Leibnitz's rule, Wall's Formula Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t-\int_{x+y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$.
ગુણધર્મ $\int_{b}^{a} f(t) dt = -\int_{a}^{b} f(t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[\int_{y}^{a} e^{\sin ^{2} t} d t + \int_{a}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t\right]$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,$L$'$H$ôpital ના નિયમ અને Leibniz સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_{y}^{x+y} e^{\sin ^{2} t} d t}{\frac{d}{dx} (x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin ^{2}(x+y)} \cdot (1) - 0}{1} = e^{\sin ^{2} y}$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$.
આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$' Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
લેબનિઝના નિયમ મુજબ,અંશનું વિકલન $\cos(x^4) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \cos(x^4)$ થાય.
છેદ $x \sin x$ નું વિકલન $\sin x + x \cos x$ થાય.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \cos(x^4)}{\sin x + x \cos x}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos(x^4)}{\frac{\sin x}{x} + \cos x}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$,$\cos(x^4) \rightarrow 1$,અને $\cos x \rightarrow 1$.
તેથી,$L = \frac{2(1)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.

(C) આપેલ છે કે $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$.
લીબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે $g(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) - \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot 2 - \frac{f(x)}{x} \cdot 1$
$g'(x) = \frac{f(2x)}{x} - \frac{f(x)}{x}$
આપેલ છે કે $f(2x) = f(x)$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$g'(x) = \frac{f(x) - f(x)}{x} = 0$
બધા $x > 0$ માટે $g'(x) = 0$ હોવાથી,વિધેય $g(x)$ એ અચળ વિધેય છે.

(C) સંકલન $I = \int_0^{\pi / 2} \sin^5 x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int_0^{\pi / 2} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ (જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય).
અહીં $n = 5$ છે,તેથી:
$I = \frac{(5-1) \times (5-3)}{5 \times 3 \times 1} = \frac{4 \times 2}{5 \times 3 \times 1} = \frac{8}{15}$.
વૈકલ્પિક રીતે,આદેશની રીત દ્વારા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \sin^4 x \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 2} (1 - \cos^2 x)^2 \sin x \, dx$.
ધારો કે $u = \cos x$,તેથી $du = -\sin x \, dx$. જ્યારે $x = 0, u = 1$; જ્યારે $x = \pi / 2, u = 0$.
$I = -\int_1^0 (1 - u^2)^2 \, du = \int_0^1 (1 - 2u^2 + u^4) \, du$.
$I = [u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-5t+4}{2+e^t} dt$.
અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે લેબનિઝ ઇન્ટિગ્રલ રૂલનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{(x^2)^2 - 5(x^2) + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$f'(x) = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot (2x)$.
$f'(x) = \frac{(x^2-1)(x^2-4)}{2 + e^{x^2}} \cdot (2x)$.
$f'(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(2x)}{2 + e^{x^2}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0, 1, -1, 2, -2$ મળે છે.
આમ,અંતિમ બિંદુઓ $0, \pm 1, \pm 2$ છે.

(B) લેબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \int_{g(x)}^{h(x)} F(t) dt$ નું વિકલન $f^{\prime}(x) = F(h(x)) \cdot h^{\prime}(x) - F(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$F(t) = e^{-t^2}$,$h(x) = \cos x$,અને $g(x) = \sin x$ છે.
તેથી,$f^{\prime}(x) = e^{-(\cos x)^2} \cdot (-\sin x) - e^{-(\sin x)^2} \cdot (\cos x)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -e^{-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - e^{-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{e}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} = -\sqrt{\frac{2}{e}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.
ધારો કે $u = \frac{tx}{36}$,તેથી $du = \frac{x}{36} dt$,એટલે કે $dt = \frac{36}{x} du$.
જ્યારે $t=0, u=0$ અને જ્યારે $t=36, u=x$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int_0^x f(u) \cdot \frac{36}{x} du = 4\alpha f(x)$.
$\int_0^x f(u) du = \frac{4\alpha x f(x)}{36} = \frac{\alpha x f(x)}{9}$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) = \frac{\alpha}{9} [f(x) + x f'(x)]$.
$f(x) = \frac{\alpha}{9} f(x) + \frac{\alpha x}{9} f'(x)$.
$(1 - \frac{\alpha}{9}) f(x) = \frac{\alpha x}{9} f'(x) \Rightarrow (9 - \alpha) f(x) = \alpha x f'(x)$.
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{9 - \alpha}{\alpha} \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x)| = (\frac{9}{\alpha} - 1) \ln|x| + C$.
$f(x) = c x^{(\frac{9}{\alpha} - 1)}$.
$f(x)$ એ પ્રમાણિત પરવલય હોવાથી,ઘાતાંક $2$ હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{9}{\alpha} - 1 = 2 \Rightarrow \frac{9}{\alpha} = 3 \Rightarrow \alpha = 3$.
આમ,$f(x) = cx^2$.
તે $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 = c(2)^2 \Rightarrow c = \frac{1}{4}$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^2}{4}$.
$(-4, \beta)$ બિંદુ માટે,$\beta = \frac{(-4)^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
અંતે,$\beta^{\alpha} = 4^3 = 64$.