Nature of radiation Questions in Hindi

(A) तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का व्युत्क्रम है:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$
दिया गया है $\lambda = 5800 \ \mathring{A} = 5800 \times 10^{-8} \ cm = 5.8 \times 10^{-5} \ cm$.
$\bar{\nu} = \frac{1}{5.8 \times 10^{-5} \ cm} = 17241.37 \ cm^{-1}$.
हमें दिया गया है $\bar{\nu} = x \times 10 \ cm^{-1}$.
अतः,$x \times 10 = 17241.37$.
$x = 1724.137 \approx 1724$.

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\lambda = 300 \times 10^{-9} \ m$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{300 \times 10^{-9}} \ J = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
इसे $1.602 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करके $eV$ में बदलने पर:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 4.136 \ eV$.
प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब कार्य फलन $\phi < E$ हो। अतः,$\phi < 4.136 \ eV$ वाली धातुएं यह प्रभाव दिखाएंगी।
दिए गए मानों की तुलना करने पर: $Li \ (2.4)$,$Na \ (2.3)$,$K \ (2.2)$,और $Mg \ (3.7)$ सभी $4.136 \ eV$ से कम हैं।
इसलिए,ऐसी $4$ धातुएं हैं।

(A) फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $p = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s}{330 \times 10^{-9} \ m} = 2 \times 10^{-27} \ kg \ m \ s^{-1}$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$He$ परमाणु द्वारा प्राप्त संवेग अवशोषित फोटॉन के संवेग के बराबर होता है।
$p_{atom} = m \times v$,जहाँ $m$ एक $He$ परमाणु का द्रव्यमान है।
$m = \frac{\text{मोलर द्रव्यमान}}{\text{आवोगाद्रो संख्या}} = \frac{4 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}}{6 \times 10^{23} \ mol^{-1}} = \frac{2}{3} \times 10^{-26} \ kg$.
संवेगों की तुलना करने पर: $2 \times 10^{-27} = (\frac{2}{3} \times 10^{-26}) \times v$.
$v = \frac{2 \times 10^{-27} \times 3}{2 \times 10^{-26}} = 0.3 \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ में बदलने पर: $0.3 \ m \ s^{-1} = 30 \ cm \ s^{-1}$.

(C) मोज़ले के नियम के अनुसार,किसी तत्व द्वारा उत्सर्जित अभिलक्षणिक $X$-किरणों की आवृत्ति $\nu$ उसके परमाणु क्रमांक $Z$ से समीकरण $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं।
यह दर्शाता है कि $\sqrt{\nu}$ बनाम परमाणु क्रमांक $(Z)$ का आलेख एक सीधी रेखा है।
कथन $(I)$ असत्य है क्योंकि $\sqrt{\nu}$ बनाम परमाणु द्रव्यमान का आलेख एक सीधी रेखा नहीं है।
कथन $(II)$ असत्य है क्योंकि $\nu$ ($\sqrt{\nu}$ नहीं) बनाम परमाणु क्रमांक का आलेख एक सीधी रेखा नहीं है; बल्कि,$\sqrt{\nu}$ बनाम परमाणु क्रमांक का आलेख एक सीधी रेखा है।
अतः,दोनों कथन असत्य हैं।

(A) फोटॉन का संवेग $P$ संबंध $P = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ ऊर्जा है और $c$ प्रकाश की गति है।
दिया गया है $E = 1 \ MeV = 1 \times 10^6 \ eV = 1.602 \times 10^{-13} \ J.$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}.$
$P = \frac{1.602 \times 10^{-13}}{3 \times 10^8} = 0.534 \times 10^{-21} \ kg \ ms^{-1}.$

(C) $\gamma$-किरणें विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं जिनका आवेश शून्य और द्रव्यमान शून्य होता है।
अपनी विद्युत चुम्बकीय प्रकृति के कारण,वे प्रकाश की गति के साथ यात्रा करती हैं,जो लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ है।

(B) आवृत्ति को एक सेकंड में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे हर्ट्ज़ $(Hz)$ में मापा जाता है,जहाँ $1 \ Hz = 1 \ s^{-1}$ होता है।
- $(A)$ तरंगदैर्ध्य: दो लगातार शृंगों या गर्तों के बीच की दूरी।
- $(C)$ तरंग संख्या: प्रति इकाई लंबाई में तरंगों की संख्या $(1 / \lambda)$।
- $(D)$ आयाम: तरंग का अपनी माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन।

(A) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$\lambda = 700 \ nm = 700 \times 10^{-9} \ m$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{700 \times 10^{-9}} \ J = 2.84 \times 10^{-19} \ J$.
प्रति मोल ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,आवोगाद्रो संख्या $(N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ से गुणा करें:
$E_{mole} = E \times N_A = 2.84 \times 10^{-19} \times 6.022 \times 10^{23} \ J/mol \approx 1.71 \times 10^5 \ J/mol$.

(B) आवृत्ति $(\nu)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
दिया गया है:
$c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$
$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\nu = \frac{3 \times 10^8 \ ms^{-1}}{6 \times 10^{-7} \ m} = 0.5 \times 10^{15} \ Hz = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ के बीच संबंध है: $\lambda = \frac{1}{\bar{\nu}}$
दिया गया है $\bar{\nu} = 11516 \ cm^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{11516 \ cm^{-1}} \approx 8.6835 \times 10^{-5} \ cm$.
इसे नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने के लिए,हम $1 \ nm = 10^{-7} \ cm$ रूपांतरण कारक का उपयोग करते हैं:
$\lambda = 8.6835 \times 10^{-5} \ cm \times \frac{1 \ nm}{10^{-7} \ cm} = 868.35 \ nm \approx 868 \ nm$.

(B) तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का व्युत्क्रम होती है।
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$
दिया गया है,$\lambda = 0.25 \mu m = 0.25 \times 10^{-6} \ m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\bar{\nu} = \frac{1}{0.25 \times 10^{-6} \ m} = 4.0 \times 10^6 \ m^{-1}$.

(D) $Balmer$ श्रेणी हाइड्रोजन के लिए विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में उत्सर्जन स्पेक्ट्रल रेखाओं की एक श्रृंखला को संदर्भित करती है।
ये रेखाएं तब उत्पन्न होती हैं जब एक इलेक्ट्रॉन हाइड्रोजन परमाणु के उच्च ऊर्जा स्तर $(n \geq 3)$ से दूसरे ऊर्जा स्तर $(n=2)$ में संक्रमण करता है।
$Balmer$ श्रेणी में रेखाओं की तरंग दैर्ध्य दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम के भीतर आती है।
वे हाइड्रोजन के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में देखे गए रंगों के अनुरूप हैं,जिसमें लाल,नीली और बैंगनी रेखाएं शामिल हैं।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन किसी उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2 > 1)$ से मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में कूदता है,तो परिणामी उत्सर्जन स्पेक्ट्रल रेखाएं लायमन श्रेणी से संबंधित होती हैं।
चूंकि संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ तक है,यह लायमन श्रेणी की सीमा रेखा को दर्शाता है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ समीकरण द्वारा दी जाती है।
यह दर्शाता है कि ऊर्जा तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
तरंगदैर्ध्य जितनी कम होगी,आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी,और ऊर्जा उतनी ही अधिक होगी।
दिए गए रंगों में,बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे कम (लगभग $400 \ nm$) होती है,इसलिए इसमें सबसे अधिक ऊर्जा होती है।

(B) आवृत्ति $(v)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $v = \frac{c}{\lambda}$.
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ और $\lambda = 750 \ nm = 750 \times 10^{-9} \ m$.
मान रखने पर: $v = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{750 \times 10^{-9} \ m} = 4 \times 10^{14} \ Hz$.

(B) आवृत्ति $(v)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध का सूत्र है: $v = \frac{c}{\lambda}$.
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ और $\lambda = 460 \ nm = 460 \times 10^{-9} \ m$.
मान रखने पर: $v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{460 \times 10^{-9} \ m} = 6.52 \times 10^{14} \ Hz$.
अतः,आवृत्ति लगभग $6.5 \times 10^{14} \ Hz$ है.

(C) प्रकाश की गति $(c)$,आवृत्ति $(\nu)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध $c = \nu \times \lambda$ है।
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ और $\nu = 50 \ Hz$।
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{c}{\nu}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{50} = 0.06 \times 10^8 \ m = 6 \times 10^6 \ m$।

(C) आवृत्ति $v$ का सूत्र $v = \frac{c}{\lambda}$ है।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = 480 \ nm = 480 \times 10^{-9} \ m$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{480 \times 10^{-9} \ m} = 6.25 \times 10^{14} \ Hz$.

(C) आवृत्ति $\nu$ की गणना $\nu = \frac{c}{\lambda}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
दिया गया है: प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$ है।
मान रखने पर: $\nu = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{400 \times 10^{-9} \ m} = 7.5 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश धातु की सतह पर पड़ता है,जिससे इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होता है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक हो।
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करती है,न कि उसकी तीव्रता पर।
अतः,सही कथन यह है कि आपतित प्रकाश की तीव्रता बढ़ने के साथ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ती है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि $h$ और $c$ नियतांक हैं,इसलिए $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
अतः,ऊर्जा का अनुपात उनकी तरंगदैर्ध्य के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
दिया गया है कि $\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{2}$,इसलिए $\frac{3}{2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$।
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\lambda_1 : \lambda_2 = 2:3$ होगा।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में एक आवेशित कण का विक्षेपण लोरेंत्ज़ बल $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,और परिणामी त्वरण $a = F/m = (qvB \sin \theta)/m$ है।
चूंकि विक्षेपण आवेश-द्रव्यमान अनुपात $(q/m)$ के समानुपाती होता है,इसलिए जिस कण का $q/m$ अनुपात सबसे अधिक होगा,उसमें अधिकतम विक्षेपण होगा।
$\alpha$-कणों $(He^{2+})$ का द्रव्यमान लगभग $4 \ amu$ और आवेश $+2$ होता है।
$\beta$-कणों $(e^-)$ का द्रव्यमान लगभग $1/1837 \ amu$ और आवेश $-1$ होता है।
$\gamma$-किरणें विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं जिनका कोई आवेश या द्रव्यमान नहीं होता है,इसलिए उनमें कोई विक्षेपण नहीं होता है।
न्यूट्रॉन पर कोई आवेश नहीं होता है,इसलिए उनमें भी विक्षेपण नहीं होता है।
$q/m$ अनुपात की तुलना करने पर,$\beta$-कण का $q/m$ अनुपात $\alpha$-कण की तुलना में काफी अधिक होता है,जिससे अधिकतम विक्षेपण होता है।

(A) कथन $I$ गलत है क्योंकि किसी तत्व के समस्थानिकों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास समान होता है और इसलिए वे समान रासायनिक गुण प्रदर्शित करते हैं।
कथन $II$ सही है क्योंकि लाइमैन श्रेणी $n=1$ ऊर्जा स्तर पर इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण से संबंधित है,जो पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र में ऊर्जा उत्सर्जित करती है।
कथन $III$ सही है क्योंकि मैक्सवेल के तरंग सिद्धांत के अनुसार,विद्युत चुम्बकीय विकिरण में दोलनशील विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र होते हैं जो एक दूसरे के और तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं।
अतः,कथन $II$ और $III$ सही हैं।

(A) विद्युतचुंबकीय विकिरण की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$a$ के लिए: $\nu_a = 3 \times 10^{15} \ Hz$.
$b$ के लिए: $\nu_b = 2 \times 10^{14} \ Hz$.
$c$ के लिए: $\lambda_c = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$. आवृत्ति $\nu_c = \frac{c}{\lambda_c} = 7.5 \times 10^{14} \ Hz$.
$d$ के लिए: $\lambda_d = 750 \ nm = 750 \times 10^{-9} \ m$. आवृत्ति $\nu_d = \frac{c}{\lambda_d} = 4 \times 10^{14} \ Hz$.
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\nu_b < \nu_d < \nu_c < \nu_a$.
अतः,ऊर्जाओं का बढ़ता क्रम $b < d < c < a$ है।

(A) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$,आवृत्ति $(\nu)$ और प्रकाश की गति $(c)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ और $\nu = 103.4 \ MHz = 103.4 \times 10^6 \ s^{-1} = 1.034 \times 10^8 \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{1.034 \times 10^8 \ s^{-1}} \cong 2.90 \ m$.

(C) हाइड्रोजन की स्पेक्ट्रमी श्रेणियाँ निचले ऊर्जा स्तर $n_2$ द्वारा परिभाषित होती हैं जहाँ इलेक्ट्रॉन उच्च स्तर $n_1$ से संक्रमण करते हैं:
$n_2 = 1$ (लाइमन श्रेणी): पराबैंगनी क्षेत्र।
$n_2 = 2$ (बामर श्रेणी): दृश्य क्षेत्र।
$n_2 = 3$ (पाशन श्रेणी): अवरक्त क्षेत्र।
$n_2 = 4$ (ब्रेकेट श्रेणी): अवरक्त क्षेत्र।
$n_2 = 5$ (फंड श्रेणी): अवरक्त क्षेत्र।
चूंकि प्रश्न $n = 3, 4, 5$ में संक्रमण को संदर्भित करता है,इसलिए ये सभी श्रेणियाँ (पाशन,ब्रेकेट और फंड) अवरक्त क्षेत्र में आती हैं।

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda = 7.8 \times 10^2 \ nm$ दी गई है।
तरंगदैर्ध्य को मीटर में बदलने पर: $\lambda = 7.8 \times 10^2 \times 10^{-9} \ m = 7.8 \times 10^{-7} \ m$।
आवृत्ति $\nu$ की गणना सूत्र $\nu = \frac{c}{\lambda}$ का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ प्रकाश की गति है।
$\nu = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{7.8 \times 10^{-7} \ m} \approx 3.846 \times 10^{14} \ s^{-1}$।
अतः,आवृत्ति लगभग $3.8 \times 10^{14} \ s^{-1}$ है।

(C) आपतित विकिरण की ऊर्जा $(E)$ की गणना सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा की जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{400 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 3.1 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए,आपतित विकिरण की ऊर्जा कार्य फलन के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए $(E \ge W_0)$।
अतः,यदि कार्य फलन $E$ से अधिक है $(W_0 > E)$,तो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होंगे।
दिए गए कार्य फलनों की $3.1 \text{ eV}$ से तुलना करने पर:
$Mg (3.7 > 3.1)$,$Cu (4.8 > 3.1)$,और $Ag (4.3 > 3.1)$ के कार्य फलन $3.1 \text{ eV}$ से अधिक हैं।
इस प्रकार,$3$ धातुएं इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन नहीं करेंगी।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ इस प्रकार है: $KE = h\nu - \varphi$,जहाँ $h\nu$ आपतित विकिरण की ऊर्जा है और $\varphi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि स्थिर आपतित ऊर्जा $(h\nu)$ के लिए,गतिज ऊर्जा $(KE)$ धातु के कार्य फलन $(\varphi)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,जिस धातु का कार्य फलन सबसे अधिक होगा,उसकी गतिज ऊर्जा सबसे कम होगी।
दी गई धातुओं के लिए कार्य फलन का क्रम है: $Cu (4.70 \ eV) > Ag (4.26 \ eV) > Li (2.90 \ eV) > Na (2.75 \ eV)$.
चूंकि $Cu$ का कार्य फलन सबसे अधिक है,इसलिए यह उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन के लिए सबसे कम गतिज ऊर्जा प्रदर्शित करेगा।

(C) दिया गया तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6300 \ \mathring{A} = 6.3 \times 10^{-7} \ m$ है।
$(I)$ तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ तरंगदैर्ध्य का व्युत्क्रम है:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{6.3 \times 10^{-7} \ m} \approx 1.587 \times 10^6 \ m^{-1}$।
$(II)$ आवृत्ति $(\nu)$ के लिए सूत्र $\nu = \frac{c}{\lambda}$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$:
$\nu = \frac{3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{6.3 \times 10^{-7} \ m} \approx 4.761 \times 10^{14} \ s^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ समीकरण $KE = h\nu - h\nu_0$ द्वारा दी जाती है।
जब आपतित आवृत्ति $\nu > \nu_0$ होती है,तो $KE > 0$ होता है। अतः,कथन $3$ सही है।
यहाँ,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
अन्य कथनों का विश्लेषण:
$1$. उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होती है,व्युत्क्रमानुपाती नहीं।
$2$. जब $\nu < \nu_0$ होता है,तो $KE < 0$ होता है,जो असंभव है; इसलिए,प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं देखा जा सकता है।
$4$. जब $\nu = \nu_0$ होता है,तो $KE = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन केवल उत्सर्जित होते हैं लेकिन उनके पास सतह से दूर जाने के लिए कोई गतिज ऊर्जा नहीं होती है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda = 450 \ nm = 450 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{450 \times 10^{-9} \ m} \approx 4.417 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $E = \frac{4.417 \times 10^{-19} \ J}{1.602 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 2.76 \ eV$.
प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन $(E \ge W_0)$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
$W_0 < 2.76 \ eV$ वाली धातुएं $K (2.25 \ eV), Na (2.30 \ eV)$,और $Li (2.42 \ eV)$ हैं। ये प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रदर्शित करेंगी।
$W_0 > 2.76 \ eV$ वाली धातुएं $Mg (3.70 \ eV)$ और $Cu (4.80 \ eV)$ हैं। ये प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रदर्शित नहीं करेंगी।
ऐसी धातुओं की संख्या $2$ है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\lambda = 300 \times 10^{-9} \ m$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{300 \times 10^{-9}} = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{6.626 \times 10^{-19}}{1.6022 \times 10^{-19}} \approx 4.135 \ eV$.
प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक होती है।
$\Phi$ मानों की तुलना:
$Ag: 4.3 \ eV > 4.135 \ eV$ (उत्सर्जन नहीं)
$Mg: 3.7 \ eV < 4.135 \ eV$ (उत्सर्जन)
$K: 2.25 \ eV < 4.135 \ eV$ (उत्सर्जन)
$Na: 2.30 \ eV < 4.135 \ eV$ (उत्सर्जन)
अतः,$Mg, K,$ और $Na$ इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेंगे। ऐसी धातुओं की कुल संख्या $3$ है।

(D) विद्युत चुम्बकीय विकिरण की ऊर्जा $(E)$ उसकी तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जो समीकरण $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे तरंग दैर्ध्य बढ़ती है,विकिरण की ऊर्जा कम होती जाती है।
ऊर्जा के घटते क्रम में विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम इस प्रकार है: $\gamma-rays > X-rays > UV > visible > IR > microwave > radio \ waves$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही क्रम $X-rays > UV > IR > microwave$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम में पांच स्पेक्ट्रमी श्रेणियों की श्रृंखला होती है,जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के विशिष्ट क्षेत्रों में आती हैं:
$1$. लाइमैन श्रेणी: $UV$ क्षेत्र
$2$. बामर श्रेणी: दृश्य क्षेत्र
$3$. पाश्चन श्रेणी: $IR$ क्षेत्र
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: $IR$ क्षेत्र
$5$. फुंड श्रेणी: $IR$ क्षेत्र
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$(i)$ $\gamma$-विकिरण: नहीं देखा जाता है।
$(ii)$ $UV$: देखा जाता है (लायमैन श्रेणी)।
$(iii)$ $X$-किरणें: नहीं देखी जाती हैं।
$(iv)$ इन्फ्रारेड: देखा जाता है (पाश्चन,ब्रैकेट,फुंड श्रेणी)।
अतः,$\gamma$-विकिरण और $X$-किरणें हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम में नहीं देखी जा सकती हैं।

(A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम के आधार पर,आवृत्ति की सीमाएँ इस प्रकार हैं:
| नाम | आवृत्ति ($Hz$ में) |
| :--- | :--- |
| $X$-किरणें | $10^{17}$ से $10^{21}$ |
| रेडियो तरंगें | $10^{5}$ से $10^{8}$ |
| $UV$ किरणें | $10^{15}$ से $10^{16}$ |
| $IR$ किरणें | $10^{12}$ से $10^{13}$ |
दी गई सीमाओं की तुलना करने पर,$X$-किरणों की आवृत्ति सबसे अधिक है ($10^{17}$ से $10^{21} \ Hz$)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) विकिरण की ऊर्जा का सूत्र: $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda} = hc \bar{\nu}$,जहाँ $\bar{\nu}$ तरंग संख्या है।
तरंग संख्या के लिए सूत्र: $\bar{\nu} = \frac{E}{hc}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13} \ erg}{6.625 \times 10^{-27} \ erg \ sec \times 3 \times 10^{10} \ cm \ sec^{-1}}$.
$\bar{\nu} = \frac{19.875 \times 10^{-13}}{19.875 \times 10^{-17}} = 10^4 \ cm^{-1}$.

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda = 310 \ nm = 310 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{310 \times 10^{-9}} \approx 6.41 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $E = \frac{6.41 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 4.0 \ eV$.
प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ के बराबर या उससे अधिक हो। यदि $E < \Phi$,तो प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं होता है।
यहाँ,$E = 4.0 \ eV$.
कार्य फलनों के साथ तुलना करने पर:
$M_1: 4.8 \ eV > 4.0 \ eV$ (कोई प्रभाव नहीं)
$M_2: 4.3 \ eV > 4.0 \ eV$ (कोई प्रभाव नहीं)
$M_3: 4.75 \ eV > 4.0 \ eV$ (कोई प्रभाव नहीं)
$M_4: 3.75 \ eV < 4.0 \ eV$ (प्रभाव होता है)
अतः,$M_1, M_2$ और $M_3$ प्रकाश-विद्युत प्रभाव नहीं दर्शाते हैं।

(D) आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है।
$\lambda = 300 \ nm$ के लिए,$E \approx 4.14 \ eV$ प्राप्त होता है।
धातुओं के कार्य फलन $(\Phi)$ लगभग इस प्रकार हैं: $Li \approx 2.5 \ eV$,$Mg \approx 3.7 \ eV$,$Ag \approx 4.3 \ eV$,$Cu \approx 4.7 \ eV$,और $K \approx 2.3 \ eV$।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब $E > \Phi$ हो।
यहाँ $Li, Mg$ और $K$ का कार्य फलन $4.14 \ eV$ से कम है।
अतः,$3$ धातुएँ प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रदर्शित करती हैं।

(B) कथन $(i)$ सही है: प्रकाश-विद्युत प्रभाव एक तात्कालिक प्रक्रिया है जिसमें प्रकाश के आपतन और इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के बीच कोई समय अंतराल नहीं होता है।
कथन $(ii)$ गलत है: उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है।
कथन $(iii)$ सही है: $K$,$Rb$ और $Cs$ जैसी क्षार धातुओं का कार्य फलन (work function) कम होता है और वे दृश्य प्रकाश के साथ भी प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रदर्शित करती हैं।
अतः,कथन $(i)$ और $(iii)$ सही हैं।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = 3 \ eV$ दी गई है।
ऊर्जा को $erg$ में बदलने पर: $E = 3 \times 1.6 \times 10^{-12} \ erg = 4.8 \times 10^{-12} \ erg$.
सूत्र $\lambda = \frac{hc}{E}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s \times 3 \times 10^{10} \ cm/s}{4.8 \times 10^{-12} \ erg}$.
$\lambda = \frac{19.878 \times 10^{-17}}{4.8 \times 10^{-12}} \ cm = 4.141 \times 10^{-5} \ cm$.
चूंकि $1 \ cm = 10^8 \ \mathring{A}$,इसलिए $\lambda = 4.141 \times 10^{-5} \times 10^8 \ \mathring{A} = 4141 \ \mathring{A}$.

(D) आवृत्ति $(v)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $v = \frac{c}{\lambda}$.
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ और $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
मान रखने पर:
$v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.

(C) $H_2$ बंध के एक मोल को तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा $436 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
एकल बंध को तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा $(E)$ = $\frac{436 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}}{6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \approx 7.24 \times 10^{-19} \ J$.
ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $E = \frac{h \cdot c}{\lambda}$ है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}$ है।
तरंगदैर्ध्य के लिए सूत्र: $\lambda = \frac{h \cdot c}{E}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}}{7.24 \times 10^{-19} \ J} \approx 2.745 \times 10^{-7} \ m$.
नैनोमीटर में रूपांतरण: $\lambda \approx 274.5 \ nm \approx 274 \ nm$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda} = hc \cdot \bar{\nu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda}$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए: $\lambda = 300 \ nm = 300 \times 10^{-9} \ m$. $E = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^{8} \ m/s)}{300 \times 10^{-9} \ m} = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
विकल्प $(B)$ के लिए: $\nu = 3 \times 10^{4} \ s^{-1}$. $E = h \nu = (6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^{4} \ s^{-1}) = 1.9878 \times 10^{-29} \ J$.
विकल्प $(C)$ के लिए: $\bar{\nu} = 30 \ cm^{-1} = 3000 \ m^{-1}$. $E = hc \cdot \bar{\nu} = (6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \times 10^{8} \ m/s)(3000 \ m^{-1}) = 5.9634 \times 10^{-22} \ J$.
विकल्प $(D)$ के लिए: $E = 6.626 \times 10^{-27} \ J$.
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(A)$ में ऊर्जा सबसे अधिक है।

(B) $(1)$. $A$ की तरंगदैर्ध्य $= 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
$(2)$. $B$ की तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \times 10^{8} \ m/s}{10^{16} \ s^{-1}} = 3 \times 10^{-8} \ m = 30 \ nm$.
$(3)$. $C$ की तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = \frac{1}{\bar{\nu}} = \frac{1}{10^{4} \ cm^{-1}} = 10^{-4} \ cm = 10^{-6} \ m = 1000 \ nm$.
तरंगदैर्ध्य की तुलना करने पर: $\lambda_{C} (1000 \ nm) > \lambda_{A} (400 \ nm) > \lambda_{B} (30 \ nm)$.
चूंकि ऊर्जा $(E) = \frac{hc}{\lambda}$,इसलिए $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
अतः,ऊर्जा का क्रम $E_{B} > E_{A} > E_{C}$ है।

(C) विकिरण की ऊर्जा $E$ उसके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = 2000 \mathring{A}$ और $\lambda_2 = 6000 \mathring{A}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{E_1}{E_2} = \frac{6000}{2000} = 3$ प्राप्त होता है।