Boats and Streams Questions in Hindi

(A) माना शांत जल में नाव की गति $x \ km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल नाव की गति $(x - 4) \ km/h$ होगी।
धारा के प्रतिकूल $14 \ km$ की दूरी तय करने में लगा समय $42 \ \text{मिनट}$ है।
समय को घंटों में बदलने पर: $42 \ \text{मिनट }= \frac{42}{60} \ \text{घंटे }= 0.7 \ \text{घंटे}$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$,हमें प्राप्त होता है:
$x - 4 = \frac{14}{0.7}$
$x - 4 = 20$
$x = 24 \ km/h$.
अतः,शांत जल में नाव की गति $24 \ km/h$ है।

(B) माना स्थिर जल में नाव की चाल $u = 7\, km/h$ है और धारा की चाल $v\, km/h$ है।
धारा की दिशा में नाव की चाल का सूत्र है: $\text{धारा की दिशा में चाल} = u + v$।
यहाँ धारा की दिशा में चाल $10\, km/h$ दी गई है,इसलिए:
$7 + v = 10$
$v$ का मान ज्ञात करने पर:
$v = 10 - 7 = 3\, km/h$।
अतः,धारा की चाल $3\, km/h$ है।

(C) माना शांत जल में नाव की गति $x \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y \text{ km/h}$ है।
जब धारा के साथ (अनुप्रवाह) नाव चलाई जाती है,तो प्रभावी गति $(x + y) \text{ km/h}$ होती है।
दिया गया है,$x + y = 10 \text{ km/h} \quad \dots(1)$
जब धारा के विपरीत (ऊर्ध्वप्रवाह) नाव चलाई जाती है,तो प्रभावी गति $(x - y) \text{ km/h}$ होती है।
दिया गया है,$x - y = 6 \text{ km/h} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 10 + 6$
$2x = 16$
$x = 8 \text{ km/h}$
अतः,शांत जल में आदित्य की गति $8 \text{ km/h}$ है।

(D) स्थिर जल में व्यक्ति की गति $u = 12 \text{ km/h}$ है।
धारा की गति $v = 4 \text{ km/h}$ है।
जब धारा के प्रतिकूल (upstream) गति की जाती है,तो प्रभावी गति स्थिर जल में गति और धारा की गति का अंतर होती है।
अतः,धारा के प्रतिकूल प्रभावी गति $= u - v = 12 - 4 = 8 \text{ km/h}$ है।

(B) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति $x + y = 14\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $x - y = 6\, km/h$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 14 + 6$.
$2x = 20$.
$x = 10\, km/h$.
अतः,शांत जल में नाव की गति $10\, km/h$ है।

(B) माना शांत जल में नाव की गति $x \, km/h$ है और धारा की गति $y \, km/h$ है।
धारा की दिशा में गति $(x + y) \, km/h$ और धारा के विपरीत दिशा में गति $(x - y) \, km/h$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,व्यक्ति $5$ घंटे में धारा की दिशा में $20 \, km$ की दूरी तय करता है:
$x + y = \frac{20}{5} = 4 \, km/h$ $...(i)$
व्यक्ति $5$ घंटे में धारा के विपरीत दिशा में $10 \, km$ की दूरी तय करता है:
$x - y = \frac{10}{5} = 2 \, km/h$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(x + y) - (x - y) = 4 - 2$
$2y = 2$
$y = 1 \, km/h$
अतः,धारा की गति $1 \, km/h$ है।

(C) माना शांत जल में नाव की गति $x \, \text{km/h}$ है और धारा की गति $y \, \text{km/h}$ है।
दिया गया है कि $y = \frac{1}{4}x$.
धारा के प्रतिकूल गति $= x - y = x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$.
धारा के प्रतिकूल $18 \, \text{km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $6 \, \text{घंटे}$ है,इसलिए $\frac{18}{\frac{3}{4}x} = 6$.
$18 = 6 \times \frac{3}{4}x \Rightarrow 18 = \frac{18}{4}x \Rightarrow x = 4 \, \text{km/h}$.
अतः,धारा की गति $y = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \, \text{km/h}$.
धारा के अनुकूल गति $= x + y = 4 + 1 = 5 \, \text{km/h}$.
धारा के अनुकूल $18 \, \text{km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{18}{5} = 3.6 \, \text{घंटे}$।

(B) माना कि शांत जल में नाव की गति $x \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में (अनुप्रवाह) गति $x + y = 8 \text{ km/h}$ है।
धारा के विपरीत (ऊर्ध्वप्रवाह) गति $x - y = 4 \text{ km/h}$ है।
धारा की गति $(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाते हैं:
$(x + y) - (x - y) = 8 - 4$
$2y = 4$
$y = 2 \text{ km/h}$.
अतः,धारा की गति $2 \text{ km/h}$ है।

(C) माना कि स्थिर जल में नाव की गति $x = 4\, km/h$ है।
माना कि धारा की गति $y = 2\, km/h$ है।
नाव की धारा के प्रतिकूल गति का सूत्र $(x - y)$ होता है।
अतः,धारा के प्रतिकूल गति $= 4\, km/h - 2\, km/h = 2\, km/h$ होगी।

(A) माना स्थिर जल में तैराक की गति $x = 9\, km/h$ है।
माना नदी की धारा की गति $y = 6\, km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति (downstream speed) का अर्थ है स्थिर जल में तैराक की गति और नदी की धारा की गति का योग।
धारा के अनुकूल गति $= x + y = 9 + 6 = 15\, km/h$।

(A) माना कि शांत जल में तैराक की गति $x \, km/h$ है और धारा की गति $y \, km/h$ है।
दिया है,धारा के अनुकूल गति $= x + y = 11 \, km/h$।
धारा की गति $y = 1.5 \, km/h$ दी गई है।
धारा के अनुकूल गति के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $x + 1.5 = 11 \Rightarrow x = 11 - 1.5 = 9.5 \, km/h$।
तैराक की धारा के प्रतिकूल गति $x - y$ द्वारा दी जाती है।
अतः,धारा के प्रतिकूल गति $= 9.5 - 1.5 = 8 \, km/h$।

(A) माना स्थिर जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
धारा की दिशा में (downstream),प्रभावी गति $(x + y)\, km/h$ होती है।
दिया गया है: $5\, min = 5/60\, h = 1/12\, h$ में $1\, km$.
गति $= \text{दूरी} / \text{समय} = 1 / (1/12) = 12\, km/h$.
अतः,$x + y = 12$ $...(i)$
धारा के विपरीत (upstream),प्रभावी गति $(x - y)\, km/h$ होती है।
दिया गया है: $1\, h$ में $6\, km$.
गति $= 6 / 1 = 6\, km/h$.
अतः,$x - y = 6$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(x + y) - (x - y) = 12 - 6$
$2y = 6$
$y = 3\, km/h$.
अतः,धारा की गति $3\, km/h$ है।

(D) माना कि शांत जल में नाव की गति $x \ km/h$ है और धारा की गति $y \ km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति $= (x + y) \ km/h$.
धारा के प्रतिकूल गति $= (x - y) \ km/h$.
प्रश्न के अनुसार:
धारा के अनुकूल के लिए: $\frac{60}{x + y} = 10 \Rightarrow x + y = 6$ $...(i)$
धारा के प्रतिकूल के लिए: $\frac{36}{x - y} = 10 \Rightarrow x - y = 3.6$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 6 + 3.6$
$2x = 9.6 \Rightarrow x = 4.8 \ km/h$.
समीकरण $(i)$ में $x = 4.8$ रखने पर:
$4.8 + y = 6 \Rightarrow y = 6 - 4.8 = 1.2 \ km/h$.
अतः,धारा का वेग $1.2 \ km/h$ है।

(B) शांत जल में नाव की गति $u = 24\, km/h$ है।
धारा की गति $v = 8\, km/h$ है।
जब नाव धारा की दिशा में (downstream) चलती है,तो नाव की प्रभावी गति $u + v = 24 + 8 = 32\, km/h$ होती है।
तय की जाने वाली दूरी $d = 128\, km$ है।
समय की गणना करने के लिए सूत्र: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$.
अतः,$\text{समय} = \frac{128}{32} = 4\, h$।

(D) माना नाव की चाल $x$ $km/h$ है और धारा की चाल $y$ $km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल चाल (ऊर्ध्वप्रवाह) $= x - y = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{3/4 \text{ km}}{15/60 \text{ h}} = \frac{3}{4} \times 4 = 3 \text{ km/h}$.
अतः,$x - y = 3$ ... $(i)$
धारा के अनुकूल चाल (अनुप्रवाह) $= x + y = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{3/4 \text{ km}}{10/60 \text{ h}} = \frac{3}{4} \times 6 = 4.5 \text{ km/h} = \frac{9}{2} \text{ km/h}$.
अतः,$x + y = 4.5$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x - y) + (x + y) = 3 + 4.5$
$2x = 7.5 \Rightarrow x = 3.75 \text{ km/h} = \frac{15}{4} \text{ km/h}$.
समीकरण $(i)$ में $x$ का मान रखने पर:
$3.75 - y = 3 \Rightarrow y = 0.75 \text{ km/h} = \frac{3}{4} \text{ km/h}$.
व्यक्ति की चाल और धारा की चाल का अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{15/4}{3/4} = \frac{15}{3} = \frac{5}{1}$ है।
अतः,अनुपात $5:1$ है।

(A) माना शांत जल में नाव की चाल $x\, km/h$ है और धारा की चाल $y\, km/h$ है।
धारा की दिशा में चाल $= (x + y)\, km/h$।
धारा के विपरीत चाल $= (x - y)\, km/h$।
प्रश्न के अनुसार,नाव धारा की दिशा में $20\, h$ में $48\, km$ की दूरी तय करती है:
$x + y = \frac{48}{20} = 2.4\, km/h$ $....(1)$
धारा के विपरीत उतनी ही दूरी तय करने में $4\, h$ अधिक समय लगता है,अतः लिया गया समय $20 + 4 = 24\, h$ है:
$x - y = \frac{48}{24} = 2\, km/h$ $....(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 2.4 + 2$
$2x = 4.4$
$x = 2.2\, km/h$
अतः,शांत जल में नाव की चाल $2.2\, km/h$ है।

(C) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x\, km/hr$ है और धारा की गति $y\, km/hr$ है।
धारा की दिशा में गति $= x + y = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{15}{3} = 5\, km/hr$ $...(1)$
धारा के विपरीत दिशा में गति $= x - y = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{5}{2.5} = 2\, km/hr$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 5 + 2$
$2x = 7$
$x = 3.5\, km/hr$
अतः,शांत जल में व्यक्ति की गति $3.5\, km/hr$ है।

(A) माना धारा की गति $y \text{ km/hr}$ है।
धारा की दिशा में गति शांत जल में गति और धारा की गति का योग होती है,जो $(8 + y) \text{ km/hr}$ है।
दिया गया है कि व्यक्ति $44 \text{ km}$ की दूरी धारा की दिशा में $4 \text{ घंटे}$ में तय करता है,इसलिए:
$\text{धारा की दिशा में गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{44 \text{ km}}{4 \text{ hr}} = 11 \text{ km/hr}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$8 + y = 11 \Rightarrow y = 3 \text{ km/hr}$.
धारा के विपरीत दिशा में गति शांत जल में गति और धारा की गति का अंतर होती है,जो $(8 - y) \text{ km/hr}$ है।
$y = 3 \text{ km/hr}$ रखने पर:
$\text{धारा के विपरीत दिशा में गति} = 8 - 3 = 5 \text{ km/hr}$.
$25 \text{ km}$ की दूरी धारा के विपरीत दिशा में तय करने में लगा समय:
$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{धारा के विपरीत दिशा में गति}} = \frac{25 \text{ km}}{5 \text{ km/hr}} = 5 \text{ घंटे}$.

(D) शांत जल में व्यक्ति की गति $= 20 \text{ km/h}$ है।
धारा की गति $= 5 \text{ m/s}$ है।
धारा की गति को $\text{m/s}$ से $\text{km/h}$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
धारा की गति $= 5 \times \frac{18}{5} = 18 \text{ km/h}$ है।
व्यक्ति की गति और धारा की गति का अनुपात $20:18$ है।
दोनों पदों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $10:9$ प्राप्त होता है।

(A) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x = 9.6 \text{ km/hr}$ है।
माना धारा की गति $y \text{ km/hr}$ है।
माना तय की जाने वाली दूरी $d \text{ km}$ है।
धारा के अनुकूल गति $(9.6 + y) \text{ km/hr}$ और धारा के प्रतिकूल गति $(9.6 - y) \text{ km/hr}$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,धारा के प्रतिकूल तैरने में लगा समय धारा के अनुकूल तैरने में लगे समय का दोगुना है।
धारा के प्रतिकूल लगा समय = $\frac{d}{9.6 - y}$ और धारा के अनुकूल लगा समय = $\frac{d}{9.6 + y}$.
दिया गया है: $\frac{d}{9.6 - y} = 2 \times \frac{d}{9.6 + y}$.
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर: $\frac{1}{9.6 - y} = \frac{2}{9.6 + y}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $9.6 + y = 2(9.6 - y)$.
$9.6 + y = 19.2 - 2y$.
$3y = 19.2 - 9.6$.
$3y = 9.6$.
$y = 3.2 \text{ km/hr}$.

(C) माना स्थिर जल में मोटरबोट की गति $u = 45 \text{ km/h}$ है और धारा की गति $v \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में $80 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $1 \text{ h } 20 \text{ min} = 1 + \frac{20}{60} \text{ h} = 1 + \frac{1}{3} \text{ h} = \frac{4}{3} \text{ h}$ है।
धारा की दिशा में गति $= u + v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{80}{4/3} = 80 \times \frac{3}{4} = 60 \text{ km/h}$.
चूंकि $u = 45 \text{ km/h}$ है,इसलिए $45 + v = 60$,जिससे $v = 15 \text{ km/h}$ प्राप्त होता है।
अब,धारा के विपरीत दिशा में गति $= u - v = 45 - 15 = 30 \text{ km/h}$ होगी।
धारा के विपरीत $80 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{विपरीत गति}} = \frac{80}{30} \text{ h} = \frac{8}{3} \text{ h}$.
घंटे और मिनट में बदलने पर: $\frac{8}{3} \text{ h} = 2 \frac{2}{3} \text{ h} = 2 \text{ h } + (\frac{2}{3} \times 60) \text{ min} = 2 \text{ h } 40 \text{ min}$।

(A) माना दूरी $d\, km$ है।
शांत जल में नाव की गति $= 5\, km/h$.
धारा की गति $= 2\, km/h$.
धारा के प्रतिकूल (upstream) गति $= 5 - 2 = 3\, km/h$.
धारा के अनुकूल (downstream) गति $= 5 + 2 = 7\, km/h$.
धारा के प्रतिकूल लगा समय $= \frac{d}{3}$.
धारा के अनुकूल लगा समय $= \frac{d}{7}$.
प्रश्न के अनुसार,धारा के प्रतिकूल लगा समय धारा के अनुकूल लगे समय से $2\, h$ अधिक है:
$\frac{d}{3} = \frac{d}{7} + 2$
$\frac{d}{3} - \frac{d}{7} = 2$
$\frac{7d - 3d}{21} = 2$
$\frac{4d}{21} = 2$
$4d = 42$
$d = 10.5\, km$.

(A) माना शांत जल में नाव की गति $u = 10 \text{ km/h}$ है और धारा की गति $v \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में गति $(10 + v) \text{ km/h}$ और धारा के विपरीत दिशा में गति $(10 - v) \text{ km/h}$ होगी।
आने-जाने में लगा कुल समय धारा की दिशा में और विपरीत दिशा में लगे समय का योग है:
$\frac{24}{10 + v} + \frac{24}{10 - v} = 5$
$24$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$24 \left( \frac{10 - v + 10 + v}{(10 + v)(10 - v)} \right) = 5$
$24 \left( \frac{20}{100 - v^2} \right) = 5$
समीकरण को सरल करने पर:
$480 = 5(100 - v^2)$
$96 = 100 - v^2$
$v^2 = 4$
$v = 2 \text{ km/h}$ (चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
अतः,जलधारा की गति $2 \text{ km/h}$ है।

(D) माना कि स्थिर जल में स्टीमर की गति $x\, km/h$ है और दोनों बंदरगाहों के बीच की दूरी $d\, km$ है।
धारा की गति $2\, km/h$ दी गई है।
धारा की दिशा में गति करते समय,प्रभावी गति $(x + 2)\, km/h$ होती है। लिया गया समय $4\, h$ है,इसलिए $d = 4(x + 2) \Rightarrow d = 4x + 8$ ... $(1)$.
धारा के विपरीत दिशा में गति करते समय,प्रभावी गति $(x - 2)\, km/h$ होती है। लिया गया समय $5\, h$ है,इसलिए $d = 5(x - 2) \Rightarrow d = 5x - 10$ ... $(2)$.
$d$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$4x + 8 = 5x - 10$
$x = 18\, km/h$.
समीकरण $(1)$ में $x = 18$ रखने पर:
$d = 4(18) + 8 = 72 + 8 = 80\, km$.
अतः,दोनों बंदरगाहों के बीच की दूरी $80\, km$ है।

(B) माना शांत जल में नाव की चाल $x$ है और धारा की चाल $y$ है।
माना दूरी $d$ है।
धारा की दिशा में (downstream) नाव की चाल $(x + y)$ होगी और धारा के विपरीत (upstream) चाल $(x - y)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,धारा के विपरीत जाने में लगा समय,धारा की दिशा में जाने में लगे समय का दोगुना है:
$\frac{d}{x - y} = 2 \times \frac{d}{x + y}$
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर:
$\frac{1}{x - y} = \frac{2}{x + y}$
$x + y = 2(x - y)$
$x + y = 2x - 2y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x = 3y$
अतः,शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल का अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{3}{1}$ है,जो कि $3:1$ है।

(B) माना स्थिर पानी में नाव की गति $x\, km/h$ है और नदी की धारा की गति $v = 4\, km/h$ है।
तय की गई कुल दूरी $42\, km$ है,इसलिए एक तरफ की दूरी $d = 21\, km$ है।
धारा की दिशा में गति $(x + 4)\, km/h$ है और धारा के विपरीत दिशा में गति $(x - 4)\, km/h$ है।
जाने की (धारा की दिशा में) यात्रा में लगा समय $t_1 = \frac{21}{x + 4}$ है।
वापसी की (धारा के विपरीत) यात्रा में लगा समय $t_2 = \frac{21}{x - 4}$ है।
प्रश्न के अनुसार,वापसी की यात्रा में जाने की यात्रा से $2\, h$ अधिक समय लगता है,इसलिए $t_2 - t_1 = 2$.
मान रखने पर: $\frac{21}{x - 4} - \frac{21}{x + 4} = 2$.
$21 \left( \frac{(x + 4) - (x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} \right) = 2$.
$21 \left( \frac{8}{x^2 - 16} \right) = 2$.
$168 = 2(x^2 - 16) \Rightarrow 84 = x^2 - 16$.
$x^2 = 100 \Rightarrow x = 10\, km/h$.

(C) माना मोटरबोट की गति $v_b = 36x$ और धारा की गति $v_c = 5x$ है।
धारा की दिशा में (अनुप्रवाह) मोटरबोट की गति $v_d = v_b + v_c = 36x + 5x = 41x$ है।
धारा के विपरीत दिशा में (ऊर्ध्वप्रवाह) मोटरबोट की गति $v_u = v_b - v_c = 36x - 5x = 31x$ है।
माना दूरी $d$ है। धारा की दिशा में यात्रा करने में लगा समय $t_d = 5 \, h \, 10 \, min = 5 + \frac{10}{60} \, h = 5 + \frac{1}{6} \, h = \frac{31}{6} \, h$ है।
चूंकि $d = v_d \times t_d$,इसलिए $d = 41x \times \frac{31}{6}$ है।
वापस आने में (ऊर्ध्वप्रवाह) लगा समय $t_u = \frac{d}{v_u} = \frac{41x \times \frac{31}{6}}{31x} = \frac{41}{6} \, h$ है।
$\frac{41}{6} \, h$ को घंटों और मिनटों में बदलने पर: $\frac{41}{6} \, h = 6 \frac{5}{6} \, h = 6 \, h + (\frac{5}{6} \times 60) \, min = 6 \, h \, 50 \, min$ प्राप्त होता है।

(B) माना पहली नाव की गति $5a$ है और धारा की गति $2a$ है।
दूसरे मामले में,माना धारा की गति $3b$ है और दूसरी नाव की गति $4b$ है।
चूंकि दोनों मामलों में धारा की गति समान है,इसलिए हम धारा की गति को बराबर करते हैं: $2a = 3b$।
इससे हमें $a = \frac{3}{2}b$ प्राप्त होता है।
अब,$a$ का मान पहली नाव की गति में रखने पर: $5a = 5 \times (\frac{3}{2}b) = \frac{15}{2}b$।
पहली नाव और दूसरी नाव की गति का अनुपात $\frac{\frac{15}{2}b}{4b} = \frac{15}{8}$ या $15:8$ है।

(B) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x = 3.5 \, km/h$ है और धारा की गति $y \, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x - y) \, km/h$ और धारा के अनुकूल गति $(x + y) \, km/h$ होगी।
माना दूरी $d$ है। धारा के प्रतिकूल लिया गया समय $T_u = \frac{d}{x - y}$ और धारा के अनुकूल लिया गया समय $T_d = \frac{d}{x + y}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$T_u = 2.5 \times T_d$,जिसका अर्थ है $\frac{d}{x - y} = \frac{5}{2} \times \frac{d}{x + y}$.
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{x - y} = \frac{5}{2(x + y)}$,जिसका अर्थ है $2(x + y) = 5(x - y)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $2x + 2y = 5x - 5y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7y = 3x$.
$x = 3.5$ रखने पर: $7y = 3 \times 3.5 = 10.5$.
अतः,$y = \frac{10.5}{7} = 1.5 \, km/h$.

(D) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x = 4 \text{ km/hr}$ है और धारा की गति $y \text{ km/hr}$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= (x - y) \text{ km/hr} = (4 - y) \text{ km/hr}$.
धारा के अनुकूल गति $= (x + y) \text{ km/hr} = (4 + y) \text{ km/hr}$.
माना दूरी $d \text{ km}$ है।
धारा के प्रतिकूल लगा समय $T_u = \frac{d}{4 - y}$ और धारा के अनुकूल लगा समय $T_d = \frac{d}{4 + y}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$T_u = 3 \times T_d$.
$\frac{d}{4 - y} = 3 \times \frac{d}{4 + y}$.
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर: $\frac{1}{4 - y} = \frac{3}{4 + y}$.
$4 + y = 3(4 - y) \Rightarrow 4 + y = 12 - 3y$.
$y + 3y = 12 - 4 \Rightarrow 4y = 8$.
$y = 2 \text{ km/hr}$.

(B) माना शांत जल में तैराक की गति $x \, km/hr$ है और धारा की गति $y = 1.5 \, km/hr$ है।
धारा की दिशा में गति $(x + y) \, km/hr$ होगी और धारा के विपरीत दिशा में गति $(x - y) \, km/hr$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,एक निश्चित समय $t$ में धारा की दिशा में तय की गई दूरी,धारा के विपरीत दिशा में तय की गई दूरी की दोगुनी है।
दूरी = गति $\times$ समय।
अतः,$(x + y) \times t = 2 \times (x - y) \times t$।
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y = 2(x - y)$ प्राप्त होता है।
$x + 1.5 = 2x - 3$।
$x = 1.5 + 3 = 4.5 \, km/hr$।
अतः,शांत जल में तैराक की गति $4.5 \, km/hr$ है।

(D) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x = 8 \text{ km/hr}$ है और धारा की गति $y \text{ km/hr}$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x - y)$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि व्यक्ति धारा के प्रतिकूल $6 \text{ घंटे}$ में $36 \text{ km}$ की दूरी तय करता है,इसलिए:
$\frac{36}{x - y} = 6$
$\frac{36}{8 - y} = 6$
$36 = 6(8 - y)$
$36 = 48 - 6y$
$6y = 48 - 36$
$6y = 12$
$y = 2 \text{ km/hr}$.
धारा के अनुकूल गति $(x + y) = 8 + 2 = 10 \text{ km/hr}$ होगी।
धारा के अनुकूल $10 \text{ घंटे}$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए:
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$
$\text{दूरी} = 10 \text{ km/hr} \times 10 \text{ घंटे} = 100 \text{ km}$.

(D) माना स्थिर जल में नाव की गति $x = 4 \, km/h$ है और धारा की गति $y = 2 \, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x - y) = 4 - 2 = 2 \, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल $d$ दूरी तय करने में लगा समय $9 \, hours$ है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करने पर,$d = 2 \times 9 = 18 \, km$ प्राप्त होता है।
धारा के अनुकूल गति $(x + y) = 4 + 2 = 6 \, km/h$ है।
उसी दूरी $d$ को धारा के अनुकूल तय करने में लगा समय $t$ ज्ञात करने के लिए,$t = \frac{d}{\text{धारा के अनुकूल गति}}$ का उपयोग करते हैं:
$t = \frac{18}{6} = 3 \, hours$.

(A) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $u = 4 \, km/h$ है और जल की धारा की गति $v = 2 \, km/h$ है।
जब धारा के विपरीत (ऊर्ध्वप्रवाह) तैरा जाता है,तो व्यक्ति की प्रभावी गति $u - v$ होती है।
प्रभावी गति $= 4 \, km/h - 2 \, km/h = 2 \, km/h$.
तय की जाने वाली दूरी $d = 6 \, km$ है।
लिया गया समय $t$ सूत्र $t = \frac{d}{\text{प्रभावी गति}}$ का उपयोग करके निकाला जाता है।
$t = \frac{6 \, km}{2 \, km/h} = 3 \, \text{घंटे}$.
अतः,व्यक्ति को धारा के विपरीत तैरने में $3 \, \text{घंटे}$ लगेंगे।

(A) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x = 4.5 \text{ km/hr}$ है और नदी के प्रवाह की गति $y = 1.5 \text{ km/hr}$ है।
अपस्ट्रीम (प्रवाह के विपरीत) गति $(u) = x - y = 4.5 - 1.5 = 3 \text{ km/hr}$ है।
डाउनस्ट्रीम (प्रवाह की दिशा में) गति $(v) = x + y = 4.5 + 1.5 = 6 \text{ km/hr}$ है।
पूरी यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र $\text{Average Speed} = \frac{2uv}{u + v}$ है।
मान रखने पर: $\text{Average Speed} = \frac{2 \times 3 \times 6}{3 + 6} = \frac{36}{9} = 4 \text{ km/hr}$।

(D) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x = 15\, km/hr$ है और नदी के प्रवाह की गति $y = 3\, km/hr$ है।
धारा के प्रतिकूल (upstream) गति $(u)$ = $x - y = 15 - 3 = 12\, km/hr$ है।
धारा के अनुकूल (downstream) गति $(v)$ = $x + y = 15 + 3 = 18\, km/hr$ है।
पूरी यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र $\text{Average Speed} = \frac{2uv}{u + v}$ है।
मान रखने पर: $\text{Average Speed} = \frac{2 \times 12 \times 18}{12 + 18} = \frac{2 \times 12 \times 18}{30}$।
$\text{Average Speed} = \frac{432}{30} = 14.4\, km/hr$।

(D) माना दूरी $d\, km$ है।
शांत जल में व्यक्ति की गति $(u)$ = $7\, km/hr$।
धारा की गति $(v)$ = $3\, km/hr$।
धारा के अनुकूल गति (downstream) = $u + v = 7 + 3 = 10\, km/hr$।
धारा के प्रतिकूल गति (upstream) = $u - v = 7 - 3 = 4\, km/hr$।
धारा के अनुकूल लिया गया समय = $\frac{d}{10}\, \text{घंटे}$।
धारा के प्रतिकूल लिया गया समय = $\frac{d}{4}\, \text{घंटे}$।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $6\, \text{घंटे}$ है:
$\frac{d}{4} - \frac{d}{10} = 6$
$\frac{5d - 2d}{20} = 6$
$\frac{3d}{20} = 6$
$3d = 120$
$d = 40\, km$।

(B) माना दूरी $d \text{ km}$ है।
शांत जल में आदमी की गति $u = 9 \text{ km/hr}$ है।
धारा की गति $v = 3 \text{ km/hr}$ है।
धारा के अनुकूल गति (downstream) $= u + v = 9 + 3 = 12 \text{ km/hr}$ है।
धारा के प्रतिकूल गति (upstream) $= u - v = 9 - 3 = 6 \text{ km/hr}$ है।
धारा के अनुकूल यात्रा में लगा समय $t_1 = \frac{d}{12} \text{ घंटे}$ है।
धारा के प्रतिकूल यात्रा में लगा समय $t_2 = \frac{d}{6} \text{ घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$t_2 = t_1 + 3$ है।
$\frac{d}{6} = \frac{d}{12} + 3$ है।
हर को हटाने के लिए $12$ से गुणा करने पर: $2d = d + 36$ प्राप्त होता है।
$d = 36 \text{ km}$ है।

(D) माना $M$ और $N$ के बीच की दूरी $d$ $km$ है और धारा की गति $y$ $km/h$ है।
दिया गया है,शांत जल में नाव की गति $u = 4$ $km/h$ है।
धारा की दिशा में यात्रा में लगा समय = $\frac{d}{u+y} = \frac{d}{4+y}$.
धारा के विपरीत दिशा में यात्रा में लगा समय = $\frac{d}{u-y} = \frac{d}{4-y}$.
कुल लगा समय = $\frac{d}{4+y} + \frac{d}{4-y} = 3$.
$\frac{d(4-y) + d(4+y)}{(4+y)(4-y)} = 3$.
$\frac{8d}{16-y^2} = 3$.
$8d = 3(16-y^2)$.
यहाँ दो चर ($d$ और $y$) हैं और केवल एक समीकरण है,इसलिए धारा की गति $y$ को जाने बिना दूरी $d$ का निर्धारण नहीं किया जा सकता है। अतः,आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(A) माना $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d$ है। चूंकि $Q$,$P$ और $R$ से समान दूरी पर है,इसलिए $Q$ और $R$ के बीच की दूरी भी $d$ है। $P$ से $R$ तक की कुल दूरी $2d$ है।
माना $x$ शांत जल में नाव की गति है और $y$ नदी की गति है।
$P$ से $Q$ तक जाकर वापस आने में लगा समय $10$ $hours$ है:
$\frac{d}{x+y} + \frac{d}{x-y} = 10 \quad \dots (1)$
$P$ से $R$ तक धारा की दिशा में जाने में लगा समय $4$ $hours$ है:
$\frac{2d}{x+y} = 4 \Rightarrow d = 2(x+y) \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ से:
$d \left( \frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)} \right) = 10 \Rightarrow 2xd = 10(x^2 - y^2) \Rightarrow xd = 5(x^2 - y^2)$
समीकरण $(2)$ से $d = 2(x+y)$ का मान रखने पर:
$x(2(x+y)) = 5(x+y)(x-y)$
चूंकि $x+y \neq 0$,दोनों पक्षों को $(x+y)$ से विभाजित करने पर:
$2x = 5(x-y) \Rightarrow 2x = 5x - 5y \Rightarrow 3x = 5y$
अतः,$\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$.

(B) माना शांत जल में नाव की गति $x \text{ km/h}$ है।
दिया गया है,धारा की गति $= 4 \text{ km/h}$।
धारा की दिशा में गति $= (x + 4) \text{ km/h}$ और धारा के विपरीत दिशा में गति $= (x - 4) \text{ km/h}$।
धारा की दिशा में $6 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{6}{x + 4} \text{ घंटे}$।
धारा के विपरीत दिशा में $6 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{6}{x - 4} \text{ घंटे}$।
प्रश्न के अनुसार,कुल समय $2 \text{ घंटे}$ है:
$\frac{6}{x + 4} + \frac{6}{x - 4} = 2$
$2$ से भाग देने पर: $\frac{3}{x + 4} + \frac{3}{x - 4} = 1$
$3(x - 4) + 3(x + 4) = (x + 4)(x - 4)$
$3x - 12 + 3x + 12 = x^2 - 16$
$6x = x^2 - 16$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
$(x - 8)(x + 2) = 0$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 8 \text{ km/h}$।

(D) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति $= x + y = 15\, km/h$.
धारा के प्रतिकूल गति $= x - y = 9\, km/h$.
शांत जल में नाव की गति $(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 9$
$2x = 24$
$x = 12\, km/h$.
वैकल्पिक रूप से,सूत्र है: शांत जल में नाव की गति $= \frac{1}{2} \times (\text{धारा के अनुकूल गति} + \text{धारा के प्रतिकूल गति})$.
$= \frac{1}{2} \times (15 + 9) = \frac{1}{2} \times 24 = 12\, km/h$.

(A) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार,धारा की दिशा में गति $x + y = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{20}{2} = 10\, km/h$ $....(i)$
इसी प्रकार,धारा के विपरीत दिशा में गति $x - y = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{20}{5} = 4\, km/h$ $....(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 10 + 4$
$2x = 14$
$x = 7\, km/h$
अतः,शांत जल में नाव की गति $7\, km/h$ है।

(B) माना शांत जल में तैरने की गति $x \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में (डाउनस्ट्रीम) लड़के की गति $(x + 3) \text{ km/h}$ है।
धारा के विपरीत दिशा में (अपस्ट्रीम) लड़के की गति $(x - 3) \text{ km/h}$ है।
चूंकि समय $t$ निश्चित है,और दूरी = गति $\times$ समय,प्रश्न के अनुसार धारा की दिशा में तय की गई दूरी,धारा के विपरीत तय की गई दूरी की दोगुनी है:
$(x + 3) \times t = 2 \times (x - 3) \times t$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए):
$x + 3 = 2(x - 3)$
$x + 3 = 2x - 6$
$x = 9 \text{ km/h}$.
अतः,शांत जल में तैरने की गति $9 \text{ km/h}$ है।

(A) माना शांत जल में नाव की चाल $x \text{ km/h}$ है और धारा की चाल $y \text{ km/h}$ है।
धारा के अनुकूल चाल $= x + y = \frac{20 \text{ km}}{1 \text{ h}} = 20 \text{ km/h}$.
धारा के प्रतिकूल चाल $= x - y = \frac{20 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 10 \text{ km/h}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 20 + 10$.
$2x = 30$.
$x = 15 \text{ km/h}$.
अतः,शांत जल में नाव की चाल $15 \text{ km/h}$ है।

(B) माना धारा की गति $x \text{ km/h}$ है।
चूंकि शांत जल में नाव की गति धारा की गति की $4$ गुना है,इसलिए शांत जल में नाव की गति $4x \text{ km/h}$ होगी।
धारा की दिशा में गति $(4x + x) = 5x \text{ km/h}$ होगी।
धारा के विपरीत दिशा में गति $(4x - x) = 3x \text{ km/h}$ होगी।
यह दिया गया है कि $30 \text{ km}$ की यात्रा के लिए कुल समय $8 \text{ h}$ लगता है,इसलिए हम $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ सूत्र का उपयोग करेंगे।
$\frac{30}{3x} + \frac{30}{5x} = 8$.
$\frac{10}{x} + \frac{6}{x} = 8$.
$\frac{16}{x} = 8$.
$x = \frac{16}{8} = 2 \text{ km/h}$.
अतः,धारा की गति $2 \text{ km/h}$ है।

(A) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
धारा की दिशा में गति $(x + y)$ $= \frac{1\, km}{5\, min} = \frac{1\, km}{(5/60)\, h} = 12\, km/h$.
धारा के विपरीत दिशा में गति $(x - y)$ $= \frac{6\, km}{1\, h} = 6\, km/h$.
धारा की गति $(y)$ ज्ञात करने के लिए,धारा की दिशा की गति में से धारा के विपरीत दिशा की गति को घटाकर $2$ से भाग देने पर:
$y = \frac{(x + y) - (x - y)}{2} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3\, km/h$.

(B) माना कि शांत जल में नाव की गति $x \ km/h$ है और धारा की गति $y \ km/h$ है।
धारा की दिशा में गति $= x + y = \frac{18 \ km}{4 \ h} = 4.5 \ km/h$.
धारा के विपरीत दिशा में गति $= x - y = \frac{18 \ km}{12 \ h} = 1.5 \ km/h$.
धारा की गति $(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम धारा की दिशा की गति में से धारा के विपरीत दिशा की गति को घटाकर $2$ से विभाजित करेंगे:
$y = \frac{(x + y) - (x - y)}{2} = \frac{4.5 - 1.5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ km/h$.

(C) माना कि स्थान की दूरी $x \, km$ है।
शांत जल में आदमी की गति $= 5 \, km/h$ है।
धारा की गति $= 1 \, km/h$ है।
धारा की दिशा में गति (Downstream) $= 5 + 1 = 6 \, km/h$ है।
धारा के विपरीत गति (Upstream) $= 5 - 1 = 4 \, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार,जाने और वापस आने में लगा कुल समय $1 \, h$ है।
धारा की दिशा में लगा समय + धारा के विपरीत लगा समय $= 1 \, h$ है।
$\frac{x}{6} + \frac{x}{4} = 1$ है।
$6$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{2x + 3x}{12} = 1$ है।
$\frac{5x}{12} = 1$ है।
$5x = 12$ है।
$x = \frac{12}{5} = 2.4 \, km$ है।
अतः,वह स्थान $2.4 \, km$ की दूरी पर है।

(C) शांत जल में व्यक्ति की गति $v_m = 4\, km/h$ है।
धारा की गति $v_s = 2\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल (upstream) तैरते समय,प्रभावी गति व्यक्ति की गति और धारा की गति का अंतर होती है:
$v_{upstream} = v_m - v_s = 4 - 2 = 2\, km/h$.
तय की जाने वाली दूरी $d = 10\, km$ है।
समय ज्ञात करने का सूत्र: $t = \frac{d}{v_{upstream}}$.
$t = \frac{10}{2} = 5\, h$.