Population Growth Questions in Hindi

(B) लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल में,जनसंख्या वृद्धि शुरू में घातांकीय होती है लेकिन पर्यावरणीय प्रतिरोध के कारण जैसे-जैसे यह वहन क्षमता $(K)$ के करीब पहुंचती है,यह धीमी हो जाती है।
इसलिए,अभिकथन सही है।
हालाँकि,'क्रैश चरण' (जनसंख्या के आकार में अचानक और तीव्र गिरावट) $J$-आकार के वृद्धि वक्र (घातांकीय वृद्धि) की विशेषता है जहाँ संसाधन तेजी से समाप्त हो जाते हैं,न कि $S$-आकार के लॉजिस्टिक वृद्धि वक्र की।
अतः,यह कथन कि लॉजिस्टिक जनसंख्या में क्रैश चरण नहीं होता है,सही है।
चूंकि दोनों कथन सत्य हैं लेकिन क्रैश चरण का न होना यह कारण नहीं है कि पर्यावरणीय प्रतिरोध घातांकीय चरण को धीमा क्यों करता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) घातांकीय वृद्धि समीकरण $N_{t} = N_{0} e^{rt}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण में,$N_{t}$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व है,$N_{0}$ समय शून्य पर जनसंख्या घनत्व है,$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है,और $t$ समय अवधि है।
प्रतीक $e$ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithms) का आधार दर्शाता है,जो एक अपरिमेय गणितीय स्थिरांक है जिसका मान लगभग $2.71828$ होता है।

(C) सीमित पोषक माध्यम में,वृद्धि वक्र सिग्मॉइड पैटर्न का पालन करता है।
$1$. लैग फेज: शुरुआत में,कोशिकाओं की संख्या कम होती है और वे नए वातावरण के अनुकूल हो रही होती हैं,जिसके परिणामस्वरूप वृद्धि धीमी होती है।
$2$. एक्सपोनेंशियल फेज: एक बार अनुकूलित हो जाने के बाद,कोशिकाएं उपलब्ध पोषक तत्वों का उपयोग करके तेजी से विभाजित होती हैं,जिससे जनसंख्या में लॉगरिदमिक वृद्धि होती है।
$3$. स्टेशनरी फेज: जैसे-जैसे पोषक तत्वों की कमी होती है और चयापचय अपशिष्ट उत्पाद जमा होते हैं,वृद्धि दर धीमी हो जाती है और अंततः स्थिर हो जाती है।

(N/A) जनसंख्या का आकार स्थिर नहीं होता है। यह समय के साथ बदलता रहता है,जो भोजन की उपलब्धता,शिकार के दबाव और मौसम की स्थिति जैसे कारकों पर निर्भर करता है। जनसंख्या वृद्धि को निर्धारित करने वाले चार मुख्य कारक निम्नलिखित हैं:
$1$. जन्म दर (Natality - $B$): जनसंख्या में एक निश्चित अवधि के दौरान जन्म लेने वाले जीवों की संख्या।
$2$. मृत्यु दर (Mortality - $D$): जनसंख्या में एक निश्चित अवधि के दौरान मरने वाले जीवों की संख्या।
$3$. आप्रवासन (Immigration - $I$): एक निश्चित अवधि के दौरान आवास में बाहर से आने वाले उसी प्रजाति के जीवों की संख्या।
$4$. उत्प्रवासन (Emigration - $E$): एक निश्चित अवधि के दौरान आवास को छोड़कर अन्यत्र जाने वाले जीवों की संख्या।
यदि समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व $N$ है,तो समय $t+1$ पर इसका घनत्व निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$
यदि जन्म और आप्रवासन की संख्या का योग $(B + I)$,मृत्यु और उत्प्रवासन की संख्या के योग $(D + E)$ से अधिक है,तो जनसंख्या घनत्व बढ़ेगा; अन्यथा यह घट जाएगा।

(A) $\Rightarrow$ वृद्धि मॉडल समय के साथ जनसंख्या की वृद्धि के विशिष्ट और पूर्वानुमानित पैटर्न को दर्शाते हैं।
जनसंख्या की वृद्धि भोजन की उपलब्धता, आवास की स्थिति और अन्य जैविक और अजैविक कारकों की उपस्थिति के अनुसार होती है।
मॉडल के दो मुख्य प्रकार हैं:
$(a)$ घातांकीय वृद्धि (Exponential Growth): इस प्रकार की वृद्धि तब होती है जब भोजन और स्थान पर्याप्त मात्रा में उपलब्ध होते हैं।
जब आवास में संसाधन असीमित होते हैं, तो प्रत्येक प्रजाति में अपनी संख्या बढ़ाने की अपनी जन्मजात क्षमता को पूरी तरह से साकार करने की क्षमता होती है।
- जनसंख्या घातांकीय या ज्यामितीय रूप से बढ़ती है।
यदि $N$ आकार की जनसंख्या में, जन्म दर को '$b$' और मृत्यु दर को '$d$' के रूप में दर्शाया जाए।
$\Rightarrow$ तो इकाई समयावधि '$t$' के दौरान $N$ में वृद्धि या कमी $dN/dt = (b-d) \times N$ होगी।
मान लीजिए $(b-d) = r$, तो $dN/dt = rN$।
यहाँ, '$r$' को 'प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर' (intrinsic rate of natural increase) कहा जाता है और यह जनसंख्या वृद्धि पर किसी भी जैविक या अजैविक कारक के प्रभावों का आकलन करने के लिए चुना गया एक बहुत ही महत्वपूर्ण पैरामीटर है।
'$r$' मानों के परिमाण के बारे में कुछ विचार देने के लिए: नॉर्वे चूहे के लिए '$r$' $0.015$ है, और फ्लोर बीटल के लिए यह $0.12$ है।
$1981$ में, भारत में मानव जनसंख्या के लिए '$r$' मान $0.0205$ था।
उपरोक्त समीकरण जनसंख्या के घातांकीय या ज्यामितीय वृद्धि पैटर्न का वर्णन करता है और जब हम समय के संबंध में $N$ को प्लॉट करते हैं तो $J$-आकार का वक्र प्राप्त होता है।
यदि आप बुनियादी कलन (calculus) से परिचित हैं, तो आप घातांकीय वृद्धि समीकरण का अभिन्न रूप $N_t = N_0 e^{rt}$ के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।
जहाँ $N_t = \text{समय } t \text{ के बाद जनसंख्या घनत्व}$, $N_0 = \text{शून्य समय पर जनसंख्या घनत्व}$, $r = \text{प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर}$, और $e = \text{प्राकृतिक लघुगणक का आधार } (2.71828)$।
असीमित संसाधन स्थितियों के तहत घातांकीय रूप से बढ़ने वाली कोई भी प्रजाति कम समय में भारी जनसंख्या घनत्व तक पहुंच सकती है।
डार्विन ने दिखाया कि कैसे हाथी जैसा धीमी गति से बढ़ने वाला जानवर भी नियंत्रण के अभाव में भारी संख्या तक पहुंच सकता है।
$(b)$ लॉजिस्टिक वृद्धि (Logistic Growth): प्रकृति में किसी भी प्रजाति की जनसंख्या के पास घातांकीय वृद्धि की अनुमति देने के लिए असीमित संसाधन नहीं होते हैं।
यह सीमित संसाधनों के लिए व्यक्तियों के बीच प्रतिस्पर्धा की ओर ले जाता है। अंततः, 'सबसे उपयुक्त' (fittest) व्यक्ति जीवित रहेगा और प्रजनन करेगा।
कई देशों की सरकारों ने भी इस तथ्य को महसूस किया है और मानव जनसंख्या वृद्धि को सीमित करने के उद्देश्य से विभिन्न प्रतिबंध लागू किए हैं।
प्रकृति में, एक दिए गए आवास में अधिकतम संभव संख्या का समर्थन करने के लिए पर्याप्त संसाधन होते हैं, जिसके आगे कोई और वृद्धि संभव नहीं है।

(B) डार्विनियन फिटनेस को पर्यावरण में जीव की प्रजनन सफलता के माप के रूप में परिभाषित किया गया है।
- समष्टियाँ (Populations) उस आवास में अपनी प्रजनन फिटनेस को अधिकतम करने के लिए विकसित होती हैं जिसमें वे रहती हैं।
- चयन दबावों के एक विशेष समूह के तहत,जीव सबसे कुशल प्रजनन रणनीति की ओर विकसित होते हैं।
- कुछ जीव अपने जीवनकाल में केवल एक बार प्रजनन करते हैं (जैसे,पैसिफिक सैल्मन मछली,बांस)।
- कुछ अपने जीवनकाल के दौरान कई बार प्रजनन करते हैं (जैसे,अधिकांश पक्षी और स्तनधारी)।
- कुछ जीव बड़ी संख्या में छोटे आकार की संतति उत्पन्न करते हैं (जैसे,ऑयस्टर,पेलेजिक मछलियाँ)।
- कुछ जीव कम संख्या में बड़े आकार की संतति उत्पन्न करते हैं (जैसे,पक्षी,स्तनधारी)।
- जीवों के जीवन इतिहास के लक्षण उस आवास के जैविक और अजैविक घटकों द्वारा लगाए गए बाधाओं के संबंध में विकसित हुए हैं जिसमें वे रहते हैं।

(N/A)

$S$-आकार का वृद्धि वक्र (सिग्मॉइड)	$J$-आकार का वृद्धि वक्र
$(1)$ यह $5$ चरणों से बना है: लैग चरण,धनात्मक त्वरण चरण,घातांकीय चरण,ऋणात्मक त्वरण चरण और स्थिर चरण।	$(1)$ यह $2$ चरणों से बना है: लैग चरण और घातांकीय चरण।
$(2)$ अंत में,जनसंख्या एक स्थिर अवस्था तक पहुँच जाती है जहाँ जन्म दर और मृत्यु दर समान होने के कारण वृद्धि दर शून्य हो जाती है।	$(2)$ अंत में,मृत्यु दर में तेजी से वृद्धि या संसाधनों की कमी के कारण जनसंख्या में भारी गिरावट (crash) आती है।
$(3)$ उदाहरण: संवर्धन माध्यम में यीस्ट कोशिकाएं।	$(3)$ उदाहरण: रेंडियर,शैवाल प्रस्फुटन (algal blooms) या टुंड्रा के लेमिंग्स।

(C) समय $t+1$ पर जनसंख्या घनत्व $(N_{t+1})$ की गणना प्रारंभिक जनसंख्या $(N_t)$ में जन्म $(B)$ और आप्रवासन $(I)$ को जोड़कर तथा मृत्यु $(D)$ और उत्प्रवासन $(E)$ को घटाकर की जाती है।
गणितीय रूप से,इसे $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यहाँ,$B$ जन्म को,$I$ आप्रवासन को,$D$ मृत्यु को और $E$ उत्प्रवासन को दर्शाता है।

(A) समीकरण $N_t = N_0 e^{rt}$ घातांकीय वृद्धि का गणितीय निरूपण है।
इस सूत्र में:
$N_t$ समय $t$ के बाद जनसंख्या घनत्व है।
$N_0$ शून्य समय पर जनसंख्या घनत्व है।
$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है।
$e$ प्राकृतिक लघुगणक का आधार है (लगभग $2.718$)।
संभाव्य (लॉजिस्टिक) वृद्धि,जिसे विर्हस्ट-पर्ल वृद्धि के रूप में भी जाना जाता है,एक अलग समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है: $dN/dt = rN(K-N/K)$।

(D) $NCERT$ पाठ्यपुस्तक के जनसंख्या वृद्धि दर $(r)$ के आंकड़ों के अनुसार:
$1$. नॉर्वे चूहे के लिए $r$ का मान $0.015$ है।
$2$. फ्लोर बीटल के लिए $r$ का मान $0.12$ है।
$3$. $1981$ में भारत की मानव जनसंख्या के लिए $r$ का मान $0.0205$ है।
अतः, सही मिलान इस प्रकार है:
$P$ (फ्लोर बीटल) = $0.12$ $(I)$
$Q$ (नॉर्वे चूहा) = $0.015$ $(II)$
$R$ ($1981$ में भारत की मानव जनसंख्या) = $0.0205$ $(III)$
इस प्रकार, सही क्रम $(P-I), (Q-II), (R-III)$ है।

(B) ग्राफ दो प्रकार के समष्टि वृद्धि वक्रों को दर्शाता है:
$1$. वक्र $P$ घातांकीय वृद्धि (exponential growth) को दर्शाता है,जो तब होती है जब संसाधन असीमित होते हैं। घातांकीय वृद्धि के लिए समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN$ है।
$2$. वक्र $Q$ लॉजिस्टिक वृद्धि (logistic growth) को दर्शाता है,जो तब होती है जब संसाधन सीमित होते हैं,जिससे वहन क्षमता $(K)$ प्राप्त होती है। लॉजिस्टिक वृद्धि के लिए समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K - N}{K}\right)$ है।
अतः,$P$ और $Q$ के लिए सही समीकरण क्रमशः $\frac{dN}{dt} = rN$ और $\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K - N}{K}\right)$ हैं।

(A) विर्हस्ट-पर्ल लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल सीमित संसाधनों वाले वातावरण में जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है।
यह निम्नलिखित चरणों के क्रम में एक सिग्मॉइड वक्र का अनुसरण करता है:
$1$. लैग चरण: प्रारंभिक चरण जहाँ जनसंख्या धीरे-धीरे बढ़ती है क्योंकि जीव पर्यावरण के अनुकूल होते हैं।
$2$. धनात्मक त्वरण चरण: संसाधन प्रचुर मात्रा में होने के कारण जनसंख्या तेजी से बढ़ती है।
$3$. ऋणात्मक त्वरण चरण: पर्यावरणीय प्रतिरोध (संसाधनों के लिए प्रतिस्पर्धा) के कारण वृद्धि दर धीमी हो जाती है।
$4$. एसिम्पटोट (स्थिर चरण): जनसंख्या पर्यावरण की वहन क्षमता $(K)$ तक पहुँच जाती है,जहाँ जन्म दर और मृत्यु दर समान हो जाती है।

(D) समष्टि पारिस्थितिकी (population ecology) में,प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर को $r$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
इसकी गणना जन्म दर $(b)$ और मृत्यु दर $(d)$ के बीच के अंतर के रूप में की जाती है।
अतः,इसका सूत्र $r = b - d$ है।
यह मान समष्टि वृद्धि पर किसी भी जैविक या अजैविक कारक के प्रभावों का आकलन करने के लिए एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है।

(B) Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ में:
- $\frac{dN}{dt}$ समय के साथ जनसंख्या के आकार में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
- $N$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व को दर्शाता है।
- $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर को दर्शाता है।
- $K$ वहन क्षमता (Carrying capacity) को दर्शाता है,जो उपलब्ध संसाधनों को देखते हुए पर्यावरण द्वारा समर्थित जनसंख्या का अधिकतम आकार है।

(D) कोशिका संवर्धन में,जीवाणु घातांकीय (exponential) वृद्धि से गुजरते हैं,जिसे समीकरण $N = N_0 e^{Kt}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $N$ समय $t$ पर जीवाणुओं की संख्या है,$N_0$ जीवाणुओं की प्रारंभिक संख्या है,और $K$ वृद्धि स्थिरांक है।
यह समीकरण समय के साथ घातांकीय वृद्धि को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ समय के सापेक्ष $N/N_0$ अनुपात में घातांकीय वृद्धि को दर्शाता है,वह विकल्प $D$ द्वारा प्रदर्शित है।

(B) वर्हल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल सीमित संसाधनों वाले वातावरण में जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है।
इस मॉडल में,जनसंख्या वृद्धि दर $\frac{dN}{dt}$ को समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$N$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है,$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है,और $K$ पर्यावरण की वहन क्षमता (carrying capacity) है।
यह समीकरण दर्शाता है कि जैसे-जैसे $N$,$K$ के करीब पहुंचता है,पद $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ शून्य के करीब पहुंच जाता है,जिससे जनसंख्या वृद्धि धीमी हो जाती है और अंततः वहन क्षमता पर स्थिर हो जाती है।

(A) जब आवास में संसाधन असीमित होते हैं तो घातांकीय वृद्धि होती है।
इस मॉडल में,जनसंख्या का आकार $(N)$ वर्तमान जनसंख्या आकार के समानुपाती दर से बढ़ता है।
समय के सापेक्ष जनसंख्या के आकार में परिवर्तन की दर को निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
$dN / dt = rN$
जहाँ:
$N$ = जनसंख्या का आकार
$t$ = समय
$r$ = प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर।
अतः,विकल्प $A$ सही सूत्र है।

(D) दिए गए जनसंख्या वृद्धि वक्र में:
$1$. वक्र '$a$' घातांकीय वृद्धि (exponential growth) को दर्शाता है,जो तब होती है जब संसाधन असीमित होते हैं।
$2$. वक्र '$b$' लॉजिस्टिक्स वृद्धि (logistic growth) को दर्शाता है,जो तब होती है जब संसाधन सीमित होते हैं,जिससे एक सिग्मॉइड ($S$-आकार का) वक्र प्राप्त होता है।
$3$. लॉजिस्टिक्स वृद्धि के लिए समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left(\frac{K - N}{K}\right)$ है,जहाँ '$K$' वहन क्षमता (carrying capacity) है।
$4$. इसलिए,'$b$' लॉजिस्टिक्स वृद्धि को दर्शाता है,जिसे Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक्स वृद्धि समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है।

(D) सीमित संसाधनों वाले आवास में,जनसंख्या वृद्धि लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल (सिग्मॉइड वक्र) का पालन करती है।
$1$. लॉजिस्टिक वृद्धि वक्र एक लैग चरण के साथ शुरू होता है,जहाँ जनसंख्या नए वातावरण के अनुकूल होती है और वृद्धि धीमी होती है।
$2$. इसके बाद लॉग चरण (घातांकीय चरण) आता है और अंत में स्थिर चरण (एसिम्पटोट) आता है,जहाँ जनसंख्या का आकार आवास की वहन क्षमता $(K)$ तक पहुँच जाता है।
अतः,कथन-$I$ और कथन-$II$ दोनों सही हैं।

(A) $r$-मान प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर को दर्शाता है,जो जनसंख्या वृद्धि पर किसी भी जैविक या अजैविक कारक के प्रभावों का आकलन करने के लिए एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है।
$NCERT$ जीव विज्ञान पाठ्यपुस्तक के अनुसार,नॉर्वे चूहे के लिए $r$-मान $0.015$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) लॉजिस्टिक्स वृद्धि मॉडल में,समीकरण $dN/dt = rN[(K-N)/K]$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$dN/dt$ समय के साथ जनसंख्या के आकार में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
$N$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व है।
$K$ वहन क्षमता (Carrying capacity) है,जो कि पर्यावरण द्वारा समर्थित अधिकतम जनसंख्या का आकार है।
'$r$' का अर्थ 'प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर' (Intrinsic rate of natural increase) है,जो जनसंख्या वृद्धि पर जैविक और अजैविक कारकों के प्रभाव का आकलन करने वाला एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है।

(C) समय $t+1$ पर जनसंख्या घनत्व,समय $t$ पर प्रारंभिक जनसंख्या घनत्व में जनसंख्या में जोड़े गए व्यक्तियों की संख्या को जोड़कर और जनसंख्या से हटाए गए व्यक्तियों की संख्या को घटाकर निर्धारित किया जाता है।
जन्म $(B)$ और आप्रवासन $(I)$ जनसंख्या घनत्व को बढ़ाते हैं।
मृत्यु $(D)$ और उत्प्रवासन $(E)$ जनसंख्या घनत्व को कम करते हैं।
इसलिए,सूत्र $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$ है।

(C) लॉजिस्टिक्स वृद्धि मॉडल वहन क्षमता $(K)$ की अवधारणा पर आधारित है।
प्रकृति में,एक दिए गए आवास में केवल अधिकतम संभव संख्या में जीवों का समर्थन करने के लिए पर्याप्त संसाधन होते हैं,जिसके आगे कोई और वृद्धि संभव नहीं है।
इसलिए,यह कथन कि एक आवास 'किसी भी संख्या में प्रजातियों' का समर्थन कर सकता है,गलत है,क्योंकि संसाधन सीमित हैं और पर्यावरण की वहन क्षमता द्वारा नियंत्रित होते हैं।

(A) कथन $I$ सही है: जब संसाधन असीमित होते हैं,तो प्रत्येक प्रजाति में संख्या में वृद्धि करने की अपनी पूरी क्षमता को साकार करने की जन्मजात क्षमता होती है,जिसके परिणामस्वरूप घातांकीय (exponential) वृद्धि होती है।
कथन $II$ सही है: सीमित संसाधनों वाले आवास में,एक आबादी शुरू में एक 'लैग फेज' (lag phase) दिखाती है जहाँ वृद्धि दर बहुत धीमी होती है क्योंकि आबादी 'लॉग फेज' (log phase) में प्रवेश करने से पहले पर्यावरण के अनुकूल हो रही होती है।

(B) सीमित संसाधनों वाले आवास में जनसंख्या वृद्धि लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल (सिग्मॉइड वक्र) का पालन करती है।
$1$. लैग चरण: प्रारंभिक चरण जहाँ जनसंख्या पर्यावरण के अनुकूल होती है और वृद्धि धीमी होती है।
$2$. त्वरण चरण: संसाधनों की प्रचुरता के कारण जनसंख्या का आकार तेजी से बढ़ता है।
$3$. मंदन चरण: जैसे-जैसे संसाधन सीमित होते जाते हैं,वृद्धि दर धीमी होने लगती है।
$4$. एसिम्पटोट: जनसंख्या घनत्व पर्यावरण की वहन क्षमता $(K)$ तक पहुँच जाता है और वृद्धि स्थिर हो जाती है।

(B) यह ग्राफ एक $J$-आकार का वक्र दर्शाता है,जो घातांकीय (exponential) जनसंख्या वृद्धि की विशेषता है।
घातांकीय वृद्धि में,जब संसाधन असीमित होते हैं,तो प्रत्येक प्रजाति के पास संख्या में वृद्धि करने की अपनी जन्मजात क्षमता को पूरी तरह से साकार करने की क्षमता होती है।
इसके परिणामस्वरूप जनसंख्या वृद्धि वक्र $J$-आकार का होता है,जिसे समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $N$ जनसंख्या का आकार है,$t$ समय है,और $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है।

(B) दिया गया ग्राफ एक सिग्मॉइड वृद्धि वक्र को दर्शाता है,जो सीमित संसाधनों वाले वातावरण में जनसंख्या वृद्धि की विशेषता है।
$1$. प्रारंभिक धीमी वृद्धि के चरण को 'लैग चरण' कहा जाता है।
$2$. तीव्र घातांकीय वृद्धि के चरण को 'लॉग चरण' या 'घातांकीय चरण' कहा जाता है।
$3$. वह चरण जहाँ वृद्धि दर स्थिर हो जाती है और जनसंख्या पर्यावरण की वहन क्षमता (carrying capacity) तक पहुँच जाती है,उसे 'स्थिर चरण' कहा जाता है।
$4$. दिए गए चित्र में,'$X$' उस समतल क्षेत्र की ओर इंगित करता है जहाँ जनसंख्या का आकार स्थिर हो जाता है,जो 'स्थिर चरण' के अनुरूप है।

(D) वरहल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल सीमित संसाधनों वाले पर्यावरण में जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है।
जब जनसंख्या घनत्व को समय के सापेक्ष आलेखित किया जाता है,तो यह शुरू में एक लैग चरण (lag phase) दिखाता है,उसके बाद घातीय चरण (exponential phase) और अंत में मंदी का चरण (deceleration phase) आता है क्योंकि यह वहन क्षमता $(K)$ तक पहुँच जाता है।
यह पैटर्न एक सिग्मॉइड या $S$-आकार का वक्र बनाता है,जिसे गणितीय रूप से समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) समय $t+1$ पर जनसंख्या घनत्व,समय $t$ पर प्रारंभिक घनत्व में जनसंख्या में होने वाली वृद्धि को जोड़कर और जनसंख्या से होने वाली कमी को घटाकर निर्धारित किया जाता है।
जनसंख्या में वृद्धि जन्म $(B)$ और आप्रवासन $(I)$ के माध्यम से होती है।
जनसंख्या में कमी मृत्यु $(D)$ और उत्प्रवासन $(E)$ के माध्यम से होती है।
इसलिए,सूत्र $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$ है।

(A) लॉजिस्टिक्स वृद्धि वक्र $S$-आकार (सिग्मॉइड) का होता है,जिसमें तीन अलग-अलग चरण होते हैं:
$1$. लैग चरण (Lag phase): यह वृद्धि का प्रारंभिक चरण है जिसमें वृद्धि धीमी और कम होती है।
$2$. लॉग चरण (Log phase): यह त्वरित वृद्धि का चरण है,जिसमें जनसंख्या में तेजी से वृद्धि होती है।
$3$. स्थिर चरण (Stationary phase): यह अंतिम चरण है जिसमें पर्यावरणीय प्रतिरोध के कारण वृद्धि स्थिर हो जाती है।

(A) पारिस्थितिकी में,किसी विशिष्ट पर्यावरण में उपलब्ध भोजन,आवास,पानी और अन्य संसाधनों को देखते हुए,किसी जैविक प्रजाति की अधिकतम जनसंख्या जो जीवित रह सकती है,उसे $Carrying \ capacity$ $(K)$ यानी वहन क्षमता के रूप में जाना जाता है।
यदि जनसंख्या इस सीमा से अधिक हो जाती है,तो संसाधन अपर्याप्त हो जाते हैं,जिससे जनसंख्या में गिरावट आती है जब तक कि वह इस क्षमता पर या उससे नीचे स्थिर न हो जाए।
इसलिए,वह सीमा जिसके आगे कोई और वृद्धि संभव नहीं है,उसे $Carrying \ capacity$ कहा जाता है।

(C) घातांकीय वृद्धि (Exponential growth) के लिए समीकरण $N_t = N_0 e^{rt}$ है।
यहाँ,$N_t$ समय $t$ के बाद जनसंख्या घनत्व है।
$N_0$ प्रारंभिक जनसंख्या घनत्व है।
$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर (intrinsic rate of natural increase) है।
$e$ प्राकृतिक लघुगणक का आधार है (लगभग $2.718$)।
यह समीकरण दर्शाता है कि जब संसाधन असीमित होते हैं,तो जनसंख्या घातांकीय रूप से बढ़ती है।

(A) घातांकीय वृद्धि समीकरण $N_{t} = N_{0}e^{rt}$ में:
$1$. $N_{t}$ समय $t$ के बाद जनसंख्या घनत्व को दर्शाता है।
$2$. $N_{0}$ समय शून्य पर जनसंख्या घनत्व (प्रारंभिक जनसंख्या) को दर्शाता है।
$3$. $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर (intrinsic rate of natural increase) को दर्शाता है।
$4$. $e$ प्राकृतिक लघुगणक का आधार (लगभग $2.71828$) को दर्शाता है।
अतः,$N_{0}$ समय शून्य पर जनसंख्या घनत्व है और $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है।

(A) जनसंख्या पारिस्थितिकी में,इकाई समयावधि $t$ के दौरान जनसंख्या आकार $N$ में परिवर्तन जन्म दर $(b)$ और मृत्यु दर $(d)$ के बीच के अंतर से निर्धारित होता है।
इसे समीकरण $\frac{dN}{dt} = (b - d) \times N$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
यहाँ,$(b - d)$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर $(r)$ को दर्शाता है।
यदि $b > d$ है,तो जनसंख्या बढ़ती है; यदि $d > b$ है,तो जनसंख्या घटती है।

(A) Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि समीकरण $dN/dt = rN \left(\frac{K-N}{K}\right)$ में:
$1$. $N$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व को दर्शाता है।
$2$. $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर को दर्शाता है।
$3$. $K$ वहन क्षमता (Carrying capacity) को दर्शाता है,जो उपलब्ध संसाधनों के आधार पर पर्यावरण द्वारा समर्थित अधिकतम जनसंख्या का आकार है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) लॉजिस्टिक्स वृद्धि मॉडल जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है जब संसाधन सीमित होते हैं।
इस मॉडल में,जनसंख्या वृद्धि दर $\frac{dN}{dt}$ जनसंख्या के आकार $N$ और वहन क्षमता $K$ के उस अंश के समानुपाती होती है जो अभी भी उपलब्ध है,जिसे $\left( \frac{K-N}{K} \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,सही सूत्र $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ है,जहाँ $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है।
विकल्प $A$ इस सही गणितीय समीकरण को दर्शाता है।

(C) Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल सीमित संसाधनों वाले वातावरण में जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है। समीकरण $dN/dt = rN((K - N)/K)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $dN/dt$ जनसंख्या के आकार में परिवर्तन की दर है,$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है,$N$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व है,और $K$ पर्यावरण की वहन क्षमता (carrying capacity) है।

(D) आयु पिरामिड एक जनसंख्या में विभिन्न आयु समूहों के वितरण को दर्शाता है।
जब किसी जनसंख्या में पूर्व-प्रजनन आयु वर्ग के व्यक्तियों का अनुपात अधिक होता है,तो आयु पिरामिड का आधार बहुत चौड़ा होता है।
यह चौड़ा आधार इंगित करता है कि जनसंख्या तेजी से बढ़ रही है,क्योंकि ये व्यक्ति जल्द ही प्रजनन आयु में प्रवेश करेंगे।
ऐसे पिरामिड को 'विस्तारित' (Expanding) या 'त्रिभुजाकार' आयु पिरामिड कहा जाता है।
चूंकि भारत में बड़ी युवा आबादी है,इसलिए इसका आयु पिरामिड विस्तारित है।

(B) समय $t+1$ पर जनसंख्या घनत्व की गणना समय $t$ पर प्रारंभिक जनसंख्या को ध्यान में रखकर और जन्म $(B)$,आप्रवासन $(I)$,मृत्यु $(D)$,और उत्प्रवास $(E)$ के कारण होने वाले शुद्ध परिवर्तनों को जोड़कर की जाती है।
इसका सूत्र है: $N_{t+1} = N_t + [(B + I) - (D + E)]$.
यहाँ,$(B + I)$ जनसंख्या में जोड़े गए व्यक्तियों की कुल संख्या को दर्शाता है,और $(D + E)$ जनसंख्या से खोए गए व्यक्तियों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) जब संसाधन असीमित होते हैं और कोई पर्यावरणीय प्रतिरोध कारक (वृद्धि को सीमित करने वाले कारक) मौजूद नहीं होते हैं,तो जनसंख्या घातीय रूप से बढ़ती है। इस प्रकार की वृद्धि को $J$-आकार के वक्र द्वारा दर्शाया जाता है। इसके विपरीत,$S$-आकार का (सिग्मॉइड) वक्र लॉजिस्टिक वृद्धि को दर्शाता है,जो तब होता है जब संसाधन सीमित होते हैं और पर्यावरणीय प्रतिरोध मौजूद होता है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि समीकरण $\frac{ dN }{ dt }= rN \left[\frac{ K - N }{ K }\right]$ में,चर इस प्रकार परिभाषित हैं:
$N$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व को दर्शाता है।
$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर (intrinsic rate of natural increase) को दर्शाता है।
$K$ पर्यावरण की वहन क्षमता (carrying capacity) को दर्शाता है।
अतः,अक्षर '$r$' प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर को दर्शाता है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
Verhulst-Pearl लॉजिस्टिक वृद्धि मॉडल को अवकल समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
$\frac{dN}{dt} = rN \left[\frac{K - N}{K}\right]$
इस समीकरण में:
$1$. $r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर (intrinsic rate of natural increase) को दर्शाता है,जो जनसंख्या की जैविक क्षमता का प्रतिनिधित्व करती है।
$2$. $N$ समय $t$ पर जनसंख्या घनत्व को दर्शाता है।
$3$. $K$ वहन क्षमता (carrying capacity) को दर्शाता है,जो उपलब्ध संसाधनों को देखते हुए पर्यावरण द्वारा समर्थित अधिकतम जनसंख्या आकार है।

(B) प्रारंभिक जनसंख्या का आकार $(N)$ $100$ है।
जन्मों की संख्या $(B)$ $30$ है।
मृत्यु की संख्या $(D)$ $10$ है।
जनसंख्या में शुद्ध वृद्धि की गणना $B - D = 30 - 10 = 20$ के रूप में की जाती है।
प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर $(r)$ की गणना शुद्ध वृद्धि को प्रारंभिक जनसंख्या के आकार से विभाजित करके की जाती है।
$r = \frac{20}{100} = 0.2$.
अतः,जनसंख्या के लिए प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर $0.2$ है।

(A) वर्हल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक वृद्धि समीकरण पर्यावरणीय संसाधनों द्वारा सीमित जनसंख्या वृद्धि का वर्णन करता है,जिसे वहन क्षमता $(K)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह समीकरण $\frac{dN}{dt} = rN \left( \frac{K-N}{K} \right)$ है।
यहाँ,$N$ समय $t$ पर जनसंख्या का आकार दर्शाता है,$r$ प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर है,और $K$ पर्यावरण की वहन क्षमता है।