવા $y = -2$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = -1.5$ અને $y = -1.67$ હોય,તો $x > y$.
જો $x = -1.5$ અને $y = -2$ હોય,તો $x > y$.
જો $x = -1.67$ અને $y = -1.67$ હોય,તો $x = y$.
જો $x = -1.67$ અને $y = -2$ હોય,તો $x > y$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \geq y$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 - 11x + 15 = 0$
$2x^2 - 6x - 5x + 15 = 0$
$2x(x - 3) - 5(x - 3) = 0$
$(2x - 5)(x - 3) = 0$
તેથી,$x = 2.5$ અથવા $x = 3$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^2 - 11y + 14 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4(2)(14)}}{4}$
$y = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{4}$
$y = \frac{11 \pm 3}{4}$
તેથી,$y = 3.5$ અથવા $y = 2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 2.5$ હોય,તો $x < y$ (કારણ કે $y = 3.5$) અને $x > y$ (કારણ કે $y = 2$).
આમ,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ નક્કી કરી શકાતો નથી.

(D) ધારો કે છાપેલી કિંમત $100 ₹$ છે.
$100 ₹$ પર $10 \%$ નું પ્રથમ વળતર $10 ₹$ થાય,તેથી કિંમત $100 - 10 = 90 ₹$ થાય.
બીજું $20 \%$ વળતર બાકી રહેલી $90 ₹$ ની કિંમત પર આપવામાં આવે છે.
બીજું વળતર $= 90$ ના $20 \% = \frac{20}{100} \times 90 = 18 ₹$.
અંતિમ વેચાણ કિંમત $= 90 - 18 = 72 ₹$.
કુલ વળતર $= 100 - 72 = 28 ₹$.
તેથી,કુલ વળતરની ટકાવારી $\frac{28}{100} \times 100 = 28 \%$ થાય.

(C) છાપેલી કિંમત $(M.P.)$ = $Rs. 720$.
પ્રથમ વળતર = $10 \%$.
પ્રથમ વળતર પછીની કિંમત = $720 - (720 \text{ ના } 10 \%) = 720 - 72 = Rs. 648$.
ધારો કે બીજા વળતરનો દર $x \%$ છે.
વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ = $Rs. 550.80$.
બીજા વળતર પછીની કિંમત = $648 - (648 \text{ ના } x \%) = 550.80$.
$648 \times (1 - \frac{x}{100}) = 550.80$.
$1 - \frac{x}{100} = \frac{550.80}{648} = 0.85$.
$\frac{x}{100} = 1 - 0.85 = 0.15$.
$x = 15 \%$.
તેથી,બીજા વળતરનો દર $15 \%$ છે.

(C) ધારો કે છાપેલી કિંમત $M.P.$ છે.
આપેલ ક્રમિક વળતર $20 \%$ અને $15 \%$ છે.
વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$S.P. = M.P. \times (1 - \frac{20}{100}) \times (1 - \frac{15}{100})$
$3060 = M.P. \times (0.80) \times (0.85)$
$3060 = M.P. \times 0.68$
$M.P. = \frac{3060}{0.68}$
$M.P. = 4500$
તેથી,છાપેલી કિંમત $Rs. 4,500$ છે.

(B) આપેલ છે, વળતરની ટકાવારી $= 20 \%$.
વેચાણ કિંમત $(S.P.) = Rs. 300$.
ધારો કે છાપેલી કિંમત $M.P.$ છે.
$S.P. = M.P. \times (1 - \text{\text{વળતર }} \%)$ હોવાથી:
$300 = M.P. \times (1 - 0.20)$
$300 = M.P. \times 0.80$
$M.P. = \frac{300}{0.80} = Rs. 375$.
હવે, જો દુકાનદાર રમકડું $Rs. 405$ માં વેચે, તો નવી વેચાણ કિંમત $Rs. 405$ છે.
અહીં મૂળ કિંમત $Rs. 375$ ગણતા, નફો:
$\text{\text{નફો}} = 405 - 375 = Rs. 30$.
$\text{\text{નફાની ટકાવારી}} = \left( \frac{\text{નફો}}{\text{મૂળ કિંમત}} \right) \times 100 = \left( \frac{30}{375} \right) \times 100 = 8 \%$.

(C) ધારો કે દરેક ઘોડાની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $₹ S$ છે.
પ્રથમ ઘોડા માટે,નફો $10 \%$ છે,તેથી $C.P._1 = S / 1.10 = 10S / 11$.
બીજા ઘોડા માટે,નુકસાન $10 \%$ છે,તેથી $C.P._2 = S / 0.90 = 10S / 9$.
કુલ $C.P. = 10S/11 + 10S/9 = (90S + 110S) / 99 = 200S / 99$.
કુલ $S.P. = 2S = 198S / 99$.
અહીં કુલ $C.P. >$ કુલ $S.P.$ હોવાથી,નુકસાન થાય છે.
નુકસાન $= 200S/99 - 198S/99 = 2S/99$.
નુકસાનની ટકાવારી $= (\text{નુકસાન }/ \text{કુલ }C.P.) \times 100 = (2S/99) / (200S/99) \times 100 = (2/200) \times 100 = 1 \%$.
વૈકલ્પિક રીતે,જ્યારે વેચાણ કિંમત સમાન હોય અને $x \%$ નફો તથા $x \%$ નુકસાન હોય,ત્યારે હંમેશા $(x/10)^2 \% = (10/10)^2 \% = 1 \% \text{ નુકસાન}$ થાય છે.

(C) ધારો કે શરૂઆતની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $₹ 100$ છે.
શરૂઆતની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ મૂળ કિંમત કરતાં $33 \%$ વધારે નક્કી કરવામાં આવી છે,તેથી $S.P. = 100 + 33 = ₹ 133$.
જો ઉત્પાદન ખર્ચમાં $12 \%$ નો વધારો થાય,તો નવી મૂળ કિંમત $(C.P.')$ $100 + 12 = ₹ 112$ થાય છે.
ઉત્પાદક વેચાણ કિંમતમાં $10 \%$ નો વધારો કરે છે,તેથી નવી વેચાણ કિંમત $(S.P.')$ $133 + (133 \text{ ના } 10 \%) = 133 + 13.3 = ₹ 146.3$ થાય છે.
નવો નફો $S.P.' - C.P.' = 146.3 - 112 = ₹ 34.3$ છે.
નફાની ટકાવારી $\frac{\text{નફો}}{C.P.'} \times 100 = \frac{34.3}{112} \times 100 = \frac{3430}{112} = 30.625 \%$ છે.
$0.625$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $0.625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}$.
આમ,નફાની ટકાવારી $30 \frac{5}{8} \%$ છે.

(D) છાપેલી કિંમત $(M.P.)$ $= ₹ 12,600$.
પ્રથમ ડિસ્કાઉન્ટ $= 5 \%$.
પ્રથમ ડિસ્કાઉન્ટ પછીની કિંમત $= 12600 \times (1 - 0.05) = 12600 \times 0.95 = ₹ 11,970$.
બીજું ડિસ્કાઉન્ટ (રોકડ ચુકવણી માટે) $= 2 \%$.
અંતિમ વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $= 11970 \times (1 - 0.02) = 11970 \times 0.98$.
$S.P. = ₹ 11,730.60$.
તેથી,કરવાની થતી રોકડ ચુકવણી $₹ 11,730.60$ છે.

(D) ધારો કે દરેક લોટમાં ખરીદેલી નારંગીની સંખ્યા $3$ અને $5$ નો લસાઅ $(LCM)$ છે,જે $15$ છે.
પ્રથમ લોટની ખરીદ કિંમત $(CP)$ ($15$ નારંગી): $(40 / 3) \times 15 = ₹ 200$.
બીજા લોટની ખરીદ કિંમત $(CP)$ ($15$ નારંગી): $(60 / 5) \times 15 = ₹ 180$.
$30$ નારંગી માટે કુલ ખરીદ કિંમત $(CP)$: $200 + 180 = ₹ 380$.
$30$ નારંગીની વેચાણ કિંમત $(SP)$: $(50 / 3) \times 30 = ₹ 500$.
નફો = $SP - CP = 500 - 380 = ₹ 120$.
નફાની ટકાવારી = $(\text{નફો} / CP) \times 100 = (120 / 380) \times 100 = (12 / 38) \times 100 \approx 31.57 \%$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડિંગ કરતા,નફો $32 \%$ થાય છે.

(C) ધારો કે ઉત્પાદન ખર્ચ $(C.P.)$ $₹ 100$ છે.
વેપારીએ કિંમત ઉત્પાદન ખર્ચ કરતા $40 \%$ વધારે નક્કી કરી હોવાથી,છાપેલી કિંમત $(M.P.)$ $100 + 40 = ₹ 140$ થશે.
તે છાપેલી કિંમત પર $20 \%$ ડિસ્કાઉન્ટ આપે છે,તેથી વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $140 \times (1 - 0.20) = 140 \times 0.80 = ₹ 112$ થશે.
નફો $S.P. - C.P. = 112 - 100 = ₹ 12$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
જો નફો $₹ 12$ હોય,તો $C.P.$ $₹ 100$ છે.
જો નફો $₹ 48$ હોય,તો $C.P.$ $\frac{100}{12} \times 48 = ₹ 400$ થશે.

(B) ધારો કે ચોખાની મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $x$ પ્રતિ $kg$ છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $Rs. 54$ પ્રતિ $kg$ ના ભાવે વેચવામાં આવે ત્યારે $10 \%$ નુકસાન થાય છે.
તેથી,$C.P.$ ના $90 \% = 54$.
$0.90 \times C.P. = 54$.
$C.P. = \frac{54}{0.90} = 60$.
હવે,$20 \%$ નફો મેળવવા માટે,વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ એ $C.P.$ ના $120 \%$ હોવી જોઈએ.
$S.P. = 1.20 \times 60 = 72$.
તેથી,$20 \%$ નફો મેળવવા માટે ચોખાની પ્રતિ $kg$ કિંમત $Rs. 72$ થશે.

(A) ધારો કે મૂળ કિંમત $(CP)$ $= x$ છે.
પ્રારંભિક વેચાણ કિંમત $(SP_1)$ $= x + 0.05x = 1.05x = \frac{21x}{20}$.
નવી મૂળ કિંમત $(CP_2)$ $= x - 0.05x = 0.95x = \frac{19x}{20}$.
નવી વેચાણ કિંમત $(SP_2)$ $= CP_2 + CP_2$ ના $10\% = 1.10 \times \frac{19x}{20} = \frac{1.10 \times 19x}{20} = \frac{20.9x}{20} = \frac{209x}{200}$.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને વેચાણ કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત $Rs. 2$ છે:
$SP_1 - SP_2 = 2$
$\frac{21x}{20} - \frac{209x}{200} = 2$
છેદ દૂર કરવા માટે $200$ વડે ગુણતા:
$210x - 209x = 400$
$x = 400$.
તેથી,વસ્તુની મૂળ કિંમત $Rs. 400$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ કિંમત $(CP)$ $₹ 100$ છે.
નફો $25 \%$ હોવાથી,છાપેલી કિંમત $(MP)$ $100 + 25 = ₹ 125$ થશે.
વળતર આપ્યા પછી,નવો નફો $12\frac{1}{2} \% = 12.5 \%$ થાય છે.
તેથી,નવી વેચાણ કિંમત $(SP)$ $100 + 12.5 = ₹ 112.5$ થશે.
વળતરની રકમ $MP - SP = 125 - 112.5 = ₹ 12.5$ છે.
વળતરની ટકાવારી છાપેલી કિંમત પર ગણવામાં આવે છે:
વળતર $\% = (\text{વળતર} / MP) \times 100$
વળતર $\% = (12.5 / 125) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$.

(B) ધારો કે મૂળ કિંમત $(C.P.)$ $₹ 100$ છે.
દુકાનદાર $17 \%$ નફો મેળવે છે,તેથી વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ $₹ 117$ થાય.
ધારો કે છાપેલી કિંમત $M.P.$ છે. છાપેલી કિંમત પર $10 \%$ વળતર આપવામાં આવે છે,તેથી:
$S.P. = M.P. \times (1 - \frac{10}{100}) = M.P. \times 0.9$
$117 = M.P. \times 0.9$
$M.P. = \frac{117}{0.9} = ₹ 130$.
જો વસ્તુને કોઈ પણ વળતર આપ્યા વગર છાપેલી કિંમતે વેચવામાં આવે,તો નવી વેચાણ કિંમત $₹ 130$ થશે.
નફો $= S.P. - C.P. = 130 - 100 = ₹ 30$.
નફાની ટકાવારી $= (\frac{\text{નફો}}{C.P.}) \times 100 = (\frac{30}{100}) \times 100 = 30 \%$.

(B) એક પુસ્તકની છાપેલી કિંમત $= ₹ 100$.
ત્રણ પુસ્તકોની કુલ છાપેલી કિંમત $= 3 \times 100 = ₹ 300$.
ત્રણ પુસ્તકોની વેચાણ કિંમત $= ₹ 274.50$.
કુલ વળતર $= 300 - 274.50 = ₹ 25.50$.
વળતરનો દર $\%$ માં $= \left( \frac{\text{કુલ વળતર}}{\text{કુલ છાપેલી કિંમત}} \right) \times 100$.
વળતરનો દર $\%$ માં $= \left( \frac{25.50}{300} \right) \times 100 = \frac{25.50}{3} = 8.5 \%$.
તેથી,વળતરનો દર $8.5 \%$ છે.

(D) ધારો કે વસ્તુની મૂળ કિંમત $(CP)$ $₹ 100$ છે.
છાપેલી કિંમત $(MP)$ મૂળ કિંમત કરતા $40 \%$ વધારે હોવાથી,$MP = 100 + 40 = ₹ 140$ થાય.
$12 \%$ નફો મેળવવા માટે,વેચાણ કિંમત $(SP)$ $CP + 12 \% \text{ of } CP = 100 + 12 = ₹ 112$ હોવી જોઈએ.
વળતર એ છાપેલી કિંમત અને વેચાણ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે: $Discount = MP - SP = 140 - 112 = ₹ 28$.
વળતરના ટકા છાપેલી કિંમત પર ગણવામાં આવે છે: $\text{Discount } \% = (\frac{Discount}{MP}) \times 100$.
$\text{Discount } \% = (\frac{28}{140}) \times 100 = 0.2 \times 100 = 20 \%$.

(A) ધારો કે $1$ પુસ્તકની ખરીદ કિંમત $(C.P.)$ $x$ છે.
તેથી,$100$ પુસ્તકોની ખરીદ કિંમત $= 100x$ થાય.
આપેલ છે કે $100$ પુસ્તકોની ખરીદ કિંમત એ $60$ પુસ્તકોની વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ જેટલી છે.
તેથી,$60$ પુસ્તકોની વેચાણ કિંમત $= 100x$ થાય.
$1$ પુસ્તકની વેચાણ કિંમત $= \frac{100x}{60} = \frac{5x}{3}$ થાય.
અહીં $S.P. > C.P.$ હોવાથી,નફો થાય છે.
નફો $= S.P. - C.P. = \frac{5x}{3} - x = \frac{2x}{3}$ થાય.
નફાની ટકાવારી $= \frac{\text{નફો}}{C.P.} \times 100 = \frac{2x/3}{x} \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = 66 \frac{2}{3} \%$.

(D) ધારો કે મૂળ કિંમત $(CP)$ $₹ 100$ છે.
નફો $20 \%$ હોવાથી,વેચાણ કિંમત $(SP_1)$ $₹ 120$ થશે.
આપેલ છે કે વળતર $(D_1)$ $10 \%$ છે,તેથી $SP_1 = MP \times (1 - 0.10)$,જ્યાં $MP$ એ છાપેલી કિંમત છે.
$120 = MP \times 0.90 \implies MP = \frac{120}{0.90} = ₹ \frac{400}{3}$.
હવે,જો વળતર $(D_2)$ વધારીને $20 \%$ કરવામાં આવે,તો નવી વેચાણ કિંમત $(SP_2)$:
$SP_2 = MP \times (1 - 0.20) = \frac{400}{3} \times 0.80 = \frac{400}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{320}{3} = ₹ 106.66...$
નફો = $SP_2 - CP = 106.66 - 100 = ₹ 6.66...$
નફાની ટકાવારી = $\frac{6.66...}{100} \times 100 = 6.66... \% = 6 \frac{2}{3} \%$.

(B) વસ્તુની છાપેલી કિંમત $(M.P.)$ $Rs. 100$ છે。
પ્રથમ,$10\%$ અને $20\%$ ના ક્રમિક વળતર પછીની અસરકારક ખરીદ કિંમત શોધો:
$\text{ખરીદ કિંમત} = 100 \times (1 - 0.10) \times (1 - 0.20) = 100 \times 0.90 \times 0.80 = Rs. 72$.
વેપારી પરિવહન પાછળ આ ખરીદ કિંમતના $10\%$ ખર્ચે છે:
$\text{પરિવહન ખર્ચ} = 10\% \text{ ના } 72 = 0.10 \times 72 = Rs. 7.20$.
કુલ ખરીદ કિંમત $(C.P.)$ એ ખરીદ કિંમત અને પરિવહન ખર્ચનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ } C.P. = 72 + 7.20 = Rs. 79.20$.
$15\%$ નફો મેળવવા માટે,વેચાણ કિંમત $(S.P.)$ નીચે મુજબ હોવી જોઈએ:
$S.P. = \text{કુલ } C.P. \times (1 + 0.15) = 79.20 \times 1.15 = Rs. 91.08$.

(B) આપેલ છે,મૂળ કિંમત $(CP) = ₹ 600$.
ઇચ્છિત નફાની ટકાવારી $= 20 \%$.
$20 \%$ નફો મેળવવા માટે જરૂરી વેચાણ કિંમત $(SP) = CP + (CP \text{ ના } 20 \%) = 600 + (0.20 \times 600) = 600 + 120 = ₹ 720$.
ધારો કે છાપેલી કિંમત $(MP) = x$ છે.
દુકાનદાર $MP$ પર $10 \%$ વળતર આપે છે,તેથી વેચાણ કિંમત એ $MP$ ના $90 \%$ થાય.
$0.90 \times x = 720$.
$x = \frac{720}{0.90} = \frac{7200}{9} = ₹ 800$.
તેથી,છાપેલી કિંમત $₹ 800$ હોવી જોઈએ.

(D) ધારો કે સાયકલની મૂળ કિંમત $(CP)$ $₹ x$ છે.
$10 \%$ ના નફા પર વેચાણ કિંમત $(SP_1)$ $SP_1 = x \times (1 + 0.10) = 1.1x$ થશે.
જો વેપારીએ સાયકલ $10 \%$ ઓછી કિંમતે ખરીદી હોત,તો નવી મૂળ કિંમત $(CP_2)$ $CP_2 = x \times (1 - 0.10) = 0.9x$ થાત.
જો તેણે તેને મૂળ વેચાણ કિંમત કરતા $Rs. 60$ વધુમાં વેચી હોત,તો નવી વેચાણ કિંમત $(SP_2)$ $SP_2 = 1.1x + 60$ થાત.
આ સ્થિતિમાં $25 \%$ નફો મળે છે,તેથી $SP_2 = CP_2 \times (1 + 0.25) = 0.9x \times 1.25$ થાય.
$SP_2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1.1x + 60 = 0.9x \times 1.25$
$1.1x + 60 = 1.125x$
$1.125x - 1.1x = 60$
$0.025x = 60$
$x = \frac{60}{0.025} = \frac{60000}{25} = 2400$.
તેથી,સાયકલની મૂળ કિંમત $₹ 2400$ હતી.

(D) ધારો કે છાપેલી કિંમત $(M.P.)$ $x$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$40\%$ અને $30\%$ ના ક્રમિક વળતર:
અસરકારક વળતર $= 40 + 30 - \frac{40 \times 30}{100} = 70 - 12 = 58\%$.
વેચાણ કિંમત $(S.P._1)$ $= x$ ના $(100 - 58)\% = 0.42x$.
બીજા કિસ્સામાં,$45\%$ અને $20\%$ ના ક્રમિક વળતર:
અસરકારક વળતર $= 45 + 20 - \frac{45 \times 20}{100} = 65 - 9 = 56\%$.
વેચાણ કિંમત $(S.P._2)$ $= x$ ના $(100 - 56)\% = 0.44x$.
વેચાણ કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત $Rs. 12$ આપેલ છે:
$0.44x - 0.42x = 12$
$0.02x = 12$
$x = \frac{12}{0.02} = 600$.
આમ,વસ્તુની છાપેલી કિંમત $Rs. 600$ છે.

(D) ધારો કે છાપેલી કિંમત $(MP)$ $100$ છે.
$10 \%$ ના વળતર પછી,કિંમત $100 \times (1 - 0.10) = 90$ થાય છે.
ત્યારબાદ $20 \%$ ના વળતર પછી,કિંમત $90 \times (1 - 0.20) = 90 \times 0.8 = 72$ થાય છે.
છેલ્લે $25 \%$ ના વળતર પછી,કિંમત $72 \times (1 - 0.25) = 72 \times 0.75 = 54$ થાય છે.
અંતિમ વેચાણ કિંમત $54$ છે.
તેથી,સમતુલ્ય એકલ વળતર $(100 - 54) \% = 46 \%$ થાય.

(A) ધારો કે $1$ પુસ્તકની ખરીદ કિંમત $x$ છે.
તેથી,$100$ પુસ્તકોની ખરીદ કિંમત $= 100x$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$60$ પુસ્તકોની વેચાણ કિંમત $= 100x$ છે.
તેથી,$1$ પુસ્તકની વેચાણ કિંમત $= \frac{100x}{60} = \frac{5x}{3}$ થાય.
અહીં વેચાણ કિંમત એ ખરીદ કિંમત કરતા વધારે હોવાથી નફો થાય છે.
નફો $= \text{વેચાણ કિંમત} - \text{ખરીદ કિંમત} = \frac{5x}{3} - x = \frac{2x}{3}$.
નફાની ટકાવારી $= \left( \frac{\text{નફો}}{\text{ખરીદ કિંમત}} \times 100 \right) \%$.
નફાની ટકાવારી $= \left( \frac{2x/3}{x} \times 100 \right) \% = \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3} = 66 \frac{2}{3} \%$.

(D) છાપેલી કિંમત $(M.P.) = ₹ 975$
વેચાણ કિંમત $(S.P.) = ₹ 897$
વળતર $= M.P. - S.P. = 975 - 897 = ₹ 78$
વળતરની ટકાવારી $= (\frac{\text{વળતર}}{M.P.}) \times 100$
$= (\frac{78}{975}) \times 100$
$= 0.08 \times 100 = 8\%$