Population Growth Questions in Hindi

(B) जनसंख्या की आयु संरचना को आयु पिरामिड द्वारा दर्शाया जाता है। भारत में,जनसंख्या पिरामिड का आधार चौड़ा है,जो युवा व्यक्तियों की बड़ी संख्या को दर्शाता है।
यह जनसांख्यिकीय प्रोफ़ाइल मुख्य रूप से उच्च जन्म दर के कारण है,जो युवा आयु समूहों में अधिक व्यक्तियों को जोड़ती है,और विकसित देशों की तुलना में अपेक्षाकृत छोटा औसत जीवनकाल होने के कारण वृद्ध व्यक्तियों का अनुपात कम रहता है।

(C) पर्यावरण में उपलब्ध संसाधनों जैसे भोजन,आवास,जल और अन्य आवश्यकताओं को देखते हुए,किसी प्रजाति की अधिकतम जनसंख्या जिसे पर्यावरण अनिश्चित काल तक बनाए रख सकता है,उसे $Carrying \ capacity$ (वहन क्षमता) $(K)$ कहा जाता है।
लॉजिस्टिक्स वृद्धि मॉडल में,जैसे-जैसे जनसंख्या पर्यावरण की $Carrying \ capacity$ के करीब पहुंचती है,वृद्धि दर धीमी हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप $S$-आकार का या $Sigmoid$ वृद्धि वक्र प्राप्त होता है।

(D) जनसंख्या वृद्धि मुख्य रूप से जन्म दर और मृत्यु दर के बीच के संतुलन द्वारा निर्धारित होती है।
जब जन्म दर $(B)$,मृत्यु दर $(D)$ से अधिक होती है,तो जनसंख्या का आकार बढ़ता है।
गणितीय रूप से,समय $(t)$ के साथ जनसंख्या घनत्व $(N)$ में परिवर्तन को $dN/dt = (B - D)N$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,उच्च जन्म दर और निम्न मृत्यु दर जनसंख्या वृद्धि के मुख्य कारक हैं।

(C) आदर्श परिस्थितियों में जीवाणु आबादी की वृद्धि घातांकीय (exponential) वृद्धि मॉडल का पालन करती है, जिसे समीकरण $N_t = N_0 e^{rt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर, हमें $ln(N_t) = ln(N_0) + rt$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है, जहाँ $y = ln(N_t)$, $x = t$ (समय), $m = r$ (वृद्धि दर), और $c = ln(N_0)$ है।
चूंकि वृद्धि दर $r$ धनात्मक है, इसलिए $ln(N_t)$ बनाम समय $t$ का ग्राफ धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा प्राप्त होता है।

(D) शून्य वृद्धि चरण,जिसे स्थिर जनसंख्या के रूप में भी जाना जाता है,तब होता है जब जन्म दर और मृत्यु दर बिल्कुल समान होती है। इस स्थिति में,जनसंख्या का आकार समय के साथ स्थिर रहता है क्योंकि जन्म के माध्यम से जनसंख्या में जोड़े गए व्यक्तियों की संख्या मृत्यु के माध्यम से खोए गए व्यक्तियों की संख्या द्वारा संतुलित हो जाती है। गणितीय रूप से,इसे $r = 0$ के रूप में दर्शाया जाता है (जहाँ $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है)।

(B) $17$ वीं शताब्दी के बाद,चिकित्सा विज्ञान,कृषि और प्रौद्योगिकी में प्रगति के कारण मानव जनसंख्या में तीव्र वृद्धि देखी गई है।
जनसंख्या के आकार में यह तीव्र वृद्धि,जहाँ जन्म दर मृत्यु दर से काफी अधिक है,$Exponential$ $growth$ $phase$ (घातांकीय वृद्धि चरण) की विशेषता है (जिसे $J$-आकार के वक्र के रूप में भी जाना जाता है)।
अतः,मानव जनसंख्या वर्तमान में घातांकीय वृद्धि के चरण में है।

(C) किसी जनसंख्या का वृद्धि वक्र सामान्यतः चार चरणों वाला सिग्मॉइड पैटर्न का अनुसरण करता है:
$1$. $Lag$ चरण: प्रारंभिक चरण जहाँ वृद्धि धीमी होती है क्योंकि जीव पर्यावरण के अनुकूल ढल रहे होते हैं।
$2$. $Exponential$ (या $Log$) चरण: वह चरण जहाँ संसाधन प्रचुर मात्रा में होने के कारण जनसंख्या अपनी अधिकतम दर पर वृद्धि करती है।
$3$. $Stationary$ चरण: संसाधन सीमित होने के कारण वृद्धि धीमी हो जाती है और स्थिर हो जाती है।
$4$. $Senescent$ चरण: पर्यावरणीय प्रतिरोध या संसाधनों की कमी के कारण जनसंख्या में गिरावट आती है।
अतः,अधिकतम वृद्धि दर $Exponential$ चरण में देखी जाती है।

(A) घातांकीय वृद्धि तब होती है जब संसाधन असीमित होते हैं,जिससे जनसंख्या अपनी अधिकतम जैविक क्षमता पर बढ़ सकती है।
प्रकृति में,यह स्थिति लंबे समय तक नहीं बनी रहती है।
हालाँकि,यह विशिष्ट परिस्थितियों में देखी जाती है जैसे:
$1$. एककोशिकीय जीव (जैसे बैक्टीरिया) जब उन्हें प्रचुर पोषक तत्वों वाले ताजे माध्यम में रखा जाता है।
$2$. प्रयोगशाला की नियंत्रित परिस्थितियों में टिश्यू कल्चर कोशिकाएं।
$3$. ऐसे नए वातावरण में प्रवेश कराई गई जनसंख्या जहाँ कोई शिकारी या प्रतिस्पर्धा न हो।
चूंकि $A$ और $B$ दोनों ऐसी स्थितियाँ दर्शाते हैं जहाँ घातांकीय वृद्धि देखी जाती है,लेकिन एककोशिकीय जीव घातांकीय वृद्धि का सबसे मौलिक जैविक उदाहरण हैं।

(B) जब किसी प्रजाति की जनसंख्या को अधिक अनुकूल वातावरण में ले जाया जाता है,तो पर्यावरणीय प्रतिरोध कम हो जाता है।
इससे जीवों के जीवित रहने के लिए बेहतर स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं।
परिणामस्वरूप,अधिक जीव प्रजनन आयु तक जीवित रहते हैं,जिससे उत्तरजीविता दर में वृद्धि होती है और जनसंख्या बढ़ती है।

(A) जैविक क्षमता (Biotic potential) को आदर्श पर्यावरणीय परिस्थितियों में किसी जीव या जनसंख्या की अधिकतम प्रजनन क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ संसाधन असीमित होते हैं और कोई पर्यावरणीय प्रतिरोध (जैसे शिकार,रोग या प्रतिस्पर्धा) नहीं होता है।
अतः,सही शब्द जैविक क्षमता है।

(A) जैविक क्षमता (Biotic potential) को इष्टतम पर्यावरणीय परिस्थितियों में एक जीव की अधिकतम प्रजनन क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ संसाधन असीमित होते हैं और कोई पर्यावरणीय प्रतिरोध नहीं होता है।
यह आदर्श परिस्थितियों में समष्टि की संख्या में वृद्धि करने की अंतर्निहित क्षमता को दर्शाता है।

(C) जनसांख्यिकी (Demography) मानव आबादी का सांख्यिकीय अध्ययन है। इसमें इन आबादी के आकार,संरचना और वितरण का अध्ययन,तथा जन्म,प्रवास,उम्र बढ़ने और मृत्यु के जवाब में उनमें होने वाले स्थानिक या अस्थायी परिवर्तनों का अध्ययन शामिल है।

(A) लॉजिस्टिक्स वृद्धि वक्र को समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब जनसंख्या घनत्व $(N)$ वहन क्षमता $(K)$ तक पहुँच जाता है,तो पद $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ शून्य हो जाता है।
परिणामस्वरूप,वृद्धि दर $\frac{dN}{dt}$ शून्य हो जाती है और जनसंख्या का आकार स्थिर रहता है।
यह वृद्धि वक्र में एक एसिम्पटोट के निर्माण का कारण बनता है,जो तब होता है जब $N = K$ होता है।

(A) $r$-selected प्रजातियाँ ($r$-strategists) वे जीव हैं जो प्रतिस्पर्धियों के आने से पहले उपलब्ध संसाधनों का उपयोग करके तेजी से किसी आवास में उपनिवेश बना सकते हैं।
ये जीव आमतौर पर कम जीवनकाल और छोटे शरीर के आकार वाले होते हैं (जैसे,बैक्टीरिया,कई कीट)।
उनकी उत्तरजीविता रणनीति अस्थिर या अस्थायी वातावरण में बड़ी संख्या में संतानों का उत्पादन करने पर निर्भर करती है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि उनमें से कुछ जीवित रहें,न कि प्रतिस्पर्धी क्षमता या माता-पिता की देखभाल पर ऊर्जा खर्च करने पर।

(C) लॉजिस्टिक्स वृद्धि मॉडल को समीकरण $dN/dt = rN(1 - N/K)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$dN/dt$ जनसंख्या वृद्धि दर को दर्शाता है।
वृद्धि दर को शून्य होने के लिए,$dN/dt = 0$ होना चाहिए।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $0 = rN(1 - N/K)$।
चूंकि $r$ (प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर) और $N$ (जनसंख्या का आकार) आमतौर पर एक सक्रिय जनसंख्या में शून्य नहीं होते हैं,इसलिए पद $(1 - N/K)$ को शून्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $1 - N/K = 0$,जो सरल होकर $N/K = 1$ हो जाता है।
अतः,जब जनसंख्या का आकार $N$ वहन क्षमता $K$ तक पहुँच जाता है (अर्थात $N/K = 1$),तब जनसंख्या वृद्धि दर शून्य हो जाती है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
लॉजिस्टिक्स जनसंख्या वृद्धि को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:
$dN / dt = rN (\frac{K-N}{K})$
जहाँ:
$N$ = समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व
$r$ = प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर
$K$ = वहन क्षमता (Carrying capacity)
यह मॉडल सीमित संसाधनों वाले पर्यावरण में वृद्धि को दर्शाता है,जहाँ जैसे-जैसे जनसंख्या का आकार वहन क्षमता $K$ के करीब पहुँचता है,वृद्धि दर धीमी हो जाती है।

(B) सही उत्तर $(B)$ है।
$J$-आकार का वृद्धि पैटर्न उन आबादी में देखा जाता है जहां कम समय के लिए संसाधन प्रचुर मात्रा में उपलब्ध होते हैं,जिससे घातीय वृद्धि होती है,और उसके बाद पर्यावरणीय प्रतिरोध या मौसमी परिवर्तनों के कारण जनसंख्या में अचानक गिरावट आती है।
इस मामले में,कीट की आबादी बरसात के मौसम में तेजी से बढ़ती है और मौसम समाप्त होने पर गायब हो जाती है,जो $J$-प्रकार के वृद्धि वक्र की एक विशेषता है।
यह पैटर्न कीटों,शैवाल प्रस्फुटन (algae blooms) और वार्षिक पौधों में सामान्य है।

(A) जब संसाधन असीमित होते हैं तो घातांकीय वृद्धि होती है। समय $(t)$ के साथ जनसंख्या के आकार $(N)$ में परिवर्तन की दर वर्तमान जनसंख्या आकार के समानुपाती होती है। घातांकीय वृद्धि के लिए गणितीय व्यंजक अवकल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $dN/dt = rN$,जहाँ $N$ जनसंख्या का आकार है,$t$ समय है और $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है।

(A) Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल सीमित संसाधनों वाले पर्यावरण में जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है।
इस मॉडल में,जनसंख्या वृद्धि दर $\frac{dN}{dt}$ वर्तमान जनसंख्या आकार $N$ और वहन क्षमता $K$ के उस अंश के समानुपाती होती है जो अभी भी उपलब्ध है,जिसे $\left( 1 - \frac{N}{K} \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \frac{N}{K} \right)$ है,जहाँ $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है और $K$ वहन क्षमता (carrying capacity) है।

(B) पेलेजिक मछलियाँ वे जीव हैं जो तटीय,महासागरीय और झील के जल स्तंभ में रहते हैं। पारिस्थितिकी में जीवन इतिहास भिन्नता के सिद्धांत के अनुसार,कई प्रजातियों ने अपनी फिटनेस को अधिकतम करने के लिए विकास किया है। पेलेजिक मछलियाँ आमतौर पर '$r$-selection' रणनीति का पालन करती हैं। इस रणनीति में बड़ी संख्या में छोटे आकार की संतानों का उत्पादन शामिल है,जिनमें मृत्यु दर अधिक होती है,जो यह सुनिश्चित करता है कि अनिश्चित वातावरण में भी कम से कम कुछ संतानें वयस्कता तक जीवित रह सकें।

(A) समष्टि की आयु संरचना को आयु पिरामिड द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि पूर्व-प्रजनन आयु वर्ग में व्यक्तियों की संख्या पश्च-प्रजनन आयु वर्ग की तुलना में काफी अधिक है,तो समष्टि को विस्तारित या बढ़ती हुई अवस्था में माना जाता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि बड़ी संख्या में व्यक्ति जल्द ही प्रजनन आयु में प्रवेश करेंगे,जिससे मृत्यु दर की तुलना में जन्म दर अधिक हो जाएगी।
इसलिए,समय के साथ समष्टि का आकार बढ़ेगा।

(B) Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल सीमित संसाधनों वाले वातावरण में जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है।
इस मॉडल में,जनसंख्या वृद्धि दर $\frac{dN}{dt}$ को समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ:
$N$ = समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व,
$r$ = प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर,
$K$ = वहन क्षमता (Carrying capacity)।
यह समीकरण एक $S$-आकार का (सिग्मॉइड) वृद्धि वक्र दर्शाता है,जो घातांकीय वृद्धि मॉडल $(N_t = N_0 e^{rt})$ की तुलना में अधिक यथार्थवादी है क्योंकि यह जनसंख्या के वहन क्षमता $(K)$ के करीब पहुंचने पर पर्यावरणीय प्रतिरोध को ध्यान में रखता है।

(D) प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर $(r)$ जनसंख्या वृद्धि पर किसी भी जैविक या अजैविक कारकों के प्रभाव का आकलन करने के लिए एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है।
$NCERT$ पाठ्यपुस्तक के अनुसार,फ्लोर बीटल के लिए $r$ का मान $0.12$ है।
यह मान आदर्श पर्यावरणीय परिस्थितियों में जनसंख्या की प्रति व्यक्ति वृद्धि दर को दर्शाता है।

(A) चरघातांकीय वृद्धि के लिए,$t$ समय पर समष्टि का आकार $N_t = N_0 e^{rt}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि समष्टि $3$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए जब $t = 3$ है तो $N_t = 2N_0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2N_0 = N_0 e^{r \times 3}$।
दोनों पक्षों को $N_0$ से विभाजित करने पर,हमें $2 = e^{3r}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर: $\ln(2) = 3r$।
हम जानते हैं कि $\ln(2) \approx 0.693$ है।
अतः,$0.693 = 3r$।
$r$ के लिए हल करने पर: $r = 0.693 / 3 = 0.231$।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए: $0.231 \times 100 = 23.1\%$।

(A) दी गई आकृति एक आयु पिरामिड को दर्शाती है जहाँ आधार (प्रजनन-पूर्व आयु वर्ग) बहुत चौड़ा है,जो युवा व्यक्तियों के उच्च अनुपात को इंगित करता है।
जैसे-जैसे हम पिरामिड में ऊपर जाते हैं,चौड़ाई कम होती जाती है,जो प्रजनन और प्रजनन-पश्चात आयु वर्ग के व्यक्तियों के कम अनुपात को दर्शाती है।
इस प्रकार का पिरामिड एक विस्तारित होती जनसंख्या की विशेषता है,जहाँ जन्म दर अधिक है और जनसंख्या तेजी से बढ़ रही है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समष्टि पारिस्थितिकी में,समष्टि की आयु संरचना को आयु पिरामिड द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि जनन-पश्च आयु वाले व्यक्तियों की संख्या जनन आयु वाले व्यक्तियों से अधिक है,तो यह घटती हुई समष्टि को इंगित करता है।
इसका कारण यह है कि जनन चरण में प्रवेश करने वाले व्यक्तियों की संख्या मरने वाले व्यक्तियों को प्रतिस्थापित करने के लिए अपर्याप्त होती है,जिससे ऋणात्मक वृद्धि दर प्राप्त होती है।
इसलिए,समष्टि घटेगी।

(D) ऐसी जनसंख्या जो युवा आयु वर्ग की ओर अधिक झुकी होती है,उसे विस्तारित जनसंख्या (expanding population) कहा जाता है।
ऐसी जनसंख्या में प्रजनन-पूर्व और प्रजनन आयु वर्ग के व्यक्तियों की संख्या बहुत अधिक होती है।
यह जनसांख्यिकीय संरचना आमतौर पर उच्च जन्म दर की ओर ले जाती है क्योंकि जनसंख्या का एक बड़ा हिस्सा प्रजनन चरण में प्रवेश कर रहा है या वर्तमान में उस चरण में है।
इसके अलावा,स्वास्थ्य देखभाल और पोषण में सुधार ने पिछले दशकों की तुलना में भारत में व्यक्तियों के लिए औसत जीवनकाल को लंबा करने में योगदान दिया है।
इसलिए,बड़ी युवा जनसंख्या और बेहतर उत्तरजीविता दर के संयोजन के परिणामस्वरूप कई व्यक्तियों के लिए उच्च जन्म दर और लंबा जीवनकाल देखने को मिलता है।

(C) भारत में मानव जनसंख्या वृद्धि प्राकृतिक कारकों और मानवीय हस्तक्षेपों के संयोजन से प्रभावित होती है।
कई पशु प्रजातियों के विपरीत जो एक प्राकृतिक $S$-आकार (सिग्मॉइड) विकास वक्र का पालन करती हैं,मानव जनसंख्या की गतिशीलता तकनीकी,चिकित्सा और सामाजिक प्रगति द्वारा काफी हद तक बदल दी गई है।
प्राकृतिक आपदाएं जनसंख्या घनत्व से स्वतंत्र सीमित कारकों के रूप में कार्य करती हैं,जबकि जन्म नियंत्रण के उपाय और राष्ट्रीय परिवार नियोजन कार्यक्रम जनसंख्या वृद्धि को विनियमित करने के लिए जानबूझकर अपनाई गई रणनीतियां हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ भारतीय संदर्भ में जनसंख्या वृद्धि को नियंत्रित करने वाले कारकों का सबसे सटीक विवरण है।

(D) यह अवधारणा कि खाद्य आपूर्ति अंकगणितीय प्रगति $(1, 2, 3, 4, ...)$ में बढ़ती है,जबकि मानव जनसंख्या ज्यामितीय प्रगति $(1, 2, 4, 8, ...)$ में बढ़ने की प्रवृत्ति रखती है,अर्थशास्त्री थॉमस माल्थस द्वारा उनके कार्य 'एन एसे ऑन द प्रिंसिपल ऑफ पॉपुलेशन' में प्रस्तावित की गई थी। यह सिद्धांत उस जनसंख्या संकट की संभावना को उजागर करता है जो तब उत्पन्न होता है जब जनसंख्या की वृद्धि संसाधनों की वृद्धि से अधिक हो जाती है।

(A) बैक्टीरिया के वृद्धि वक्र में आमतौर पर चार अलग-अलग चरण होते हैं:
$1$. $Lag$ चरण: अनुकूलन की अवधि जिसमें बैक्टीरिया विभाजन के लिए तैयारी करते हैं।
$2$. $Log$ (या घातांकीय) चरण: तेजी से कोशिका विभाजन और घातांकीय वृद्धि की अवधि।
$3$. $Stationary$ चरण: वह अवधि जिसमें पोषक तत्वों की कमी और कचरे के संचय के कारण वृद्धि दर और मृत्यु दर समान हो जाती है।
$4$. $Decline$ (या मृत्यु) चरण: वह अवधि जिसमें मृत्यु दर वृद्धि दर से अधिक हो जाती है,जिससे जनसंख्या में कमी आती है।

(C) आदर्श परिस्थितियों में बैक्टीरिया घातांकीय वृद्धि (exponential growth) प्रदर्शित करते हैं,जहाँ समय $t$ पर जनसंख्या का आकार $N$ सूत्र $N_t = N_0 e^{rt}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $\ln(N_t) = \ln(N_0) + rt$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln(N_t)$,$x = t$,$m = r$ (वृद्धि दर),और $c = \ln(N_0)$ है।
चूँकि वृद्धि दर $r$ धनात्मक है,इसलिए $\ln(N_t)$ बनाम समय $t$ का ग्राफ ऊपर की ओर जाने वाली एक सीधी रेखा के रूप में प्राप्त होता है।

(A) घातांकीय वृद्धि में,जनसंख्या का आकार वर्तमान जनसंख्या के आकार के समानुपाती दर से बढ़ता है।
इसके लिए गणितीय व्यंजक अवकल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $dN / dt = rN$,जहाँ:
$N$ = जनसंख्या का आकार
$t$ = समय
$r$ = प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर
$dN / dt$ = समय के साथ जनसंख्या के आकार में परिवर्तन की दर।

(A) वर्णित घटना यह दर्शाती है कि कीटों की जनसंख्या का आकार उनके मेजबान पौधों की उपलब्धता पर अत्यधिक निर्भर है।
कई कीट प्रजातियों में,जीवन चक्र मेजबान पौधे की फेनोलॉजी (phenology) के साथ सिंक्रनाइज़ होता है।
बरसात के मौसम के दौरान,मेजबान पौधे प्रचुर मात्रा में होते हैं और आवश्यक संसाधन प्रदान करते हैं,जिससे कीटों की जनसंख्या में तेजी से वृद्धि होती है।
जैसे-जैसे सर्दियां आती हैं,मेजबान पौधे परिपक्व हो जाते हैं,जीर्ण हो जाते हैं और मर जाते हैं,जिससे कीटों की जनसंख्या में गिरावट आती है और अंततः वे गायब हो जाते हैं।
यह संसाधन-सीमित जनसंख्या गतिशीलता का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जहाँ मेजबान पौधा एक सीमित कारक के रूप में कार्य करता है।

(C) $r$-चयनित प्रजातियाँ वे जीव हैं जो अपनी प्रजनन दर $(r)$ को अधिकतम करने के लिए विकसित हुए हैं।
ये प्रजातियाँ आमतौर पर अस्थिर या अप्रत्याशित वातावरण में रहती हैं।
$r$-चयनित प्रजातियों की मुख्य विशेषताएँ इस प्रकार हैं:
$1$. वे बड़ी संख्या में संतति उत्पन्न करते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि कठोर परिस्थितियों में भी कुछ जीवित रहें।
$2$. ये संतति आमतौर पर आकार में छोटी होती हैं।
$3$. वे बहुत कम या बिल्कुल भी पैतृक देखभाल प्रदान नहीं करते हैं।
$4$. इनका जीवनकाल छोटा होता है और ये जल्दी ही प्रजनन परिपक्वता प्राप्त कर लेते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) लॉजिस्टिक्स वृद्धि मॉडल का समीकरण $dN/dt = rN(1 - N/K)$ है।
यहाँ,$dN/dt$ जनसंख्या वृद्धि दर को दर्शाता है।
वृद्धि दर को शून्य होने के लिए,$dN/dt = 0$ होना चाहिए।
समीकरण में मान रखने पर: $0 = rN(1 - N/K)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r$ (प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर) और $N$ (जनसंख्या का आकार) आमतौर पर जीवित जनसंख्या में शून्य नहीं होते हैं,इसलिए पद $(1 - N/K)$ को शून्य होना चाहिए।
अतः,$1 - N/K = 0$,जिसका अर्थ है $N/K = 1$।
यह स्थिति तब उत्पन्न होती है जब जनसंख्या का आकार $N$ पर्यावरण की वहन क्षमता $K$ तक पहुँच जाता है।

(B) लॉजिस्टिक्स वृद्धि मॉडल को समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इस समीकरण में,$N$ जनसंख्या घनत्व है,$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है,और $K$ वहन क्षमता (carrying capacity) है।
जब जनसंख्या का आकार $N$,वहन क्षमता $K$ तक पहुँच जाता है,तो पद $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ शून्य हो जाता है।
परिणामस्वरूप,$\frac{dN}{dt} = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि जनसंख्या वृद्धि दर शून्य हो जाती है और जनसंख्या का आकार स्थिर हो जाता है।
ग्राफ पर इस स्थिरीकरण बिंदु को,जहाँ वक्र सपाट हो जाता है,एसिम्पटोट कहा जाता है,जो तब प्राप्त होता है जब $N = K$ होता है।

(A) एक जनसंख्या को बढ़ती हुई (विस्तारित) तब माना जाता है जब प्रजनन-पूर्व व्यक्तियों की संख्या प्रजननशील और प्रजनन-पश्चात व्यक्तियों की संख्या से काफी अधिक होती है।
यह एक व्यापक आधार वाला आयु पिरामिड बनाता है,जो उच्च जन्म दर और बड़ी संख्या में उन युवा व्यक्तियों को दर्शाता है जो भविष्य में प्रजनन आयु में प्रवेश करेंगे।
अतः,बढ़ती हुई जनसंख्या के लिए सही स्थिति यह है कि प्रजनन-पूर्व व्यक्तियों की संख्या प्रजननशील व्यक्तियों से अधिक होती है।

(B) वहन क्षमता को किसी दिए गए आवास में उपलब्ध संसाधनों द्वारा समर्थित जनसंख्या के व्यक्तियों की अधिकतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।
इस सीमा से आगे,पर्यावरण अतिरिक्त व्यक्तियों को बनाए नहीं रख सकता है,और इसलिए,कोई और जनसंख्या वृद्धि संभव नहीं है।
जब कोई जनसंख्या अपनी वहन क्षमता तक पहुँच जाती है,तो संसाधन सीमित हो जाते हैं,जिससे अक्सर ऐसी स्थिति पैदा हो जाती है जहाँ मृत्यु दर जन्म दर से अधिक या उसके बराबर हो जाती है,जिससे आगे की वृद्धि रुक जाती है।

(C) घातांकीय जनसंख्या वृद्धि का सूत्र $\frac{dN}{dt} = rN$ है।
यहाँ,$\frac{dN}{dt}$ समय के साथ जनसंख्या के आकार में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर (जैविक क्षमता) को दर्शाता है।
$N$ वर्तमान जनसंख्या के आकार को दर्शाता है।

(C) प्रजनन दर (या प्रति व्यक्ति वृद्धि दर) की गणना इस सूत्र द्वारा की जाती है: $\text{दर} = \frac{\text{जन्म} - \text{मृत्यु}}{\text{प्रारंभिक जनसंख्या}}$.
दिया गया है: $\text{जन्म} = 55$, $\text{मृत्यु} = 5$, $\text{प्रारंभिक जनसंख्या} = 500$.
$\text{दर} = \frac{55 - 5}{500} = \frac{50}{500} = 0.1/ \text{वर्ष}$.

(C) सिग्मॉइड वृद्धि वक्र में,जनसंख्या वृद्धि दर अंततः स्थिर हो जाती है क्योंकि जनसंख्या पर्यावरण की वहन क्षमता $(K)$ तक पहुँच जाती है।
इस चरण में,मृत्यु दर और जन्म दर एक-दूसरे के बराबर हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप,जनसंख्या शून्य वृद्धि दर दर्शाती है क्योंकि जन्म दर और मृत्यु दर समान होते हैं,न कि इसलिए कि मृत्यु दर जन्म दर से अधिक हो जाती है।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(A) यदि व्यक्तियों के लिए भोजन के संसाधन पर्याप्त मात्रा में उपलब्ध हों तो समष्टि चरघातांकीय रूप से बढ़ती है। इसकी चरघातांकीय वृद्धि की गणना चरघातांकीय वृद्धि समीकरण के निम्नलिखित समाकलित रूप द्वारा की जा सकती है:
$N_{t} = N_{0} e^{rt}$
जहाँ,
$N_{t} =$ समय $t$ के बाद समष्टि घनत्व
$N_{0} =$ शून्य समय पर समष्टि घनत्व
$r =$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर
$e =$ प्राकृतिक लघुगणक का आधार $(2.71828)$
यह दिया गया है कि समष्टि $3$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है:
$N_{t} = 2N_{0}$
$t = 3$ वर्ष
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2N_{0} = N_{0} e^{3r}$
$2 = e^{3r}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln(2) = 3r$
$r = \frac{\ln(2)}{3}$
$\ln(2) \approx 0.693$ के मान का उपयोग करने पर:
$r = \frac{0.693}{3} = 0.231$
अतः,वृद्धि की आंतरिक दर $(r)$ लगभग $0.231$ है।

(N/A) लॉजिस्टिक जनसंख्या वृद्धि वक्र आमतौर पर उन आबादी में देखा जाता है जहाँ संसाधन सीमित होते हैं। इसे एक $S-$आकार के वक्र द्वारा दर्शाया जाता है,जिसे वर्हल्स्ट-पर्ल (Verhulst-Pearl) लॉजिस्टिक वृद्धि वक्र के रूप में भी जाना जाता है। इसमें आमतौर पर निम्नलिखित चरण शामिल होते हैं:
$1$. लैग चरण (Lag phase): शुरुआत में,जीवों के नए वातावरण में अनुकूलित होने के कारण जनसंख्या वृद्धि धीमी होती है।
$2$. लॉग (घातांकीय) चरण (Log phase): पर्याप्त संसाधनों की उपलब्धता के कारण जनसंख्या तेजी से बढ़ती है।
$3$. नकारात्मक त्वरण चरण (Negative acceleration phase): जैसे-जैसे संसाधन सीमित होते जाते हैं,पर्यावरणीय प्रतिरोध बढ़ता है और वृद्धि दर धीमी होने लगती है।
$4$. स्थिर चरण (Stationary phase): जब जन्म दर और मृत्यु दर समान हो जाती है,तो जनसंख्या का आकार स्थिर हो जाता है। इस बिंदु पर,जनसंख्या ने आवास की वहन क्षमता $(K)$ प्राप्त कर ली है।

(N/A) किसी समष्टि (population) की अबाधित वृद्धि के लिए संसाधनों (भोजन और स्थान) की उपलब्धता आवश्यक है। आदर्श रूप से,जब आवास में संसाधन असीमित होते हैं,तो प्रत्येक प्रजाति अपनी संख्या में वृद्धि करने की अपनी जन्मजात क्षमता को पूरी तरह से महसूस करने में सक्षम होती है,जैसा कि डार्विन (Darwin) ने प्राकृतिक चयन का अपना सिद्धांत विकसित करते समय देखा था। ऐसी स्थितियों में,समष्टि चरघातांकी या ज्यामितीय रूप (geometric fashion) में बढ़ती है।
यदि $N$ आकार की समष्टि में,जन्म दर (प्रति व्यक्ति जन्म) को $b$ और मृत्यु दर (प्रति व्यक्ति मृत्यु) को $d$ के रूप में दर्शाया जाए,तो इकाई समयावधि $t$ $(dN/dt)$ के दौरान $N$ में वृद्धि या कमी इस प्रकार होगी:
$dN/dt = (b - d) \times N$
यहाँ यदि $(b - d) = r$ मान लिया जाए,तो:
$dN/dt = rN$
इस समीकरण में $r$ को 'प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर' (intrinsic rate of natural increase) कहा जाता है और यह समष्टि वृद्धि पर किसी भी जैविक या अजैविक कारक के प्रभाव का आकलन करने के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण पैरामीटर है।
$r$ के मानों के परिमाण के बारे में कुछ विचार देने के लिए,नॉर्वे चूहे (Norway rat) के लिए $r = 0.015$ है और आटे के भृंग (flour beetle) के लिए $r = 0.12$ है। $1981$ में,भारत में मानव समष्टि के लिए $r$ का मान $0.0205$ था।

(A) राजा और मंत्री शतरंज का खेल खेलने बैठे। अपनी जीत के प्रति आश्वस्त राजा,मंत्री द्वारा प्रस्तावित किसी भी शर्त को मानने के लिए तैयार था। मंत्री ने विनम्रतापूर्वक कहा कि यदि वह जीत जाता है,तो वह केवल कुछ गेहूं के दाने चाहेगा,जिनकी मात्रा शतरंज की बिसात पर मौजूद वर्गों की संख्या के अनुसार पहले वर्ग में एक दाना,दूसरे में दो,तीसरे में चार,चौथे में आठ,और इसी तरह प्रत्येक बार पिछली मात्रा को दोगुना करते हुए तब तक रखी जाएगी जब तक कि सभी $64$ वर्ग भर न जाएं।
राजा ने इस मूर्खतापूर्ण लगने वाली शर्त को मान लिया और खेल शुरू किया,लेकिन दुर्भाग्य से मंत्री जीत गया। राजा को लगा कि शर्त पूरी करना बहुत आसान है। उसने पहले वर्ग में एक दाना रखना शुरू किया और मंत्री द्वारा बताई गई विधि के अनुसार आगे बढ़ता गया,लेकिन शतरंज की बिसात के आधे वर्ग भरने तक राजा को यह एहसास हुआ और उसे गहरा धक्का लगा कि उसके पूरे राज्य में उत्पादित सारा गेहूं भी सभी $64$ वर्गों को भरने के लिए अपर्याप्त होगा।
अब एक छोटे $Paramoecium$ के बारे में सोचें जो केवल एक संख्या से शुरू होता है और द्वि-विखंडन (binary fission) द्वारा हर दिन अपनी संख्या को दोगुना करता रहता है। कल्पना करें कि $64$ दिनों में इसकी जनसंख्या का आकार दिमाग चकरा देने वाला (mind-boggling) हो जाएगा (बशर्ते असीमित भोजन और स्थान उपलब्ध हो)।

(N/A) प्रकृति में किसी भी जनसंख्या के पास इतने असीमित संसाधन नहीं होते कि चरघातांकी (exponential) वृद्धि होती रहे। इसके कारण सीमित संसाधनों के लिए व्यक्तिगत जीवों के बीच प्रतिस्पर्धा होती है। अंततः, 'योग्यतम' (fittest) जीव जीवित रहेगा और प्रजनन करेगा। कई सरकारों ने भी इस तथ्य को समझा है और मानव जनसंख्या वृद्धि को सीमित करने के लिए विभिन्न प्रतिबंध (restraints) लागू किए हैं।
प्रकृति में, एक दिए गए आवास में अधिकतम संभावित संख्या के पोषण के लिए पर्याप्त संसाधन होते हैं, जिसके आगे और वृद्धि संभव नहीं है। इस सीमा को उस आवास में उस प्रजाति के लिए प्रकृति की वहन क्षमता (carrying capacity) $(K)$ कहा जाता है।
सीमित संसाधनों वाले आवास में वृद्धि करने वाली जनसंख्या शुरू में धीमी वृद्धि-अवस्था (lag phase) दर्शाती है, जिसके बाद त्वरण (acceleration) और मंदन (deceleration) की अवस्थाएं आती हैं और अंततः एक अनंतस्पर्शी (asymptote) स्थिति आती है, जब जनसंख्या घनत्व वहन क्षमता तक पहुँच जाता है। जनसंख्या घनत्व $(N)$ को समय $(t)$ के सापेक्ष आलेखित करने पर एक सिग्मॉइड ($S$-आकार का) वक्र प्राप्त होता है। इस प्रकार की जनसंख्या वृद्धि को वर्हल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक ग्रोथ (Verhulst-Pearl Logistic Growth) कहा जाता है और इसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:
$dN/dt = rN \left( \frac{K - N}{K} \right)$
जहाँ,
$N = \text{समय } t \text{ पर जनसंख्या घनत्व}$
$r = \text{प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर}$
$K = \text{वहन क्षमता (carrying capacity)}$
चूंकि अधिकांश पशु आबादी के लिए वृद्धि के संसाधन सीमित (finite) हैं और देर-सवेर सीमित हो जाते हैं, इसलिए लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल को एक अधिक यथार्थवादी मॉडल (realistic model) माना जाता है।

(B) जब संसाधन असीमित होते हैं,तो प्रत्येक प्रजाति के पास संख्या में वृद्धि करने की अपनी जन्मजात क्षमता को पूरी तरह से साकार करने की क्षमता होती है। ऐसी स्थितियों में,जनसंख्या घातांकीय या ज्यामितीय रूप से बढ़ती है। इसे समीकरण $dN/dt = rN$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है।

(N/A) दिया गया ग्राफ लॉजिस्टिक वृद्धि वक्र (Logistic Growth Curve) को दर्शाता है।
$1$. सीमित संसाधनों वाले आवास में बढ़ रही जनसंख्या शुरू में एक लैग चरण (lag phase) दिखाती है,जिसके बाद त्वरण और मंदन के चरण आते हैं,और अंत में एक एसिम्पटोट (asymptote) आता है जब जनसंख्या घनत्व वहन क्षमता $(K)$ तक पहुँच जाता है।
$2$. समय $(t)$ के संबंध में जनसंख्या घनत्व $(N)$ का आलेख एक सिग्मॉइड वक्र (sigmoid curve) बनाता है।
$3$. यहाँ,$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है और $K$ पर्यावरण की वहन क्षमता है।
$4$. इस प्रकार की जनसंख्या वृद्धि को Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि कहा जाता है और इसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है:
$\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$
$5$. पद $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ पर्यावरणीय प्रतिरोध को दर्शाता है।

(B) जब किसी समष्टि को सीमित वातावरण (जैसे संवर्धन माध्यम) में उगाया जाता है,तो समष्टि घनत्व बढ़ने के साथ संसाधन सीमित हो जाते हैं।
प्रारंभ में,समष्टि एक लैग चरण (lag phase) और फिर घातांकीय वृद्धि चरण दिखाती है।
हालाँकि,जैसे-जैसे पोषक तत्व समाप्त हो जाते हैं और स्थान सीमित हो जाता है,वृद्धि दर धीमी हो जाती है और अंततः यह वहन क्षमता $(K)$ नामक स्तर पर पहुँच जाती है।
इस प्रकार की वृद्धि को लॉजिस्टिक वृद्धि (Logistic Growth) के रूप में जाना जाता है,जिसे $S$-आकार या सिग्मॉइड वृद्धि वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,समष्टि वहन क्षमता पर स्थिर हो जाएगी और वृद्धि वक्र सिग्मॉइड होगा।