Number Series Questions in Gujarati

(D) પ્રથમ હરોળમાં તર્ક આ મુજબ છે:
$1 \times 8 + 1 = 9$
$9 \times 7 + 2 = 65$
$65 \times 6 + 3 = 393$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ બીજી હરોળમાં $2$ થી શરૂ કરીને કરતા:
$(a) = 2 \times 8 + 1 = 17$
$(b) = 17 \times 7 + 2 = 119 + 2 = 121$
$(c) = 121 \times 6 + 3 = 726 + 3 = 729$

(A) પ્રથમ હરોળ માટેની પેટર્ન આ મુજબ છે: $8 \times 1 = 8$,$8 \times 1.5 = 12$,$12 \times 2 = 24$. ગુણક દરેક વખતે $0.5$ જેટલો વધે છે.
તે જ તર્કને અનુસરીને બીજી હરોળ માટે $36$ થી શરૂઆત કરીએ:
$(a) = 36 \times 1 = 36$
$(b) = 36 \times 1.5 = 54$
$(c) = 54 \times 2 = 108$
$(d) = 108 \times 2.5 = 270$
$(e) = 270 \times 3 = 810$
આમ,$(e)$ ની જગ્યાએ $810$ સંખ્યા આવશે.

(C) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન આ મુજબ છે:
$424 \div 2 - 4 = 212 - 4 = 208$
$208 \div 2 - 4 = 104 - 4 = 100$
$100 \div 2 - 4 = 50 - 4 = 46$
તે જ પેટર્ન બીજી હરોળમાં લાગુ પાડતા:
$(a) = 888 \div 2 - 4 = 444 - 4 = 440$
$(b) = 440 \div 2 - 4 = 220 - 4 = 216$
તેથી,$(b)$ ની જગ્યાએ $216$ સંખ્યા આવશે.

(D) પ્રથમ હરોળમાં તર્ક આ મુજબ છે:
$4 \times 1 + 1 = 5$
$5 \times 1.5 + 2.25 = 9.75$
$9.75 \times 2 + 4 = 23.5$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે,જે $7$ થી શરૂ થાય છે:
$(a) = 7 \times 1 + 1 = 8$
$(b) = 8 \times 1.5 + 2.25 = 14.25$
$(c) = 14.25 \times 2 + 4 = 32.5$
$(d) = 32.5 \times 2.5 + 6.25 = 81.25 + 6.25 = 87.5$

(B) પ્રથમ હરોળમાં તર્ક આ મુજબ છે: $5 + 17^2 = 5 + 289 = 294$,$294 - 15^2 = 294 - 225 = 69$,$69 + 13^2 = 69 + 169 = 238$।
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે,જે $13$ થી શરૂ થાય છે:
$(a) = 13 + 17^2 = 13 + 289 = 302$
$(b) = 302 - 15^2 = 302 - 225 = 77$
$(c) = 77 + 13^2 = 77 + 169 = 246$
$(d) = 246 - 11^2 = 246 - 121 = 125$
$(e) = 125 + 9^2 = 125 + 81 = 206$
તેથી,$(e)$ ની જગ્યાએ $206$ આવશે.

(A) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના વર્ગનો સરવાળો છે: $15 + 1^2 = 16$,$16 + 3^2 = 25$,$25 + 5^2 = 50$. આ તર્કને અનુસરીને,પછીના પદો $50 + 7^2 = 99$ અને $99 + 9^2 = 180$ થશે.
આ જ તર્કને $189$ થી શરૂ થતી બીજી હરોળમાં લાગુ પાડતા:
$(a) = 189 + 1^2 = 189 + 1 = 190$
$(b) = 190 + 3^2 = 190 + 9 = 199$
$(c) = 199 + 5^2 = 199 + 25 = 224$
$(d) = 224 + 7^2 = 224 + 49 = 273$
$(e) = 273 + 9^2 = 273 + 81 = 354$
તેથી,$(e)$ ની જગ્યાએ $354$ સંખ્યા આવશે.

(C) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન આ મુજબ છે: $\times 0.5 + 0.5, \times 1 + 1, \times 1.5 + 1.5, \times 2 + 2, \dots$
પગલું $1$: $(a) = 40 \times 0.5 + 0.5 = 20 + 0.5 = 20.5$
પગલું $2$: $(b) = 20.5 \times 1 + 1 = 20.5 + 1 = 21.5$
પગલું $3$: $(c) = 21.5 \times 1.5 + 1.5 = 32.25 + 1.5 = 33.75$
તેથી,$(c)$ ની જગ્યાએ $33.75$ સંખ્યા આવશે.

(C) પ્રથમ હરોળમાં રહેલી શ્રેણી આ મુજબ છે:
$9 \times 1 + 1 = 10$
$10 \times 2 + 2 = 22$
$22 \times 3 + 3 = 69$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે,જ્યાં શરૂઆત $5$ થી થાય છે:
$(a) = 5 \times 1 + 1 = 6$
$(b) = 6 \times 2 + 2 = 14$
તેથી,$(b)$ ની જગ્યાએ $14$ આવશે.

(A) પ્રથમ હરોળમાં રહેલી પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$2 \times 2 + 6 = 10$
$10 \times 2 + 7 = 27$
$27 \times 2 + 6 = 60$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ બીજી હરોળ માટે કરતા:
$(a) = 5 \times 2 + 6 = 16$
$(b) = 16 \times 2 + 7 = 39$
તેથી,$(b)$ ની જગ્યાએ $39$ સંખ્યા આવશે.

(D) આપેલ શ્રેણી $5, 149, 49, 113, 146, \dots$ છે.
ચાલો ક્રમિક પદો વચ્ચેના તફાવતનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(a) = 146 + 12^2 = 146 + 144 = 290$
$(b) = 290 - 10^2 = 290 - 100 = 190$
$(c) = 190 + 8^2 = 190 + 64 = 254$
$(d) = 254 - 6^2 = 254 - 36 = 218$
આમ,$(d)$ ની જગ્યાએ આવતી સંખ્યા $218$ છે.

(D) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન અવલોકન કરો: $6 \div 2 = 3.0$,$3.0 \times 1.5 = 4.5$,$4.5 \div 2 = 2.25$. પેટર્ન $\div 2, \times 1.5, \div 2, \times 1.5, \dots$ છે.
તે જ પેટર્ન બીજી હરોળમાં $40$ થી શરૂ કરીને લાગુ પાડતા:
$(a) = 40 \div 2 = 20$
$(b) = 20 \times 1.5 = 30$
$(c) = 30 \div 2 = 15$
$(d) = 15 \times 1.5 = 22.5$
$(e) = 22.5 \div 2 = 11.25$
અહીં આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો શ્રેણીમાં કોઈ ભૂલ હોય તો $15$ એ સંભવિત જવાબ હોઈ શકે છે.

(D) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન આ મુજબ છે:
$5 \times 1 + 4 = 9$
$9 \times 2 + 8 = 26$
$26 \times 3 + 12 = 90$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે:
$(a) = 13 \times 1 + 4 = 17$
$(b) = 17 \times 2 + 8 = 42$
$(c) = 42 \times 3 + 12 = 138$
$(d) = 138 \times 4 + 16 = 568$
$(e) = 568 \times 5 + 20 = 2860$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $2860$ છે.

(D) ઉપરની હરોળમાં તર્ક આ મુજબ છે: $4 \times 2 + 1 = 9$,$9 \times 3 - 2 = 25$,$25 \times 4 + 3 = 103$.
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને નીચેની હરોળમાં $3$ થી શરૂઆત કરતા:
$(a) = 3 \times 2 + 1 = 7$
$(b) = 7 \times 3 - 2 = 19$
$(c) = 19 \times 4 + 3 = 79$
આમ,$(c)$ ની જગ્યાએ $79$ આવશે.

(C) પ્રથમ હરોળમાં પેટર્ન આ મુજબ છે:
$6 \times 2 - 2 = 10$
$10 \times 3 + 2 = 32$
$32 \times 4 - 2 = 126$
તે જ તર્કનો ઉપયોગ કરીને બીજી હરોળ માટે,જે $2$ થી શરૂ થાય છે:
$2 \times 2 - 2 = 2$
તેથી,$(a)$ ની જગ્યાએ આવતી સંખ્યા $2$ છે.

(B) પ્રથમ હરોળમાં તર્ક છે: $1260 \div 2 - 2 = 628$,$628 \div 2 - 2 = 312$,$312 \div 2 - 2 = 154$.
તે જ તર્ક બીજી હરોળમાં લાગુ કરતા:
$(a) = 788 \div 2 - 2 = 394 - 2 = 392$.
$(b) = 392 \div 2 - 2 = 196 - 2 = 194$.
$(c) = 194 \div 2 - 2 = 97 - 2 = 95$.
$(d) = 95 \div 2 - 2 = 47.5 - 2 = 45.5$.

(B) શ્રેણીના ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$8 - 5 = 3$
$12 - 8 = 4$
$17 - 12 = 5$
$23 - 17 = 6$
તફાવત દરેક વખતે $1$ થી વધે છે $(3, 4, 5, 6, ...)$.
આ પેટર્ન મુજબ,પછીનો તફાવત $7$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$? - 23 = 7$,જે $? = 23 + 7 = 30$ આપે છે.
ચકાસણી કરવા માટે,પછીનો તફાવત $8$ હોવો જોઈએ: $38 - 30 = 8$,જે પેટર્ન સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $30$ છે.

(A) આ શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન $x_{n+1} = 2 \times x_n + n$ છે,જ્યાં $n$ એ $1$ થી શરૂ થતો ક્રમ છે.
$9 = 2 \times 4 + 1$
$20 = 2 \times 9 + 2$
$43 = 2 \times 20 + 3$
$90 = 2 \times 43 + 4$
આ પેટર્ન મુજબ,પછીનું પદ:
$? = 2 \times 90 + 5 = 180 + 5 = 185$

(D) આપેલી શ્રેણી બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે.
પ્રથમ વૈકલ્પિક શ્રેણી $1, 4, 9, 16, \dots$ છે,જે વર્ગોની પેટર્ન અનુસરે છે: $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, \dots$
બીજી વૈકલ્પિક શ્રેણી $1, 8, 27, ?$ છે,જે ઘનની પેટર્ન અનુસરે છે: $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$.
તેથી,ખૂટતું પદ $4^{3} = 64$ છે.

(B) આ શ્રેણી ત્રણ-ત્રણ સંખ્યાઓના સમૂહ (triplets) ના પેટર્નને અનુસરે છે,જેમાં પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાનો ગુણાકાર બીજી સંખ્યા જેટલો થાય છે.
પગલું $1$: પ્રથમ સમૂહ $(2, 6, 3)$ માટે,$2 \times 3 = 6$ થાય છે.
પગલું $2$: બીજા સમૂહ $(4, 20, 5)$ માટે,$4 \times 5 = 20$ થાય છે.
પગલું $3$: ત્રીજા સમૂહ $(6, ?, 7)$ માટે,તે જ તર્ક મુજબ: $6 \times 7 = 42$ થાય છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $42$ છે.

(B) શ્રેણી $1, 5, 11, 19, 29, ?$ માં પછીનું પદ શોધવા માટે,આપણે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત જોઈએ:
$5 - 1 = 4$
$11 - 5 = 6$
$19 - 11 = 8$
$29 - 19 = 10$
અહીં તફાવત $4, 6, 8, 10$ છે,જે $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આ પેટર્નને અનુસરીને,પછીનો તફાવત $10 + 2 = 12$ હોવો જોઈએ.
તેથી,પછીનું પદ $29 + 12 = 41$ છે.

(C) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $3, 6, 21, 28, 55, 66, x, 120$ છે.
શ્રેણીને બે વૈકલ્પિક પેટા-શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરીને પેટર્નનું અવલોકન કરો:
પેટા-શ્રેણી $1$ (એકી સ્થાનો): $3, 21, 55, x$
તફાવત: $21-3 = 18$,$55-21 = 34$,$x-55 = ?$
પેટા-શ્રેણી $2$ (બેકી સ્થાનો): $6, 28, 66, 120$
તફાવત: $28-6 = 22$,$66-28 = 38$,$120-66 = 54$
બીજી પેટા-શ્રેણીના તફાવતોનું વિશ્લેષણ કરતા: $22, 38, 54$. આ $16$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.
પ્રથમ પેટા-શ્રેણીના તફાવતોનું વિશ્લેષણ કરતા: $18, 34, ?$. આ પણ $16$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,પ્રથમ પેટા-શ્રેણીમાં આગળનો તફાવત $34 + 16 = 50$ થશે.
આમ,$x = 55 + 50 = 105$.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$13 - 5 = 8$
$25 - 13 = 12$
$41 - 25 = 16$
તફાવતો $8, 12, 16, \dots$ છે,જે $4$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $16 + 4 = 20$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતું પદ $41 + 20 = 61$ છે.
ચકાસણી કરવા માટે,આગળનો તફાવત $20 + 4 = 24$ હોવો જોઈએ,અને $61 + 24 = 85$,જે શ્રેણીના પછીના પદ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આ શ્રેણીમાં દરેક પદમાં ક્રમિક વર્ગો ઉમેરવામાં આવે છે:
$5 = 4 + 1^2$
$9 = 5 + 2^2$
$18 = 9 + 3^2$
$34 = 18 + 4^2$
આ તર્ક મુજબ,આગળનું પદ:
$? = 34 + 5^2 = 34 + 25 = 59$

(D) આપેલ શ્રેણીમાં તર્ક નીચે મુજબ છે:
$1799 - 899 = 900$
$899 - 449 = 450$,જે $\frac{1}{2} \times 900$ છે.
આ તર્કને અનુસરીને,આગળનો તફાવત $\frac{1}{2} \times 450 = 225$ હોવો જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $449 - 225 = 224$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી બે એકાંતર શ્રેણીઓનું મિશ્રણ છે.
શ્રેણી $1$ (એકી સ્થાનો પર: $1st, 3rd, 5th, 7th, 9th, 11th$): $2, 2, 4, 6, 8, 11$
શ્રેણી $2$ (બેકી સ્થાનો પર: $2nd, 4th, 6th, 8th, 10th, 12th$): $1, 4, 5, 8, 10, ?$
બેકી સ્થાનોની શ્રેણીનું અવલોકન કરતા:
$1 (+3) = 4$
$4 (+1) = 5$
$5 (+3) = 8$
$8 (+2) = 10$
$10 (+3) = 13$
આમ,પછીનું પદ $13$ છે.

(C) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$11 - 5 = 6$
$19 - 11 = 8$
$29 - 19 = 10$
આ શ્રેણીમાં બેકી સંખ્યાઓ વધતી જાય છે: $6, 8, 10, ...$
તેથી,હવે પછીનો તફાવત $12$ હોવો જોઈએ.
આમ,$? - 29 = 12$,જે આપણને $? = 29 + 12 = 41$ આપે છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $0, 3, 12, 30, ?, 105, 168$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ:
$3 - 0 = 3$
$12 - 3 = 9$
$30 - 12 = 18$
ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે. તફાવતો $3, 9, 18, (x - 30), (105 - x), (168 - 105 = 63)$ છે.
હવે,બીજા ક્રમના તફાવતો જોઈએ:
$9 - 3 = 6$
$18 - 9 = 9$
જો બીજા ક્રમના તફાવતો $3$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો પછીના તફાવતો $12, 15, 18$ હોવા જોઈએ.
તેથી,$(x - 30) - 18 = 12 \implies x - 30 = 30 \implies x = 60$.
આગળના પદની ચકાસણી કરતા: $(105 - 60) = 45$. $45$ અને $30$ વચ્ચેનો તફાવત $15$ છે,જે પેટર્ન સાથે બંધ બેસે છે.
છેલ્લા પદની ચકાસણી કરતા: $(168 - 105) = 63$. $63$ અને $45$ વચ્ચેનો તફાવત $18$ છે,જે પેટર્ન સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $60$ છે.

(A) શ્રેણીની પેટર્ન નીચે મુજબ છે:
$20 = 15 + (5 \times 1)$
$30 = 20 + (5 \times 2)$
આ તર્કને અનુસરીને,આગામી પદ:
$? = 30 + (5 \times 3) = 30 + 15 = 45$
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $45$ છે.

(C) આ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક પેટા-શ્રેણીઓ ધરાવે છે.
$1st, 3rd, 5th, 7th$ પદો છે: $11, ?, 1001, 10001$.
$2nd, 4th, 6th$ પદો છે: $10, 100, 1000$.
પ્રથમ પેટા-શ્રેણી $(11, ?, 1001, 10001)$ નું વિશ્લેષણ કરતા:
- $1st$ પદ $11$ છે (બે $1$ ની વચ્ચે શૂન્ય નથી).
- $3rd$ પદ $1$ ની વચ્ચે શૂન્યની સંખ્યા વધારવાની પેટર્ન અનુસરવી જોઈએ.
- $5th$ પદ $1001$ છે (બે $1$ ની વચ્ચે બે શૂન્ય છે).
- $7th$ પદ $10001$ છે (બે $1$ ની વચ્ચે ત્રણ શૂન્ય છે).
આ પેટર્ન મુજબ,$3rd$ પદ $(?)$ માં બે $1$ ની વચ્ચે એક શૂન્ય હોવું જોઈએ,જે $101$ છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $101$ છે.

(A) આ શ્રેણીનો તર્ક ક્રમિક પૂર્ણાંકોના વર્ગને બાદ કરવા પર આધારિત છે.
$99 - 95 = 4 = 2^{2}$
$95 - 86 = 9 = 3^{2}$
$86 - 70 = 16 = 4^{2}$
આ તર્ક મુજબ,આગળનો તફાવત $5^{2} = 25$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$70 - ? = 25$.
$70 - 25 = 45$.
આમ,ખૂટતી સંખ્યા $45$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક પેટા-શ્રેણીઓ ધરાવે છે.
બેકી સ્થાનો પરની સંખ્યાઓ આ શ્રેણી બનાવે છે: $18, 12, ?$.
એકી સ્થાનો પરની સંખ્યાઓ આ શ્રેણી બનાવે છે: $5, 10, 15$.
બેકી સ્થાનની શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરતા: $18, 12, ?$. ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $18 - 6 = 12$ છે. આ પેટર્નને અનુસરીને,આગામી પદ $12 - 6 = 6$ હોવું જોઈએ.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $6$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી બે અલગ-અલગ પેટા-શ્રેણીઓ ધરાવતી એકાંતર શ્રેણી છે.
પ્રથમ શ્રેણી: $12, 14, 16, \dots$ (દરેક પદમાં $2$ નો વધારો થાય છે).
બીજી શ્રેણી: $8, 6, ? \dots$ (દરેક પદમાં $2$ નો ઘટાડો થાય છે).
ખૂટતું પદ બીજી શ્રેણીનું છે.
બીજી શ્રેણીના તર્ક મુજબ,આગળનું પદ $6 - 2 = 4$ થશે.

(B) શ્રેણીમાં છેડાથી કેન્દ્ર તરફની સંખ્યાઓની જોડી બનાવીને અવલોકન કરો.
સંખ્યાઓની જોડી: $(13, ?), (21, 12), (29, 92), (34, 43)$.
દરેક જોડીમાં,સંખ્યાઓના અંકો ઉલટાવવામાં આવ્યા છે.
જોડી $(21, 12)$ માટે,$21$ ને ઉલટાવતા $12$ મળે છે.
જોડી $(29, 92)$ માટે,$29$ ને ઉલટાવતા $92$ મળે છે.
જોડી $(34, 43)$ માટે,$34$ ને ઉલટાવતા $43$ મળે છે.
આ પેટર્ન મુજબ,જોડી $(13, ?)$ માટે,$13$ ને ઉલટાવતા $31$ મળે છે.
તેથી,ખૂટતી સંખ્યા $31$ છે.

(C) આપેલી શ્રેણી $n = 2$ થી શરૂ થતી બેકી સંખ્યાઓ માટે $(n^{2} - 1)$ ના તર્કનું પાલન કરે છે.
$3 = 2^{2} - 1$
$15 = 4^{2} - 1$
$35 = 6^{2} - 1$
$99 = 10^{2} - 1$
$143 = 12^{2} - 1$
આ તર્ક મુજબ,ખૂટતું પદ $8^{2} - 1 = 64 - 1 = 63$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી ફિબોનાકી જેવી શ્રેણી છે જેમાં દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો સરવાળો છે.
$4 + 7 = 11$
$7 + 11 = 18$
$11 + 18 = 29$
$18 + 29 = 47$
$29 + 47 = 76$
$47 + 76 = 123$
$76 + 123 = 199$
તેથી,ખૂટતું પદ $76$ છે.

(A) આપેલી શ્રેણીને તેમના સ્થાનના આધારે બે વૈકલ્પિક શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
શ્રેણી $1$ (એકી સ્થાન): $455, 465, 485, 475$
શ્રેણી $2$ (બેકી સ્થાન): $445, 435, 415$
શ્રેણી $1$ માં તફાવતનું વિશ્લેષણ:
$465 - 455 = 10$
$485 - 465 = 20$
$475 - 485 = -10$
શ્રેણી $2$ માં તફાવતનું વિશ્લેષણ:
$435 - 445 = -10$
$415 - 435 = -20$
શ્રેણી $1$ માં,તફાવતની પેટર્ન $+10, +20, +30$ હોવી જોઈએ.
તેથી,પદ $475$ ખોટું છે કારણ કે $485 + 30 = 515$ થવું જોઈએ.
આમ,$475$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(D) આ શ્રેણીમાં અનુસરતી પેટર્ન $x_{n+1} = 2 \times x_n + 4$ છે.
ચાલો પદો તપાસીએ:
$10 = 2 \times 3 + 4$
$24 = 2 \times 10 + 4$
$52 = 2 \times 24 + 4$ ($54$ ના બદલે)
$108 = 2 \times 52 + 4$
$220 = 2 \times 108 + 4$
$444 = 2 \times 220 + 4$
આપેલ શ્રેણી $3, 10, 24, 54, 108, 220, 444$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $54$ એ અસંગત સંખ્યા છે કારણ કે તે $2x + 4$ ની પેટર્નમાં બંધબેસતી નથી.

(B) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન આ મુજબ છે: $a_{n+1} = a_n \times 2 + 2 \times n$,જ્યાં $n$ એ $1$ થી શરૂ થતો સ્થાન ક્રમાંક છે.
$n=1$ માટે: $8 \times 2 + 2 \times 1 = 16 + 2 = 18$.
$n=2$ માટે: $18 \times 2 + 2 \times 2 = 36 + 4 = 40$.
$n=3$ માટે: $40 \times 2 + 2 \times 3 = 80 + 6 = 86$.
$n=4$ માટે: $86 \times 2 + 2 \times 4 = 172 + 8 = 180$ (આપેલ સંખ્યા $178$ છે,જે ખોટી છે).
$n=5$ માટે: $180 \times 2 + 2 \times 5 = 360 + 10 = 370$.
$n=6$ માટે: $370 \times 2 + 2 \times 6 = 740 + 12 = 752$.
તેથી,$178$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(D) શ્રેણીની પેટર્ન $x_{n} = x_{n-1} \times (n-1) + (n-1)$ છે,જ્યાં $n$ એ પદનું સ્થાન છે.
$n=2$ માટે: $1 \times 1 + 1 = 2$
$n=3$ માટે: $2 \times 2 + 2 = 6$
$n=4$ માટે: $6 \times 3 + 3 = 21$
$n=5$ માટે: $21 \times 4 + 4 = 88$ (પરંતુ આપેલ પદ $84$ છે)
$n=6$ માટે: $88 \times 5 + 5 = 445$
$n=7$ માટે: $445 \times 6 + 6 = 2676$
આમ,$5$મા સ્થાન માટે સાચી સંખ્યા $88$ હોવી જોઈએ,તેથી $84$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(C) આ શ્રેણી બે વૈકલ્પિક પેટર્ન ધરાવે છે.
એકી સ્થાનો પરની સંખ્યાઓ ($1, 3, 5, 7$ માં ક્રમે) એકી સંખ્યાઓના વર્ગ છે: $1 = 1^2, 9 = 3^2, 25 = 5^2, 49 = 7^2$.
બેકી સ્થાનો પરની સંખ્યાઓ ($2, 4, 6$ માં ક્રમે) બેકી સંખ્યાઓના ઘન છે: $16 = 2^4, 64 = 4^3, 216 = 6^3$.
અહીં $16$ એ $2^4$ છે,જ્યારે અન્ય બેકી સ્થાનો પરની સંખ્યાઓ ($64$ અને $216$) એ $4^3$ અને $6^3$ છે. તેથી,$16$ એ અસંગત સંખ્યા છે.

(C) શ્રેણીમાં અનુસરવામાં આવતી પેટર્ન $x_{n} = 2 \times x_{n+1} + 4 \times k$ છે,જ્યાં $k$ એ $6$ થી શરૂ થતી ઘટતી પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
પગલું $1$: $864 = 2 \times 420 + 4 \times 6 = 840 + 24 = 864$ (સાચું)
પગલું $2$: $420 = 2 \times 200 + 4 \times 5 = 400 + 20 = 420$ (સાચું)
પગલું $3$: $200 = 2 \times 92 + 4 \times 4 = 184 + 16 = 200$ (અહીં $96$ ખોટું છે,તેના બદલે $92$ હોવું જોઈએ)
પગલું $4$: $92 = 2 \times 40 + 4 \times 3 = 80 + 12 = 92$ (સાચું)
પગલું $5$: $40 = 2 \times 16 + 4 \times 2 = 32 + 8 = 40$ (સાચું)
પગલું $6$: $16 = 2 \times 6 + 4 \times 1 = 12 + 4 = 16$ (સાચું)
તેથી,$96$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(D) ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત શોધો:
$13 - 9 = 4$
$21 - 13 = 8$
$37 - 21 = 16$
$69 - 37 = 32$
તફાવતની પેટર્ન $4, 8, 16, 32, ...$ છે,જે $2^n$ ના નિયમનું પાલન કરે છે અથવા અગાઉના તફાવતને $2$ વડે ગુણવાથી મળે છે.
આ પેટર્ન મુજબ,આગળનો તફાવત $32 \times 2 = 64$ હોવો જોઈએ.
તેથી,આગળનું પદ $69 + 64 = 133$ હોવું જોઈએ.
જોકે,આપેલ પદ $132$ છે.
આગળનું સ્ટેપ તપાસતા: $261 - 133 = 128$,જે $64 \times 2 = 128$ છે.
આમ,$132$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(B) ચાલો શ્રેણીને બે વૈકલ્પિક પેટા-શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરીને તેનું વિશ્લેષણ કરીએ:
પેટા-શ્રેણી $1$ (એકી સ્થાનો): $2, 18, 24, 34$
પેટા-શ્રેણી $2$ (બેકી સ્થાનો): $5, 19, 29$
પેટા-શ્રેણી $2$ માં તફાવત જોતા: $19 - 5 = 14$ અને $29 - 19 = 10$. આ પેટર્ન $4$ ના ઘટતા તફાવત $(14, 10, 6, ...)$ સૂચવે છે.
પેટા-શ્રેણી $1$ જોતા: તફાવત $18 - 2 = 16$,$24 - 18 = 6$,અને $34 - 24 = 10$ છે.
જો આપણે ધારીએ કે પેટા-શ્રેણી $1$ માટેની પેટર્ન પેટા-શ્રેણી $2$ માં જોવા મળતા તફાવત $(14, 10, 6)$ સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ,તો પ્રથમ પદ $2$ ખોટું છે. જો આપણે $2$ ને $16$ વડે બદલીએ,તો શ્રેણી $16, 5, 18, 19, 24, 29, 34$ બને છે. એકી-સ્થાનના પદો $16, 18, 24, 34$ બને છે જેમાં તફાવત $2, 6, 10$ છે,જે તફાવતોની સમાંતર શ્રેણીને અનુસરે છે. આમ,$2$ એ ખોટી સંખ્યા છે.

(B) ચાલો શ્રેણીમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ:
$5 - 1 = 4$
$11 - 5 = 6$
$19 - 11 = 8$
$29 - 19 = 10$
$55 - 29 = 26$
તફાવત એ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓની પેટર્ન અનુસરે છે: $4, 6, 8, 10, 12, \dots$
આ પેટર્ન મુજબ,$10$ પછીનો તફાવત $12$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$29$ પછીનું પદ $29 + 12 = 41$ હોવું જોઈએ.
આમ,$55$ આ પેટર્નમાં બંધબેસતું નથી,તેથી તે શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(C) આ શ્રેણી એકી અને બેકી સ્થાન પર રહેલી બે અલગ શ્રેણીઓ ધરાવે છે.
શ્રેણી $1$ (એકી સ્થાન): $2, 4, 8, 64$. આ $2^1, 2^2, 2^3, 2^6$ છે. ઘાતાંકની પેટર્ન $1, 2, 3, 4$ હોવી જોઈએ. તેથી,$2^6$ $(64)$ ખોટું છે અને તેના સ્થાને $2^4 = 16$ હોવું જોઈએ.
શ્રેણી $2$ (બેકી સ્થાન): $4, 16, 256$. આ $2^2, 2^4, 2^8$ છે. ઘાતાંકની પેટર્ન $2, 4, 8$ છે. આ શ્રેણી સુસંગત છે.
આમ,$64$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $2, 9, 28, 65, 126, 216, 344$ છે.
અહીં પેટર્ન તપાસો:
$1^3 + 1 = 2$
$2^3 + 1 = 9$
$3^3 + 1 = 28$
$4^3 + 1 = 65$
$5^3 + 1 = 126$
$6^3 + 1 = 217$
$7^3 + 1 = 344$
આપેલ શ્રેણીમાં $217$ ને બદલે $216$ આપેલ છે. તેથી,$216$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) ચાલો શ્રેણીમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસીએ: $58, 57, 54, 50, 42, 33, 22$.
$58 - 57 = 1$
$57 - 54 = 3$
$54 - 50 = 4$
$50 - 42 = 8$
$42 - 33 = 9$
$33 - 22 = 11$
જો આપણે તફાવતની પેટર્ન જોઈએ,તો તે એકી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં હોવી જોઈએ: $1, 3, 5, 7, 9, 11$.
આ પેટર્ન સાથે શ્રેણી તપાસતા:
$58 - 1 = 57$
$57 - 3 = 54$
$54 - 5 = 49$
$49 - 7 = 42$
$42 - 9 = 33$
$33 - 11 = 22$
આપેલ શ્રેણી $58, 57, 54, 50, 42, 33, 22$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $50$ એ ખોટું પદ છે,કારણ કે ત્યાં $49$ હોવું જોઈએ.
આમ,$50$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે.

(A) ચાલો આપેલી શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $0, 9, 64, 169, 576, 1225$.
આ સંખ્યાઓને $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે $(n^2 - 1)^2$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે:
$n=1$ માટે: $(1^2 - 1)^2 = 0^2 = 0$
$n=2$ માટે: $(2^2 - 1)^2 = 3^2 = 9$
$n=3$ માટે: $(3^2 - 1)^2 = 8^2 = 64$
$n=4$ માટે: $(4^2 - 1)^2 = 15^2 = 225$
$n=5$ માટે: $(5^2 - 1)^2 = 24^2 = 576$
$n=6$ માટે: $(6^2 - 1)^2 = 35^2 = 1225$
સાચી શ્રેણી $0, 9, 64, 225, 576, 1225$ હોવી જોઈએ. સંખ્યા $169$ એ પેટર્ન $(n^2 - 1)^2$ માં બંધબેસતી નથી. $169$ ને બદલે $225$ મૂકવાથી શ્રેણી સુસંગત બને છે. આમ,$169$ એ અસંગત સંખ્યા છે અને $225$ એ સાચું પદ છે જે ત્યાં હોવું જોઈએ. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો જવાબ છે.

(A) ચાલો શ્રેણીની પેટર્નનું વિશ્લેષણ કરીએ: $1, 3, 7, 19, 42, 89, 184$.
પેટર્ન મુજબ: $x_{n+1} = x_n \times 2 + k$,જ્યાં $k$ દરેક વખતે $1$ થી વધે છે $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$:
$1 \times 2 + 1 = 3$
$3 \times 2 + 2 = 8$ (અહીં $7$ આપેલ છે)
$8 \times 2 + 3 = 19$
$19 \times 2 + 4 = 42$
$42 \times 2 + 5 = 89$
$89 \times 2 + 6 = 184$
અહીં $7$ એ સંખ્યા છે જે આ પેટર્નને અનુસરતી નથી,તેથી તે અસંગત સંખ્યા છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) શ્રેણીનું ધ્યાનપૂર્વક અવલોકન કરતા જણાય છે કે આ સંખ્યાઓ ઉતરતા ક્રમમાં એકી સંખ્યાઓના વર્ગ છે.
આ શ્રેણી આ મુજબ છે: $13^2, 11^2, 9^2, 7^2, 5^2, 3^2, 1^2$.
આ કિંમતોની ગણતરી કરતા: $169, 121, 81, 49, 25, 9, 1$.
આને આપેલી શ્રેણી $169, 121, 80, 49, 25, 9, 1$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $80$ એ શ્રેણીમાં અસંગત સંખ્યા છે કારણ કે ત્યાં $81$ હોવા જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.