Number Series Questions in Gujarati

(A) ચાલો ક્રમિક પદોનો ભાગાકાર કરીને શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$157.5 \div 45 = 3.5$
$45 \div 15 = 3$
$15 \div 6 = 2.5$
$6 \div 3 = 2$
$3 \div 2 = 1.5$
$2 \div 1 = 2$
ભાજકોની પેટર્ન $3.5, 3, 2.5, 2, 1.5, 1$ છે.
$157.5$ થી શરૂ કરીને આ પેટર્ન લાગુ પાડતા:
$157.5 \div 3.5 = 45$
$45 \div 3 = 15$
$15 \div 2.5 = 6$
$6 \div 2 = 3$
$3 \div 1.5 = 2$
$2 \div 1 = 2$
આપેલ શ્રેણીમાં,છેલ્લું પદ $1$ છે,પરંતુ પેટર્ન મુજબ તે $2$ હોવું જોઈએ. તેથી,$1$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(C) ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતની પેટર્ન તપાસો:
$9 - 6 = 3$
$15 - 9 = 6$
$22 - 15 = 7$
$51 - 22 = 29$
$99 - 51 = 48$
તફાવતની પેટર્ન જોતા: $3, 6, 12, 24, 48$ (દરેક તફાવત અગાઉના તફાવત કરતા બમણો છે).
જો આપણે $6$ થી આ પેટર્ન અનુસરીએ:
$6 + 3 = 9$
$9 + 6 = 15$
$15 + 12 = 27$
$27 + 24 = 51$
$51 + 48 = 99$
અહીં $22$ એ પેટર્નમાં બંધબેસતું નથી ($22$ ની જગ્યાએ $27$ હોવા જોઈએ),તેથી $22$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) આ શ્રેણીનો તર્ક ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવત પર આધારિત છે:
$15 - 8 = 7$
$36 - 15 = 21$
$99 - 36 = 63$
$288 - 99 = 189$
અહીં તફાવત $7, 21, 63, 189, \ldots$ છે.
દરેક તફાવત અગાઉના તફાવતને $3$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે:
$7 \times 3 = 21$
$21 \times 3 = 63$
$63 \times 3 = 189$
આ તર્ક મુજબ,આગળનો તફાવત:
$189 \times 3 = 567$ થશે.
તેથી,શ્રેણીનું આગામી પદ:
$288 + 567 = 855$ થશે.

(C) આ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે.
શ્રેણી $1$ (એકી સ્થાનો પર): $4, 16, ?, 64$
આ બેકી સંખ્યાઓના વર્ગ છે: $2^2 = 4, 4^2 = 16, 6^2 = 36, 8^2 = 64$.
શ્રેણી $2$ (બેકી સ્થાનો પર): $196, 169, 144$
આ ઘટતી જતી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગ છે: $14^2 = 196, 13^2 = 169, 12^2 = 144$.
બંને શ્રેણીઓની સરખામણી કરતા,ખૂટતી સંખ્યા પ્રથમ શ્રેણીમાં આવે છે,જે $6^2 = 36$ છે.

(C) આપેલ પ્રમાણ $6 : 5 :: 8 : x$ છે.
આને ગુણોત્તર તરીકે લખતા $\frac{6}{5} = \frac{8}{x}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $6x = 5 \times 8$ મળે.
$6x = 40$.
$x = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6.67$.
જોકે,તફાવતની પેટર્ન જોતા: $6 - 5 = 1$.
બીજી જોડી માટે પણ આ જ તર્ક અનુસરતા,જો તફાવત $2$ હોય,તો $8 - x = 2$,જે $x = 6$ આપે છે.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $6$ છે.

(B) શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો: $5, 21, 69, 213, 645$.
$21 - 5 = 16$
$69 - 21 = 48$
$213 - 69 = 144$
$645 - 213 = 432$
તફાવતમાં રહેલી પેટર્નનું અવલોકન કરો: $16, 48, 144, 432$.
દરેક તફાવત અગાઉના તફાવત કરતા $3$ ગણો છે:
$16 \times 3 = 48$
$48 \times 3 = 144$
$144 \times 3 = 432$
આથી, પછીનો તફાવત $432 \times 3 = 1296$ હોવો જોઈએ.
તેથી, શ્રેણીનું પછીનું પદ $645 + 1296 = 1941$ થશે.

(B) આ શ્રેણી ચોક્કસ પેટર્ન અનુસરતી સંખ્યાઓના વર્ગની બનેલી છે:
$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$17^2 = 289$
$18^2 = 324$
$23^2 = 529$
$24^2 = 576$
આધાર સંખ્યાઓનું અવલોકન કરો: $11, 12, 17, 18, 23, 24, ...$
આધાર સંખ્યાઓની પેટર્ન આ મુજબ છે: $(11, 12), (17, 18), (23, 24), ...$
અહીં,$17 - 11 = 6$ અને $23 - 17 = 6$ છે.
તેથી,પછીની આધાર સંખ્યા $23 + 6 = 29$ હોવી જોઈએ.
શ્રેણીમાં પછીની સંખ્યા $29^2 = 841$ થશે.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$19 - 14 = 5$
$29 - 19 = 10$
$49 - 29 = 20$
$89 - 49 = 40$
તફાવતની પેટર્ન જુઓ: $5, 10, 20, 40$. દરેક તફાવત અગાઉના તફાવત કરતા બમણો છે.
તેથી,પછીનો તફાવત $40 \times 2 = 80$ હોવો જોઈએ.
આમ,પછીનું પદ $89 + 80 = 169$ થશે.

(D) આપેલ શ્રેણી $34, 18, 10, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$34 - 18 = 16$
$18 - 10 = 8$
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તફાવત $16$ અને $8$ છે. નોંધો કે $16 \div 2 = 8$. આ તર્ક મુજબ,આગળનો તફાવત $8 \div 2 = 4$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગળનું પદ $10 - 4 = 6$ થશે.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $6$ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી બે અલગ-અલગ પેટર્ન ધરાવતી એકાંતર શ્રેણી છે.
પેટર્ન $1$ (એકી સ્થાનો): $9, 10, 11, 12$. દરેક પદમાં $1$ નો વધારો થાય છે $(9+1=10, 10+1=11, 11+1=12)$.
પેટર્ન $2$ (બેકી સ્થાનો): $8, 16, ?, 64$. દરેક પદને $2$ વડે ગુણવામાં આવે છે $(8 \times 2 = 16, 16 \times 2 = 32, 32 \times 2 = 64)$.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $32$ છે.

(C) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન આ મુજબ છે: $(n_i + k) \times k = n_{i+1}$,જ્યાં દરેક પગલે $k$ ની કિંમત $1$ ઘટે છે.
પગલું $1$: $(6 + 7) \times 7 = 13 \times 7 = 91$
પગલું $2$: $(91 + 6) \times 6 = 97 \times 6 = 582$
પગલું $3$: $(582 + 5) \times 5 = 587 \times 5 = 2935$
પગલું $4$: $(2935 + 4) \times 4 = 2939 \times 4 = 11756$
પગલું $5$: $(11756 + 3) \times 3 = 11759 \times 3 = 35277$
પગલું $6$: $(35277 + 2) \times 2 = 35279 \times 2 = 70558$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$584$ ખોટી સંખ્યા છે કારણ કે ત્યાં $582$ હોવા જોઈએ.

(D) આપેલી શ્રેણી $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ માટે $n^n$ ના પેટર્નને અનુસરે છે.
$1^1 = 1$
$2^2 = 4$
$3^3 = 27$
$4^4 = 256$
$5^5 = 3125$
$6^6 = 46656$
$7^7 = 823543$
આપેલી શ્રેણીમાં,$27$ ના સ્થાને $25$ આપેલ છે. તેથી,$25$ એ અસંગત (ખોટી) સંખ્યા છે.

(B) આ શ્રેણીમાં દરેક પદ તેના અગાઉના પદને $2$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$8424 \div 2 = 4212$
$4212 \div 2 = 2106$
$2106 \div 2 = 1053$
$1053 \div 2 = 526.5$
$526.5 \div 2 = 263.25$
$263.25 \div 2 = 131.625$
આપેલી શ્રેણીમાં,$1051$ એ ખોટી સંખ્યા છે કારણ કે સાચું પદ $1053$ હોવું જોઈએ.

(D) આ શ્રેણીમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત દરેક પગલે અડધો થાય છે.
$389 - 117 = 272$
$525 - 389 = 136$
$593 - 525 = 68$
$627 - 593 = 34$
આ તર્ક મુજબ,હવે પછીનો તફાવત $34 / 2 = 17$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગામી પદ $627 + 17 = 644$ થશે.

(D) આપેલ શ્રેણી $7, 11, 23, 51, 103, (?)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$11 - 7 = 4 = 4 \times 1$
$23 - 11 = 12 = 4 \times 3$
$51 - 23 = 28 = 4 \times 7$
$103 - 51 = 52 = 4 \times 13$
તફાવતો $4, 12, 28, 52, \dots$ છે.
$4$ ના ગુણકો જોઈએ: $1, 3, 7, 13, \dots$
આ ગુણકો વચ્ચેનો તફાવત $2, 4, 6, 8, \dots$ છે.
આ પેટર્ન મુજબ,ગુણકોમાં આગળનો તફાવત $13 + 8 = 21$ હોવો જોઈએ.
તેથી,શ્રેણીમાં આગળનો તફાવત $4 \times 21 = 84$ હોવો જોઈએ.
છેલ્લા પદમાં આ ઉમેરતા: $103 + 84 = 187$.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $187$ છે.

(D) આપેલી શ્રેણી $18, 27, 49, 84, 132, (?)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$27 - 18 = 9$
$49 - 27 = 22$
$84 - 49 = 35$
$132 - 84 = 48$
હવે,આ તફાવતોનો પણ તફાવત શોધીએ:
$22 - 9 = 13$
$35 - 22 = 13$
$48 - 35 = 13$
બીજો તફાવત $13$ અચળ છે. તેથી,પ્રથમ સ્તરમાં આગળનો તફાવત $48 + 13 = 61$ હોવો જોઈએ.
આમ,આગળનું પદ $132 + 61 = 193$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $33, 43, 65, 99, 145, (?)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$43 - 33 = 10$
$65 - 43 = 22$
$99 - 65 = 34$
$145 - 99 = 46$
તફાવતો $10, 22, 34, 46, ...$ છે.
હવે,આ તફાવતો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$22 - 10 = 12$
$34 - 22 = 12$
$46 - 34 = 12$
બીજો તફાવત અચળ $(12)$ હોવાથી,પ્રથમ શ્રેણીમાં આગળનો તફાવત $46 + 12 = 58$ થશે.
તેથી,શ્રેણીનું આગળનું પદ $145 + 58 = 203$ થશે.

(D) આપેલી શ્રેણી $655, 439, 314, 250, 223, (?)$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$655 - 439 = 216 = 6^3$
$439 - 314 = 125 = 5^3$
$314 - 250 = 64 = 4^3$
$250 - 223 = 27 = 3^3$
આ પેટર્નને અનુસરીને,આગળનો તફાવત $2^3 = 8$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગળનું પદ $223 - 8 = 215$ છે.

(D) શ્રેણી $15, 21, 39, 77, 143, (?)$ માં ખૂટતી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$21 - 15 = 6$
$39 - 21 = 18$
$77 - 39 = 38$
$143 - 77 = 66$
હવે,આ તફાવતોનો તફાવત તપાસીએ:
$18 - 6 = 12$
$38 - 18 = 20$
$66 - 38 = 28$
આગળ,બીજા સ્તરના તફાવતોનો તફાવત તપાસીએ:
$20 - 12 = 8$
$28 - 20 = 8$
ત્રીજા સ્તરનો તફાવત અચળ $(8)$ હોવાથી,આપણે આ પેટર્ન ચાલુ રાખી શકીએ છીએ:
આગળનો બીજા સ્તરનો તફાવત $28 + 8 = 36$ થશે.
આગળનો પ્રથમ સ્તરનો તફાવત $66 + 36 = 102$ થશે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $143 + 102 = 245$ છે.

(A) આપેલી શ્રેણી $33, 39, 57, 87, 129, (?)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$39 - 33 = 6$
$57 - 39 = 18$
$87 - 57 = 30$
$129 - 87 = 42$
હવે,તફાવતોમાં રહેલી પેટર્ન જોઈએ: $6, 18, 30, 42$. આ તફાવતોમાં દરેક વખતે $12$ નો વધારો થાય છે (અથવા $6 \times 1, 6 \times 3, 6 \times 5, 6 \times 7$).
આથી,પછીનો તફાવત $42 + 12 = 54$ (જે $6 \times 9$ છે) હોવો જોઈએ.
તેથી,પછીનું પદ $129 + 54 = 183$ થશે.

(A) આપેલ શ્રેણી $15, 19, 83, 119, 631, (?)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$19 - 15 = 4 = (2)^2$
$83 - 19 = 64 = (4)^3$
$119 - 83 = 36 = (6)^2$
$631 - 119 = 512 = (8)^3$
આ તર્ક મુજબ,આગળનો તફાવત $(10)^2 = 100$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગળનું પદ $631 + 100 = 731$ થશે.

(C) આપેલી શ્રેણી $19, 26, 40, 68, 124, (?)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$26 - 19 = 7$
$40 - 26 = 14$
$68 - 40 = 28$
$124 - 68 = 56$
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તફાવત $7, 14, 28, 56$ છે,જે એક એવી પેટર્ન બનાવે છે જેમાં દરેક તફાવત અગાઉના તફાવત કરતા બમણો છે $(7 \times 2 = 14, 14 \times 2 = 28, 28 \times 2 = 56)$.
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $56 \times 2 = 112$ હોવો જોઈએ.
તેથી,શ્રેણીનું આગામી પદ $124 + 112 = 236$ થશે.

(D) આપેલી શ્રેણી બે એકાંતરે આવતી શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે.
શ્રેણી $1$: $43, 58, 73, ...$
અહીં,તર્ક $+15$ છે:
$43 + 15 = 58$
$58 + 15 = 73$
શ્રેણી $2$: $69, 84, (?)$
અહીં પણ તર્ક $+15$ છે:
$69 + 15 = 84$
$84 + 15 = 99$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $99$ છે.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતની પેટર્ન તપાસો:
$4 - 2.5 = 1.5$
$10 - ? = x$
$14.5 - 10 = 4.5$
$20 - 14.5 = 5.5$
$26.5 - 20 = 6.5$
તફાવત દરેક વખતે $1$ થી વધે છે: $1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5$.
તેથી,ખૂટતું પદ $4 + 2.5 = 6.5$ છે.
આગળનું પગલું તપાસતા: $6.5 + 3.5 = 10$,જે શ્રેણી સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આ શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$4 \times 1 + 1 = 5$
$5 \times 2 + 2 = 12$
$12 \times 3 + 3 = 39$
$39 \times 4 + 4 = 160$
$160 \times 5 + 5 = 805$
$805 \times 6 + 6 = 4836$
તેથી,શ્રેણીમાં પછીની સંખ્યા $4836$ છે.

(C) આ શ્રેણીની પેટર્ન $10^2$ થી શરૂ કરીને ક્રમિક ઉતરતા પૂર્ણાંકોના વર્ગો ઉમેરવા પર આધારિત છે:
$8 + 10^2 = 8 + 100 = 108$
$108 + 9^2 = 108 + 81 = 189$
$189 + 8^2 = 189 + 64 = 253$
$253 + 7^2 = 253 + 49 = 302$
$302 + 6^2 = 302 + 36 = 338$
$338 + 5^2 = 338 + 25 = 363$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $338$ છે.

(D) આ શ્રેણીનો તર્ક ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને ઉતરતા ક્રમમાં બાદ કરવા પર આધારિત છે:
$248 - 31 = 217$
$217 - 29 = 188$
$188 - 23 = 165$
$165 - 19 = 146$
$146 - 17 = 129$
$129 - 13 = 116$
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $146$ છે.

(A) આગળનું પદ શોધવા માટે,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જુઓ:
$15 - 3 = 12$
$39 - 15 = 24$
$75 - 39 = 36$
$123 - 75 = 48$
$183 - 123 = 60$
તફાવતો $12$ ના ગુણક છે $(12, 24, 36, 48, 60)$.
આગળનો તફાવત $12 \times 6 = 72$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગળનું પદ $183 + 72 = 255$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં દરેક પદ અગાઉના પદને $7$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$1 \times 7 = 7$
$7 \times 7 = 49$
$49 \times 7 = 343$
$343 \times 7 = 2401$
આમ,શ્રેણીનું આગામી પદ $2401$ છે.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવત પર આધારિત છે:
$20 - 13 = 7$
$39 - 20 = 19$
$78 - 39 = 39$
$145 - 78 = 67$
હવે,આ તફાવતોના તફાવતને જુઓ:
$19 - 7 = 12$
$39 - 19 = 20$
$67 - 39 = 28$
તફાવતોનો તફાવત $8$ ના દરે વધે છે $(12+8=20, 20+8=28)$.
આ પેટર્નને અનુસરીને,તફાવતનો આગામી તફાવત $28 + 8 = 36$ હોવો જોઈએ.
તેથી,પદો વચ્ચેનો આગામી તફાવત $67 + 36 = 103$ થશે.
અંતે,શ્રેણીનું આગામી પદ $145 + 103 = 248$ છે.

(A) આ શ્રેણીમાં તફાવત એવી રીતે વધે છે કે દરેક વખતે તે બમણો થાય છે.
$12 + 23 = 35$
$35 + 46 = 81$
$81 + 92 = 173$
$173 + 184 = 357$
અહીં તફાવતો $23, 46, 92, 184, ...$ છે,જે $2$ વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમને અનુસરે છે $(23 \times 2 = 46, 46 \times 2 = 92, 92 \times 2 = 184)$.
તેથી,હવે પછીનો તફાવત $184 \times 2 = 368$ હોવો જોઈએ.
આમ,પછીનું પદ $357 + 368 = 725$ થશે.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતની પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$100 - 3 = 97$
$297 - 100 = 197$
$594 - 297 = 297$
$991 - 594 = 397$
તફાવતો $97, 197, 297, 397$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં સામાન્ય તફાવત $100$ છે.
આગળનો તફાવત $397 + 100 = 497$ હોવો જોઈએ.
તેથી,પછીનું પદ $991 + 497 = 1488$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $112, 119, 140, 175, 224, (?)$ છે.
આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$119 - 112 = 7 = 7 \times 1$
$140 - 119 = 21 = 7 \times 3$
$175 - 140 = 35 = 7 \times 5$
$224 - 175 = 49 = 7 \times 7$
અહીં તફાવત $7$ ના એકી સંખ્યાઓ સાથેના ગુણાંક $(1, 3, 5, 7)$ છે.
આગળનો તફાવત $7 \times 9 = 63$ હોવો જોઈએ.
તેથી,પછીનું પદ $224 + 63 = 287$ થશે.

(D) સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$7 \times 2 - 2 = 12$
$12 \times 4 - 8 = 40$
$40 \times 6 - 18 = 222$
$222 \times 8 - 32 = 1744$
$1744 \times 10 - 50 = 17390$
$17390 \times 12 - 72 = 208608$
આપેલ શ્રેણીમાં,$1742$ પદ ખોટું છે કારણ કે પેટર્ન મુજબ તે સ્થાને $1744$ હોવું જોઈએ.

(C) સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$6 \times 7 + 7^2 = 42 + 49 = 91$
$91 \times 6 + 6^2 = 546 + 36 = 582$ (જે $584$ નથી)
$582 \times 5 + 5^2 = 2910 + 25 = 2935$
$2935 \times 4 + 4^2 = 11740 + 16 = 11756$
$11756 \times 3 + 3^2 = 35268 + 9 = 35277$
$35277 \times 2 + 2^2 = 70554 + 4 = 70558$
અહીં $584$ ના સ્થાને $582$ હોવા જોઈએ,તેથી શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા $584$ છે.

(D) સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન $15$ થી શરૂ થતી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના ઘન બાદ કરવા પર આધારિત છે:
$9050 - 15^3 = 9050 - 3375 = 5675$
$5675 - 13^3 = 5675 - 2197 = 3478$
$3478 - 11^3 = 3478 - 1331 = 2147$
$2147 - 9^3 = 2147 - 729 = 1418$
$1418 - 7^3 = 1418 - 343 = 1075$
આપેલી શ્રેણી સાથે સરખામણી કરતા,પદ $1077$ ખોટું છે કારણ કે ત્યાં $1075$ હોવું જોઈએ. તેથી,$1077$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(D) સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન $n^n$ પર આધારિત છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણીમાં પદનો ક્રમ છે.
$n=1$ માટે: $1^1 = 1$
$n=2$ માટે: $2^2 = 4$
$n=3$ માટે: $3^3 = 27$ (પરંતુ,આપેલ પદ $25$ છે)
$n=4$ માટે: $4^4 = 256$
$n=5$ માટે: $5^5 = 3125$
$n=6$ માટે: $6^6 = 46656$
$n=7$ માટે: $7^7 = 823543$
કારણ કે $25$ એ $n^n$ પેટર્નને અનુસરતું નથી (તે $27$ હોવું જોઈએ),તેથી $25$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(B) આ સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન એવી છે કે દરેક પદને અગાઉના પદને $2$ વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
$8424 \div 2 = 4212$
$4212 \div 2 = 2106$
$2106 \div 2 = 1053$
જોકે,આપેલ પદ $1051$ છે,જે ખોટું છે.
$1053 \div 2 = 526.5$
$526.5 \div 2 = 263.25$
$263.25 \div 2 = 131.625$
કારણ કે $1051$ ની જગ્યાએ $1053$ હોવું જોઈએ,તેથી શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા $1051$ છે.

(D) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$3601 \div 1 + 1 = 3602$
$3602 \div 2 + 2 = 1801 + 2 = 1803$
$1803 \div 3 + 3 = 601 + 3 = 604$
$604 \div 4 + 4 = 151 + 4 = 155$
$155 \div 5 + 5 = 31 + 5 = 36$
$36 \div 6 + 6 = 6 + 6 = 12$
આ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$154$ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $155$ હોવું જોઈએ.

(B) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન આ મુજબ છે: $n_{i+1} = n_i \times (i+1) + (i+1)^2$,જ્યાં $i$ એ $1$ થી શરૂ થતો સ્ટેપ નંબર છે.
સ્ટેપ $1$: $4 \times 2 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
સ્ટેપ $2$: $12 \times 3 + 3^2 = 36 + 9 = 45$
સ્ટેપ $3$: $45 \times 4 + 4^2 = 180 + 16 = 196$
સ્ટેપ $4$: $196 \times 5 + 5^2 = 980 + 25 = 1005$
સ્ટેપ $5$: $1005 \times 6 + 6^2 = 6030 + 36 = 6066$
સ્ટેપ $6$: $6066 \times 7 + 7^2 = 42462 + 49 = 42511$
આપેલી શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$42$ ખોટી સંખ્યા છે અને તેના સ્થાને $45$ હોવા જોઈએ.

(A) ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$8 - 2 = 6$
$12 - 8 = 4$
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
$42 - 30 = 12$
$56 - 42 = 14$
જો આપણે બીજા પદથી શરૂ કરીને તફાવત જોઈએ,તો તે બેકી સંખ્યાઓની શ્રેણી અનુસરે છે: $4, 6, 8, 10, 12, 14$।
જો પ્રથમ પદ $2$ હોય અને તફાવત $4$ હોય,તો બીજું પદ $2 + 4 = 6$ હોવું જોઈએ.
આપેલ શ્રેણીમાં $6$ ને બદલે $8$ હોવાથી,$8$ એ શ્રેણીની અસંગત સંખ્યા છે.

(D) શ્રેણીમાં રહેલી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$32 \times 0.5 = 16$
$16 \times 1.5 = 24$
$24 \times 2.5 = 60$
$60 \times 3.5 = 210$
$210 \times 4.5 = 945$
$945 \times 5.5 = 5197.5$
આપેલી શ્રેણી $32, 16, 24, 65, 210, 945, 5197.5$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $65$ ખોટું છે અને ત્યાં $60$ હોવું જોઈએ.

(D) શ્રેણીમાં રહેલી પેટર્ન $x_{n+1} = 2x_n - 1$ ના તર્ક પર આધારિત છે.
ચાલો શ્રેણી તપાસીએ:
$7 \times 2 - 1 = 13$
$13 \times 2 - 1 = 25$
$25 \times 2 - 1 = 49$
$49 \times 2 - 1 = 97$
$97 \times 2 - 1 = 193$
$193 \times 2 - 1 = 385$
આને આપેલી શ્રેણી $7, 13, 25, 49, 97, 194, 385$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $194$ ખોટું છે અને ત્યાં $193$ હોવું જોઈએ.

(B) આ સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$10 - 8 = 2$
$18 - 10 = 8$
$44 - 18 = 26$
$124 - 44 = 80$
ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતને જોતા:
$8 = 3 \times 2 + 2$
$26 = 3 \times 8 + 2$
$80 = 3 \times 26 + 2$
આગળનો તફાવત $= 3 \times 80 + 2 = 242$
તેથી,પછીનું પદ $= 124 + 242 = 366$.

(D) આ સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$13 + (1 \times 12) = 13 + 12 = 25$
$25 + (3 \times 12) = 25 + 36 = 61$
$61 + (5 \times 12) = 61 + 60 = 121$
$121 + (7 \times 12) = 121 + 84 = 205$
$205 + (9 \times 12) = 205 + 108 = 313$
આમ,શ્રેણીમાં પછીની સંખ્યા $313$ છે.

(A) આ સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$\frac{656}{2} + 24 = 328 + 24 = 352$
$\frac{352}{2} + 24 = 176 + 24 = 200$
$\frac{200}{2} + 24 = 100 + 24 = 124$
$\frac{124}{2} + 24 = 62 + 24 = 86$
$\frac{86}{2} + 24 = 43 + 24 = 67$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $67$ છે.

(C) આ સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$454 + 18 = 472$
$472 - 27 = 445$
$445 + 18 = 463$
$463 - 27 = 436$
$18$ ઉમેરવાની અને $27$ બાદ કરવાની વૈકલ્પિક પેટર્નને અનુસરીને,આગળનું પગલું છે:
$436 + 18 = 454$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $454$ છે.

(B) આ સંખ્યા શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$12 \times 4 - 30 = 48 - 30 = 18$
$18 \times 4 - 36 = 72 - 36 = 36$
$36 \times 4 - 42 = 144 - 42 = 102$
$102 \times 4 - 48 = 408 - 48 = 360$
$360 \times 4 - 54 = 1440 - 54 = 1386$
આમ,શ્રેણીમાં પછીની સંખ્યા $1386$ છે.

(C) શ્રેણીમાં તફાવત નીચે મુજબ છે:
$49 - 32 = 17$
$83 - 49 = 34 = 17 \times 2$
$151 - 83 = 68 = 34 \times 2$
$287 - 151 = 136 = 68 \times 2$
$559 - 287 = 272 = 136 \times 2$
આ તર્ક મુજબ,આગળનો તફાવત $272 \times 2 = 544$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગામી પદ $559 + 544 = 1103$ થશે.

(B) આ શ્રેણીમાં તફાવત વધતી જતી કિંમતો પર આધારિત છે:
$462 + 90 = 552$
$552 + 98 = 650$
$650 + 106 = 756$
$756 + 114 = 870$
$870 + 122 = 992$
દરેક પગલામાં,તફાવત $8$ થી વધે છે $(90, 98, 106, 114, 122)$.
તેથી,આગામી તફાવત $122 + 8 = 130$ હોવો જોઈએ.
$992 + 130 = 1122$.
આમ,પછીની સંખ્યા $1122$ છે.