Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Hindi

(A) एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान $(m)$ के लिए,आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ है,जहाँ $n$ स्थिर है।
$(A)$ $p$ बनाम $1/V$ के लिए (बॉयल का नियम): $p = (nRT) \times (1/V)$। ढाल $nRT$ है। चूँकि $T_1 > T_2 > T_3$ है,इसलिए ढाल $T_1 > T_2 > T_3$ होगी। यह ग्राफ सही है।
$(B)$ $p$ बनाम $T$ के लिए (गे-लुसाक का नियम): $p = (nR/V) \times T$। ढाल $nR/V$ है। चूँकि $V_1 > V_2 > V_3$ है,इसलिए ढाल $1/V_1 < 1/V_2 < 1/V_3$ होगी। अतः,ढाल का क्रम $V_3 > V_2 > V_1$ होना चाहिए। दिया गया ग्राफ $V_1 > V_2 > V_3$ दिखाता है,जो गलत है।
$(C)$ $V$ बनाम $p$ के लिए (बॉयल का नियम): $V = (nRT) \times (1/p)$। यह एक आयताकार हाइपरबोला है,न कि मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा। दिया गया ग्राफ गलत है।
अतः,सही निरूपण $(A)$ है।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार, स्थिर दाब पर, $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ होता है।
दिया गया है: $V_1 = 2 \,L$, $T_1 = 273 \,K$ ($STP$ पर), $V_2 = 4 \,L$।
मान रखने पर: $\frac{2}{273} = \frac{4}{T_2}$।
$T_2 = \frac{273 \times 4}{2} = 546 \,K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $546 \,K - 273 = 273^{\circ} C$।

(B) दिया गया है: $W = 4 \ g$,$V = 5.6035 \ L$,$T = 546 \ K$,$P = 2 \ atm$।
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$,जहाँ $n = \frac{W}{M}$।
$PV = \frac{W}{M} RT$
$M = \frac{WRT}{PV}$
मान रखने पर: $M = \frac{4 \times 0.0821 \times 546}{2 \times 5.6035}$
$M = \frac{179.3304}{11.207} \approx 16 \ g/mol$।

(D) गैस $A$ के लिए प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = 8 \ atm$,$V_1 = 12 \ L$। स्टॉप कॉक खोलने के बाद कुल आयतन: $V_{total} = 12 \ L + 8 \ L = 20 \ L$।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम प्रत्येक गैस के लिए बॉयल के नियम $(P_1V_1 = P_2V_2)$ का उपयोग करते हैं।
गैस $A$ के लिए: $8 \ atm \times 12 \ L = P_A \times 20 \ L \implies P_A = \frac{96}{20} = 4.8 \ atm$।
गैस $B$ के लिए: $5 \ atm \times 8 \ L = P_B \times 20 \ L \implies P_B = \frac{40}{20} = 2.0 \ atm$।
अतः,$A$ और $B$ के आंशिक दाब क्रमशः $4.8 \ atm$ और $2.0 \ atm$ हैं।

(C) मिश्रण में किसी गैस का आंशिक दाब वह दाब है जो वह गैस तब लगाती यदि वह समान तापमान पर पात्र के पूरे आयतन में अकेली होती।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$N_2$ का आंशिक दाब $(p_{N_2})$ इस प्रकार है:
$p_{N_2} = \frac{n_{N_2} R T}{V}$
दिया गया है:
$n_{N_2} = 2.5 \ mol$
$V = 24.6 \ L$
$T = 300 \ K$
$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
मान रखने पर:
$p_{N_2} = \frac{2.5 \ mol \times 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 300 \ K}{24.6 \ L}$
$p_{N_2} = \frac{61.575}{24.6} \ atm$
$p_{N_2} = 2.5 \ atm$.

(D) गैस का $RMS$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,$RMS$ वेग को आधा करने का अर्थ है कि अंतिम तापमान $T_f$,प्रारंभिक तापमान $T_i$ का $\frac{1}{4}$ होना चाहिए $(T_f = \frac{T_i}{4})$।
उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{7}{5}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$।
मान रखने पर: $T_i V_i^{2/5} = (\frac{T_i}{4}) V_f^{2/5}$।
यह $4 = (\frac{V_f}{V_i})^{2/5}$ के रूप में सरल होता है।
दोनों पक्षों की घात $\frac{5}{2}$ करने पर: $4^{5/2} = \frac{V_f}{V_i}$।
$V_f / V_i = (2^2)^{5/2} = 2^5 = 32$।

(B) गैस की निश्चित मात्रा के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
दिया गया है: $P_1 = 203 \ kPa$,$V_1 = 0.5 \ m^3$,$T_1 = 400 \ K$
$P_2 = 304 \ kPa$,$V_2 = 0.2 \ m^3$
मान रखने पर: $\frac{203 \times 0.5}{400} = \frac{304 \times 0.2}{T_2}$
$T_2 = \frac{304 \times 0.2 \times 400}{203 \times 0.5} = \frac{24320}{101.5} \approx 239.6 \ K$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = |T_2 - T_1| = |239.6 - 400| = 160.4 \ K$
निकटतम पूर्णांक $160 \ K$ है।

(C) उत्क्रमणीय समतापीय कार्य का सूत्र है: $W = -2.303 nRT \log \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
दिया गया है: $n = 2.5 \ mol$,$V_1 = 2 \ dm^3$,$V_2 = 20 \ dm^3$,$W = -16.5 \ kJ = -16500 \ J$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
मान रखने पर: $-16500 = -2.303 \times 2.5 \times 8.314 \times T \times \log \left(\frac{20}{2}\right)$
$-16500 = -2.303 \times 2.5 \times 8.314 \times T \times \log(10)$
चूंकि $\log(10) = 1$,इसलिए: $-16500 = -2.303 \times 2.5 \times 8.314 \times T$
$-16500 = -47.87 \times T$
$T = \frac{16500}{47.87} \approx 344.68 \ K$
निकटतम मान में पूर्णांकित करने पर,$T \approx 345 \ K$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच संबंध $Pv^{\gamma} = K$ है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $v^{\gamma} dP + P \gamma v^{\gamma-1} dv = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dv}{v}$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें:
$\frac{dP}{P} \times 100 = -\gamma \left( \frac{dv}{v} \times 100 \right)$.
दिया गया है कि $\gamma = 1.4$ और $\frac{dv}{v} \times 100 = 5 \%$,इन मानों को रखने पर:
$\text{दाब में प्रतिशत परिवर्तन} = -1.4 \times 5 = -7 \%$.
ऋणात्मक चिह्न दाब में कमी को दर्शाता है। अतः,प्रतिशत परिवर्तन का परिमाण $7 \%$ है।

(D) ग्राफ से,बिंदु $x$ पर: $T_1 = 300 \ K, V_1 = 20 \ L$.
बिंदु $z$ पर: $T_2 = 600 \ K, V_2 = 40 \ L$.
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$pV = nRT$,जिसका अर्थ है $\frac{pV}{T} = nR$.
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{p_1 \times 20}{300} = \frac{p_2 \times 40}{600}$.
$\frac{p_1}{15} = \frac{p_2}{15}$,जिससे $p_1 = p_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z$ से $x$ तक की प्रक्रिया के दौरान दबाव स्थिर रहता है,इसलिए यह एक समदाबी प्रक्रिया है।

(B) एवोगाद्रो का नियम बताता है कि समान तापमान और दबाव पर सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है। यह नियम केवल $ideal$ गैसों के लिए सख्ती से लागू होता है,क्योंकि यह मानता है कि गैस के अणुओं का आयतन नगण्य है और उनके बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण बल नहीं है,जो गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत की मूलभूत अवधारणाएं हैं।

(D) प्रारंभ में गैस का द्रव्यमान $= 30.0 \ kg - 15.0 \ kg = 15.0 \ kg$.
उपयोग के बाद शेष गैस का द्रव्यमान $= 24.2 \ kg - 15.0 \ kg = 9.2 \ kg$.
उपयोग की गई गैस का द्रव्यमान $= 15.0 \ kg - 9.2 \ kg = 5.8 \ kg = 5800 \ g$.
ब्यूटेन $(C_4H_{10})$ का मोलर द्रव्यमान $= 4 \times 12 + 10 \times 1 = 58 \ g/mol$.
उपयोग की गई गैस के मोलों की संख्या $(n)$ $= \frac{5800 \ g}{58 \ g/mol} = 100 \ mol$.
$1 \ atm$ और $27^{\circ}C$ $(300 \ K)$ पर आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{100 \ mol \times 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 300 \ K}{1 \ atm} = 2463 \ L$.
चूंकि $1 \ m^3 = 1000 \ L$,इसलिए घन मीटर में आयतन $\frac{2463}{1000} \ m^3 = 2.463 \ m^3$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{w}{M} RT$ द्वारा दिया जाता है।
घनत्व $(d = \frac{w}{V})$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $d = \frac{PM}{RT}$ प्राप्त होता है।
अतः,मोलर द्रव्यमान $M = \frac{dRT}{P}$ है।
दिया गया है: $d = 1.964 \ g \ L^{-1}$,$T = 273 \ K$,$P = 76 \ cm \ Hg = 1 \ atm$,और $R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $M = \frac{1.964 \times 0.0821 \times 273}{1} \approx 44 \ g \ mol^{-1}$।
$CO_2$ का मोलर द्रव्यमान $12 + 2 \times 16 = 44 \ g \ mol^{-1}$ है।
इसलिए,वह गैस $CO_2$ है।

(A) आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $pV = \frac{w}{M}RT$ है,जहाँ $w$ द्रव्यमान है,$M$ आण्विक भार है,$R$ गैस स्थिरांक है,और $T$ तापमान है।
चूंकि $w$,$R$,और $T$ स्थिर हैं,मान लें कि $wRT = K$ है। अतः $pV = \frac{K}{M}$,या $V = \frac{K}{Mp}$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log V = \log \left( \frac{K}{M} \right) - \log p$ प्राप्त होता है।
यह $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log V$,$x = \log p$,$m = -1$,और अंतःखंड $c = \log \left( \frac{K}{M} \right)$ है।
ग्राफ से,$M_{2}$ के लिए अंतःखंड $M_{1}$ के अंतःखंड से अधिक है।
इसलिए,$\log \left( \frac{K}{M_{2}} \right) > \log \left( \frac{K}{M_{1}} \right)$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{K}{M_{2}} > \frac{K}{M_{1}}$,जिसका तात्पर्य है कि $M_{1} > M_{2}$ है।

(A) एक उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $(P)$ और तापमान $(T)$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
दिया गया है: $P \propto T^3$.
इसलिए,$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 3$.
$\gamma = 3\gamma - 3$.
$2\gamma = 3$.
$\gamma = \frac{3}{2}$.
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$,इसलिए अनुपात $\frac{3}{2}$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ है।
$n = 1 \ mol$ के लिए,समीकरण $V = (\frac{R}{p})T$ हो जाता है।
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = V$ और $x = T$ है,ढाल $m = \frac{R}{p}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $p = 2 \ atm$ दाब पर ढाल $X$ है,इसलिए $X = \frac{R}{2}$।
अतः,$R = 2X \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$।