Boats and Streams Questions in Hindi

(A) माना स्थिर जल में व्यक्ति की गति $x \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y = 1.5 \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में गति $= (x + y) \text{ km/h}$.
धारा के विपरीत दिशा में गति $= (x - y) \text{ km/h}$.
प्रश्न के अनुसार,एक निश्चित समय $t$ में,धारा की दिशा में तय की गई दूरी,धारा के विपरीत तय की गई दूरी की दोगुनी है:
$(x + y)t = 2(x - y)t$
$x + 1.5 = 2(x - 1.5)$
$x + 1.5 = 2x - 3$
$x = 4.5 \text{ km/h}$.
अतः,व्यक्ति की तैरने की गति $4 \frac{1}{2} \text{ km/h}$ है।

(D) धारा के अनुकूल गति $= (9 + 3)\, km/h = 12\, km/h$.
धारा के प्रतिकूल गति $= (9 - 3)\, km/h = 6\, km/h$.
माना दूरी $AB = x\, km$ है।
कुल समय धारा के प्रतिकूल और अनुकूल यात्रा में लगे समय का योग है।
समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$.
अतः,$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 3$.
$12$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2x + x = 36$.
$3x = 36$.
$x = 12$.
अतः,$A$ और $B$ के बीच की दूरी $12\, km$ है।

(D) माना स्थिर जल में व्यक्ति की नाव चलाने की गति $x \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y \text{ km/h}$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= (x - y) \text{ km/h}$.
धारा के अनुकूल गति $= (x + y) \text{ km/h}$.
चूंकि दोनों यात्राओं में $5 \text{ घंटे}$ का समय लगता है,इसलिए:
$x - y = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ km/h}$ (समीकरण $1$)
$x + y = \frac{28}{5} = 5.6 \text{ km/h}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(x + y) - (x - y) = 5.6 - 2.4$
$2y = 3.2$
$y = 1.6 \text{ km/h}$.
$1.6$ को भिन्न में बदलने पर: $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5} \text{ km/h}$.

(B) माना शांत जल में गति $x \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में गति $(x + y) \text{ km/h}$ होगी।
धारा के विपरीत दिशा में गति $(x - y) \text{ km/h}$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,धारा की दिशा में गति का दोगुना,धारा के विपरीत दिशा में गति के तीन गुने के बराबर है:
$2(x + y) = 3(x - y)$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$2x + 2y = 3x - 3y$
$x$ का मान $y$ के पदों में ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x - 3x = -3y - 2y$
$-x = -5y$
$x = 5y$
अतः,शांत जल में गति और धारा की गति का अनुपात:
$\frac{x}{y} = \frac{5}{1}$,जो कि $5:1$ है।

(D) धारा के प्रतिकूल गति (upstream speed) $= (3 - 2) \text{ km/h} = 1 \text{ km/h}$.
धारा के अनुकूल गति (downstream speed) $= (3 + 2) \text{ km/h} = 5 \text{ km/h}$.
$10 \text{ km}$ धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{धारा के प्रतिकूल गति}} = \frac{10}{1} = 10 \text{ घंटे}$.
$10 \text{ km}$ धारा के अनुकूल आने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{धारा के अनुकूल गति}} = \frac{10}{5} = 2 \text{ घंटे}$.
कुल लगा समय $= 10 + 2 = 12 \text{ घंटे}$.

(C) माना स्थिर जल में नाव की गति $u \text{ km/h}$ है और धारा की गति $v \text{ km/h}$ है।
अतः,धारा के प्रतिकूल गति $= (u - v) \text{ km/h}$ और धारा के अनुकूल गति $= (u + v) \text{ km/h}$ होगी।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{24}{u-v} + \frac{36}{u+v} = 6$ --- $(1)$
$\frac{36}{u-v} + \frac{24}{u+v} = 6.5 = \frac{13}{2}$ --- $(2)$
माना $X = \frac{1}{u-v}$ और $Y = \frac{1}{u+v}$.
$24X + 36Y = 6 \Rightarrow 4X + 6Y = 1$ --- $(3)$
$36X + 24Y = \frac{13}{2} \Rightarrow 72X + 48Y = 13$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ को $8$ से गुणा करने पर: $32X + 48Y = 8$ --- $(5)$
समीकरण $(4)$ में से $(5)$ घटाने पर: $40X = 5 \Rightarrow X = \frac{1}{8}$.
$X$ का मान $(3)$ में रखने पर: $4(\frac{1}{8}) + 6Y = 1 \Rightarrow 0.5 + 6Y = 1 \Rightarrow 6Y = 0.5 \Rightarrow Y = \frac{1}{12}$.
अतः,$u - v = 8$ और $u + v = 12$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2u = 20 \Rightarrow u = 10 \text{ km/h}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2v = 4 \Rightarrow v = 2 \text{ km/h}$.
अतः,धारा का वेग $2 \text{ km/h}$ है।

(B) माना स्थिर जल में नाव की चाल $u\, km/h$ है और धारा की चाल $v\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल चाल (Upstream) $= u - v = \frac{2\, km}{1\, h} = 2\, km/h$.
धारा के अनुकूल चाल (Downstream) $= u + v = \frac{1\, km}{10\, min} = \frac{1\, km}{1/6\, h} = 6\, km/h$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(u - v) + (u + v) = 2 + 6 \implies 2u = 8 \implies u = 4\, km/h$.
अतः, स्थिर जल में नाव की चाल $4\, km/h$ है।
स्थिर जल में $5\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{5}{4}\, \text{घंटे}$.
$\frac{5}{4}\, \text{घंटे} = 1\, \text{घंटा } 15\, \text{मिनट}$.

(A) माना स्थिर जल में व्यक्ति की गति $x \, km/h$ है और धारा की गति $y \, km/h$ है।
धारा की दिशा में गति $= (x+y) \, km/h$.
धारा के विपरीत दिशा में गति $= (x-y) \, km/h$.
माना नदी $P$ से $R$ की ओर बहती है और $PQ = QR = a$ है। अतः $PR = 2a$ है।
दिया गया है कि व्यक्ति $P$ से $Q$ तक जाता है और वापस आता है,जिसमें $10 \, h$ लगते हैं:
$\frac{a}{x+y} + \frac{a}{x-y} = 10$ ---$(1)$
दिया गया है कि वह $P$ से $R$ तक $4 \, h$ में जाता है (धारा की दिशा में):
$\frac{2a}{x+y} = 4 \implies \frac{a}{x+y} = 2$ ---$(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$2 + \frac{a}{x-y} = 10 \implies \frac{a}{x-y} = 8$ ---$(3)$
समीकरण $(2)$ को $(3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x-y}{x+y} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$4x - 4y = x + y$
$3x = 5y$
$\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$
अतः,अनुपात $5:3$ है।

(C) माना स्थिर जल में मोटरबोट की गति $x \, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x - 2) \, km/h$ और धारा के अनुकूल गति $(x + 2) \, km/h$ होगी।
कुल लगा समय $55 \, min = \frac{55}{60} \, \text{घंटे }= \frac{11}{12} \, \text{घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{10}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{11}{12}$
$10 \left( \frac{x + 2 + x - 2}{x^2 - 4} \right) = \frac{11}{12}$
$10 \left( \frac{2x}{x^2 - 4} \right) = \frac{11}{12}$
$20x \times 12 = 11(x^2 - 4)$
$240x = 11x^2 - 44$
$11x^2 - 240x - 44 = 0$
$11x^2 - 242x + 2x - 44 = 0$
$11x(x - 22) + 2(x - 22) = 0$
$(11x + 2)(x - 22) = 0$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 22 \, km/h$।

(A) माना धारा के प्रतिकूल गति $x \text{ km/h}$ और धारा के अनुकूल गति $y \text{ km/h}$ है।
प्रश्न के अनुसार,हमारे पास समीकरण हैं:
$\frac{30}{x} + \frac{44}{y} = 10$ --- $(1)$
$\frac{40}{x} + \frac{55}{y} = 13$ --- $(2)$
माना $u = \frac{1}{x}$ और $v = \frac{1}{y}$. तब समीकरण इस प्रकार होंगे:
$30u + 44v = 10$ --- $(3)$
$40u + 55v = 13$ --- $(4)$
समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$120u + 176v = 40$
$120u + 165v = 39$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $11v = 1 \implies v = \frac{1}{11}$.
$v = \frac{1}{11}$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर: $30u + 44(\frac{1}{11}) = 10 \implies 30u + 4 = 10 \implies 30u = 6 \implies u = \frac{1}{5}$.
अतः,$x = 5 \text{ km/h}$ और $y = 11 \text{ km/h}$.
शांत जल में आदमी की गति $= \frac{y + x}{2} = \frac{11 + 5}{2} = 8 \text{ km/h}$.
धारा की गति $= \frac{y - x}{2} = \frac{11 - 5}{2} = 3 \text{ km/h}$.

(B) जब दोनों दिशाओं में तय की गई दूरी समान हो,तो औसत गति का सूत्र $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ होता है,जहाँ $x$ और $y$ दोनों दिशाओं में गति हैं।
यहाँ,$x = 21\, km/h$ और $y = 28\, km/h$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 21 \times 28}{21 + 28}$
$\text{Average Speed} = \frac{1176}{49}$
$\text{Average Speed} = 24\, km/h$.

(C) माना स्थिर जल में नाव की गति $x\, km/hr$ है और धारा की गति $y\, km/hr$ है।
धारा के प्रतिकूल गति = $(x - y)\, km/hr$ और धारा के अनुकूल गति = $(x + y)\, km/hr$ है।
दिया गया है,समय = $\text{दूरी} / \text{गति}$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{2}{x-y} + \frac{3}{x+y} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \implies \frac{6}{x-y} + \frac{9}{x+y} = 1$ ---$(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{7}{x-y} + \frac{2}{x+y} = \frac{53}{60}$ ---$(2)$
माना $u = \frac{1}{x-y}$ और $v = \frac{1}{x+y}$ है।
$6u + 9v = 1$ ---$(3)$
$7u + 2v = \frac{53}{60}$ ---$(4)$
समीकरण $(3)$ को $2$ से और $(4)$ को $9$ से गुणा करने पर:
$12u + 18v = 2$
$63u + 18v = \frac{477}{60} = 7.95$
समीकरणों को घटाने पर: $51u = 5.95 \implies u = \frac{5.95}{51} = \frac{7}{60}$ है।
अतः,$x - y = \frac{60}{7}$ है।
$u$ का मान $(3)$ में रखने पर: $6(\frac{7}{60}) + 9v = 1 \implies \frac{7}{10} + 9v = 1 \implies 9v = \frac{3}{10} \implies v = \frac{1}{30}$ है।
अतः,$x + y = 30$ है।
$x - y = \frac{60}{7}$ और $x + y = 30$ को जोड़ने पर:
$2x = \frac{60}{7} + 30 = \frac{270}{7}$ है।
$x = \frac{135}{7}\, km/hr$ है।

(C) माना शांत जल में नाव की गति $x \ km/hr$ है और धारा की गति $y \ km/hr$ है।
धारा के अनुकूल गति $(D_s)$ = $x + y = \frac{32 \ km}{4 \ hours} = 8 \ km/hr$.
धारा के प्रतिकूल गति $(U_s)$ = $x - y = \frac{24 \ km}{6 \ hours} = 4 \ km/hr$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 8 + 4$.
$2x = 12$.
$x = 6 \ km/hr$.
अतः,शांत जल में नाव की गति $6 \ km/hr$ है।

(B) माना शांत जल में नाव की गति $x \text{ km/hr}$ और धारा की गति $y \text{ km/hr}$ है।
धारा के अनुकूल गति $= (x+y) \text{ km/hr}$.
धारा के प्रतिकूल गति $= (x-y) \text{ km/hr}$.
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{60}{x+y} + \frac{20}{x-y} = 4$ --- $(i)$
$\frac{40}{x+y} + \frac{40}{x-y} = 6$ --- $(ii)$
माना $u = \frac{1}{x+y}$ और $v = \frac{1}{x-y}$.
$60u + 20v = 4 \Rightarrow 15u + 5v = 1$ --- $(iii)$
$40u + 40v = 6 \Rightarrow 20u + 20v = 3$ --- $(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $4$ से गुणा करने पर: $60u + 20v = 4$.
इसमें से $(iv)$ घटाने पर: $(60u + 20v) - (40u + 40v) = 4 - 6 \Rightarrow 20u - 20v = -2 \Rightarrow 10u - 10v = -1$.
समीकरणों को हल करने पर,हमें $u = \frac{1}{40}$ और $v = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = 40$ और $x-y = 8$.
दोनों को जोड़ने पर: $2x = 48 \Rightarrow x = 24$.
दोनों को घटाने पर: $2y = 32 \Rightarrow y = 16$.
अतः,धारा की गति $16 \text{ km/hr}$ है।

(A) माना कि शांत जल में नाव की गति $x \ km/hr$ है और धारा की गति $y \ km/hr$ है।
धारा के साथ नाव की गति (अनुप्रवाह गति) $D_s = x + y = 10 \ km/hr$ दी गई है।
धारा के विपरीत नाव की गति (ऊर्ध्वप्रवाह गति) $U_s = x - y = 8 \ km/hr$ दी गई है।
धारा की गति $(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुप्रवाह समीकरण में से ऊर्ध्वप्रवाह समीकरण को घटाते हैं:
$(x + y) - (x - y) = 10 - 8$
$2y = 2$
$y = 1 \ km/hr$.
अतः,धारा की गति $1 \ km/hr$ है।

(D) मान लीजिए कि शांत जल में नाव की गति $x \, km/hr$ है और धारा की गति $y \, km/hr$ है।
धारा के अनुकूल (downstream) नाव की गति $D_s = x + y = 14 \, km/hr$ दी गई है।
धारा के प्रतिकूल (upstream) नाव की गति $U_s = x - y = 8 \, km/hr$ दी गई है।
धारा की गति $(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम धारा के अनुकूल गति के समीकरण में से धारा के प्रतिकूल गति के समीकरण को घटाते हैं:
$(x + y) - (x - y) = 14 - 8$
$2y = 6$
$y = 3 \, km/hr$.
अतः,धारा की गति $3 \, km/hr$ है।

(D) माना स्थिर जल में नाव की चाल $u$ किमी/घंटा है और धारा की चाल $v$ किमी/घंटा है। माना $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d$ किमी है। अतः $PQ = QR = d$ किमी और $PR = 2d$ किमी है।
$P$ से $Q$ तक जाकर वापस आने में लगा समय:
$\frac{d}{u-v} + \frac{d}{u+v} = 12$ घंटे ---$(1)$
$P$ से $R$ तक (धारा की दिशा में) जाने में लगा समय:
$\frac{2d}{u+v} = 16$ घंटे $40$ मिनट $= 16 + \frac{40}{60} = 16 + \frac{2}{3} = \frac{50}{3}$ घंटे ---$(2)$
$(2)$ से,हमें $\frac{d}{u+v} = \frac{25}{3}$ घंटे प्राप्त होता है।
इस मान को $(1)$ में रखने पर:
$\frac{d}{u-v} + \frac{25}{3} = 12$
$\frac{d}{u-v} = 12 - \frac{25}{3} = \frac{36-25}{3} = \frac{11}{3}$ घंटे।
हमें $R$ से $P$ तक (धारा के विपरीत) जाने में लगा समय ज्ञात करना है,जो $\frac{2d}{u-v}$ है:
$\frac{2d}{u-v} = 2 \times \frac{11}{3} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3}$ घंटे।

(C) शांत जल में नाव की गति $u = 20\, km/hr$ है।
धारा की गति $v = 5\, km/hr$ है।
जब नाव धारा की दिशा में (downstream) चलती है,तो प्रभावी गति $u + v = 20 + 5 = 25\, km/hr$ होती है।
तय की जाने वाली दूरी $d = 100\, km$ है।
लिया गया समय $\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}} = \frac{100}{25} = 4\, hours$ है।

(A) धारा की दिशा में नाव की गति $= \frac{1 \text{ km}}{7.5 \text{ मिनट}} = \frac{1 \text{ km}}{(7.5 / 60) \text{ घंटे}} = \frac{60}{7.5} \text{ km/h} = 8 \text{ km/h}$.
धारा के विपरीत दिशा में नाव की गति $= 5 \text{ km/h}$.
स्थिर जल में नाव की गति $= \frac{1}{2} (\text{धारा की दिशा में गति} + \text{धारा के विपरीत दिशा में गति})$.
स्थिर जल में नाव की गति $= \frac{1}{2} (8 + 5) = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ km/h}$ या $6 \frac{1}{2} \text{ km/h}$.

(D) दिया गया है: शांत जल में नाव की गति $(S_B)$ = $13 \text{ km/hr}$.
धारा की गति $(S_C)$ = $4 \text{ km/hr}$.
जब नाव विपरीत दिशा (धारा के प्रतिकूल) में यात्रा करती है,तो प्रभावी गति नाव की गति और धारा की गति का अंतर होती है।
धारा के प्रतिकूल गति = $S_B - S_C = 13 - 4 = 9 \text{ km/hr}$.
तय की जाने वाली दूरी = $63 \text{ km}$.
लिया गया समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{धारा के प्रतिकूल गति}} = \frac{63}{9} = 7 \text{ घंटे}$.

(B) शांत जल में नाव की गति,$S_B = 6\, km/hr$.
धारा की गति,$S_S = 1.5\, km/hr$.
धारा की दिशा में गति (Downstream),$D_S = S_B + S_S = 6 + 1.5 = 7.5\, km/hr$.
धारा के विपरीत गति (Upstream),$U_S = S_B - S_S = 6 - 1.5 = 4.5\, km/hr$.
स्थान की दूरी,$D = 22.5\, km$.
धारा की दिशा में जाने में लगा समय,$T_1 = \frac{D}{D_S} = \frac{22.5}{7.5} = 3\, \text{घंटे}$.
धारा के विपरीत वापस आने में लगा समय,$T_2 = \frac{D}{U_S} = \frac{22.5}{4.5} = 5\, \text{घंटे}$.
कुल समय = $T_1 + T_2 = 3 + 5 = 8\, \text{घंटे}$.

(D) माना स्थिर जल में नाव की गति $u = 6\, km/h$ है और धारा की गति $v = 1.5\, km/h$ है।
धारा की दिशा में (Downstream) गति $u + v = 6 + 1.5 = 7.5\, km/h$ है।
धारा के विपरीत दिशा में (Upstream) गति $u - v = 6 - 1.5 = 4.5\, km/h$ है।
स्थान की दूरी $d = 22.5\, km$ है।
धारा की दिशा में यात्रा के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{u+v} = \frac{22.5}{7.5} = 3\, \text{घंटे}$ है।
धारा के विपरीत दिशा में यात्रा के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{u-v} = \frac{22.5}{4.5} = 5\, \text{घंटे}$ है।
कुल लिया गया समय $t_1 + t_2 = 3 + 5 = 8\, \text{घंटे}$ है।

(D) माना शांत जल में नाव की गति $x \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में गति $D_S = (x + y) \text{ km/h}$।
धारा के विपरीत दिशा में गति $U_S = (x - y) \text{ km/h}$।
माना दूरी $d$ है और धारा की दिशा में लिया गया समय $t$ है। तो धारा के विपरीत दिशा में लिया गया समय $2t$ होगा।
चूंकि $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$,इसलिए:
$d = (x + y) \times t$ और $d = (x - y) \times 2t$।
दूरी के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(x + y) \times t = (x - y) \times 2t$
$x + y = 2x - 2y$
$3y = x$
अतः,अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{3}{1}$ या $3:1$ है।

(D) माना शांत जल में नाव की गति $x \, km/hr$ है और धारा की गति $y \, km/hr$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $= (x - y) \, km/hr$ और धारा के अनुकूल गति $= (x + y) \, km/hr$.
प्रश्न के अनुसार:
$1) \frac{24}{x-y} + \frac{28}{x+y} = 6$
$2) \frac{30}{x-y} + \frac{21}{x+y} = 6.5 = \frac{13}{2}$
माना $u = \frac{1}{x-y}$ और $v = \frac{1}{x+y}$.
$24u + 28v = 6 \implies 12u + 14v = 3$ (समीकरण $i$)
$30u + 21v = \frac{13}{2} \implies 60u + 42v = 13$ (समीकरण $ii$)
समीकरण $i$ को $3$ से गुणा करने पर: $36u + 42v = 9$ (समीकरण $iii$)
समीकरण $ii$ में से $iii$ घटाने पर: $(60u - 36u) = 13 - 9 \implies 24u = 4 \implies u = \frac{1}{6}$.
$u = \frac{1}{6}$ को समीकरण $i$ में रखने पर: $12(\frac{1}{6}) + 14v = 3 \implies 2 + 14v = 3 \implies 14v = 1 \implies v = \frac{1}{14}$.
अतः,$x - y = 6$ और $x + y = 14$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 20 \implies x = 10 \, km/hr$.

(B) मान लीजिए कि स्थिर जल में नाव की गति $u$ है और धारा की गति $v$ है।
धारा की दिशा में नाव की गति $u + v = \frac{12 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 6 \text{ km/h}$ है (कथन $I$ से)।
धारा के विपरीत दिशा में नाव की गति $u - v = \frac{12 \text{ km}}{4 \text{ h}} = 3 \text{ km/h}$ है (कथन $II$ से)।
कथन $III$ से,$v = \frac{u}{3}$ है।
$u$ ज्ञात करने के लिए,हम कथन $I$ और $II$ का उपयोग कर सकते हैं:
$u + v = 6$ और $u - v = 3$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2u = 9 \implies u = 4.5 \text{ km/h}$।
वैकल्पिक रूप से,हम कथन $I$ और $III$ का उपयोग कर सकते हैं:
$u + v = 6$ और $v = \frac{u}{3}$।
पहले समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $u + \frac{u}{3} = 6 \implies \frac{4u}{3} = 6 \implies u = \frac{18}{4} = 4.5 \text{ km/h}$।
अतः,कथन $I$ और $II$ या $III$ में से कोई भी एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

(B) कथन $I$ से,ट्रेन की लंबाई $240 \ m$ है,लेकिन लिया गया समय नहीं दिया गया है।
अतः,केवल कथन $I$ पर्याप्त नहीं है।
कथन $II$ से,ट्रेन द्वारा खंभे को पार करने में लिया गया समय $24 \ s$ है,लेकिन ट्रेन की लंबाई नहीं दी गई है।
अतः,केवल कथन $II$ पर्याप्त नहीं है।
कथन $III$ से,ट्रेन द्वारा प्लेटफॉर्म को पार करने में लिया गया समय $48 \ s$ है,लेकिन ट्रेन और प्लेटफॉर्म की लंबाई नहीं दी गई है।
अतः,केवल कथन $III$ पर्याप्त नहीं है।
अब,कथन $I$ और $II$ को मिलाने पर,हमारे पास दूरी (ट्रेन की लंबाई) $= 240 \ m$ और खंभे को पार करने में लिया गया समय $= 24 \ s$ है।
ट्रेन की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{240 \ m}{24 \ s} = 10 \ m/s$.
इसलिए,प्रश्न का उत्तर देने के लिए $I$ और $II$ दोनों एक साथ पर्याप्त हैं।

(C) माना स्थिर जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{12}{x-y} + \frac{18}{x+y} = 3$ $...(1)$
$\frac{36}{x-y} + \frac{24}{x+y} = \frac{13}{2}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$\frac{36}{x-y} + \frac{54}{x+y} = 9$ $...(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\frac{36}{x-y} - \frac{36}{x-y}) + (\frac{54}{x+y} - \frac{24}{x+y}) = 9 - \frac{13}{2}$
$\frac{30}{x+y} = \frac{5}{2}$
$x+y = 12$ $...(4)$
$x+y = 12$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{12}{x-y} + \frac{18}{12} = 3$
$\frac{12}{x-y} + 1.5 = 3$
$\frac{12}{x-y} = 1.5$
$x-y = \frac{12}{1.5} = 8$ $...(5)$
धारा की गति $(y)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(5)$ को घटाने पर:
$(x+y) - (x-y) = 12 - 8$
$2y = 4$
$y = 2\, km/h$.

(B) माना कि आवश्यक दूरी $x\, km$ है।
शांत जल में आदमी की गति $6\, km/h$ है और धारा की गति $2\, km/h$ है।
धारा के अनुकूल (downstream) गति = $(6 + 2) = 8\, km/h$.
धारा के प्रतिकूल (upstream) गति = $(6 - 2) = 4\, km/h$.
धारा के प्रतिकूल लिया गया समय = $\frac{x}{4}$ घंटे।
धारा के अनुकूल लिया गया समय = $\frac{x}{8}$ घंटे।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $3$ घंटे है:
$\frac{x}{4} - \frac{x}{8} = 3$
$\frac{2x - x}{8} = 3$
$\frac{x}{8} = 3$
$x = 24\, km$.
अतः,दूरी $24\, km$ है।

(A) माना कि धारा की गति $x \, km/h$ है।
धारा की दिशा में गति = $(10 + x) \, km/h$।
धारा के विपरीत गति = $(10 - x) \, km/h$।
प्रश्न के अनुसार,कुल यात्रा का समय $20 \, hours$ है:
$\frac{91}{10 + x} + \frac{91}{10 - x} = 20$
$91$ को कॉमन लेने पर:
$91 \left( \frac{10 - x + 10 + x}{(10 + x)(10 - x)} \right) = 20$
अंश का सरलीकरण करने पर:
$91 \left( \frac{20}{100 - x^2} \right) = 20$
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर:
$\frac{91}{100 - x^2} = 1$
$100 - x^2 = 91$
$x^2 = 100 - 91 = 9$
$x = \sqrt{9} = 3 \, km/h$।
अतः,नदी के बहाव की दर $3 \, km/h$ है।

(C) माना कि स्थिर जल में मोटर-बोट की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{25}{x-y} + \frac{39}{x+y} = 8$ $...(1)$
$\frac{35}{x-y} + \frac{52}{x+y} = 11$ $...(2)$
माना $u = \frac{1}{x-y}$ और $v = \frac{1}{x+y}$ है।
समीकरण इस प्रकार होंगे:
$25u + 39v = 8$ $...(3)$
$35u + 52v = 11$ $...(4)$
समीकरण $(3)$ को $4$ से और समीकरण $(4)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$100u + 156v = 32$ $...(5)$
$105u + 156v = 33$ $...(6)$
समीकरण $(6)$ में से $(5)$ को घटाने पर:
$5u = 1 \Rightarrow u = \frac{1}{5}$।
चूंकि $u = \frac{1}{x-y}$,इसलिए $x-y = 5$ प्राप्त होता है।
$u = \frac{1}{5}$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$25(\frac{1}{5}) + 39v = 8$
$5 + 39v = 8 \Rightarrow 39v = 3 \Rightarrow v = \frac{1}{13}$।
चूंकि $v = \frac{1}{x+y}$,इसलिए $x+y = 13$ प्राप्त होता है।
$x-y = 5$ और $x+y = 13$ को हल करने पर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 18 \Rightarrow x = 9$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2y = 8 \Rightarrow y = 4$।
अतः,धारा की गति $4\, km/h$ है।

(D) माना शांत जल में आदमी की गति $u$ है और धारा की गति $v$ है।
धारा के विपरीत गति $(u - v) = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{3/4 \text{ किमी}}{15/60 \text{ घंटा}} = \frac{3}{4} \times 4 = 3 \text{ किमी/घंटा}$.
धारा की दिशा में गति $(u + v) = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{3/4 \text{ किमी}}{10/60 \text{ घंटा}} = \frac{3}{4} \times 6 = 4.5 \text{ किमी/घंटा}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(u - v) + (u + v) = 3 + 4.5 \implies 2u = 7.5 \implies u = 3.75 \text{ किमी/घंटा}$.
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $(u + v) - (u - v) = 4.5 - 3 \implies 2v = 1.5 \implies v = 0.75 \text{ किमी/घंटा}$.
उसकी गति और धारा की गति का अनुपात $u : v = 3.75 : 0.75 = 5 : 1$ है।

(C) माना कि शांत जल में नाव की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x-y)\, km/h$ है और धारा के अनुकूल गति $(x+y)\, km/h$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$\frac{25}{x-y} + \frac{39}{x+y} = 8$ $...(i)$
$\frac{35}{x-y} + \frac{52}{x+y} = 11$ $...(ii)$
माना $\frac{1}{x-y} = A$ और $\frac{1}{x+y} = B$.
तब,$25A + 39B = 8$ $...(iii)$
$35A + 52B = 11$ $...(iv)$
$A$ और $B$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(iii)$ को $4$ से और समीकरण $(iv)$ को $3$ से गुणा करें:
$100A + 156B = 32$ $...(v)$
$105A + 156B = 33$ $...(vi)$
समीकरण $(vi)$ में से $(v)$ को घटाने पर:
$5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$A = \frac{1}{5}$ को समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$25(\frac{1}{5}) + 39B = 8$
$5 + 39B = 8 \Rightarrow 39B = 3 \Rightarrow B = \frac{1}{13}$.
अब,$x-y = 5$ और $x+y = 13$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 18 \Rightarrow x = 9$.
दूसरे में से पहले समीकरण को घटाने पर: $2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
अतः,धारा की गति $4\, km/h$ है।

(B) माना दो बिंदुओं के बीच की कुल दूरी $d\, km$ है।
शांत जल में नाव की गति = $8\, km/h$।
धारा की गति = $2\, km/h$।
धारा की दिशा में गति = $8 + 2 = 10\, km/h$।
सामान्यतः $d$ दूरी तय करने में लगा समय = $\frac{d}{10}$।
वास्तविक स्थिति में,व्यक्ति आधी दूरी $(d/2)$ $10\, km/h$ की गति से और शेष आधी दूरी $(d/2)$ धारा की गति $(2\, km/h)$ से तय करता है क्योंकि मोटर खराब हो गई थी।
वास्तविक समय = $\frac{d/2}{10} + \frac{d/2}{2} = \frac{d}{20} + \frac{d}{4} = \frac{d + 5d}{20} = \frac{6d}{20} = \frac{3d}{10}$।
दिया गया है कि वास्तविक समय सामान्य समय से $6\, \text{घंटे}$ अधिक है:
$\frac{3d}{10} - \frac{d}{10} = 6$
$\frac{2d}{10} = 6$
$\frac{d}{5} = 6$
$d = 30\, km$।

(D) मान लीजिए $A$ और $B$,तथा $B$ और $C$ के बीच की दूरी $d$ है। मान लीजिए स्थिर जल में तैराक की गति $x$ है और धारा की गति $y$ है।
$A$ और $B$ के बीच आने-जाने की यात्रा के लिए: $\frac{d}{x+y} + \frac{d}{x-y} = 10 \dots (1)$
धारा की दिशा में $A$ से $C$ तक की यात्रा के लिए (कुल दूरी $2d$): $\frac{2d}{x+y} = 8 \Rightarrow d = 4(x+y) \dots (2)$
समीकरण $(2)$ से $d$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{4(x+y)}{x+y} + \frac{4(x+y)}{x-y} = 10$
$4 + \frac{4(x+y)}{x-y} = 10$
$\frac{4(x+y)}{x-y} = 6 \Rightarrow \frac{x+y}{x-y} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$2(x+y) = 3(x-y)$
$2x + 2y = 3x - 3y$
$x = 5y$
अतः,अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{5}{1}$ है।

(A) माना शांत जल में नाव की गति $x$ है और धारा की गति $y$ है।
धारा की दिशा में गति $(x + y)$ है और धारा के विपरीत दिशा में गति $(x - y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(x + y) = \frac{16}{9}(x - y)$ है।
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर,$9(x + y) = 16(x - y)$,जिसे सरल करने पर $9x + 9y = 16x - 16y$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$16x - 9x = 9y + 16y$,जिससे $7x = 25y$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के संदर्भ में धारा की गति $y = \frac{7x}{25}$ है।
आवश्यक प्रतिशत $\frac{y}{x} \times 100 = \frac{7x/25}{x} \times 100 = \frac{7}{25} \times 100 = 28 \%$ है।

(B) माना कि स्थिर पानी में व्यक्ति की गति $u = 20\, km/h$ है और नदी के प्रवाह की गति $v = 5\, km/h$ है।
प्रवाह की दिशा में (डाउनस्ट्रीम) तैरते समय,प्रभावी गति $u + v = 20 + 5 = 25\, km/h$ होती है।
$A$ से $B$ तक जाने में लगा समय $t_1 = \frac{30}{25} = 1.2\, \text{घंटे}$ है।
प्रवाह की विपरीत दिशा में (अपस्ट्रीम) तैरते समय,प्रभावी गति $u - v = 20 - 5 = 15\, km/h$ होती है।
$B$ से $A$ वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{30}{15} = 2\, \text{घंटे}$ है।
कुल लगा समय $T = t_1 + t_2 = 1.2 + 2 = 3.2\, \text{घंटे}$ है।
$0.2\, \text{घंटे}$ को मिनटों में बदलने पर: $0.2 \times 60 = 12\, \text{मिनट}$।
अतः,कुल समय $3\, h\, 12\, min$ है।

(A) माना कि स्थिर जल में नाव की गति $x$ $kmph$ है और दूरी $d$ $km$ है।
दिया गया है,धारा की गति = $2$ $kmph$.
धारा की दिशा में गति = $(x + 2)$ $kmph$ और धारा के विपरीत गति = $(x - 2)$ $kmph$.
धारा की दिशा में लिया गया समय = $45$ $\text{मिनट }= \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ $\text{घंटे}$.
धारा के विपरीत लिया गया समय = $1$ $\text{घंटा}$ $15$ $\text{मिनट }= \frac{75}{60} = \frac{5}{4}$ $\text{घंटे}$.
चूंकि दूरी समान है,$d = \text{गति} \times \text{समय}$.
$d = (x + 2) \times \frac{3}{4} = (x - 2) \times \frac{5}{4}$.
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर,$3(x + 2) = 5(x - 2)$.
$3x + 6 = 5x - 10$.
$2x = 16 \Rightarrow x = 8$ $kmph$.
अतः,स्थिर जल में नाव की गति $8$ $kmph$ है।

(A) माना स्थिर जल में वाटर स्कूटर की गति $x \, km/hr$ है। धारा की गति $y = 2 \, km/hr$ दी गई है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x - 2) \, km/hr$ और धारा के अनुकूल गति $(x + 2) \, km/hr$ होगी।
आने-जाने में लगा कुल समय $55 \, minutes$ है,जो $\frac{55}{60} = \frac{11}{12} \, hours$ के बराबर है।
कुल समय के लिए समीकरण: $\frac{10}{x - 2} + \frac{10}{x + 2} = \frac{11}{12}$.
समीकरण को सरल करने पर: $10 \left( \frac{x + 2 + x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \right) = \frac{11}{12} \Rightarrow \frac{20x}{x^2 - 4} = \frac{11}{12}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $240x = 11(x^2 - 4) \Rightarrow 11x^2 - 240x - 44 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $11x^2 - 242x + 2x - 44 = 0 \Rightarrow 11x(x - 22) + 2(x - 22) = 0$.
इससे $(11x + 2)(x - 22) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 22 \, km/hr$।

(A) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x\, km/h$ है और धारा की गति $y\, km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति $(x+y)\, km/h$ और धारा के प्रतिकूल गति $(x-y)\, km/h$ होगी।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{55}{x+y} + \frac{40}{x-y} = 13 \quad ...(1)$
$\frac{44}{x+y} + \frac{30}{x-y} = 10 \quad ...(2)$
माना $v = x+y$ और $u = x-y$. समीकरण इस प्रकार होंगे:
$\frac{55}{v} + \frac{40}{u} = 13 \quad ...(3)$
$\frac{44}{v} + \frac{30}{u} = 10 \quad ...(4)$
समीकरण $(3)$ को $3$ से और समीकरण $(4)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$\frac{165}{v} + \frac{120}{u} = 39 \quad ...(5)$
$\frac{176}{v} + \frac{120}{u} = 40 \quad ...(6)$
समीकरण $(6)$ में से $(5)$ को घटाने पर:
$\frac{11}{v} = 1 \Rightarrow v = 11$.
$v=11$ का मान समीकरण $(4)$ में रखने पर:
$\frac{44}{11} + \frac{30}{u} = 10 \Rightarrow 4 + \frac{30}{u} = 10 \Rightarrow \frac{30}{u} = 6 \Rightarrow u = 5$.
अब,$x+y = 11$ और $x-y = 5$.
दोनों को जोड़ने पर: $2x = 16 \Rightarrow x = 8$.
दोनों को घटाने पर: $2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
अतः,शांत जल में व्यक्ति की गति $8\, km/h$ है और धारा की गति $3\, km/h$ है।

(C) माना गंतव्य की दूरी $d \text{ km}$ है।
शांत जल में नाव की गति $= 10 \text{ km/h}$.
धारा की गति $= 4 \text{ km/h}$.
धारा की दिशा में गति $= 10 + 4 = 14 \text{ km/h}$.
धारा के विपरीत गति $= 10 - 4 = 6 \text{ km/h}$.
कुल समय धारा की दिशा में लिए गए समय और धारा के विपरीत लिए गए समय का योग है: $\frac{d}{14} + \frac{d}{6} = 5$.
$14$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $42$ लेने पर:
$\frac{3d + 7d}{42} = 5$
$\frac{10d}{42} = 5$
$10d = 5 \times 42$
$10d = 210$
$d = 21 \text{ km}$.

(A) माना धारा के प्रतिकूल गति $u$ है और धारा के अनुकूल गति $v$ है ($\text{km/h}$ में)।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$\frac{24}{u} + \frac{36}{v} = 6 \quad \dots (i)$
$\frac{36}{u} + \frac{24}{v} = \frac{13}{2} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{72}{u} + \frac{108}{v} = 18 \quad \dots (iii)$
$\frac{72}{u} + \frac{48}{v} = 13 \quad \dots (iv)$
समीकरण $(iii)$ में से $(iv)$ को घटाने पर:
$\frac{60}{v} = 5 \implies v = 12 \text{ km/h}$.
$v = 12$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{24}{u} + \frac{36}{12} = 6 \implies \frac{24}{u} + 3 = 6 \implies \frac{24}{u} = 3 \implies u = 8 \text{ km/h}$.
माना शांत जल में नाव की गति $x$ है और धारा का वेग $y$ है।
$x - y = 8$ और $x + y = 12$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 20 \implies x = 10 \text{ km/h}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2y = 4 \implies y = 2 \text{ km/h}$.
अतः,धारा का वेग $2 \text{ km/h}$ है।

(C) माना स्थिर जल में नाव की गति $x = 10\, km/hr$ है और धारा की गति $y\, km/hr$ है।
धारा की दिशा में गति $(x + y)\, km/hr$ और धारा के विपरीत दिशा में गति $(x - y)\, km/hr$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,धारा की दिशा में $26\, km$ जाने में लगा समय और धारा के विपरीत $14\, km$ जाने में लगा समय समान है:
$\frac{26}{x + y} = \frac{14}{x - y}$
$x = 10$ रखने पर:
$\frac{26}{10 + y} = \frac{14}{10 - y}$
समीकरण को हल करने पर:
$26(10 - y) = 14(10 + y)$
$260 - 26y = 140 + 14y$
$260 - 140 = 14y + 26y$
$120 = 40y$
$y = \frac{120}{40} = 3\, km/hr$.
अतः,धारा की गति $3\, km/hr$ है।

(A) माना स्थिर जल में मोटरबोट की गति $x \ km/h$ है।
धारा की गति $y = 2 \ km/h$ दी गई है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x - 2) \ km/h$ और धारा के अनुकूल गति $(x + 2) \ km/h$ होगी।
कुल समय $33 \ \text{मिनट }= \frac{33}{60} \ \text{घंटे }= \frac{11}{20} \ \text{घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार: $\frac{6}{x-2} + \frac{6}{x+2} = \frac{11}{20}$.
$6 \left( \frac{x+2+x-2}{x^2-4} \right) = \frac{11}{20} \Rightarrow 6 \left( \frac{2x}{x^2-4} \right) = \frac{11}{20}$.
$12x \times 20 = 11(x^2 - 4) \Rightarrow 240x = 11x^2 - 44$.
$11x^2 - 240x - 44 = 0$.
$11x^2 - 242x + 2x - 44 = 0 \Rightarrow 11x(x - 22) + 2(x - 22) = 0$.
$(x - 22)(11x + 2) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 22 \ km/h$।

(C) माना शांत जल में व्यक्ति की गति $x = 9 \frac{1}{3} = \frac{28}{3} \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y \text{ km/h}$ है।
धारा के प्रतिकूल गति $(x - y) \text{ km/h}$ और धारा के अनुकूल गति $(x + y) \text{ km/h}$ होगी।
माना दूरी $d$ है। प्रश्न के अनुसार,धारा के प्रतिकूल जाने में लगा समय धारा के अनुकूल जाने में लगे समय का तीन गुना है:
$\frac{d}{x - y} = 3 \times \frac{d}{x + y}$
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर:
$\frac{1}{x - y} = \frac{3}{x + y}$
$x + y = 3(x - y)$
$x + y = 3x - 3y$
$4y = 2x$
$y = \frac{x}{2}$
$x = \frac{28}{3}$ का मान रखने पर:
$y = \frac{28/3}{2} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} \text{ km/h}$.

(B) माना स्थिर पानी में आदमी की गति $x = 18 \ km/h$ है और धारा की गति $y \ km/h$ है।
धारा के अनुकूल गति $(18 + y) \ km/h$ होगी और धारा के प्रतिकूल गति $(18 - y) \ km/h$ होगी।
माना दूरी $d$ है। धारा के अनुकूल लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{18 + y}$ है और धारा के प्रतिकूल लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{18 - y}$ है।
प्रश्न के अनुसार,धारा के प्रतिकूल लिया गया समय धारा के अनुकूल लिए गए समय का तीन गुना है:
$t_2 = 3 \times t_1$
$\frac{d}{18 - y} = 3 \times \frac{d}{18 + y}$
दोनों पक्षों से $d$ को हटाने पर:
$\frac{1}{18 - y} = \frac{3}{18 + y}$
$18 + y = 3(18 - y)$
$18 + y = 54 - 3y$
$4y = 36$
$y = 9 \ km/h$.
अतः,धारा की गति $9 \ km/h$ है।

(D) माना शांत जल में रोहित की गति $x$ $km/hr$ है और धारा की गति $y = 5$ $km/hr$ है।
माना दूरी $d$ $km$ है।
धारा की दिशा में गति = $(x + y)$ $km/hr$।
धारा के विपरीत दिशा में गति = $(x - y)$ $km/hr$।
धारा की दिशा में लिया गया समय $8$ घंटे है: $d = 8(x + 5) = 8x + 40$ $...(i)$।
धारा के विपरीत दिशा में लिया गया समय $12$ घंटे है: $d = 12(x - 5) = 12x - 60$ $...(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$8x + 40 = 12x - 60$
$4x = 100$
$x = 25$ $km/hr$।
अतः,शांत जल में रोहित की गति $25$ $km/hr$ है।

(A) माना शांत जल में नाव की गति $x \; km/hr$ है और नदी की धारा की गति $y \; km/hr$ है।
धारा की दिशा में गति $= x + y$.
धारा की दिशा में लगा समय $= 3 \; \text{घंटे }\; 45 \; \text{मिनट }= 3 + \frac{45}{60} = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4} \; \text{घंटे}$.
दूरी $= 15 \; km$.
$\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$x + y = \frac{15}{15/4} = 4 \; km/hr \; \dots (i)$.
धारा के विपरीत दिशा में गति $= x - y$.
धारा के विपरीत दिशा में लगा समय $= 2 \; \text{घंटे }\; 30 \; \text{मिनट }= 2 + \frac{30}{60} = 2.5 = \frac{5}{2} \; \text{घंटे}$.
दूरी $= 5 \; km$.
$\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$x - y = \frac{5}{5/2} = 2 \; km/hr \; \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(x + y) - (x - y) = 4 - 2$
$2y = 2$
$y = 1 \; km/hr$.
अतः,नदी की धारा की गति $1 \; km/hr$ है।

(C) माना शांत जल में नाव की गति $x\, km/hr$ है और धारा की गति $y = 4\, km/hr$ है।
धारा के प्रतिकूल यात्रा करने में लगा समय $\frac{6}{x-4}$ घंटे है और धारा की दिशा में यात्रा करने में लगा समय $\frac{6}{x+4}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,कुल समय $2\, \text{घंटे}$ है:
$\frac{6}{x-4} + \frac{6}{x+4} = 2$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{x-4} + \frac{3}{x+4} = 1$
$\frac{3(x+4) + 3(x-4)}{(x-4)(x+4)} = 1$
$\frac{3x + 12 + 3x - 12}{x^2 - 16} = 1$
$\frac{6x}{x^2 - 16} = 1$
$x^2 - 6x - 16 = 0$
$(x - 8)(x + 2) = 0$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 8\, km/hr$।

(D) माना स्थिर जल में नाव की गति $x = 9 \text{ km/h}$ है और धारा की गति $y = 1.5 \text{ km/h}$ है।
धारा की दिशा में (downstream) गति $(x + y) = 9 + 1.5 = 10.5 \text{ km/h}$ होगी।
धारा के विपरीत दिशा में (upstream) गति $(x - y) = 9 - 1.5 = 7.5 \text{ km/h}$ होगी।
धारा की दिशा में $105 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_1 = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{105}{10.5} = 10 \text{ घंटे}$ है।
धारा के विपरीत दिशा में $105 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_2 = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{105}{7.5} = 14 \text{ घंटे}$ है।
कुल समय $T = T_1 + T_2 = 10 + 14 = 24 \text{ घंटे}$ है।

$(A)$ दिया गया है: स्थिर जल में नाव की गति $(u) = 9\, km/h$, धारा की गति $(v) = 1.5\, km/h$.
धारा की दिशा में गति (Downstream) $= u + v = 9 + 1.5 = 10.5\, km/h$.
धारा के विपरीत गति (Upstream) $= u - v = 9 - 1.5 = 7.5\, km/h$.
दूरी $(d) = 105\, km$.
धारा की दिशा में यात्रा करने में लगा समय $= \frac{d}{u+v} = \frac{105}{10.5} = 10\, \text{घंटे}$.
धारा के विपरीत यात्रा करने में लगा समय $= \frac{d}{u-v} = \frac{105}{7.5} = 14\, \text{घंटे}$.
कुल लगा समय $= 10 + 14 = 24\, \text{घंटे}$.