Boats and Streams Questions in Hindi

(C) माना शांत जल में नाव की गति $u$ है और धारा की गति $v$ है।
धारा की दिशा में गति $u + v = 12 \, km/h$ है।
धारा के विपरीत दिशा में गति $u - v = 8 \, km/h$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(u + v) + (u - v) = 12 + 8 \implies 2u = 20 \implies u = 10 \, km/h$।
अतः,शांत जल में नाव की गति $10 \, km/h$ है।
शांत जल में $24 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{24}{10} = 2.4 \, h$ होगा।

(B) माना धारा की गति $x \text{ km/h}$ है।
चूंकि नाव $A$ धारा के अनुकूल (downstream) चलती है,इसलिए इसकी प्रभावी गति $(12 + x) \text{ km/h}$ है।
चूंकि नाव $B$ धारा के प्रतिकूल (upstream) चलती है,इसलिए इसकी प्रभावी गति $(15 - x) \text{ km/h}$ है।
माना नावें $t$ घंटे बाद मिलती हैं।
मिलने पर दोनों नावों द्वारा तय की गई कुल दूरी उनके बीच की प्रारंभिक दूरी यानी $108 \text{ km}$ के बराबर होगी।
अतः,$(12 + x)t + (15 - x)t = 108$.
समीकरण को सरल करने पर: $(12 + x + 15 - x)t = 108$.
$27t = 108$.
$t = \frac{108}{27} = 4 \text{ h}$.

(C) माना मोटरबोट की गति $36x\, km/h$ है और धारा की गति $5x\, km/h$ है।
धारा की दिशा में (downstream) नाव की गति $36x + 5x = 41x\, km/h$ होगी।
धारा की दिशा में यात्रा करने में लगा समय $5\, h\, 10\, min = 5 + \frac{10}{60} = 5 + \frac{1}{6} = \frac{31}{6}\, h$ है।
तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 41x \times \frac{31}{6} = \frac{1271x}{6}\, km$.
धारा के विपरीत दिशा में (upstream) नाव की गति $36x - 5x = 31x\, km/h$ होगी।
वापस आने में लगा समय (upstream) $= \frac{\text{दूरी}}{\text{धारा के विपरीत गति}} = \frac{1271x / 6}{31x} = \frac{1271}{6 \times 31} = \frac{41}{6}\, h$.
$\frac{41}{6}\, h$ को घंटों और मिनटों में बदलने पर: $\frac{41}{6} = 6\, h + \frac{5}{6} \times 60\, min = 6\, h\, 50\, min$.

(D) धारा की दिशा में व्यक्ति की गति $= \frac{15\, km}{1\, h} = 15\, km/h$ है।
माना कि शांत जल में व्यक्ति की गति $v_m$ है और धारा की गति $v_c = 5\, km/h$ है।
धारा की दिशा में गति $= v_m + v_c = 15\, km/h$।
अतः,$v_m + 5 = 15$,जिससे $v_m = 10\, km/h$ प्राप्त होता है।
धारा के विपरीत दिशा में गति $= v_m - v_c = 10 - 5 = 5\, km/h$।
$15\, km$ की दूरी धारा के विपरीत दिशा में तय करने में लिया गया समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{धारा के विपरीत गति}} = \frac{15}{5} = 3\, h$।

(C) माना कि स्थान की दूरी $x \, km$ है।
धारा की दिशा में नाव की गति $(5 + 3) \, km/h = 8 \, km/h$ है।
धारा के विपरीत दिशा में नाव की गति $(5 - 3) \, km/h = 2 \, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार,आने-जाने में लगा कुल समय $3 \, h$ है।
इसलिए,धारा की दिशा में जाने का समय और धारा के विपरीत वापस आने का समय का योग $3 \, h$ है।
$\frac{x}{8} + \frac{x}{2} = 3$
$8$ से गुणा करने पर:
$x + 4x = 24$
$5x = 24$
$x = \frac{24}{5} = 4.8 \, km$.
अतः,उस स्थान की दूरी $4.8 \, km$ है।

(C) माना धारा की गति $x\, km/h$ है।
स्थिर जल में मोटरबोट की गति $45\, km/h$ है।
धारा की दिशा में (डाउनस्ट्रीम) गति $= (45 + x)\, km/h$ है।
धारा की दिशा में $80\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= 1\, h\, 20\, min = 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\, h$ है।
सूत्र $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ का उपयोग करते हुए:
$45 + x = \frac{80}{4/3} = 80 \times \frac{3}{4} = 60$ है।
$x = 60 - 45 = 15\, km/h$ है।
धारा के विपरीत दिशा में (अपस्ट्रीम) गति $= (45 - x) = 45 - 15 = 30\, km/h$ है।
धारा के विपरीत दिशा में $80\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{80}{30} = \frac{8}{3}\, h$ है।
$\frac{8}{3}\, h$ को घंटों और मिनटों में बदलने पर: $\frac{8}{3}\, h = 2\, h + \frac{2}{3} \times 60\, min = 2\, h\, 40\, min$ है।

(A) माना धारा की गति $x\, km/h$ है।
स्थिर जल में नाव की गति $10\, km/h$ है।
इसलिए,धारा के प्रतिकूल नाव की गति $(10 - x)\, km/h$ होगी।
हम जानते हैं कि $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$.
दिया गया है कि नाव धारा के प्रतिकूल $6\, h$ में $45\, km$ की दूरी तय करती है,इसलिए:
$10 - x = \frac{45}{6}$
$10 - x = 7.5$
$x = 10 - 7.5 = 2.5\, km/h$.
अतः,धारा की गति $2.5\, km/h$ है।

(B) माना कि दूरी $x \, km$ है।
स्थिर पानी में आदमी की गति = $6 \, km/h$।
धारा की गति = $2 \, km/h$।
धारा के अनुकूल (downstream) गति = $6 + 2 = 8 \, km/h$।
धारा के प्रतिकूल (upstream) गति = $6 - 2 = 4 \, km/h$।
धारा के प्रतिकूल लिया गया समय = $\frac{x}{4} \, h$।
धारा के अनुकूल लिया गया समय = $\frac{x}{8} \, h$।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $3 \, h$ है:
$\frac{x}{4} - \frac{x}{8} = 3$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $8$ से गुणा करने पर:
$2x - x = 24$
$x = 24 \, km$।

(A) माना कि शांत जल में नाविक की गति $x$ $km/h$ है और धारा की गति $y$ $km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति = $x + y = \frac{12}{48/60} = \frac{12}{0.8} = 15$ $km/h$.
धारा के प्रतिकूल गति = $x - y = \frac{12}{80/60} = \frac{12}{4/3} = 9$ $km/h$.
शांत जल में नाविक की गति $(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 9$
$2x = 24$
$x = 12$ $km/h$.

(B) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= (x - y) = \frac{40\, km}{8\, h} = 5\, km/h$.
धारा के अनुकूल गति $= (x + y) = \frac{36\, km}{6\, h} = 6\, km/h$.
शांत जल में नाव की गति $(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं:
$(x - y) + (x + y) = 5 + 6$
$2x = 11$
$x = \frac{11}{2} = 5.5\, km/h$.

(C) माना शांत जल में नाव की गति $u = 6\, km/h$ है और धारा की गति $v = 1.5\, km/h$ है।
धारा की दिशा में (डाउनस्ट्रीम) गति $u + v = 6 + 1.5 = 7.5\, km/h$ है।
धारा के विपरीत (अपस्ट्रीम) गति $u - v = 6 - 1.5 = 4.5\, km/h$ है।
स्थान की दूरी $d = 22.5\, km$ है।
धारा की दिशा में जाने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{u+v} = \frac{22.5}{7.5} = 3\, \text{घंटे}$.
धारा के विपरीत वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{u-v} = \frac{22.5}{4.5} = 5\, \text{घंटे}$.
कुल समय = $t_1 + t_2 = 3 + 5 = 8\, \text{घंटे}$.

(B) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y = 2 \frac{1}{4} = 2.25 \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में गति $= (x + y) \text{ km/h}.$
धारा के विपरीत दिशा में गति $= (x - y) \text{ km/h}.$
माना दूरी $d \text{ km}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$d = (x + y) \times 6$ और $d = (x - y) \times 9.$
दूरियों की तुलना करने पर: $6(x + y) = 9(x - y).$
$6x + 6y = 9x - 9y \implies 3x = 15y \implies x = 5y.$
$y = 2.25 \text{ km/h}$ रखने पर:
$x = 5 \times 2.25 = 11.25 = 11 \frac{1}{4} \text{ km/h}.$

(B) माना $A$ और $B$ के बीच की दूरी $x\, km$ है।
शांत जल में नाव की गति $= 9\, km/h$.
धारा की गति $= 3\, km/h$.
धारा के प्रतिकूल गति $= (\text{नाव की गति} - \text{धारा की गति}) = 9 - 3 = 6\, km/h$.
धारा के अनुकूल गति $= (\text{नाव की गति} + \text{धारा की गति}) = 9 + 3 = 12\, km/h$.
$B$ से $A$ तक धारा के प्रतिकूल यात्रा करने में लगा समय $= \frac{x}{6}$ घंटे।
$A$ से $B$ तक धारा के अनुकूल यात्रा करने में लगा समय $= \frac{x}{12}$ घंटे।
प्रश्न के अनुसार, कुल लगा समय $3$ घंटे है:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 3$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए, हर (denominator) समान करें:
$\frac{2x + x}{12} = 3$
$\frac{3x}{12} = 3$
$\frac{x}{4} = 3$
$x = 12\, km$.
अतः, $A$ और $B$ के बीच की दूरी $12\, km$ है।

(B) माना स्थिर जल में मोटर बोट की गति $x \, km/h$ है।
दिया गया है,धारा की गति $= 1 \, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= (x - 1) \, km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति $= (x + 1) \, km/h$ है।
आने-जाने में लगा कुल समय $12 \, hours$ है और दूरी $35 \, km$ है।
धारा के प्रतिकूल लगा समय $+$ धारा के अनुकूल लगा समय $= 12$ है।
$\frac{35}{x - 1} + \frac{35}{x + 1} = 12$.
$35 \left( \frac{x + 1 + x - 1}{x^2 - 1} \right) = 12$.
$35 \left( \frac{2x}{x^2 - 1} \right) = 12$.
$70x = 12(x^2 - 1)$.
$12x^2 - 70x - 12 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $6x^2 - 35x - 6 = 0$.
$6x^2 - 36x + x - 6 = 0$.
$6x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$.
$(6x + 1)(x - 6) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 6 \, km/h$ है।

(C) माना स्थिर जल में नाव का वेग $u \, km/h$ है और धारा का वेग $x \, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $(u - x) \, km/h$ है और धारा के अनुकूल गति $(u + x) \, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{24}{u-x} + \frac{36}{u+x} = 6$ ... $(1)$
$\frac{36}{u-x} + \frac{24}{u+x} = 6.5$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ को $1.5$ से गुणा करने पर:
$1.5 \times \left( \frac{24}{u-x} + \frac{36}{u+x} \right) = 1.5 \times 6$
$\frac{36}{u-x} + \frac{54}{u+x} = 9$ ... $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$\left( \frac{36}{u-x} + \frac{54}{u+x} \right) - \left( \frac{36}{u-x} + \frac{24}{u+x} \right) = 9 - 6.5$
$\frac{30}{u+x} = 2.5$
$u + x = \frac{30}{2.5} = 12 \, km/h$
$(u + x) = 12$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{24}{u-x} + \frac{36}{12} = 6$
$\frac{24}{u-x} + 3 = 6$
$\frac{24}{u-x} = 3$
$u - x = \frac{24}{3} = 8 \, km/h$
अब,हमारे पास है:
$u + x = 12$
$u - x = 8$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(u + x) - (u - x) = 12 - 8$
$2x = 4$
$x = 2 \, km/h$
अतः,धारा का वेग $2 \, km/h$ है।

(B) माना कि शांत जल में व्यक्ति की गति $x\, km/h$ है।
धारा के साथ (अनुप्रवाह) गति $x + y = 12\, km/h$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $y$ धारा की गति है।
दिया गया है $y = 1.5\, km/h$,इसलिए $x + 1.5 = 12$ है।
अतः,$x = 12 - 1.5 = 10.5\, km/h$ है।
धारा के विपरीत (ऊर्ध्वप्रवाह) व्यक्ति की गति $x - y$ द्वारा दी जाती है।
इस प्रकार,धारा के विपरीत गति $= 10.5 - 1.5 = 9\, km/h$ है।

(C) माना स्थान की दूरी $d \, km$ है।
धारा की दिशा में गति $= 5 + 1 = 6 \, km/h$।
धारा के विपरीत दिशा में गति $= 5 - 1 = 4 \, km/h$।
कुल लगा समय $= \frac{d}{6} + \frac{d}{4} = 1 \, hour$।
$6$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{2d + 3d}{12} = 1$
$\frac{5d}{12} = 1$
$d = \frac{12}{5} = 2.4 \, km$।
अतः,वह स्थान $2.4 \, km$ की दूरी पर है।

(B) माना स्थिर जल में नाव की गति $u = 6\, km/h$ है और धारा की गति $v\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल (upstream) नाव की गति $(u - v) = (6 - v)\, km/h$ है।
धारा के अनुकूल (downstream) नाव की गति $(u + v) = (6 + v)\, km/h$ है।
माना दूरी $d$ है। धारा के प्रतिकूल लिया गया समय $T_{up} = \frac{d}{6 - v}$ है और धारा के अनुकूल लिया गया समय $T_{down} = \frac{d}{6 + v}$ है।
प्रश्न के अनुसार,धारा के प्रतिकूल लिया गया समय,धारा के अनुकूल लिए गए समय का दोगुना है:
$T_{up} = 2 \times T_{down}$
$\frac{d}{6 - v} = 2 \times \frac{d}{6 + v}$
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर:
$\frac{1}{6 - v} = \frac{2}{6 + v}$
$6 + v = 2(6 - v)$
$6 + v = 12 - 2v$
$3v = 6$
$v = 2\, km/h$.
अतः,धारा की गति $2\, km/h$ है।

(A) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $u \text{ km/h}$ है और धारा की गति $v \text{ km/h}$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{30}{u-v} + \frac{44}{u+v} = 10$ $...(1)$
$\frac{40}{u-v} + \frac{55}{u+v} = 13$ $...(2)$
माना $x = \frac{1}{u-v}$ और $y = \frac{1}{u+v}$.
$30x + 44y = 10$ $...(3)$
$40x + 55y = 13$ $...(4)$
समीकरण $(3)$ को $4$ से और $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$120x + 176y = 40$ $...(5)$
$120x + 165y = 39$ $...(6)$
समीकरण $(5)$ में से $(6)$ घटाने पर:
$11y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{11}$.
अतः,$u+v = 11$.
$y = \frac{1}{11}$ का मान $(3)$ में रखने पर:
$30x + 44(\frac{1}{11}) = 10 \Rightarrow 30x + 4 = 10 \Rightarrow 30x = 6 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
अतः,$u-v = 5$.
$u+v = 11$ और $u-v = 5$ को हल करने पर:
$2u = 16 \Rightarrow u = 8 \text{ km/h}$.
$2v = 6 \Rightarrow v = 3 \text{ km/h}$.
इस प्रकार,व्यक्ति की गति $8 \text{ km/h}$ है और धारा की गति $3 \text{ km/h}$ है।

(B) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x$ $km/h$ है और धारा की गति $y = 3$ $km/h$ है।
धारा की दिशा में गति $= (x + 3)$ $km/h$.
धारा के विपरीत दिशा में गति $= (x - 3)$ $km/h$.
चूंकि दूरी समान है,इसलिए: $6(x + 3) = 9(x - 3)$.
$6x + 18 = 9x - 27$.
$3x = 45$.
$x = 15$ $km/h$.
वैकल्पिक रूप से,सूत्र का उपयोग करते हुए: शांत जल में गति $= y \times \frac{(T_2 + T_1)}{(T_2 - T_1)} = 3 \times \frac{(9 + 6)}{(9 - 6)} = 3 \times \frac{15}{3} = 15$ $km/h$.

(A) माना धारा की गति $x$ मील/घंटा है।
शांत जल में नाव की गति = $10$ मील/घंटा।
धारा की दिशा में गति = $(10 + x)$ मील/घंटा।
धारा के विपरीत दिशा में गति = $(10 - x)$ मील/घंटा।
धारा के विपरीत $36$ मील की यात्रा करने में लगा समय = $\frac{36}{10 - x}$ घंटे।
धारा की दिशा में $36$ मील की यात्रा करने में लगा समय = $\frac{36}{10 + x}$ घंटे।
दिया गया है कि समय का अंतर $90$ मिनट है,जो $\frac{90}{60} = 1.5$ घंटे के बराबर है।
अतः,$\frac{36}{10 - x} - \frac{36}{10 + x} = 1.5$.
$\frac{36(10 + x) - 36(10 - x)}{(10 - x)(10 + x)} = 1.5$.
$\frac{360 + 36x - 360 + 36x}{100 - x^2} = 1.5$.
$\frac{72x}{100 - x^2} = 1.5$.
$72x = 1.5(100 - x^2)$.
$72x = 150 - 1.5x^2$.
$1.5x^2 + 72x - 150 = 0$.
$1.5$ से भाग देने पर,हमें $x^2 + 48x - 100 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 50)(x - 2) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 2$ मील/घंटा।

(B) माना धारा की गति $x \text{ km/hr}$ है।
स्थिर जल में बोट की गति = $15 \text{ km/hr}$।
धारा की दिशा में गति (Downstream) = $(15 + x) \text{ km/hr}$।
धारा के विपरीत दिशा में गति (Upstream) = $(15 - x) \text{ km/hr}$।
कुल समय = $4 \text{ घंटे } 30 \text{ मिनट} = 4.5 \text{ घंटे} = \frac{9}{2} \text{ घंटे}$।
प्रश्न के अनुसार,आने-जाने में लगा कुल समय:
$\frac{30}{15+x} + \frac{30}{15-x} = 4.5$
$\frac{30(15-x) + 30(15+x)}{(15+x)(15-x)} = 4.5$
$\frac{450 - 30x + 450 + 30x}{225 - x^2} = 4.5$
$\frac{900}{225 - x^2} = 4.5$
$900 = 4.5(225 - x^2)$
$200 = 225 - x^2$
$x^2 = 225 - 200 = 25$
$x = 5 \text{ km/hr}$।

(A) माना कि स्थान की दूरी $x \text{ km}$ है।
धारा की दिशा में गति (Downstream) $= 5 + 1 = 6 \text{ km/hr}$।
धारा के विपरीत दिशा में गति (Upstream) $= 5 - 1 = 4 \text{ km/hr}$।
धारा की दिशा में यात्रा करने में लगा समय $\frac{x}{6} \text{ hours}$ है और धारा के विपरीत दिशा में यात्रा करने में लगा समय $\frac{x}{4} \text{ hours}$ है।
यह दिया गया है कि कुल समय $1 \text{ hour}$ लगता है,इसलिए:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{4} = 1$
$6$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{2x + 3x}{12} = 1$
$\frac{5x}{12} = 1$
$x = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ km}$।
अतः,उस स्थान की दूरी $2.4 \text{ km}$ है।

(D) माना कि शांत जल में नाव की गति $x \text{ km/hr}$ है।
धारा की गति $3 \text{ km/hr}$ है।
धारा की दिशा में गति (Downstream) $= (x + 3) \text{ km/hr}$।
धारा के विपरीत दिशा में गति (Upstream) $= (x - 3) \text{ km/hr}$।
चूंकि दोनों स्थितियों में तय की गई दूरी समान है,इसलिए:
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$
$(x + 3) \times 1 = (x - 3) \times 1.5$
$x + 3 = 1.5x - 4.5$
$1.5x - x = 3 + 4.5$
$0.5x = 7.5$
$x = \frac{7.5}{0.5} = 15 \text{ km/hr}$।
अतः,शांत जल में नाव की गति $15 \text{ km/hr}$ है।

(C) मान लीजिए कि शांत जल में नाव की गति $u$ $km/h$ है और धारा की गति $v$ $km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल $D$ दूरी तय करने में लगा समय $8$ $\text{घंटे}$ $48$ $\text{मिनट }= 8 + \frac{48}{60} = 8.8$ $\text{घंटे}$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= u - v = \frac{D}{8.8} \implies D = 8.8(u - v)$.
धारा के अनुकूल वही दूरी $D$ तय करने में लगा समय $4$ $\text{घंटे}$ है।
धारा के अनुकूल गति $= u + v = \frac{D}{4} \implies D = 4(u + v)$.
$D$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$8.8(u - v) = 4(u + v)$
$2.2(u - v) = u + v$
$2.2u - 2.2v = u + v$
$1.2u = 3.2v$
$\frac{u}{v} = \frac{3.2}{1.2} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$.
अतः,नाव की गति और धारा की गति का अनुपात $8:3$ है।

(C) शांत जल में नाव की गति $13\, km/hr$ है।
धारा की गति $4\, km/hr$ है।
धारा के अनुकूल (downstream) चलते समय, नाव की प्रभावी गति नाव की गति और धारा की गति का योग होती है।
$\text{धारा के अनुकूल गति} = 13\, km/hr + 4\, km/hr = 17\, km/hr$.
धारा के अनुकूल $68\, km$ की दूरी तय करने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$.
$\text{समय} = \frac{68\, km}{17\, km/hr} = 4\, \text{घंटे}$.

(D) तय की गई दूरी $= 3/4 \text{ km}$ है।
लिया गया समय $= 11 \frac{1}{4} \text{ मिनट} = 45/4 \text{ मिनट} = (45/4) / 60 \text{ घंटे} = 3/16 \text{ घंटे}$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= \text{दूरी} / \text{समय} = (3/4) / (3/16) = (3/4) \times (16/3) = 4 \text{ km/hr}$ है।
चूंकि धारा की गति नहीं दी गई है,इसलिए स्थिर जल में व्यक्ति की गति $4 \text{ km/hr}$ मानी जाती है।

(C) माना कि शांत जल में व्यक्ति की गति $u$ है और धारा की गति $v$ है।
दिया गया है,धारा की दिशा में गति (डाउनस्ट्रीम) $= u + v = 15 \, km/hr$.
दिया गया है,धारा की गति $v = 2.5 \, km/hr$.
अतः,शांत जल में व्यक्ति की गति $u = 15 - 2.5 = 12.5 \, km/hr$.
धारा के विपरीत दिशा में व्यक्ति की गति (अपस्ट्रीम) $u - v$ द्वारा प्राप्त होती है।
अपस्ट्रीम गति $= 12.5 - 2.5 = 10 \, km/hr$.

(B) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/hr$ है और धारा की गति $y\, km/hr$ है।
धारा की दिशा में गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{16}{2} = 8\, km/hr$.
अतः,$x + y = 8$ --- $(1)$
धारा के विपरीत दिशा में गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{16}{4} = 4\, km/hr$.
अतः,$x - y = 4$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 8 + 4$
$2x = 12$
$x = 6\, km/hr$.
अतः,शांत जल में नाव की गति $6\, km/hr$ है।

(C) माना शांत जल में नाव की गति $x \ km/hr$ है और धारा की गति $y \ km/hr$ है।
जब नाव धारा की दिशा में (अनुप्रवाह) जाती है,तो प्रभावी गति $(x + y) \ km/hr$ होती है।
दिया गया है कि नाव एक घंटे में धारा की दिशा में $11 \ km$ की दूरी तय करती है,इसलिए: $x + y = 11 \dots (1)$।
जब नाव धारा के विपरीत (ऊर्ध्वप्रवाह) जाती है,तो प्रभावी गति $(x - y) \ km/hr$ होती है।
दिया गया है कि नाव एक घंटे में धारा के विपरीत $5 \ km$ की दूरी तय करती है,इसलिए: $x - y = 5 \dots (2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 11 + 5$
$2x = 16$
$x = 8 \ km/hr$।
अतः,शांत जल में नाव की गति $8 \ km/hr$ है।

(B) मान लीजिए कि स्थिर जल में नाव की गति $u$ $km/hr$ है और धारा की गति $v$ $km/hr$ है।
धारा के अनुकूल गति $(u + v)$ $km/hr$ और धारा के प्रतिकूल गति $(u - v)$ $km/hr$ होगी।
मान लीजिए दूरी $d$ $km$ है।
प्रश्न के अनुसार,धारा के प्रतिकूल लिया गया समय,धारा के अनुकूल लिए गए समय का दोगुना है:
$\frac{d}{u - v} = 2 \times \frac{d}{u + v}$
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर:
$\frac{1}{u - v} = \frac{2}{u + v}$
तिर्यक गुणा (cross-multiply) करने पर:
$u + v = 2(u - v)$
$u + v = 2u - 2v$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v + 2v = 2u - u$
$3v = u$
अतः,नाव की गति और धारा की गति का अनुपात है:
$\frac{u}{v} = \frac{3}{1}$ या $3:1$।

(C) धारा की दिशा में गति $= \frac{1\, km}{10/60\, \text{घंटा}} = 6\, km/hr$.
धारा के विपरीत गति $= \frac{2\, km}{1\, \text{घंटा}} = 2\, km/hr$.
स्थिर जल में नाव की गति $= \frac{\text{धारा की दिशा में गति} + \text{धारा के विपरीत गति}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\, km/hr$.
स्थिर जल में $5\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{5}{4} = 1.25\, \text{घंटे}$.
$1.25\, \text{घंटे }= 1\, \text{घंटा }+ 0.25 \times 60\, \text{मिनट }= 1\, \text{घंटा}\, 15\, \text{मिनट}$.

(D) माना धारा की गति $u \text{ miles/hour}$ है और स्थिर पानी में रोइंग की गति $x \text{ miles/hour}$ है।
पहली शर्त के अनुसार:
$\frac{12}{x-u} - \frac{12}{x+u} = 6$
$\frac{12(x+u - (x-u))}{x^2 - u^2} = 6$
$\frac{24u}{x^2 - u^2} = 6 \implies x^2 - u^2 = 4u \implies x^2 = u^2 + 4u \quad (1)$
दूसरी शर्त के अनुसार,यदि रोइंग दर दोगुनी $(2x)$ कर दी जाए:
$\frac{12}{2x-u} - \frac{12}{2x+u} = 1$
$\frac{12(2x+u - (2x-u))}{4x^2 - u^2} = 1$
$\frac{24u}{4x^2 - u^2} = 1 \implies 4x^2 - u^2 = 24u \implies 4x^2 = u^2 + 24u \quad (2)$
समीकरण $(1)$ से $x^2$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$4(u^2 + 4u) = u^2 + 24u$
$4u^2 + 16u = u^2 + 24u$
$3u^2 = 8u$
चूंकि $u \neq 0$,इसलिए $u = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \text{ miles/hour}$।

(B) माना कि स्थान की दूरी $x \, km$ है।
शांत जल में आदमी की गति $= 7.5 \, km/hr$ है।
नदी की धारा की गति $= 1.5 \, km/hr$ है।
धारा के प्रतिकूल (Upstream) गति $= 7.5 - 1.5 = 6 \, km/hr$ है।
धारा के अनुकूल (Downstream) गति $= 7.5 + 1.5 = 9 \, km/hr$ है।
कुल लगा समय $50 \, minutes = \frac{50}{60} \, hours = \frac{5}{6} \, hours$ है।
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{9} = \frac{5}{6}$
$6$ और $9$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $18$ लेने पर:
$\frac{3x + 2x}{18} = \frac{5}{6}$
$\frac{5x}{18} = \frac{5}{6}$
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर:
$5x = \frac{5 \times 18}{6}$
$5x = 15$
$x = 3 \, km$ है।
अतः,वह स्थान $3 \, km$ दूर है।

(A) मान लीजिए स्थान $A$ और स्थान $B$ के बीच की दूरी $x$ km है।
साइकिल सवार के लिए:
गति $12$ km/hr है। कुल तय की गई दूरी $2x$ km है।
साइकिल सवार द्वारा लिया गया समय $= \frac{2x}{12} = \frac{x}{6}$ घंटे।
नाविक के लिए:
नाव $A$ से $B$ तक धारा की दिशा में और $B$ से $A$ तक धारा के विपरीत दिशा में यात्रा करती है।
धारा की दिशा में गति $= 10 + 4 = 14$ km/hr।
धारा के विपरीत गति $= 10 - 4 = 6$ km/hr।
नाविक द्वारा लिया गया समय 
$= \frac{x}{14} + \frac{x}{6} = \frac{3x + 7x}{42} = \frac{10x}{42} = \frac{5x}{21}$ घंटे।
समय की तुलना:
$\frac{x}{6}$ और $\frac{5x}{21}$ की तुलना करने के लिए समान हर $42$ लेते हैं:
$\frac{x}{6} = \frac{7x}{42}$
$\frac{5x}{21} = \frac{10x}{42}$
चूंकि $\frac{7x}{42} < \frac{10x}{42}$, साइकिल सवार कम समय लेता है।
इसलिए, साइकिल सवार पहले स्थान $A$ पर वापस लौटेगा।

(A) नाव की धारा के प्रतिकूल गति = दूरी / समय।
समय $= 39\, \text{मिनट }= \frac{39}{60}\, \text{घंटे }= 0.65\, \text{घंटे}$.
धारा के प्रतिकूल गति $= \frac{13\, km}{0.65\, h} = 20\, km/h$.
माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है।
धारा की गति $3\, km/h$ है।
हम जानते हैं कि धारा के प्रतिकूल गति $= (x - \text{धारा की गति})$.
अतः,$x - 3 = 20$.
$x = 20 + 3 = 23\, km/h$.

(B) माना शांत जल में नाव की गति $u = 8\, km/h$ है।
माना धारा की गति $v\, km/h$ है।
धारा के अनुकूल नाव की गति का सूत्र $u + v$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,धारा के अनुकूल गति $15\, km/h$ है,इसलिए:
$u + v = 15$
$u$ का मान रखने पर:
$8 + v = 15$
$v = 15 - 8$
$v = 7\, km/h$.
अतः,धारा की गति $7\, km/h$ है।

(A) स्थिर जल में व्यक्ति की गति $v_m = 10 \text{ km/h}$ है।
धारा की गति $v_c = 3 \text{ km/h}$ है।
जब धारा के प्रतिकूल गति की जाती है,तो व्यक्ति धारा की दिशा के विपरीत चलता है।
अतः,धारा के प्रतिकूल प्रभावी गति का सूत्र है: $v_{\text{upstream}} = v_m - v_c$।
दिए गए मानों को रखने पर: $v_{\text{upstream}} = 10 \text{ km/h} - 3 \text{ km/h} = 7 \text{ km/h}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना शांत जल में आदमी की गति $u\, km/h$ है और धारा की गति $v\, km/h$ है।
धारा के साथ गति (Downstream) $= u + v = 7\, km/h$.
धारा के विपरीत गति (Upstream) $= u - v = 3\, km/h$.
शांत जल में आदमी की गति $(u)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं:
$(u + v) + (u - v) = 7 + 3$
$2u = 10$
$u = 5\, km/h$.
अतः,शांत जल में आदमी की गति $5\, km/h$ है।

(B) माना कि शांत जल में तैराक की गति $u\, km/h$ है और धारा की गति $v\, km/h$ है।
धारा के विपरीत (ऊर्ध्वप्रवाह) तैराक की गति $= u - v = \frac{28}{4} = 7\, km/h$.
धारा की दिशा में (अनुप्रवाह) तैराक की गति $= u + v = \frac{40}{4} = 10\, km/h$.
धारा की गति $(v)$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुप्रवाह गति में से ऊर्ध्वप्रवाह गति को घटाकर $2$ से विभाजित करते हैं:
$v = \frac{(u + v) - (u - v)}{2} = \frac{10 - 7}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\, km/h$.
अतः,धारा की गति $1.5\, km/h$ है।

(C) नाव की धारा की दिशा में गति की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{1 \, km}{10/60 \, h} = 6 \, km/h$.
नाव की धारा के विपरीत गति $4 \, km/h$ दी गई है।
मान लीजिए कि स्थिर जल में नाव की गति $v_b$ है और धारा का वेग $v_c$ है।
धारा की दिशा में गति: $v_b + v_c = 6 \, km/h$.
धारा के विपरीत गति: $v_b - v_c = 4 \, km/h$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(v_b + v_c) - (v_b - v_c) = 6 - 4$.
$2v_c = 2$.
$v_c = 1 \, km/h$.
अतः,धारा का वेग $1 \, km/h$ है।

(C) मान लीजिए कि शांत जल में व्यक्ति की गति $u \text{ km/h}$ है और धारा की गति $v \text{ km/h}$ है।
दिया गया है कि धारा के साथ गति (डाउनस्ट्रीम गति) $u + v = 12 \text{ km/h}$ है।
धारा की गति $v = 1 \frac{1}{2} = 1.5 \text{ km/h}$ है।
समीकरण $u + v = 12$ में $v$ का मान रखने पर,हमें $u + 1.5 = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $u = 10.5 \text{ km/h}$।
धारा के विपरीत गति (अपस्ट्रीम गति) $u - v$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अपस्ट्रीम गति $= 10.5 - 1.5 = 9 \text{ km/h}$ होगी।

(A) माना कि शांत जल में नाव की गति $u\, km/h$ है और धारा की गति $v\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= (u - v) = \frac{2\, km}{20/60\, h} = 2 \times 3 = 6\, km/h$.
धारा के अनुकूल गति $= (u + v) = \frac{2\, km}{18/60\, h} = 2 \times \frac{60}{18} = \frac{20}{3}\, km/h$.
धारा की गति $v$ का सूत्र है: $v = \frac{1}{2} \times (\text{धारा के अनुकूल गति} - \text{धारा के प्रतिकूल गति})$.
$v = \frac{1}{2} \times (\frac{20}{3} - 6) = \frac{1}{2} \times (\frac{20 - 18}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\, km/h$.

(B) माना शांत जल में नाव की गति $u\, km/h$ है और धारा की गति $v = 5\, km/h$ है।
धारा की दिशा में गति $= u + v = \frac{48\, km}{4\, h} = 12\, km/h$.
अतः,$u + 5 = 12$,जिससे $u = 7\, km/h$ प्राप्त होता है।
धारा के विपरीत दिशा में गति $= u - v = 7 - 5 = 2\, km/h$.
धारा के विपरीत दिशा में $8\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{धारा के विपरीत गति}} = \frac{8\, km}{2\, km/h} = 4\, \text{घंटे}$।

(B) माना बिंदु तक की दूरी $d \text{ km}$ है।
शांत जल में गति $(u)$ = $10 \text{ km/h}$.
नदी की धारा की गति $(v)$ = $4 \text{ km/h}$.
धारा के प्रतिकूल गति (Upstream) = $u - v = 10 - 4 = 6 \text{ km/h}$.
धारा के अनुकूल गति (Downstream) = $u + v = 10 + 4 = 14 \text{ km/h}$.
प्रतिकूल यात्रा में लगा समय $(t_1)$ = $\frac{d}{6} \text{ घंटे}$.
अनुकूल यात्रा में लगा समय $(t_2)$ = $\frac{d}{14} \text{ घंटे}$.
कुल दूरी = $2d$.
कुल समय = $t_1 + t_2 = \frac{d}{6} + \frac{d}{14} = \frac{7d + 3d}{42} = \frac{10d}{42} = \frac{5d}{21} \text{ घंटे}$.
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{5d/21} = 2d \times \frac{21}{5d} = \frac{42}{5} = 8 \frac{2}{5} \text{ km/h}$.

(A) माना दूरी $d\, km$ है।
शांत जल में व्यक्ति की गति $(u)$ = $6\, km/h$।
धारा की गति $(v)$ = $2\, km/h$।
धारा के प्रतिकूल गति (Upstream speed) = $u - v = 6 - 2 = 4\, km/h$।
धारा के अनुकूल गति (Downstream speed) = $u + v = 6 + 2 = 8\, km/h$।
धारा के प्रतिकूल यात्रा करने में लगा समय = $\frac{d}{4}$।
धारा के अनुकूल यात्रा करने में लगा समय = $\frac{d}{8}$।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $3\, hours$ है:
$\frac{d}{4} - \frac{d}{8} = 3$।
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर: $2d - d = 24$।
अतः,$d = 24\, km$।

(C) माना स्थिर जल में नाव की गति $x$ $km/h$ है और धारा की गति $y = 3$ $km/h$ है।
माना दूरी $d$ $km$ है।
धारा की दिशा में गति $= (x + 3)$ $km/h$.
धारा के विपरीत दिशा में गति $= (x - 3)$ $km/h$.
प्रश्न के अनुसार,धारा की दिशा में लिया गया समय $2$ घंटे है और धारा के विपरीत दिशा में $4$ घंटे है।
दूरी $d = (x + 3) \times 2 = (x - 3) \times 4$.
$2x + 6 = 4x - 12$.
$2x = 18$.
$x = 9$ $km/h$.
अतः,स्थिर जल में नाव की गति $9$ $km/h$ है।

(B) माना स्थिर जल में नाव की गति $u = 6\, km/h$ है और धारा की गति $v = 2\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल नाव की गति $(u - v) = 6 - 2 = 4\, km/h$ होगी।
धारा के अनुकूल नाव की गति $(u + v) = 6 + 2 = 8\, km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल $32\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{32}{4} = 8\, \text{घंटे}$।
धारा के अनुकूल $32\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{32}{8} = 4\, \text{घंटे}$।
यात्रा का कुल समय $t = t_1 + t_2 = 8 + 4 = 12\, \text{घंटे}$ है।

(C) माना $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ $km$ है।
शांत जल में नाव की गति $(x)$ = $9$ $km/h$.
धारा की गति $(y)$ = $3$ $km/h$.
धारा के अनुकूल गति = $x + y = 9 + 3 = 12$ $km/h$.
धारा के प्रतिकूल गति = $x - y = 9 - 3 = 6$ $km/h$.
कुल लगा समय = धारा के अनुकूल समय + धारा के प्रतिकूल समय = $3$ घंटे।
$\frac{d}{12} + \frac{d}{6} = 3$.
$12$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $d + 2d = 36$.
$3d = 36$,अतः $d = 12$ $km$.

(B) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y = 3\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल (upstream) गति $(x - 3)\, km/h$ और धारा के अनुकूल (downstream) गति $(x + 3)\, km/h$ है।
कुल समय $30\, minutes = 0.5\, hours$ है।
आने-जाने में लगा कुल समय: $\frac{d}{x-y} + \frac{d}{x+y} = t$.
मान रखने पर: $\frac{2}{x-3} + \frac{2}{x+3} = 0.5$.
$\frac{2(x+3) + 2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0.5$.
$\frac{2x + 6 + 2x - 6}{x^2 - 9} = 0.5$.
$\frac{4x}{x^2 - 9} = 0.5$.
$4x = 0.5(x^2 - 9) \Rightarrow 8x = x^2 - 9$.
$x^2 - 8x - 9 = 0$.
$(x - 9)(x + 1) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 9\, km/h$।