Summation of series by definite integration Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+n)}{n^n} = \prod_{r=1}^n \left(\frac{n+r}{n}\right) = \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log \left(\prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)\right) = \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$.
તેથી,$l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n g\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$.
અહીં,$g(x) = \log(1+x)$,તેથી $l = \int_0^1 \log(1+x) dx$.
ધારો કે $1+x = t$,તો $dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=1, t=2$.
તેથી,$l = \int_1^2 \log t dt = \int_1^2 \log x dx$.
આને $\int_1^2 f(x) dx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \log x$ મળે છે.

(D) ધારો કે $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln y = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{2 r}{n^2} \ln \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે લખી શકાય:
$\ln y = \int_0^1 2x \ln(1+x^2) dx$.
ધારો કે $t = 1+x^2$,તો $dt = 2x dx$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=1, t=2$.
$\ln y = \int_1^2 \ln(t) dt$.
સંકલન સૂત્ર $\int \ln(t) dt = t \ln(t) - t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\ln y = [t \ln(t) - t]_1^2 = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 2 + 1 = \ln(4) - 1 = \ln(4) - \ln(e) = \ln \left(\frac{4}{e}\right)$.
તેથી,$y = \frac{4}{e}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{n \pi}{2 n}\right]$ છે.
આને $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n} \sum_{r=1}^n \sin \left(\frac{r \pi}{2 n}\right)$ તરીકે લખી શકાય છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$x = \frac{r\pi}{2n}$ લેતા,જ્યાં $dx = \frac{\pi}{2n}$,પદાવલિ $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ બને છે.
સંકલનની સીમાઓ $r=0$ માટે $x = 0$ અને $r=n$ માટે $x = \frac{\pi}{2}$ છે.
આમ,સંકલન $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ થાય છે.
સંકલનનું મૂલ્ય: $[-\cos(x)]_0^{\pi/2} = -(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -(0 - 1) = 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{\frac{1}{n} + 3\frac{r}{n^2}}{1 + (\frac{r}{n})^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1 + 3(\frac{r}{n})}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ મળે છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int_0^1 \frac{1+3x}{1+x^2} dx$ મળે છે.
આને $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + 3 \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ માં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $[\tan^{-1} x]_0^1 + \frac{3}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1$ મળે છે.
$= (\frac{\pi}{4} - 0) + \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$.

(B) આપેલ લક્ષને સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{n^{3/2}}{(n+2r)^{5/2}} - \frac{n^{1/2}}{(n+3r)^{3/2}} \right]$
અંશ અને છેદને અનુક્રમે $n^{5/2}$ અને $n^{3/2}$ વડે ભાગતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \left[ \frac{1}{(1+2r/n)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3r/n)^{3/2}} \right]$
આ રીમાન સરવાળો છે જે નિશ્ચિત સંકલનમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\int_0^1 \left( \frac{1}{(1+2x)^{5/2}} - \frac{1}{(1+3x)^{3/2}} \right) dx$
પદવાર સંકલન કરતા:
$= \left[ \frac{(1+2x)^{-3/2}}{-3/2 \times 2} - \frac{(1+3x)^{-1/2}}{-1/2 \times 3} \right]_0^1$
$= \left[ -\frac{1}{3(1+2x)^{3/2}} + \frac{2}{3(1+3x)^{1/2}} \right]_0^1$
$0$ અને $1$ સીમાઓ પર મૂલ્યાંકન કરતા:
$= \left( -\frac{1}{3(3)^{3/2}} + \frac{2}{3(4)^{1/2}} \right) - \left( -\frac{1}{3(1)^{3/2}} + \frac{2}{3(1)^{1/2}} \right)$
$= \left( -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{2}{6} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right)$
$= -\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9\sqrt{3}}$

(A) આપણી પાસે છે,
$I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1+(k/n)^2}$
સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે $\frac{k}{n}$ ને $x$ વડે અને $\frac{1}{n}$ ને $dx$ વડે બદલીએ છીએ,જ્યાં સંકલનની મર્યાદા $0$ થી $1$ છે.
$I = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$
ધારો કે $u = 1+x^2$,તો $du = 2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $x=0, u=1$ અને જ્યારે $x=1, u=2$.
$I = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$.

(A) ધારો કે $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$.
આપણે પદાવલિને $S_n = \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2(1 + \frac{r^2}{n^2})} = \sum_{r=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા,આપણે રીમાન સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ છે.
તેથી,$S = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $S = [\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 2+x^2$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{bn} f\left(\frac{r}{n}\right)$
અહીં,$\int_0^3 (2+x^2) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \left(2 + \left(\frac{r}{n}\right)^2\right)$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \sum_{r=1}^{3n} 2 + \sum_{r=1}^{3n} \frac{r^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 2(3n) + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 6n + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$.

(C) આપેલ લક્ષનું પદ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$.
આ સરવાળાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{n^4 \left(1+\frac{r^4}{n^4}\right)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 (r/n)^3}{1+(r/n)^4} \cdot \frac{1}{n}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $x = \frac{r}{n}$ અને $dx = \frac{1}{n}$. જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે આ સરવાળો $0$ થી $1$ સુધીના સંકલનમાં ફેરવાય છે:
$p = \int_0^1 \frac{4x^3}{1+x^4} dx$.
ધારો કે $t = 1+x^4$,તો $dt = 4x^3 dx$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=1$,ત્યારે $t=2$.
તેથી,$p = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\ln t]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.
આમ,$e^p = e^{\ln 2} = 2$.

(A) ધારો કે $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.
આને આપણે $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{n^n} (n+1)(n+2) \ldots (2n) \right]^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right) \left(1+\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1+\frac{n}{n}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left(1+\frac{r}{n}\right)$.
સરવાળાની સીમા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\log A = \int_{0}^{1} \log(1+x) dx$.
ધારો કે $u = 1+x$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=1, u=2$.
$\log A = \int_{1}^{2} \log u du = [u \log u - u]_{1}^{2} = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 + 1 = \log 4 - 1$.
કારણ કે $1 = \log e$,તેથી $\log A = \log 4 - \log e = \log \left(\frac{4}{e}\right)$.
તેથી,$A = \frac{4}{e}$.

(B) આપેલ લક્ષ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ છે.
આપણે તેને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$ તરીકે લખી શકીએ.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{x^4}{x^5 + 1}$.
તેથી,$S = \int_0^1 \frac{x^4}{x^5 + 1} dx$.
ધારો કે $t = x^5 + 1$,તો $dt = 5x^4 dx$,અથવા $x^4 dx = \frac{dt}{5}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 2$.
$S = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\ln |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{5} \ln 2$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n}$ છે.
આને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \left(\frac{k}{n}\right) e^{k/n}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $x = \frac{k}{n}$,તો $dx = \frac{1}{n}$. જ્યારે $k=1, x \rightarrow 0$ અને જ્યારે $k=2n, x \rightarrow 2$.
આ સરવાળો નિશ્ચિત સંકલનમાં ફેરવાય છે: $S = \int_{0}^{2} x e^x dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$,જ્યાં $u=x$ અને $dv=e^x dx$:
$S = [x e^x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^x dx$.
$S = (2 e^2 - 0) - [e^x]_{0}^{2}$.
$S = 2 e^2 - (e^2 - e^0) = 2 e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{n} = {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $2$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને મળે:
$\int_{0}^{2} (1+x)^{n} dx = \int_{0}^{2} \left( {}^{n}C_{0} + x{}^{n}C_{1} + x^{2}{}^{n}C_{2} + \ldots + x^{n}{}^{n}C_{n} \right) dx$.
ડાબી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{2} = \frac{(1+2)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.
જમણી બાજુનું સંકલન કરતા:
$\left[ x{}^{n}C_{0} + \frac{x^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{x^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{x^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{1}{}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2}{}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3}{}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1}{}^{n}C_{n}$.
આમ,$S = \frac{3^{n+1}-1}{n+1}$.

(A) આપેલ પદાવલિને $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સરવાળાને $\sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{n \sqrt{n}}{\sqrt{(n+4 r)^{3}}} \right) = \sum_{r=0}^{n-1} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{(1+\frac{4 r}{n})^{3 / 2}} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
આ રીમાન સરવાળો છે જે નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+4x)^{3/2}}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $z = 1+4x$,તો $dz = 4dx$,તેથી $dx = \frac{dz}{4}$.
જ્યારે $x=0, z=1$ અને જ્યારે $x=1, z=5$.
સંકલન $\frac{1}{4} \int_{1}^{5} z^{-3/2} dz = \frac{1}{4} \left[ \frac{z^{-1/2}}{-1/2} \right]_{1}^{5} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{z}} \right]_{1}^{5}$ થશે.
$= -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \frac{5-\sqrt{5}}{10}$.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{r=1}^{n} (2r)^k$ છે.
આપણે તેને $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{2r}{n}\right)^k$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
રીમાન સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = (2x)^k$ છે.
તેથી,$L = \int_{0}^{1} (2x)^k dx = 2^k \int_{0}^{1} x^k dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$L = 2^k \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{0}^{1} = 2^k \left( \frac{1}{k+1} - 0 \right) = \frac{2^k}{k+1}$.

(C) સરવાળાના લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે સરવાળાને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવીએ છીએ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n^3(r/n)^3}{n^4((r/n)^4+1)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^3}{(r/n)^4+1}$.
ધારો કે $x = r/n$,તો જેમ $n \rightarrow \infty$,સરવાળો સંકલન $\int_0^1 \frac{x^3}{x^4+1} dx$ બની જાય છે.
આને ઉકેલવા માટે,ધારો કે $u = x^4+1$,તો $du = 4x^3 dx$,અથવા $x^3 dx = \frac{1}{4} du$.
સંકલન $\frac{1}{4} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} [\log_e u]_1^2$ બને છે.
$= \frac{1}{4} (\log_e 2 - \log_e 1) = \frac{1}{4} \log_e 2$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n}{n^2+r^2}$ છે.
સરવાળાની અંદરના પદના અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{1/n}{1+(r/n)^2}$.
આ $\int_0^1 f(x) \, dx$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે,જ્યાં $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ છે.
તેથી,લક્ષ $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$ થશે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$[\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \sqrt{\frac{n}{n+3r}}$ છે.
સરવાળાની અંદરના પદને આપણે $\sqrt{\frac{1}{1+3(r/n)}} = (1+3(r/n))^{-1/2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$L = 3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (1+3(r/n))^{-1/2}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(r/n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = 3 \int_{0}^{1} (1+3x)^{-1/2} dx$.
$(1+3x)^{-1/2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા $\frac{(1+3x)^{1/2}}{3 \times (1/2)} = \frac{2}{3} \sqrt{1+3x}$ મળે છે.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$L = 3 \left[ \frac{2}{3} \sqrt{1+3x} \right]_{0}^{1} = 2 [\sqrt{1+3} - \sqrt{1+0}] = 2 [\sqrt{4} - 1] = 2 [2 - 1] = 2$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sec ^{2} \left( \frac{r \pi}{4 n} \right)$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f \left( \frac{r}{n} \right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$.
તેથી,સંકલન $\int_{0}^{1} \sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right) dx$ થશે.
$\sec ^{2} \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $\frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right)$ મળે છે.
$0$ થી $1$ ની મર્યાદામાં નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{4}{\pi} \tan \left( \frac{\pi x}{4} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{4}{\pi} \left( \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 \right)$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ અને $\tan 0 = 0$,તેથી કિંમત $\frac{4}{\pi} (1 - 0) = \frac{4}{\pi}$ થાય છે.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+r^{2}}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1/n}{1+(r/n)^{2}}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,જ્યાં $f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$.
તેથી,$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$L = [\tan ^{-1} x]_{0}^{1}$.
$L = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{n+r}$
અંશ અને છેદને $n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{\frac{n+r}{n}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{1+\frac{r}{n}}$
આ $\int_{0}^{1} f(x) dx$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે,જ્યાં $f(x) = \sqrt{1+x}$
$= \int_{0}^{1} (1+x)^{1/2} dx = \left[ \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left[ (1+x)^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}}$ છે.
આ સરવાળાને $\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r} - \sqrt{n}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n}} \right)$.
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{\frac{r}{n}} - \frac{1}{n} \right)$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \sqrt{x}$ છે.
તેથી,$L = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx - \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}$.
$L = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} - 0 = \frac{2}{3} (1)^{3/2} = \frac{2}{3}$.

(B) ગુણધર્મ $x-1 < [x] \leq x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $\sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right] \leq \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
$n^3$ વડે ભાગતા અને $n \to \infty$ લેતા:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k^2}{3^x} - 1 \right) < f(x) \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{3^x}$.
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ હોવાથી,$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3 \cdot 3^x} = \frac{1}{3^{x+1}}$.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય દ્વારા,$f(x) = \frac{1}{3^{x+1}}$.
હવે,$12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j) = 12 \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{3^{j+1}} = 12 \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots \right)$.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સરવાળો $= 12 \left( \frac{1/9}{1 - 1/3} \right) = 12 \left( \frac{1/9}{2/3} \right) = 12 \left( \frac{1}{6} \right) = 2$.