Number Series Questions in Gujarati

(B) પ્રથમ હરોળ માટેની પેટર્ન આ મુજબ છે:
$4 \times 1 + 5^2 = 29$
$29 \times 2 + 4^2 = 74$
$74 \times 3 + 3^2 = 231$
$231 \times 4 + 2^2 = 928$
$928 \times 5 + 1^2 = 4641$
તે જ પેટર્ન બીજી હરોળમાં $3$ થી શરૂ કરીને લાગુ પાડતા:
$3 \times 1 + 5^2 = 3 + 25 = 28$ (જે $A$ છે)
$28 \times 2 + 4^2 = 56 + 16 = 72$ (જે $B$ છે)
$72 \times 3 + 3^2 = 216 + 9 = 225$ (જે $C$ છે)
$225 \times 4 + 2^2 = 900 + 4 = 904$ (જે $D$ છે)
તેથી,$D$ ની જગ્યાએ $904$ આવશે.

(C) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$600 \times \frac{1}{2} + 60 = 360$
$360 \times \frac{2}{3} + 120 = 360$
$360 \times \frac{3}{4} + 180 = 450$
$450 \times \frac{4}{5} + 240 = 600$
$600 \times \frac{5}{6} + 300 = 800$
તે જ પેટર્ન બીજી હરોળમાં લાગુ કરતા:
$1200 \times \frac{1}{2} + 60 = 660$ (જે $A$ છે)
$660 \times \frac{2}{3} + 120 = 440 + 120 = 560$ (જે $B$ છે)
તેથી,$B$ ની કિંમત $560$ છે.

(A) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$(4+3)^2 = 7^2 = 49$
$(4+9)^3 = 13^3 = 2197$
$(2+1+9+7)^4 = 19^4 = 130321$
$(1+3+0+3+2+1)^5 = 10^5 = 100000$
$(1+0+0+0+0+0)^6 = 1^6 = 1$
કારણ કે $43$ ના અંકોનો સરવાળો $4+3=7$ છે અને $25$ ના અંકોનો સરવાળો $2+5=7$ છે,તેથી બીજી હરોળ પ્રથમ હરોળ જેવી જ પેટર્ન અનુસરે છે.
તેથી,$E$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$703 + 10^2 = 803$
$803 + 11^2 = 924$
$924 + 12^2 = 1068$
$1068 + 13^2 = 1237$
$1237 + 14^2 = 1433$
બીજી હરોળ $307$ થી શરૂ કરીને સમાન તર્કને અનુસરે છે:
$A = 307 + 10^2 = 407$
$B = 407 + 11^2 = 528$
$C = 528 + 12^2 = 672$
$D = 672 + 13^2 = 841$
$E = 841 + 14^2 = 1037$
વૈકલ્પિક રીતે,પ્રથમ અને બીજી હરોળ વચ્ચેનો તફાવત અચળ છે:
$703 - 307 = 396$
$1433 - 396 = 1037$
તેથી,$E = 1037$.

(D) પ્રથમ હરોળ માટેની પેટર્ન આ મુજબ છે:
$14 \times 5 + 1 = 71$
$71 \times 6 + 1.5 = 428.5$
$428.5 \times 7 + 2 = 3001.5$
બીજી હરોળ માટે સમાન તર્ક અનુસરતા:
$4 \times 5 + 1 = 21$ ($A$ ની કિંમત)
$21 \times 6 + 2.5 = 128.5$ ($B$ ની કિંમત)
આમ,$B = 128.5$.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$505 - 283 = 222$
$1837 - 1282 = 555$
$2503 - 1837 = 666$
$111$ ના ગુણાંક ઉમેરવાની પેટર્ન મુજબ,તફાવત $222, 333, 444, 555, 666$ હોવો જોઈએ.
$505$ માં $333$ ઉમેરતા $505 + 333 = 838$ મળે છે.
$838$ માં $444$ ઉમેરતા $838 + 444 = 1282$ મળે છે,જે પછીના પદ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $838$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $n^{(8-n)}$ પેટર્ન અનુસરે છે,જ્યાં $n$ એ પદનો ક્રમ છે ($n=1$ થી $n=7$ સુધી).
પેટર્ન આ મુજબ છે: $7^1=7, 6^2=36, 5^3=125, 4^4=256, 3^5=?, 2^6=64, 1^7=1$.
ખૂટતી સંખ્યાની ગણતરી:
$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$.
તેથી,સાચો જવાબ $243$ છે.

(C) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$5 \times 1 + 1^{3} = 5 + 1 = 6$
$6 \times 2 + 2^{3} = 12 + 8 = 20$
$20 \times 3 + 3^{3} = 60 + 27 = 87$
$87 \times 4 + 4^{3} = 348 + 64 = 412$
$412 \times 5 + 5^{3} = 2060 + 125 = 2185$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $20$ છે.

(A) આપેલી શ્રેણી $60, 20, ?, 15, 60, 12$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક સમજીએ:
$60 \times \frac{1}{3} = 20$
$20 \times 3 = 60$
$60 \times \frac{1}{4} = 15$
$15 \times 4 = 60$
$60 \times \frac{1}{5} = 12$
આ શ્રેણીમાં વૈકલ્પિક ક્રિયાઓ થાય છે: $\frac{1}{n}$ વડે ગુણાકાર અને ત્યારબાદ $n$ વડે ગુણાકાર,જ્યાં દરેક પગલે $n$ ની કિંમત $1$ વધે છે $(n = 3, 4, 5, \dots)$.
તેથી,ખૂટતું પદ $20 \times 3 = 60$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $2, 5, 17.5, 43.75, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તર્ક સમજીએ:
$2 \times 2.5 = 5$
$5 \times 3.5 = 17.5$
$17.5 \times 2.5 = 43.75$
અહીં $2.5$ અને $3.5$ વડે વારાફરતી ગુણાકાર કરવાની પેટર્ન જોવા મળે છે, તેથી હવે પછીનું પદ મેળવવા માટે $43.75$ ને $3.5$ વડે ગુણવા પડશે:
$43.75 \times 3.5 = 153.125$
આમ, ખૂટતી સંખ્યા $153.125$ છે.

(D) આ શ્રેણી વર્ગો અને વૈકલ્પિક સરવાળા/બાદબાકીની કામગીરીને અનુસરે છે.
પગલું $1$: $3 + (1^2 + 16) = 3 + 17 = 20$
પગલું $2$: $20 + (9^2 - 14) = 20 + 67 = 87$
પગલું $3$: $87 + (17^2 + 16) = 87 + 305 = 392$
પગલું $4$: $392 + (25^2 - 14) = 392 + 611 = 1003$
ઉમેરવામાં/બાદ કરવામાં આવતા વર્ગોની શ્રેણી $1^2, 9^2, 17^2, 25^2$ છે ($8$ ના વધારા સાથે) અને અચળ પદો $+16$ અને $-14$ વચ્ચે બદલાય છે.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $1003$ છે.

(A) આ શ્રેણી નીચે મુજબની પ્રક્રિયા અનુસરે છે:
$12 \times 2 + 2^2 = 24 + 4 = 28$
$28 \times 3 - 3^2 = 84 - 9 = 75$
$75 \times 4 + 4^2 = 300 + 16 = 316$
$316 \times 5 - 5^2 = 1580 - 25 = 1555$
આ $(+n^2)$ અને $(-n^2)$ ની વૈકલ્પિક પેટર્ન અને વધતા ગુણકોને અનુસરતા:
$1555 \times 6 + 6^2 = 9330 + 36 = 9366$

(D) આ શ્રેણીમાં $1^3$ થી શરૂ કરીને ક્રમિક ઘન સંખ્યાઓનો સરવાળો અને બાદબાકી કરવામાં આવે છે:
$112 - 1^3 = 112 - 1 = 111$
$111 + 2^3 = 111 + 8 = 119$
$119 - 3^3 = 119 - 27 = 92$
$92 + 4^3 = 92 + 64 = 156$
$156 - 5^3 = 156 - 125 = 31$
$31 + 6^3 = 31 + 216 = 247$
તેથી,આગામી સંખ્યા $247$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી છે: $1, 15, 16, 31, 47, 78, 125, ?$
ભાત (pattern) તપાસો:
$1 + 15 = 16$
$15 + 16 = 31$
$16 + 31 = 47$
$31 + 47 = 78$
$47 + 78 = 125$
આ ફિબોનાકી પ્રકારની શ્રેણી છે જેમાં દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો સરવાળો છે.
તેથી,પછીનું પદ $78 + 125 = 203$ થશે.

(C) આપેલી શ્રેણી $55, 60, 67, 78, 91, 108, ?$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$60 - 55 = 5$
$67 - 60 = 7$
$78 - 67 = 11$
$91 - 78 = 13$
$108 - 91 = 17$
અહીં તફાવત $5, 7, 11, 13, 17$ છે,જે ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
$17$ પછીની આગામી અવિભાજ્ય સંખ્યા $19$ છે.
તેથી,શ્રેણીનું આગામી પદ $108 + 19 = 127$ થશે.

(B) આપેલ શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરો: $4 = 2^2$,$16 = 4^2$,$25 = 5^2$,$36 = 6^2$,$64 = 8^2$,$144 = 12^2$.
શ્રેણીની તમામ સંખ્યાઓ પૂર્ણ વર્ગ છે.
ખાસ કરીને,$4, 16, 36, 64, 144$ એ બેકી સંખ્યાઓના વર્ગ છે (અનુક્રમે $2^2, 4^2, 6^2, 8^2, 12^2$).
જોકે,$25$ એ એકી સંખ્યાનો વર્ગ છે $(5^2)$.
તેથી,$25$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $8, 27, 64, 125, 216$ છે.
આ સંખ્યાઓને ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ઘન તરીકે લખી શકાય છે:
$8 = 2^3$
$27 = 3^3$
$64 = 4^3$
$125 = 5^3$
$216 = 6^3$
બધી જ સંખ્યાઓ પૂર્ણ ઘન છે. જો આપણે ગુણધર્મો જોઈએ,તો $64$ એ એકમાત્ર એવી સંખ્યા છે જે પૂર્ણ ઘન હોવાની સાથે પૂર્ણ વર્ગ $(8^2)$ પણ છે. તેથી,$64$ એ અન્ય સંખ્યાઓથી અલગ પડે છે.

(B) ચાલો શ્રેણીની દરેક સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો કરીએ:
$17: 1 + 7 = 8$
$35: 3 + 5 = 8$
$43: 4 + 3 = 7$
$53: 5 + 3 = 8$
$62: 6 + 2 = 8$
$80: 8 + 0 = 8$
શ્રેણીની તમામ સંખ્યાઓના અંકોનો સરવાળો $8$ થાય છે,સિવાય કે $43$,જેના અંકોનો સરવાળો $7$ થાય છે. તેથી,$43$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(C) અસંગત સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીની દરેક સંખ્યાના અંકોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$24$ માટે: $2 \times 4 = 8$
$18$ માટે: $1 \times 8 = 8$
$222$ માટે: $2 \times 2 \times 2 = 8$
$82$ માટે: $8 \times 2 = 16$
$421$ માટે: $4 \times 2 \times 1 = 8$
$82$ સિવાયની તમામ સંખ્યાઓના અંકોનો ગુણાકાર $8$ છે,તેથી $82$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) શ્રેણી $6, 15, 21, 26, 33, 39$ માં અસંગત સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાની $3$ વડે વિભાજ્યતા તપાસીએ છીએ.
$6 = 3 \times 2$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$26$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$33 = 3 \times 11$
$39 = 3 \times 13$
$26$ સિવાયની તમામ સંખ્યાઓ $3$ ના ગુણક હોવાથી,$26$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) અસંગત સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીના દરેક પદની $7$ વડે વિભાજ્યતા તપાસીએ છીએ.
$14 = 7 \times 2$
$49 = 7 \times 7$
$63 = 7 \times 9$
$72 = 7 \times 10 + 2$ ($7$ વડે વિભાજ્ય નથી)
$77 = 7 \times 11$
$91 = 7 \times 13$
$72$ સિવાયની તમામ સંખ્યાઓ $7$ ના ગુણક હોવાથી,$72$ એ શ્રેણીની અસંગત સંખ્યા છે.

(D) આપેલી શ્રેણી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઘનથી બનેલી છે:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$5^3 = 125$
$7^3 = 343$
જોકે,$212$ એ કોઈ પણ અવિભાજ્ય સંખ્યાનો પૂર્ણ ઘન નથી.
તેથી,$212$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $4, 9, 25, 49, 64, 121$ છે.
આ સંખ્યાઓને વર્ગ તરીકે લખી શકાય છે: $2^2, 3^2, 5^2, 7^2, 8^2, 11^2$.
આ શ્રેણીમાં $2, 3, 5, 7$ અને $11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
જ્યારે $8$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે $(8 = 2^3)$.
તેથી,$64$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $10, 25, 56, 70, 85, 95, 125$ માંથી અસંગત સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે દરેક પદની વિભાજ્યતા તપાસીએ.
$10 = 5 \times 2$
$25 = 5 \times 5$
$56 = 8 \times 7$ ($5$ વડે વિભાજ્ય નથી)
$70 = 5 \times 14$
$85 = 5 \times 17$
$95 = 5 \times 19$
$125 = 5 \times 25$
$56$ સિવાયની તમામ સંખ્યાઓ $5$ ના ગુણક છે. તેથી,$56$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(D) આ શ્રેણીમાં તર્ક એ છે કે દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો ગુણાકાર છે.
$2 \times 6 = 12$
$6 \times 12 = 72$
$12 \times 72 = 864$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,છેલ્લું પદ $824$ છે,પરંતુ તે $864$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$824$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(D) શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$3 - 2 = 1$
$5 - 3 = 2$
$8 - 5 = 3$
$12 - 8 = 4$
$17 - 12 = 5$
$25 - 17 = 8$
$30 - 25 = 5$
તફાવતની પેટર્ન ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.
આ પેટર્ન મુજબ,$17$ પછીનું પદ $17 + 6 = 23$ હોવું જોઈએ.
શ્રેણીમાં $23$ ને બદલે $25$ આપેલ હોવાથી,$25$ એ શ્રેણીની અસંગત સંખ્યા છે.

(C) આ શ્રેણી ક્રમિક વર્ગો ઉમેરવાની પેટર્ન અનુસરે છે: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2$.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસતા:
$5 - 1 = 4 = 2^2$
$14 - 5 = 9 = 3^2$
$30 - 14 = 16 = 4^2$
$50 - 30 = 20 \neq 25 = 5^2$
$91 - 50 = 41 \neq 36 = 6^2$
અહીં $50$ એ $30 + 5^2 = 55$ ની પેટર્નનું પાલન કરતું નથી,તેથી $50$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(B) આપેલી શ્રેણી $3, 5, 7, 15, 17, 23$ છે.
સંખ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
$3$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$7$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$15$ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે $(3 \times 5 = 15)$.
$17$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$15$ સિવાયની તમામ સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય છે. તેથી,$15$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $12, 16, 18, 22, 25, 28$ છે.
આ શ્રેણીમાં $12, 16, 18, 22$ અને $28$ એ બેકી સંખ્યાઓ છે.
સંખ્યા $25$ એ એકી સંખ્યા છે.
તેથી,આપેલ શ્રેણીમાં $25$ એ એકી સંખ્યા છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $36, 64, 81, 125, 169$ છે.
આપણે આ સંખ્યાઓને પૂર્ણાંકના વર્ગ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$36 = 6^{2}$
$64 = 8^{2}$
$81 = 9^{2}$
$125 = 5^{3}$ (આ એક ઘન છે,વર્ગ નથી)
$169 = 13^{2}$
અહીં $36, 64, 81,$ અને $169$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ છે,જ્યારે $125$ એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે,તેથી $125$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $4, 9, 16, 25, 32, 49$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
$25 = 5^2$
$32$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી.
$49 = 7^2$
અહીં અન્ય તમામ સંખ્યાઓ પૂર્ણાંકોના પૂર્ણ વર્ગ છે,તેથી $32$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) સંખ્યાઓ દ્વારા અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન છે: $\text{બીજો અંક} = \text{પ્રથમ અંક} \times \text{ત્રીજો અંક}$.
દરેક સંખ્યા તપાસતા:
$263: 2 \times 3 = 6$ (વચ્ચેના અંક સાથે મેળ ખાય છે)
$284: 2 \times 4 = 8$ (વચ્ચેના અંક સાથે મેળ ખાય છે)
$393: 3 \times 3 = 9$ (વચ્ચેના અંક સાથે મેળ ખાય છે)
$481: 4 \times 1 = 4 \neq 8$ (વચ્ચેના અંક સાથે મેળ ખાતું નથી)
$482: 4 \times 2 = 8$ (વચ્ચેના અંક સાથે મેળ ખાય છે)
$481$ સિવાય,શ્રેણીના અન્ય તમામ પદો ઉપરની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$481$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(B) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ: $7, 12, 19, 26, 39, 52$.
$12 - 7 = 5$
$19 - 12 = 7$
$26 - 19 = 7$
$39 - 26 = 13$
$52 - 39 = 13$
વૈકલ્પિક રીતે,$5$ થી શરૂ થતી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ ઉમેરવાની પેટર્ન જુઓ: $7+5=12$,$12+7=19$,$19+9=28$,$28+11=39$,$39+13=52$.
આપેલ શ્રેણીમાં,$26$ ખોટું છે કારણ કે ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $(5, 7, 9, 11, 13)$ ઉમેરવાની પેટર્ન મુજબ ત્યાં $28$ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ શ્રેણી $124, 133, 142, 152, 160$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$133 - 124 = 9$
$142 - 133 = 9$
$152 - 142 = 10$
$160 - 152 = 8$
જો $9$ ઉમેરવાની પેટર્ન સતત હોત,તો શ્રેણી $124, 133, 142, 151, 160$ હોવી જોઈએ.
અહીં $151$ ના સ્થાને $152$ હોવાથી,તે શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(C) ચાલો શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$20 - 12 = 8$
$30 - 20 = 10$
$42 - 30 = 12$
$54 - 42 = 12$
$72 - 54 = 18$
તફાવતની પેટર્ન ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ: $8, 10, 12, 14, 16$.
આ પેટર્ન સાથે શ્રેણી તપાસતા:
$12 + 8 = 20$
$20 + 10 = 30$
$30 + 12 = 42$
$42 + 14 = 56$
$56 + 16 = 72$
અહીં $56$ ના સ્થાને $54$ આપેલ છે,તેથી $54$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) આ શ્રેણીની પેટર્ન ક્રમિક એકી સંખ્યાઓની બાદબાકી પર આધારિત છે: $-1, -3, -5, -7, -9$.
પગલું $1$: $69 - 1 = 68$
પગલું $2$: $68 - 3 = 65$
પગલું $3$: $65 - 5 = 60$
પગલું $4$: $60 - 7 = 53$ (આપેલ સંખ્યા $54$ છે,જે ખોટી છે)
પગલું $5$: $53 - 9 = 44$
તેથી,$54$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે કારણ કે ત્યાં $53$ હોવું જોઈએ.

(D) આપેલ શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરો: $27, 125, 343, 729, 1331$.
આ સંખ્યાઓને એકી પૂર્ણાંકોના ઘન તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$27 = 3^3$
$125 = 5^3$
$343 = 7^3$
$729 = 9^3$
$1331 = 11^3$
શ્રેણીની તમામ સંખ્યાઓ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $(3, 5, 7, 9, 11)$ ના પૂર્ણ ઘન હોવાથી,આપેલ શ્રેણીમાં કોઈ અસંગત સંખ્યા નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આ શ્રેણીમાં ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને અગાઉના પદમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે.
બાદબાકીની શ્રેણી આ મુજબ છે: $-2, -3, -5, -7, -11$.
ચાલો આને શ્રેણી પર લાગુ કરીએ:
$216 - 2 = 214$
$214 - 3 = 211$
$211 - 5 = 206$
$206 - 7 = 199$
$199 - 11 = 188$
આપેલ શ્રેણી $(216, 214, 211, 206, 200, 188)$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $200$ એ ખોટું પદ છે,કારણ કે ત્યાં $199$ હોવું જોઈએ.

(C) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન $\times 2 + 1$ છે.
$2 \times 2 + 1 = 5$
$5 \times 2 + 1 = 11$
$11 \times 2 + 1 = 23$
$23 \times 2 + 1 = 47$
$47 \times 2 + 1 = 95$
ગણતરી કરેલી કિંમતોને આપેલી શ્રેણી સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $45$ ખોટું છે,કારણ કે સાચું પદ $47$ હોવું જોઈએ.

(C) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન $\times 1 + 2$ અને $\times 2 + 3$ વચ્ચે વારાફરતી બદલાય છે.
પગલું $1$: $12 \times 1 + 2 = 14$
પગલું $2$: $14 \times 2 + 3 = 31$
પગલું $3$: $31 \times 1 + 2 = 33$
પગલું $4$: $33 \times 2 + 3 = 69$
પગલું $5$: $69 \times 1 + 2 = 71$ (આપેલ સંખ્યા $72$ છે,જે ખોટી છે)
પગલું $6$: $71 \times 2 + 3 = 145$
અહીં $72$ ના સ્થાને $71$ હોવું જોઈએ,તેથી શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા $72$ છે.

(D) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન જુઓ:
$18 + 2^2 = 18 + 4 = 22$
$22 + 4^2 = 22 + 16 = 38$
$38 + 6^2 = 38 + 36 = 74$
તે જ તર્ક બીજી હરોળમાં $121$ થી શરૂ કરીને લાગુ કરતા:
$(a) = 121 + 2^2 = 121 + 4 = 125$
$(b) = 125 + 4^2 = 125 + 16 = 141$
$(c) = 141 + 6^2 = 141 + 36 = 177$

(B) પ્રથમ હરોળમાં રહેલી પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$4 \times 2 - 1 = 7$
$7 \times 3 + 3 = 24$
$24 \times 4 - 3 = 93$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે,જે $2$ થી શરૂ થાય છે:
$(a) = 2 \times 2 - 1 = 3$
$(b) = 3 \times 3 + 3 = 12$
$(c) = 12 \times 4 - 3 = 45$
$(d) = 45 \times 5 + 5 = 230$
તેથી,$(d)$ ની જગ્યાએ $230$ આવશે.

(A) પ્રથમ હરોળમાં આપેલી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સંબંધ તપાસો: $4 \times 0.5 = 2$,$2 \times 1 = 2$,$2 \times 1.5 = 3$,$3 \times 2 = 6$,$6 \times 2.5 = 15$.
આ જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળમાં $12$ થી શરૂઆત કરતા:
$(a) = 12 \times 0.5 = 6$
$(b) = 6 \times 1 = 6$
$(c) = 6 \times 1.5 = 9$
$(d) = 9 \times 2 = 18$
$(e) = 18 \times 2.5 = 45$
તેથી,$(e)$ ની જગ્યાએ $45$ આવશે.

(B) પ્રથમ હરોળમાં રહેલી પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરો:
$264 \div 2 = 132$; $132 + 4 = 136$
$136 \div 2 = 68$; $68 + 4 = 72$
$72 \div 2 = 36$; $36 + 4 = 40$
પેટર્ન $\div 2 + 4$ છે.
બીજી હરોળમાં $488$ થી શરૂ કરીને સમાન પેટર્ન લાગુ કરતા:
$(a) = 488 \div 2 + 4 = 244 + 4 = 248$.

(A) પ્રથમ હરોળમાં રહેલી પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$2 \times 8 + 1 = 17$
$17 \times 7 + 2 = 121$
$121 \times 6 + 3 = 729$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે,જે $5$ થી શરૂ થાય છે:
$(a) = 5 \times 8 + 1 = 41$
$(b) = 41 \times 7 + 2 = 287 + 2 = 289$
આમ,$(b)$ ની જગ્યાએ $289$ સંખ્યા આવશે.

(A) પ્રથમ હરોળમાં રહેલી શ્રેણી આ મુજબ છે:
$11 \times 1 + 4 = 15$
$15 \times 2 + 8 = 38$
$38 \times 3 + 12 = 126$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ બીજી હરોળ માટે કરતા:
$(a) = 7 \times 1 + 4 = 11$
$(b) = 11 \times 2 + 8 = 30$
$(c) = 30 \times 3 + 12 = 102$

(C) પ્રથમ હરોળ માટેની પેટર્ન છે: $2 \times 1 + 1 = 3$,$3 \times 2 + 2 = 8$,$8 \times 3 + 3 = 27$ છે.
તે જ તર્કને અનુસરીને બીજી હરોળ માટે $5$ થી શરૂઆત કરીએ:
$(a) = 5 \times 1 + 1 = 6$
$(b) = 6 \times 2 + 2 = 14$
$(c) = 14 \times 3 + 3 = 45$
$(d) = 45 \times 4 + 4 = 184$
$(e) = 184 \times 5 + 5 = 925$
તેથી,$(e)$ ની જગ્યાએ $925$ સંખ્યા આવશે.

(D) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$2 \times 1.5 = 3$
$3 \times 3 = 9$
$9 \times 4.5 = 40.5$
ગુણકોની પેટર્ન $1.5, 3, 4.5, \dots$ છે (દરેક વખતે $1.5$ નો વધારો થાય છે).
$4$ થી શરૂ થતી બીજી હરોળમાં સમાન પેટર્ન લાગુ કરતા:
$(a) = 4 \times 1.5 = 6$
$(b) = 6 \times 3 = 18$
$(c) = 18 \times 4.5 = 81$
તેથી,$(b)$ ની જગ્યાએ $18$ સંખ્યા આવશે.

(A) પ્રથમ હરોળમાં તર્ક આ મુજબ છે:
$12 \times 2 + 4 = 28$
$28 \times 2 + 8 = 64$
$64 \times 2 + 12 = 140$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે $37$ થી શરૂઆત કરતા:
$(a) = 37 \times 2 + 4 = 78$
$(b) = 78 \times 2 + 8 = 164$
$(c) = 164 \times 2 + 12 = 340$
$(d) = 340 \times 2 + 16 = 696$
$(e) = 696 \times 2 + 20 = 1412$

(B) શ્રેણી આ મુજબ છે: $\times 8-28, \times 7-24, \times 6-20, \ldots$
$\therefore$ જરૂરી સંખ્યા $=(((7 \times 8-28) \times 7-24) \times 6-20) \times 5-16 = 5044$.