Number Series Questions in Gujarati

(D) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ: $7, 9, 17, 42, 91, 172, 293$.
$9 - 7 = 2$
$17 - 9 = 8$
$42 - 17 = 25$
$91 - 42 = 49$
$172 - 91 = 81$
$293 - 172 = 121$
તફાવતો $2, 8, 25, 49, 81, 121$ છે. આપણે જોઈએ છીએ કે $49 = 7^2$,$81 = 9^2$,અને $121 = 11^2$. તફાવતોની પેટર્ન એકી સંખ્યાઓના વર્ગ હોવી જોઈએ: $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, 9^2, 11^2$,જે $1, 9, 25, 49, 81, 121$ છે. જો પ્રથમ પદ $7$ ને બદલે $8$ હોય,તો તફાવતોની શ્રેણી સાચી બને છે. તેથી,$9$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(B) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ: $8, 14, 26, 48, 98, 194, 386$.
$14 = (8 \times 2) - 2 = 16 - 2 = 14$.
$26 = (14 \times 2) - 2 = 28 - 2 = 26$.
$50 = (26 \times 2) - 2 = 52 - 2 = 50$.
$98 = (50 \times 2) - 2 = 100 - 2 = 98$.
$194 = (98 \times 2) - 2 = 196 - 2 = 194$.
$386 = (194 \times 2) - 2 = 388 - 2 = 386$.
આપેલી શ્રેણીમાં,$48$ એ પેટર્ન $(x_{n} = 2x_{n-1} - 2)$ ને અનુસરતું નથી. જો આપણે $48$ ને $50$ વડે બદલીએ,તો શ્રેણી સુસંગત બને છે. આમ,$48$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે. પ્રશ્નમાં અસંગત સંખ્યા ઓળખવાનું કહ્યું છે અને તેને બદલવા માટે વિકલ્પમાં $50$ આપેલ છે,તેથી વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(B) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$95 - 86 = 9$
$86 - 73 = 13$
$73 - 62 = 11$
$62 - 47 = 15$
$47 - 30 = 17$
$30 - 11 = 19$
તફાવતની પેટર્ન જોતા: $9, 13, 11, 15, 17, 19$ મળે છે.
જો આપણે $73$ ને $75$ વડે બદલીએ,તો શ્રેણી $95, 86, 75, 62, 47, 30, 11$ બને છે.
નવા તફાવત આ મુજબ છે:
$95 - 86 = 9$
$86 - 75 = 11$
$75 - 62 = 13$
$62 - 47 = 15$
$47 - 30 = 17$
$30 - 11 = 19$
હવે તફાવત $9, 11, 13, 15, 17, 19$ ના ક્રમમાં છે,જે એક સુસંગત પેટર્ન દર્શાવે છે.
આમ,$73$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ચાલો આપેલી શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$7 \times 2 = 14$
$14 \times 4 = 56$
$56 \times 3 = 168$
$168 \times 2 = 336$
$336 \times 4 = 1344$
$1344 \times 3 = 4032$
$4032 \times 2 = 8064$
આ પેટર્ન $\times 2, \times 4, \times 3, \times 2, \times 4, \times 3, \times 2$ ના ગુણાકારના ક્રમને અનુસરે છે.
આપેલી શ્રેણીમાં,પદ $2688$ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $4032$ હોવું જોઈએ.
તેથી,શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા $2688$ છે અને તેના સ્થાને આવતી સાચી સંખ્યા $4032$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $11, 15, 17, 19, 23, 25$ છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $11, 13, 17, 19, 23$ એ ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આપેલી શ્રેણીમાં,$15$ અને $25$ એ વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,જ્યારે $11, 17, 19, 23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
જો આપણે $11$ થી શરૂ થતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની પેટર્ન જોઈએ,તો શ્રેણી $11, 13, 17, 19, 23, 29$ હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$15$ એ સૌથી અલગ સંખ્યા છે કારણ કે તે ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણીને તોડે છે.
તેથી,$15$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(B) આપેલ શ્રેણીની સંખ્યાઓ દ્વારા અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$9 = 8 \times 1 + 1$
$65 = 7 \times 9 + 2$
$393 = 6 \times 65 + 3$
બીજી હરોળ માટે પણ સમાન તર્ક અનુસરતા:
$(a) = 8 \times 2 + 1 = 17$
$(b) = 7 \times 17 + 2 = 121$
$(c) = 6 \times 121 + 3 = 729$
$(d) = 5 \times 729 + 4 = 3649$
$(e) = 4 \times 3649 + 5 = 14601$
તેથી,$(c)$ ની જગ્યાએ $729$ આવશે.

(A) પ્રથમ હરોળમાં તર્ક નીચે મુજબ છે:
$616 - 496 = 120 = 12 \times 10$
$496 - 397 = 99 = 11 \times 9$
$397 - 317 = 80 = 10 \times 8$
$317 - 254 = 63 = 9 \times 7$
બીજી હરોળ માટે સમાન તર્ક અનુસરતા:
$(A) = 838 - 120 = 718$
$(B) = 718 - 99 = 619$
$(C) = 619 - 80 = 539$
$(D) = 539 - 63 = 476$
$(E) = 476 - (8 \times 6) = 476 - 48 = 428$

(D) આ શ્રેણી ઉપરની હરોળના ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતને અનુસરે છે:
$434 - 353 = 81 = 9^2$
$353 - 417 = -64 = -8^2$
$417 - 368 = 49 = 7^2$
$368 - 404 = -36 = -6^2$
$404 - 379 = 25 = 5^2$
તે જ તર્ક નીચેની હરોળમાં લાગુ પાડતા:
$108 - (A) = 9^2 = 81 \Rightarrow (A) = 108 - 81 = 27$
$27 - (B) = -8^2 = -64 \Rightarrow (B) = 27 + 64 = 91$
$91 - (C) = 7^2 = 49 \Rightarrow (C) = 91 - 49 = 42$
$42 - (D) = -6^2 = -36 \Rightarrow (D) = 42 + 36 = 78$
$78 - (E) = 5^2 = 25 \Rightarrow (E) = 78 - 25 = 53$
આમ,$(E)$ ની કિંમત $53$ છે.

(D) પ્રથમ હરોળમાં અનુસરવામાં આવેલ તર્ક છે: $x_{n} = 2 \times x_{n-1} + 8 \times (n-1)$,જ્યાં $n$ એ $2$ થી શરૂ થતો સ્થાન સૂચક છે.
બીજી હરોળ માટે,આપણે $124$ થી શરૂઆત કરીએ છીએ અને સમાન તર્ક લાગુ કરીએ છીએ:
$(A) = 2 \times 124 + 8 \times 1 = 248 + 8 = 256$
$(B) = 2 \times 256 + 8 \times 2 = 512 + 16 = 528$
$(C) = 2 \times 528 + 8 \times 3 = 1056 + 24 = 1080$
$(D) = 2 \times 1080 + 8 \times 4 = 2160 + 32 = 2192$
$(E) = 2 \times 2192 + 8 \times 5 = 4384 + 40 = 4424$
તેથી,$(C)$ પરની કિંમત $1080$ છે.

(B) પ્રથમ હરોળમાં આપેલી સંખ્યાઓ દ્વારા અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$9 = (8 \times 1) + 1$
$65 = (7 \times 9) + 2$
$393 = (6 \times 65) + 3$
તે જ પેટર્ન બીજી હરોળમાં લાગુ પાડતા:
$(A) = (8 \times 2) + 1 = 17$
$(B) = (7 \times 17) + 2 = 119 + 2 = 121$
$(C) = (6 \times 121) + 3 = 726 + 3 = 729$
આમ,$(C)$ ની જગ્યાએ $729$ સંખ્યા આવશે.

(B) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન આ મુજબ છે: $x_{n+1} = \frac{x_n - 8}{2}$.
પ્રથમ હરોળ તપાસતા:
$420 = (848 - 8) / 2$
$206 = (420 - 8) / 2$
$99 = (206 - 8) / 2$
$45.5 = (99 - 8) / 2$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ બીજી હરોળમાં $664$ થી શરૂ કરીને કરતા:
$(A) = (664 - 8) / 2 = 328$
$(B) = (328 - 8) / 2 = 160$
$(C) = (160 - 8) / 2 = 76$
$(D) = (76 - 8) / 2 = 34$
આમ,$(D)$ ની કિંમત $34$ છે.

(C) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન આ મુજબ છે:
$8 \times 1 = 8$
$8 \times 1.5 = 12$
$12 \times 2 = 24$
$24 \times 2.5 = 60$
$60 \times 3 = 180$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળમાં $36$ થી શરૂઆત કરીએ:
$(A) = 36 \times 1 = 36$
$(B) = 36 \times 1.5 = 54$
$(C) = 54 \times 2 = 108$
$(D) = 108 \times 2.5 = 270$
$(E) = 270 \times 3 = 810$

(D) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$14 = 1 \times 6 + 8$
$35 = 2 \times 14 + 7$
$111 = 3 \times 35 + 6$
$449 = 4 \times 111 + 5$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ બીજી હરોળ માટે કરતા:
$(A) = 1 \times 3 + 8 = 11$
$(B) = 2 \times 11 + 7 = 29$
$(C) = 3 \times 29 + 6 = 93$
$(D) = 4 \times 93 + 5 = 377$
$(E) = 5 \times 377 + 4 = 1889$
તેથી,$(B)$ ની જગ્યાએ $29$ આવશે.

(C) પ્રથમ હરોળમાં રહેલી પેટર્ન આ મુજબ છે:
$49 = (8 \times 7) - 7$
$288 = (49 \times 6) - 6$
$1435 = (288 \times 5) - 5$
$5736 = (1435 \times 4) - 4$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળમાં $5$ થી શરૂઆત કરતા:
$(A) = (5 \times 7) - 7 = 35 - 7 = 28$
$(B) = (28 \times 6) - 6 = 168 - 6 = 162$
$(C) = (162 \times 5) - 5 = 810 - 5 = 805$
$(D) = (805 \times 4) - 4 = 3220 - 4 = 3216$
$(E) = (3216 \times 3) - 3 = 9648 - 3 = 9645$

(C) આપેલ શ્રેણી $A = \frac{1}{0.4} + \frac{1}{0.04} + \frac{1}{0.004} + \dots$ $8$ પદો સુધી છે.
આપણે પદોને આ રીતે લખી શકીએ:
$A = 2.5 + 25 + 250 + 2500 + \dots$ $8$ પદો સુધી.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2.5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 10$ છે.
$GP$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$,$a = 2.5$,અને $r = 10$ છે.
$A = \frac{2.5(10^8 - 1)}{10 - 1} = \frac{2.5(100000000 - 1)}{9} = \frac{2.5 \times 99999999}{9}$.
$A = 2.5 \times 11111111 = 27777777.5$.

(C) પ્રથમ $111$ પૂર્ણ સંખ્યાઓ $0, 1, 2, \dots, 110$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 0$,છેલ્લું પદ $l = 110$ અને પદોની સંખ્યા $n = 111$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{111} = \frac{111}{2}(0 + 110)$.
$S_{111} = \frac{111}{2} \times 110$.
$S_{111} = 111 \times 55$.
$S_{111} = 6105$.
$6105$ નો એકમનો અંક $5$ છે.

(B) આ શ્રેણીમાં $20$ પદો છે,જેને બે અલગ શ્રેણીઓમાં વહેંચી શકાય છે,જેમાં દરેકના $10$ પદો છે.
ધારો કે $S = S_1 + S_2$,જ્યાં $S_1 = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$ અને $S_2 = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$.
$S_1$ માટે,સામાન્ય પદ $a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{4} [\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}]$ છે.
$S_1$ નો $n=1$ થી $10$ સુધીનો સરવાળો: $S_1 = \frac{1}{4} [(\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{3 \times 5}) + (\frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{5 \times 7}) + \dots + (\frac{1}{19 \times 21} - \frac{1}{21 \times 23})] = \frac{1}{4} [\frac{1}{3} - \frac{1}{483}] = \frac{1}{4} [\frac{161-1}{483}] = \frac{160}{4 \times 483} = \frac{40}{483}$.
$S_2$ માટે,સામાન્ય પદ $b_n = \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} [\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}]$ છે.
$S_2$ નો $n=1$ થી $10$ સુધીનો સરવાળો: $S_2 = \frac{1}{3} [(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{28} - \frac{1}{31})] = \frac{1}{3} [1 - \frac{1}{31}] = \frac{1}{3} [\frac{30}{31}] = \frac{10}{31}$.
કુલ સરવાળો $S = S_1 + S_2 = \frac{40}{483} + \frac{10}{31} = \frac{40 \times 31 + 10 \times 483}{483 \times 31} = \frac{1240 + 4830}{14973} = \frac{6070}{14973}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $14^{3} + 16^{3} + 18^{3} + \ldots + 30^{3}$ છે.
આને $\sum_{k=7}^{15} (2k)^{3} = 8 \sum_{k=7}^{15} k^{3}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઘનનો સરવાળો કરવા માટેનું સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^{2}$ છે.
આપણે $8 [(\sum_{k=1}^{15} k^{3}) - (\sum_{k=1}^{6} k^{3})]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\sum_{k=1}^{15} k^{3} = [\frac{15 \times 16}{2}]^{2} = (120)^{2} = 14400$.
$\sum_{k=1}^{6} k^{3} = [\frac{6 \times 7}{2}]^{2} = (21)^{2} = 441$.
સરવાળો $= 8 \times (14400 - 441) = 8 \times 13959 = 111672$.

(NONE) આપેલ છે:
પ્રથમ પદ $(a)$ = $20$
અંતિમ પદ $(l)$ = $28$
પદોની સંખ્યા $(n)$ = $17$
જ્યારે પ્રથમ અને અંતિમ પદ આપેલ હોય ત્યારે સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર:
$S_n = \frac{n}{2} (a + l)$
કિંમતો મૂકતા:
$S_{17} = \frac{17}{2} (20 + 28)$
$S_{17} = \frac{17}{2} (48)$
$S_{17} = 17 \times 24$
$S_{17} = 408$

(D) આપેલ છે:
પ્રથમ પદ $(a)$ = $7$
અંતિમ પદ $(l)$ = $55$
પદોની સંખ્યા $(n)$ = $9$
જ્યારે પ્રથમ અને અંતિમ પદ આપેલ હોય ત્યારે સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$S_9 = \frac{9}{2}(7 + 55)$
$S_9 = \frac{9}{2}(62)$
$S_9 = 9 \times 31$
$S_9 = 279$

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = -10$,અંતિમ પદ $l = 26$,અને પદોની સંખ્યા $n = 13$.
જ્યારે પ્રથમ અને અંતિમ પદ આપેલ હોય ત્યારે સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$S_{13} = \frac{13}{2}(-10 + 26)$
$S_{13} = \frac{13}{2}(16)$
$S_{13} = 13 \times 8$
$S_{13} = 104$.
તેથી,પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો $104$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. સમાંતર શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $t_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
$t_3 = a + 2d = -9$ --- (સમીકરણ $1$)
$t_7 = a + 6d = 11$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 11 - (-9)$
$4d = 20$
$d = 5$
$d = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 2(5) = -9$
$a + 10 = -9$
$a = -19$
હવે,$15^{th}$ પદ $(t_{15})$ શોધતા:
$t_{15} = a + 14d$
$t_{15} = -19 + 14(5)$
$t_{15} = -19 + 70$
$t_{15} = 51$

(A) આપેલી શ્રેણી $3, 7, 16, 35, 70, 153$ છે.
ચાલો પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$3 \times 2 + 1 = 7$
$7 \times 2 + 2 = 16$
$16 \times 2 + 3 = 35$
$35 \times 2 + 4 = 74$
$74 \times 2 + 5 = 153$
આ પેટર્ન સાથે સરખાવતા,પદ $70$ ખોટું છે કારણ કે પેટર્ન મુજબ ત્યાં $74$ હોવું જોઈએ.
તેથી,ખોટી સંખ્યા $70$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી બે અલગ-અલગ શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે.
શ્રેણી $1$: $123, 106, 89, \dots$
તર્ક: $123 - 17 = 106$,$106 - 17 = 89$.
શ્રેણી $2$: $140, 157, ?$
તર્ક: $140 + 17 = 157$,$157 + 17 = 174$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $174$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણીમાં તર્ક એ છે કે દરેક પદ અગાઉના પદને $2$ વડે ભાગીને તેમાંથી $1$ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$190 \div 2 - 1 = 95 - 1 = 94$
$94 \div 2 - 1 = 47 - 1 = 46$
$46 \div 2 - 1 = 23 - 1 = 22$
$22 \div 2 - 1 = 11 - 1 = 10$
ચકાસણી માટે,$10 \div 2 - 1 = 5 - 1 = 4$,જે છેલ્લું પદ છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $10$ છે.

(B) આ શ્રેણીમાં $6 \times n$ ની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ તફાવતોની શ્રેણી છે.
$320 - 6 \times 0 = 320$
$320 - 6 \times 1 = 314$
$314 - 6 \times 4 = 290$
$290 - 6 \times 10 = 230$
ગુણકોની શ્રેણી $0, 1, 4, 10, 20$ છે. આ ગુણકો વચ્ચેનો તફાવત $1, 3, 6, 10$ છે,જે ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ છે.
ગુણકોની શ્રેણીમાં આગળનું પદ $10 + 10 = 20$ છે.
તેથી,આગળનું પદ $230 - 6 \times 20 = 230 - 120 = 110$ થશે.

(D) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$3 \times 1 + 1 = 4$
$4 \times 2 + 1 = 9$
$9 \times 3 + 1 = 28$
$28 \times 4 + 1 = 113$
આ જ તર્કને અનુસરીને,આગામી પદ:
$113 \times 5 + 1 = 565 + 1 = 566$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $566$ છે.

(C) આ શ્રેણીમાં ક્રમિક એકી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને તેને $2$ વડે ભાગવામાં આવે છે:
$8 \times 0.5 = 4$
$4 \times 1.5 = 6$
$6 \times 2.5 = 15$
$15 \times 3.5 = 52.5$
$52.5 \times 4.5 = 236.25$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $52.5$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $3, 5, 13, 49, 241, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક તપાસો:
$3 \times 2 - 1 = 5$
$5 \times 3 - 2 = 13$
$13 \times 4 - 3 = 49$
$49 \times 5 - 4 = 241$
આ શ્રેણી આ નિયમ અનુસરે છે: $(\text{અગાઉનું પદ} \times n) - (n - 1)$,જ્યાં $n$ ની કિંમત $2$ થી શરૂ થાય છે અને દરેક પગલે $1$ વધે છે.
આ જ તર્ક મુજબ આગામી પદ:
$241 \times 6 - 5 = 1446 - 5 = 1441$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $1441$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $7, 13, 31, 85, 247, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક તપાસો:
$7 \times 3 - 8 = 13$
$13 \times 3 - 8 = 31$
$31 \times 3 - 8 = 85$
$85 \times 3 - 8 = 247$
આ જ તર્કને અનુસરીને,આગામી પદ:
$247 \times 3 - 8 = 741 - 8 = 733$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $733$ છે.

(B) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $5, 7, 17, 47, 115, x$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$7 - 5 = 2$
$17 - 7 = 10$
$47 - 17 = 30$
$115 - 47 = 68$
હવે,તફાવતનું બીજું સ્તર શોધો:
$10 - 2 = 8$
$30 - 10 = 20$
$68 - 30 = 38$
હવે,તફાવતનું ત્રીજું સ્તર શોધો:
$20 - 8 = 12$
$38 - 20 = 18$
ત્રીજા સ્તરના તફાવતમાં પેટર્ન જુઓ: $12, 18$. તફાવત દરેક વખતે $6$ વધે છે. તેથી,ત્રીજા સ્તરમાં આગળનો તફાવત $18 + 6 = 24$ હોવો જોઈએ.
હવે,$x$ શોધવા માટે પાછળની તરફ ગણતરી કરો:
આગળનો બીજા સ્તરનો તફાવત $= 38 + 24 = 62$.
આગળનો પ્રથમ સ્તરનો તફાવત $= 68 + 62 = 130$.
તેથી,$x = 115 + 130 = 245$.

(B) આપેલી શ્રેણી $508, 256, 130, 67, 35.5, ?$ છે.
તર્ક તપાસો:
$508 \div 2 + 2 = 254 + 2 = 256$
$256 \div 2 + 2 = 128 + 2 = 130$
$130 \div 2 + 2 = 65 + 2 = 67$
$67 \div 2 + 2 = 33.5 + 2 = 35.5$
આ જ તર્ક મુજબ આગળનું પદ:
$35.5 \div 2 + 2 = 17.75 + 2 = 19.75$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $19.75$ છે.

(C) આ શ્રેણી $(n + 1) \times \frac{k}{2}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $k$ એ એકી સંખ્યાઓની વધતી શ્રેણી $(1, 3, 5, 7, 9, \dots)$ છે.
પગલું $1$: $(17 + 1) \times \frac{1}{2} = 18 \times 0.5 = 9$
પગલું $2$: $(9 + 1) \times \frac{3}{2} = 10 \times 1.5 = 15$
પગલું $3$: $(15 + 1) \times \frac{5}{2} = 16 \times 2.5 = 40$
પગલું $4$: $(40 + 1) \times \frac{7}{2} = 41 \times 3.5 = 143.5$
પગલું $5$: $(143.5 + 1) \times \frac{9}{2} = 144.5 \times 4.5 = 650.25$

(B) આપેલ શ્રેણી $40960, 10240, 2560, 640, 200, 40, 10$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક તપાસો:
$40960 \div 4 = 10240$
$10240 \div 4 = 2560$
$2560 \div 4 = 640$
$640 \div 4 = 160$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$200$ એ ખોટું પદ છે,કારણ કે ત્યાં $160$ હોવું જોઈએ.
$160$ સાથે શ્રેણી આગળ વધારતા:
$160 \div 4 = 40$
$40 \div 4 = 10$
તેથી,શ્રેણીમાં ખોટી સંખ્યા $200$ છે.

(A) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$45 - 41 = 4 = 2^2$
$61 - 45 = 16 = 4^2$
$97 - 61 = 36 = 6^2$
$181 - 97 = 84$ (આ $8^2 = 64$ નથી)
$261 - 181 = 80$
$405 - 261 = 144 = 12^2$
જો આપણે બેકી સંખ્યાઓના વર્ગ $(2^2, 4^2, 6^2, 8^2, 10^2, 12^2)$ ઉમેરવાની પેટર્ન અનુસરીએ તો:
$41 + 4 = 45$
$45 + 16 = 61$
$61 + 36 = 97$
$97 + 64 = 161$
$161 + 100 = 261$
$261 + 144 = 405$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$181$ એ ખોટું પદ છે અને તેના સ્થાને $161$ હોવું જોઈએ.

(D) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$30 - 16 = 14$
$58 - 30 = 28$
$114 - 58 = 56$
$226 - 114 = 112$
$496 - 226 = 270$
$898 - 496 = 402$
તફાવતની પેટર્ન $14, 28, 56, 112, 224, 448, \dots$ છે (દરેક તફાવત અગાઉના તફાવત કરતા બમણો છે).
જો આપણે $226$ થી આ પેટર્ન અનુસરીએ,તો પછીનો તફાવત $224$ હોવો જોઈએ.
$226 + 224 = 450$.
ત્યારબાદ,પછીનો તફાવત $448$ હોવો જોઈએ.
$450 + 448 = 898$.
આમ,$898$ સાચું હોવાથી,$496$ એ અસંગત સંખ્યા છે,કારણ કે ત્યાં $450$ હોવા જોઈએ.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન $\times 1 + 5.5, \times 2 + 5.5, \times 3 + 5.5, \times 4 + 5.5, \times 5 + 5.5, \times 6 + 5.5$ છે.
પદોની ગણતરી:
$15 \times 1 + 5.5 = 20.5$
$20.5 \times 2 + 5.5 = 46.5$
$46.5 \times 3 + 5.5 = 145$
$145 \times 4 + 5.5 = 585.5$
$585.5 \times 5 + 5.5 = 2933$
$2933 \times 6 + 5.5 = 17603.5$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$21.5$ પદ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $20.5$ હોવું જોઈએ.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન $\times 1 + 1^2, \times 2 + 2^2, \times 3 + 3^2, \times 4 + 4^2, \times 5 + 5^2, \times 6 + 6^2$ છે.
ગણતરી:
$5 \times 1 + 1^2 = 5 + 1 = 6$
$6 \times 2 + 2^2 = 12 + 4 = 16$
$16 \times 3 + 3^2 = 48 + 9 = 57$
$57 \times 4 + 4^2 = 228 + 16 = 244$
$244 \times 5 + 5^2 = 1220 + 25 = 1245$
$1245 \times 6 + 6^2 = 7470 + 36 = 7506$
આમ,આપેલી શ્રેણીમાં $246$ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $244$ હોવું જોઈએ.

(B) શ્રેણીની પેટર્ન અગાઉના તફાવતમાં $3$ ના ગુણાંક ઉમેરવા પર આધારિત છે:
$13 - 2 = 11$
$46 - 13 = 33$ $(11 \times 3)$
$145 - 46 = 99$ $(33 \times 3)$
$442 - 145 = 297$ $(99 \times 3)$
$1333 - 442 = 891$ $(297 \times 3)$
$4006 - 1333 = 2673$ $(891 \times 3)$
આપેલી શ્રેણી સાથે સરખામણી કરતા,$452$ ખોટું છે કારણ કે તફાવત $452 - 145 = 307$ થાય છે,જે પેટર્નને અનુસરતું નથી. સાચું પદ $442$ હોવું જોઈએ.

(A) આપેલી શ્રેણી $n^{3} - 1$ ના તર્કને અનુસરે છે,જ્યાં $n$ એ $1$ થી શરૂ થતી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
$n=1$ માટે: $1^{3} - 1 = 1 - 1 = 0$
$n=2$ માટે: $2^{3} - 1 = 8 - 1 = 7$
$n=3$ માટે: $3^{3} - 1 = 27 - 1 = 26$
$n=4$ માટે: $4^{3} - 1 = 64 - 1 = 63$
$n=5$ માટે: $5^{3} - 1 = 125 - 1 = 124$
$n=6$ માટે: $6^{3} - 1 = 216 - 1 = 215$
આપેલી શ્રેણી સાથે સરખામણી કરતા,છેલ્લું પદ $217$ છે,પરંતુ તર્ક મુજબ તે $215$ હોવું જોઈએ. તેથી,$217$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(A) શ્રેણીમાં તર્ક નીચે મુજબ છે:
$7 \times 1 + 1 = 8$
$8 \times 2 + 2 = 18$
$18 \times 3 + 3 = 57$
આ જ તર્કને અનુસરીને,પછીનું પદ:
$57 \times 4 + 4 = 228 + 4 = 232$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $232$ છે.

(D) શ્રેણીમાં તર્ક નીચે મુજબ છે:
$7 + 4 = 11$
$11 + 8 = 19$
$19 + 16 = 35$
$35 + 32 = 67$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $2$ ની ઘાત છે $(4, 8, 16, 32)$.
આમ,પછીનું પદ $35 + 32 = 67$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી આ પેટર્ન અનુસરે છે: $x_{n+1} = (x_n \times 2) + 1$.
પગલું $1$: $5 \times 2 + 1 = 11$.
પગલું $2$: $11 \times 2 + 1 = 23$.
પગલું $3$: $23 \times 2 + 1 = 47$.
પગલું $4$: $47 \times 2 + 1 = 95$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $47$ છે.

(D) શ્રેણી $17, 22, 52, 165, ?$ માં પછીની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$17 \times 1 + 5 = 22$
$22 \times 2 + 8 = 52$
$52 \times 3 + 9 = 165$
$165 \times 4 + 8 = 668$
વૈકલ્પિક રીતે,ઉમેરવામાં આવતી સંખ્યાઓની પેટર્ન $(5, 8, 9, 8)$ જોતા:
ગુણકો $1, 2, 3, 4$ છે.
ઉમેરવામાં આવતી સંખ્યાઓમાં એવી પેટર્ન છે જ્યાં બીજો તફાવત અચળ $(-2)$ છે:
$5 \xrightarrow{+3} 8 \xrightarrow{+1} 9 \xrightarrow{-1} 8$
તફાવત: $3, 1, -1$. તેમની વચ્ચેનો તફાવત $-2$ છે.
આ તર્કને અનુસરીને,પછીનું પદ $165 \times 4 + 8 = 660 + 8 = 668$ છે.

(A) આ શ્રેણીનો તર્ક ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સાથે ગુણાકાર પર આધારિત છે:
$2 \times 3 = 6$
$6 \times 5 = 30$
$30 \times 7 = 210$
$210 \times 11 = 2310$
$2310 \times 13 = 30030$
આમ,ખૂટતું પદ $x = 2310$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી ગુણાકાર અને બાદબાકીની એક ચોક્કસ વૈકલ્પિક પેટર્ન અનુસરે છે:
$3 \times 6 = 18$
$18 - 6 = 12$
$12 \times 6 = 72$
$72 - 6 = 66$
$66 \times 6 = 396$
આ પેટર્ન મુજબ,આગલું પગલું છેલ્લી સંખ્યામાંથી $6$ બાદ કરવાનું છે:
$396 - 6 = 390$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $390$ છે.

(A) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$5555 - 5506 = 49 = 7^2$
$5506 - 5425 = 81 = 9^2$
$5425 - 5304 = 121 = 11^2$
$5304 - 5135 = 169 = 13^2$
$5135 - 4910 = 225 = 15^2$
$4910 - 4621 = 289 = 17^2$
આપેલ શ્રેણી $5531, 5506, 5425, 5344, 5135, 4910, 4621$ ની સરખામણી કરતા,$5531$ એ ખોટું પદ છે અને તેના સ્થાને $5555$ હોવું જોઈએ,તેમજ $534$ ના સ્થાને $5344$ હોવું જોઈએ. તેથી,$5531$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $6, 7, 9, 13, 26, 37, 69$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$7 - 6 = 1$
$9 - 7 = 2$
$13 - 9 = 4$
$21 - 13 = 8$
$37 - 21 = 16$
$69 - 37 = 32$
તફાવતની પેટર્ન $1, 2, 4, 8, 16, 32$ છે,જે $2$ ની ઘાત $(2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5)$ દર્શાવે છે.
મૂળ શ્રેણીમાં $21$ ના સ્થાને $26$ આપેલ છે. તેથી,$26$ એ શ્રેણીની અસંગત સંખ્યા છે.

(D) ચાલો શ્રેણીમાં રહેલી પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1 \times 1 + 2 = 3$
$3 \times 2 + 4 = 10$
$10 \times 3 + 6 = 36$
$36 \times 4 + 8 = 152$
$152 \times 5 + 10 = 770$
$770 \times 6 + 12 = 4632$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખામણી કરતા,સંખ્યા $760$ ખોટી છે અને તેના સ્થાને $770$ હોવી જોઈએ.

(D) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$3 - 4 = -1$
$9 - 3 = 6$
$34 - 9 = 25$
$96 - 34 = 62$
$219 - 96 = 123$
$435 - 219 = 216$
હવે,તફાવતનો તફાવત જોઈએ:
$6 - (-1) = 7$
$25 - 6 = 19$
$62 - 25 = 37$
$123 - 62 = 61$
$216 - 123 = 93$
બીજા તફાવતો છે: $7, 19, 37, 61, 93$. ત્રીજા તફાવતો છે:
$19 - 7 = 12$
$37 - 19 = 18$
$61 - 37 = 24$
$93 - 61 = 32$
ત્રીજા તફાવતો $12, 18, 24, 32$ છે. પેટર્ન $12, 18, 24, 30$ હોવી જોઈએ. જો છેલ્લો તફાવત $32$ ને બદલે $30$ હોત,તો બીજો તફાવત $61 + 30 = 91$ થાત અને પ્રથમ તફાવત $123 + 91 = 214$ થાત. આમ,$219 + 214 = 433$. તેથી,$435$ એ અસંગત સંખ્યા છે.