Simple Interest Questions in Hindi

(C) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $9500$,मिश्रधन $(A)$ = ₹ $17622.5$,दर $(R)$ = $4.5 \%$ प्रति वर्ष।
साधारण ब्याज $(S.I)$ = मिश्रधन - मूलधन = $17622.5 - 9500 = ₹ 8122.5$।
साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करने पर: $S.I = \frac{P \times N \times R}{100}$,जहाँ $N$ वर्षों में समय है।
$8122.5 = \frac{9500 \times N \times 4.5}{100}$।
$8122.5 = 95 \times N \times 4.5$।
$8122.5 = 427.5 \times N$।
$N = \frac{8122.5}{427.5} = 19$।
अतः,आवश्यक समय $19$ वर्ष है।

(C) माना ब्याज की दर $r \%$ प्रति वर्ष है।
साधारण ब्याज की गणना का सूत्र: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
जाबिर के लिए: मूलधन $P_1 = ₹ 10800$,समय $T_1 = 3$ वर्ष,दर $= r \%$.
$SI_1 = \frac{10800 \times r \times 3}{100} = 324r$.
कबीर के लिए: मूलधन $P_2 = ₹ 7500$,समय $T_2 = 2$ वर्ष,दर $= r \%$.
$SI_2 = \frac{7500 \times r \times 2}{100} = 150r$.
प्राप्त कुल ब्याज $= SI_1 + SI_2 = 1422$.
$324r + 150r = 1422$.
$474r = 1422$.
$r = \frac{1422}{474} = 3$.
अतः,ब्याज की दर $3 \%$ प्रति वर्ष है।

(D) माना ब्याज की दर $r \%$ प्रति वर्ष है।
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
जयचंद से प्राप्त ब्याज $= \frac{8800 \times 13 \times r}{100} = 1144r$.
दूसरे व्यक्ति से प्राप्त ब्याज $= \frac{5500 \times 12 \times r}{100} = 660r$.
कुल प्राप्त ब्याज $= 1144r + 660r = 1804r$.
दिया गया है कि कुल ब्याज ₹ $14432$ है,इसलिए:
$1804r = 14432$.
$r$ का मान ज्ञात करने पर:
$r = \frac{14432}{1804} = 8$.
अतः,ब्याज की दर $8 \%$ प्रति वर्ष है।

(B) माना मूलधन $P = x$ है।
चूंकि राशि दोगुनी हो जाती है,इसलिए अंतिम राशि $2x$ हो जाएगी।
अतः,अर्जित साधारण ब्याज $(S.I.)$ = $2x - x = x$ होगा।
ब्याज की दर $(R)$ = $12 \frac{1}{2} \% = 12.5 \% = \frac{25}{2} \%$ है।
साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times N \times R}{100}$ है,जहाँ $N$ वर्षों में समय है।
मान रखने पर: $x = \frac{x \times N \times 12.5}{100}$।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर: $1 = \frac{N \times 12.5}{100}$।
$N = \frac{100}{12.5} = 8$।
अतः,लिया गया समय $8$ वर्ष है।

(D) साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times N \times R}{100}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$N$ वर्षों में समय है,और $R$ प्रति वर्ष ब्याज की दर है।
दिया गया है: $P = ₹ 5400$,$N = 5$ वर्ष,$R = 12 \%$.
सूत्र में मान रखने पर:
$S.I. = \frac{5400 \times 5 \times 12}{100}$
$S.I. = 54 \times 5 \times 12$
$S.I. = 270 \times 12$
$S.I. = ₹ 3240$.

(D) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R$ प्रतिशत प्रति वर्ष है।
$5$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ $= A_1 - P = 1020 - P$.
$8$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ $= A_2 - P = 1200 - P$.
चूंकि साधारण ब्याज हर साल समान रहता है,इसलिए $(8 - 5) = 3$ वर्षों का ब्याज $1200 - 1020 = ₹ 180$ है।
$1$ वर्ष का ब्याज $= 180 / 3 = ₹ 60$.
$5$ वर्षों का ब्याज $= 60 \times 5 = ₹ 300$.
मूलधन $P = 5$ वर्षों के बाद की राशि - $5$ वर्षों का ब्याज।
$P = 1020 - 300 = ₹ 720$.

(C) माना मूलधन $P$ है।
साधारण ब्याज के सूत्र के अनुसार,मिश्रधन $A = P + SI$,जहाँ $SI = (P \times R \times T) / 100$ है।
दिया गया है कि राशि $3$ वर्षों में $5$ गुना हो जाती है,इसलिए $A = 5P$ है।
अतः,$SI = 5P - P = 4P$ है।
$SI = (P \times R \times T) / 100$ का उपयोग करने पर,$4P = (P \times R \times 3) / 100$,जिसका अर्थ है कि $R = 400 / 3 \%$ है।
अब,हम चाहते हैं कि राशि $13$ गुना हो जाए,इसलिए $A = 13P$ है।
इसका अर्थ है कि $SI = 13P - P = 12P$ है।
पुनः $SI = (P \times R \times T) / 100$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$12P = (P \times (400 / 3) \times T) / 100$
$12 = (4 / 3) \times T$
$T = 12 \times (3 / 4) = 9 \text{ वर्ष}$।
अतः,वह राशि $9$ वर्षों में $13$ गुना हो जाएगी।

(A) $1.5$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(S.I.)$ $= 969 - 918 = ₹ 51$.
$1$ वर्ष के लिए साधारण ब्याज $= \frac{51}{1.5} = ₹ 34$.
$2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $= 34 \times 2 = ₹ 68$.
मूलधन $(P)$ $= \text{मिश्रधन} - S.I. = 918 - 68 = ₹ 850$.
सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करने पर:
$68 = \frac{850 \times R \times 2}{100}$.
$68 = 17 \times R$.
$R = \frac{68}{17} = 4 \% \text{ p.a.}$

(B) दिया गया है:
मूलधन $(P) = ₹ 9500$
समय $(T) = 10 \text{ वर्ष}$
साधारण ब्याज $(S.I.) = P \text{ का } 130\%$
गणना:
$S.I. = \frac{130}{100} \times 9500 = 130 \times 95 = ₹ 12350$
साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$
$12350 = \frac{9500 \times R \times 10}{100}$
$12350 = 950 \times R$
$R = \frac{12350}{950}$
$R = 13\%$
अतः,प्रति वर्ष ब्याज की दर $13\%$ है।

(C) साधारण ब्याज का सूत्र $S.I = \frac{P \times R \times T}{100}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है,और $T$ समय अवधि है।
दिया गया है: $S.I = ₹ 3200$,$R = 6.25 \%$,और $T = 4 \text{ वर्ष}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$3200 = \frac{P \times 6.25 \times 4}{100}$
$3200 = \frac{P \times 25}{100}$
$3200 = \frac{P}{4}$
$P = 3200 \times 4 = ₹ 12800$.
अतः,मूलधन ₹ $12800$ है।

(D) नाममात्र दर $13 \%$ प्रति वर्ष है,जिसका संयोजन अर्धवार्षिक रूप से होता है।
अर्धवार्षिक दर $r = \frac{13}{2} \% = 6.5 \%$ है।
प्रभावी वार्षिक दर $(EAR)$ की गणना करने का सूत्र: $\text{EAR} = (1 + \frac{r}{100})^n - 1$,जहाँ $n$ प्रति वर्ष संयोजनों की संख्या है।
यहाँ,$n = 2$ (क्योंकि यह अर्धवार्षिक है)।
$\text{EAR} = (1 + \frac{6.5}{100})^2 - 1$
$\text{EAR} = (1.065)^2 - 1$
$\text{EAR} = 1.134225 - 1 = 0.134225$
प्रतिशत में बदलने पर: $0.134225 \times 100 = 13.4225 \% \approx 13.42 \%$.
अतः,प्रभावी वार्षिक दर $13.42 \%$ है।

(A) माना ब्याज की दर $r \%$ है।
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
$B$ से प्राप्त ब्याज $= \frac{10000 \times r \times 3}{100} = 300r$।
$C$ से प्राप्त ब्याज $= \frac{6000 \times r \times 4}{100} = 240r$।
कुल प्राप्त ब्याज $5400$ है।
अतः,$300r + 240r = 5400$।
$540r = 5400$।
$r = \frac{5400}{540} = 10 \%$।
इस प्रकार,ब्याज की दर $10 \%$ है।

(B) पहले वर्ष के बाद की राशि $x \times (1 + \frac{10}{100}) = x \times \frac{110}{100}$ होगी।
दूसरे वर्ष के बाद,राशि $(x \times \frac{110}{100}) \times (1 + \frac{15}{100}) = x \times \frac{110}{100} \times \frac{115}{100}$ हो जाएगी।
यह दिया गया है कि अंतिम राशि ₹ $20,240$ है,इसलिए:
$x \times \frac{110}{100} \times \frac{115}{100} = 20240$.
$x \times 1.1 \times 1.15 = 20240$.
$x \times 1.265 = 20240$.
$x = \frac{20240}{1.265} = 16000$.
अतः,मूलधन राशि $x$ ₹ $16000$ है।

(C) माना मूलधन $P = 10x$ है और साधारण ब्याज $S.I. = 3x$ है।
ब्याज की दर $R = 6 \%$ प्रति वर्ष है।
साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times N \times R}{100}$ है,जहाँ $N$ वर्षों की संख्या है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$3x = \frac{10x \times N \times 6}{100}$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $x \neq 0$):
$3 = \frac{60N}{100}$
$3 = \frac{3N}{5}$
$N = 3 \times \frac{5}{3} = 5 \text{ years}$.
अतः,आवश्यक समय $5$ वर्ष है।

(B) साधारण ब्याज का सूत्र $S.I = \frac{P \times N \times R}{100}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$N$ वर्षों में समय है,और $R$ ब्याज की दर है।
दिया गया है: $S.I = ₹ 840$,$N = 8$ वर्ष,$R = 5 \%$.
मान रखने पर: $840 = \frac{P \times 8 \times 5}{100}$.
$840 = \frac{P \times 40}{100} \Rightarrow 840 = \frac{P}{2.5} \Rightarrow P = 840 \times 2.5 = ₹ 2100$.
अब,समान मूलधन $P = ₹ 2100$ और समान ब्याज $S.I = ₹ 840$ के लिए,हमें $N = 5$ वर्षों के लिए नई दर $R$ ज्ञात करनी है।
$840 = \frac{2100 \times 5 \times R}{100}$.
$840 = 21 \times 5 \times R$.
$840 = 105 \times R$.
$R = \frac{840}{105} = 8 \%$.
अतः,आवश्यक ब्याज की दर $8 \%$ है।

(B) माना कि पहला भाग $₹ x$ है। तो दूसरा भाग $₹ (2800 - x)$ होगा।
चूंकि दोनों भागों पर साधारण ब्याज समान है,इसलिए हम $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
$\frac{x \times 9 \times 5}{100} = \frac{(2800 - x) \times 10 \times 6}{100}$
$45x = (2800 - x) \times 60$
दोनों पक्षों को $15$ से विभाजित करने पर:
$3x = (2800 - x) \times 4$
$3x = 11200 - 4x$
$7x = 11200$
$x = 1600$
अतः,पहला भाग $₹ 1600$ है और दूसरा भाग $2800 - 1600 = ₹ 1200$ है।

(C) दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 1$.
साधारण ब्याज $(S.I.) = 1$ पैसा $= ₹ \frac{1}{100}$.
समय $(T) = 1$ महीना $= \frac{1}{12}$ वर्ष।
हम साधारण ब्याज का सूत्र जानते हैं: $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{100} = \frac{1 \times R \times (1/12)}{100}$.
सरल करने पर: $\frac{1}{100} = \frac{R}{1200}$.
$R = \frac{1200}{100} = 12$.
अतः,प्रति वर्ष ब्याज की दर $12 \%$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है और प्रति वर्ष साधारण ब्याज $I$ है।
दिया गया है कि $2$ $\text{वर्षों}$ के बाद राशि $P + 2I = 5182$ है और $3$ $\text{वर्षों}$ के बाद राशि $P + 3I = 5832$ है।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(P + 3I) - (P + 2I) = 5832 - 5182$.
इससे $1$ $\text{वर्ष}$ का साधारण ब्याज प्राप्त होता है: $I = 650$.
अब,$I$ का मान $2$ $\text{वर्षों}$ वाले समीकरण में रखने पर: $P + 2(650) = 5182$.
$P + 1300 = 5182$.
$P = 5182 - 1300 = 3882$.
अतः,मूलधन ₹ $3882$ है।

(B) साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ वार्षिक ब्याज दर है और $T$ समय वर्षों में है।
यहाँ दिया गया है कि $S.I. = R$,$T = 2$ वर्ष और दर $R \%$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{P \times R \times 2}{100}$
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $R \neq 0$):
$1 = \frac{P \times 2}{100}$
$1 = \frac{P}{50}$
$P = 50$
अतः,मूलधन राशि $₹ 50$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R\%$ है।
दिया गया है कि राशि $7$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए साधारण ब्याज $(S.I.)$ $P$ है।
सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करने पर,$P = \frac{P \times R \times 7}{100}$,जिसका अर्थ है $R = \frac{100}{7}\%$.
अब,हम राशि को $4$ गुना करना चाहते हैं,जिसका अर्थ है मिश्रधन $A = 4P$। अतः,आवश्यक साधारण ब्याज $S.I. = A - P = 4P - P = 3P$ होगा।
सूत्र $3P = \frac{P \times R \times T}{100}$ में $R = \frac{100}{7}$ रखने पर:
$3P = \frac{P \times (100/7) \times T}{100}$
$3 = \frac{T}{7}$
$T = 21 \text{ वर्ष}$.
अतः,वह राशि $21$ वर्षों में $4$ गुनी हो जाएगी।

(D) माना कि मूलधन $P$ है और समय अवधि $T$ वर्ष है।
मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P + \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $2200 = P + \frac{P \times 5 \times T}{100} \implies 2200 = P(1 + 0.05T) \quad -(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $2320 = P + \frac{P \times 8 \times T}{100} \implies 2320 = P(1 + 0.08T) \quad -(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2320}{2200} = \frac{1 + 0.08T}{1 + 0.05T}$
$\frac{232}{220} = \frac{1 + 0.08T}{1 + 0.05T} \implies \frac{58}{55} = \frac{1 + 0.08T}{1 + 0.05T}$
$58(1 + 0.05T) = 55(1 + 0.08T)$
$58 + 2.9T = 55 + 4.4T$
$58 - 55 = 4.4T - 2.9T$
$3 = 1.5T$
$T = \frac{3}{1.5} = 2$ वर्ष।

(B) माना मूलधन $P$ है।
चूंकि राशि स्वयं की दोगुनी हो जाती है,इसलिए मिश्रधन $A = 2P$ होगा।
अतः,साधारण ब्याज $(S.I.)$ = $A - P = 2P - P = P$ होगा।
हम जानते हैं कि साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ है,जहाँ $R$ ब्याज की दर है और $T$ वर्षों में समय है।
मान रखने पर: $P = \frac{P \times R \times 15}{100}$।
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = \frac{15R}{100}$ प्राप्त होता है।
$R = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \%$।
अतः,ब्याज की दर $6 \frac{2}{3} \%$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है।
चूंकि धनराशि $5$ गुनी हो जाती है,इसलिए मिश्रधन $A = 5P$ होगा।
साधारण ब्याज $(S.I.)$ = $A - P = 5P - P = 4P$ होगा।
साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ है,जहाँ $R$ ब्याज की दर है और $T$ समय वर्षों में है।
मान रखने पर: $4P = \frac{P \times R \times 8}{100}$.
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर: $4 = \frac{8R}{100}$.
$400 = 8R$.
$R = \frac{400}{8} = 50 \%$.
अतः,ब्याज की दर $50 \%$ है।

(A) माना कि $N$ वर्षों के बाद ऋण की राशि बराबर हो जाती है।
$A$ के लिए ऋण की राशि = $P + \text{साधारण ब्याज} = P + \frac{P \times x \times N}{100}$.
$B$ के लिए ऋण की राशि = $Q + \text{साधारण ब्याज} = Q + \frac{Q \times y \times N}{100}$.
चूंकि ऋण की राशियाँ बराबर हैं,इसलिए:
$P + \frac{PxN}{100} = Q + \frac{QyN}{100}$.
$N$ के लिए हल करने पर:
$\frac{PxN}{100} - \frac{QyN}{100} = Q - P$.
$N \left(\frac{Px - Qy}{100}\right) = Q - P$.
$N = 100 \left(\frac{Q - P}{Px - Qy}\right)$ वर्ष।

(D) माना मूलधन $P = 100$ है।
दिया गया है कि ब्याज दर $10 \%$ वार्षिक है।
एक वर्ष के लिए ब्याज $I = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{100 \times 10 \times 1}{100} = 10$ होगा।
चूंकि साहूकार ब्याज अग्रिम (advance) में ले लेता है,इसलिए वह उधार लेने वाले को वास्तव में $100 - 10 = 90$ देता है।
अतः,उधार लेने वाले को प्रभावी रूप से $90$ प्राप्त होते हैं और वह एक वर्ष के लिए $10$ ब्याज के रूप में चुकाता है।
वास्तविक ब्याज दर की गणना $\text{Rate} = \frac{\text{Interest}}{\text{Actual Principal}} \times 100$ द्वारा की जाती है।
$\text{Rate} = \frac{10}{90} \times 100 = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9} \%$.

(B) विक्रय मूल्य $(S.P.)$ $1$ वर्ष बाद देय ₹ $2200$ का वर्तमान मूल्य $(P.W.)$ है।
वर्तमान मूल्य का सूत्र है: $P.W. = \frac{\text{Amount} \times 100}{100 + (R \times T)}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $P.W. = \frac{2200 \times 100}{100 + (10 \times 1)} = \frac{220000}{110} = ₹ 2000$.
चूंकि क्रय मूल्य $(C.P.)$ ₹ $1950$ है,इसलिए लाभ = $S.P. - C.P. = 2000 - 1950 = ₹ 50$ होगा।

(A) माना कि ब्याज की दर $R\%$ प्रति वर्ष है।
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ होता है।
पहले व्यक्ति के लिए: $SI_1 = \frac{400 \times R \times 3}{100} = 12R$.
दूसरे व्यक्ति के लिए: $SI_2 = \frac{500 \times R \times 4}{100} = 20R$.
प्रश्न के अनुसार,प्राप्त कुल ब्याज ₹ $160$ है।
$12R + 20R = 160$
$32R = 160$
$R = \frac{160}{32} = 5$.
अतः,ब्याज की दर $5\%$ प्रति वर्ष है।

(D) माना मूलधन $P$ है और वार्षिक ब्याज दर $R \%$ है।
प्रश्न के अनुसार,साधारण ब्याज $(S.I.)$ मूलधन का $\frac{8}{25}$ है,यानी $S.I. = \frac{8}{25} P$।
समय $(T)$ वर्षों में वार्षिक ब्याज दर का आधा है,इसलिए $T = \frac{R}{2}$।
साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{8}{25} P = \frac{P \times R \times (R/2)}{100}$।
दोनों पक्षों से $P$ को काटने पर: $\frac{8}{25} = \frac{R^2}{200}$।
$R^2$ के लिए हल करने पर: $R^2 = \frac{8 \times 200}{25} = 8 \times 8 = 64$।
वर्गमूल लेने पर: $R = \sqrt{64} = 8$।
अतः,वार्षिक ब्याज दर $8 \%$ है।

(A) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R$ है।
$2$ वर्षों के बाद मिश्रधन $= 720$.
$2 + 5 = 7$ वर्षों के बाद मिश्रधन $= 1020$.
$5$ वर्षों का साधारण ब्याज $= 1020 - 720 = 300$.
$1$ वर्ष का साधारण ब्याज $= 300 / 5 = 60$.
$2$ वर्षों का साधारण ब्याज $= 60 \times 2 = 120$.
मूलधन $P = 2$ वर्षों के बाद मिश्रधन - $2$ वर्षों का ब्याज।
$P = 720 - 120 = 600$.
अतः,मूलधन $Rs. 600$ है।

(A) माना कि प्रत्येक मामले में जमा की गई मूलधन राशि $P$ है।
कंपनी के लिए:
मूलधन = $P$,दर $(r_1)$ = $12 \%$,समय $(t_1)$ = $4$ वर्ष।
साधारण ब्याज $(SI_1)$ = $\frac{P \times r_1 \times t_1}{100} = \frac{P \times 12 \times 4}{100} = \frac{48P}{100}$।
बैंक के लिए:
मूलधन = $P$,दर $(r_2)$ = $15 \%$,समय $(t_2)$ = $5$ वर्ष।
साधारण ब्याज $(SI_2)$ = $\frac{P \times r_2 \times t_2}{100} = \frac{P \times 15 \times 5}{100} = \frac{75P}{100}$।
दिया गया है कि ब्याज में अंतर $Rs. 1350$ है:
$SI_2 - SI_1 = 1350$
$\frac{75P}{100} - \frac{48P}{100} = 1350$
$\frac{27P}{100} = 1350$
$P = \frac{1350 \times 100}{27}$
$P = 50 \times 100 = 5000$।
अतः,प्रत्येक मामले में जमा की गई राशि $Rs. 5000$ है।

(A) माना $8 \%$ की ब्याज दर पर उधार दी गई राशि $₹ x$ है।
अतः,$\frac{4}{3} \%$ की ब्याज दर पर उधार दी गई राशि $₹(20,000 - x)$ होगी।
साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$1$ वर्ष के बाद कुल ब्याज ₹ $800$ है।
$\frac{x \times 8 \times 1}{100} + \frac{(20000 - x) \times (4/3) \times 1}{100} = 800$
$\frac{8x}{100} + \frac{4(20000 - x)}{300} = 800$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $300$ से गुणा करने पर:
$3(8x) + 4(20000 - x) = 800 \times 300$
$24x + 80000 - 4x = 240000$
$20x = 240000 - 80000$
$20x = 160000$
$x = \frac{160000}{20} = 8000$.
अतः,$8 \%$ की दर पर उधार दी गई राशि ₹ $8000$ है।

(C) माना कि उधार ली गई मूलधन राशि $₹ x$ है।
कुल ब्याज की गणना साधारण ब्याज के सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ के आधार पर की जाती है।
पहले $3$ वर्षों के लिए $6 \% \text{ p.a.}$ की दर पर,ब्याज $= \frac{x \times 6 \times 3}{100} = \frac{18x}{100}$।
अगले $5$ वर्षों के लिए $9 \% \text{ p.a.}$ की दर पर,ब्याज $= \frac{x \times 9 \times 5}{100} = \frac{45x}{100}$।
शेष $11 - (3 + 5) = 3$ वर्षों के लिए $13 \% \text{ p.a.}$ की दर पर,ब्याज $= \frac{x \times 13 \times 3}{100} = \frac{39x}{100}$।
कुल ब्याज ₹ $8,160$ दिया गया है।
अतः,$\frac{18x + 45x + 39x}{100} = 8160$।
$\frac{102x}{100} = 8160$।
$102x = 816000$।
$x = \frac{816000}{102} = 8000$।
इस प्रकार,नितिन द्वारा उधार ली गई धनराशि ₹ $8,000$ थी।

(A) माना $6 \%$ की ब्याज दर पर उधार दी गई राशि ₹ $x$ है।
अतः,$8 \%$ की ब्याज दर पर उधार दी गई राशि ₹ $(16800 - x)$ है।
प्राप्त कुल साधारण ब्याज $SI = 19000 - 16800 = ₹ 2200$ है।
साधारण ब्याज के सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x \times 6 \times 2}{100} + \frac{(16800 - x) \times 8 \times 2}{100} = 2200$
$12x + 16(16800 - x) = 220000$
$12x + 268800 - 16x = 220000$
$-4x = 220000 - 268800$
$-4x = -48800$
$x = \frac{48800}{4} = 12200$.
अतः,$6 \%$ की ब्याज दर पर उधार दी गई राशि ₹ $12200$ है।

(D) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R\%$ प्रति वर्ष है।
$4$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज,$SI_1 = \frac{P \times R \times 4}{100}$.
$6$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज,$SI_2 = \frac{P \times R \times 6}{100}$.
प्रश्न के अनुसार,$SI_2$,$SI_1$ से $50\%$ अधिक है।
अतः,$SI_2 = SI_1 + 0.50 \times SI_1 = 1.5 \times SI_1$.
मान रखने पर: $\frac{P \times R \times 6}{100} = 1.5 \times \frac{P \times R \times 4}{100}$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर: $\frac{6PR}{100} = \frac{6PR}{100}$.
चूंकि यह समीकरण $R$ के किसी भी मान के लिए सत्य है,इसलिए दी गई जानकारी से ब्याज की दर निर्धारित नहीं की जा सकती है।

(D) माना मूलधन $P$ है और वार्षिक ब्याज दर $r \%$ है।
प्रश्न के अनुसार,वर्षों की संख्या $T$,ब्याज दर $r$ के बराबर है,इसलिए $T = r$.
साधारण ब्याज $SI$,मूलधन का $\frac{1}{9}$ है,इसलिए $SI = \frac{P}{9}$.
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times r \times T}{100}$ है।
मान रखने पर: $\frac{P}{9} = \frac{P \times r \times r}{100}$.
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{r^2}{100}$.
$r^2 = \frac{100}{9}$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} \%$.

(D) कुल मूलधन = ₹ $20,000$.
पहले दोस्त से ₹ $12,000$ पर $8 \%$ वार्षिक दर से $1$ वर्ष का ब्याज = $\frac{12000 \times 8 \times 1}{100} = ₹ 960$.
कुल ₹ $20,000$ पर $10 \%$ के हिसाब से वांछित लाभ = $\frac{20000 \times 10}{100} = ₹ 2,000$.
दूसरे दोस्त को दी जाने वाली शेष मूलधन राशि = $20000 - 12000 = ₹ 8,000$.
दूसरे दोस्त से प्राप्त होने वाला आवश्यक ब्याज = $2000 - 960 = ₹ 1,040$.
माना दूसरे दोस्त के लिए ब्याज दर $R \%$ है।
सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करने पर,$1040 = \frac{8000 \times R \times 1}{100}$.
$R = \frac{1040}{80} = 13 \%$.
अतः,आवश्यक ब्याज दर $13 \%$ प्रति वर्ष है।

(B) माना मूलधन $P$ है।
चूंकि धनराशि दोगुनी हो जाती है,इसलिए मिश्रधन $A = 2P$ होगा।
साधारण ब्याज $SI = A - P = 2P - P = P$ होगा।
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है,जहाँ $R = 20 \%$ और $T$ वर्षों में समय है।
मान रखने पर: $P = \frac{P \times 20 \times T}{100}$।
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर: $1 = \frac{20 \times T}{100}$।
$1 = \frac{T}{5}$।
अतः,$T = 5$ वर्ष।

(C) दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 800$,मिश्रधन $(A) = ₹ 956$,समय $(T) = 3$ वर्ष।
साधारण ब्याज $(SI) = A - P = 956 - 800 = ₹ 156$।
सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करके,हम प्रारंभिक दर $(R)$ ज्ञात करते हैं:
$156 = \frac{800 \times R \times 3}{100} \implies 156 = 24R \implies R = \frac{156}{24} = 6.5 \%$।
नई ब्याज दर $= 6.5 \% + 4 \% = 10.5 \%$।
नया साधारण ब्याज $(SI') = \frac{800 \times 10.5 \times 3}{100} = 8 \times 10.5 \times 3 = 24 \times 10.5 = ₹ 252$।
नया मिश्रधन $= P + SI' = 800 + 252 = ₹ 1052$।

(B) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R = x \%$ है। दिया गया है कि समय $T$ (वर्षों में) दर $R$ के बराबर है,इसलिए $T = x$.
साधारण ब्याज $(SI)$ मूलधन का $\frac{16}{25}$ है,अर्थात $SI = \frac{16}{25} P$.
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{16}{25} P = \frac{P \times x \times x}{100}$.
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर: $\frac{16}{25} = \frac{x^2}{100}$.
$x^2 = \frac{16}{25} \times 100$.
$x^2 = 16 \times 4 = 64$.
$x = \sqrt{64} = 8$.
अतः,ब्याज की दर $8 \%$ है।

(B) साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ होता है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है,और $T$ वर्षों में समय है।
प्रश्न के अनुसार,₹ $x$ पर $a \%$ की दर से $m$ वर्षों का साधारण ब्याज,₹ $y$ पर $a^2 \%$ की दर से $m^2$ वर्षों के साधारण ब्याज के बराबर है।
अतः,हम लिख सकते हैं:
$\frac{x \times a \times m}{100} = \frac{y \times a^2 \times m^2}{100}$
दोनों पक्षों से $100$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \times a \times m = y \times a^2 \times m^2$
अनुपात $x: y$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $y$ से और फिर $(a \times m)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{y} = \frac{a^2 \times m^2}{a \times m}$
$\frac{x}{y} = am$
इस प्रकार,$x: y = am: 1$.

(D) माना कि $A$ ने $B$ से ₹ $x$ उधार लिए।
अतः,$C$ से ली गई राशि ₹ $(1200 - x)$ होगी।
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
प्रश्न के अनुसार,एक वर्ष में भुगतान किया गया कुल ब्याज ₹ $172$ है:
$\frac{x \times 14 \times 1}{100} + \frac{(1200 - x) \times 15 \times 1}{100} = 172$
पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करने पर:
$14x + 15(1200 - x) = 17200$
$14x + 18000 - 15x = 17200$
$-x + 18000 = 17200$
$x = 18000 - 17200$
$x = 800$
अतः,$A$ ने $B$ से ₹ $800$ उधार लिए थे।

(B) माना छोटे पुत्र का हिस्सा $₹ x$ है। तो बड़े पुत्र का हिस्सा $₹ (120000 - x)$ होगा।
छोटा पुत्र $12$ वर्ष का है,इसलिए उसे $18 - 12 = 6$ वर्ष बाद राशि प्राप्त होगी।
बड़ा पुत्र $14$ वर्ष का है,इसलिए उसे $18 - 14 = 4$ वर्ष बाद राशि प्राप्त होगी।
चूंकि $5 \%$ वार्षिक साधारण ब्याज की दर से $18$ वर्ष की आयु में दोनों की राशि समान हो जाती है:
छोटे पुत्र के लिए राशि $= x + \frac{x \times 5 \times 6}{100} = x(1 + 0.3) = 1.3x$
बड़े पुत्र के लिए राशि $= (120000 - x) + \frac{(120000 - x) \times 5 \times 4}{100} = (120000 - x)(1 + 0.2) = 1.2(120000 - x)$
दोनों राशियों को बराबर करने पर:
$1.3x = 1.2(120000 - x)$
$1.3x = 144000 - 1.2x$
$2.5x = 144000$
$x = \frac{144000}{2.5} = 57600$
अतः,छोटे पुत्र का हिस्सा $₹ 57600$ है।

(B) चरण $1$: साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके ब्याज की दर $(r)$ ज्ञात करें: $SI = \frac{P \times r \times t}{100}$.
यहाँ $SI = 10800$,$P = 22500$,और $t = 4$ वर्ष दिया गया है।
$10800 = \frac{22500 \times r \times 4}{100} \implies 10800 = 900 \times r \implies r = \frac{10800}{900} = 12 \%$.
चरण $2$: $t = 2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ सूत्र द्वारा ज्ञात करें: $CI = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t - P$.
$CI = 22500 \left(1 + \frac{12}{100}\right)^2 - 22500$.
$CI = 22500 \left(1.12\right)^2 - 22500$.
$CI = 22500 \times 1.2544 - 22500$.
$CI = 28224 - 22500 = 5724$.
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज ₹ $5724$ होगा।

(A) साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
दिया गया है,$S.I. = 1200$,$T = 4$ वर्ष,और $R = 8 \%$.
इन मानों को रखने पर: $1200 = \frac{P \times 8 \times 4}{100}$.
$P = \frac{1200 \times 100}{32} = 3750$.
अब,हमें मूलधन के तीन गुना $(3P)$ पर $6 \%$ प्रति वर्ष की दर से $3$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज ज्ञात करना है।
नया मूलधन $P' = 3 \times 3750 = 11250$.
नया $S.I. = \frac{11250 \times 6 \times 3}{100} = 112.5 \times 18 = 2025$.
अतः,साधारण ब्याज ₹ $2025$ होगा।

(C) माना कुल निवेशित पूंजी $₹ x$ है।
पूंजी को तीन भागों में विभाजित किया गया है:
भाग $1 = \frac{1}{3}x$ पर $7 \%$ ब्याज।
भाग $2 = \frac{1}{4}x$ पर $8 \%$ ब्याज।
भाग $3 = \left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)x = \left(\frac{12-4-3}{12}\right)x = \frac{5}{12}x$ पर $10 \%$ ब्याज।
कुल वार्षिक ब्याज इस प्रकार है:
$\text{ब्याज} = \left(\frac{\frac{1}{3}x \times 7}{100}\right) + \left(\frac{\frac{1}{4}x \times 8}{100}\right) + \left(\frac{\frac{5}{12}x \times 10}{100}\right) = 561$
$\frac{7x}{300} + \frac{8x}{400} + \frac{50x}{1200} = 561$
हर समान करने पर $(1200)$:
$\frac{28x + 24x + 50x}{1200} = 561$
$\frac{102x}{1200} = 561$
$x = \frac{561 \times 1200}{102} = 5.5 \times 1200 = 6600$
अतः,निवेश की गई कुल पूंजी ₹ $6600$ है।

(D) चरण $1$: मूल मूलधन $(P)$ की गणना करें।
साधारण ब्याज $(SI)$ = $\frac{P \times R \times T}{100}$
$1000 = \frac{P \times 5 \times 4}{100}$
$1000 = \frac{20P}{100} \implies 1000 = \frac{P}{5}$
$P = ₹ 5000$.
चरण $2$: नए मूलधन और चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें।
नया मूलधन $(P')$ = $2 \times P = 2 \times 5000 = ₹ 10000$.
दर $(R)$ = $5 \%$,समय $(T)$ = $2$ वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = $P' \times [(1 + \frac{R}{100})^T - 1]$
$CI = 10000 \times [(1 + \frac{5}{100})^2 - 1]$
$CI = 10000 \times [(1.05)^2 - 1]$
$CI = 10000 \times [1.1025 - 1]$
$CI = 10000 \times 0.1025 = ₹ 1025$.