IIT JEE 1962 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} = \frac{1 - x^k}{1 - x}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - x^k}{1 - x}$ છે.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \sum_{k=1}^{n} (1 - x^k) = \frac{1}{1 - x} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} x^k \right]$.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ n - \frac{x(1 - x^n)}{1 - x} \right]$.
$S_n = \frac{n(1 - x) - x(1 - x^n)}{(1 - x)^2}$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $k \frac{C_k}{C_{k-1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
તેથી,$\frac{C_k}{C_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$.
તેથી,$k$-મું પદ $k \times \frac{n-k+1}{k} = n-k+1$ છે.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} (n-k+1) = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n=15$ માટે,સરવાળો $\frac{15(16)}{2} = 120$ થાય છે.

(C) ધારો કે વિકર્ણ $BD$ એ $8x - 15y = 0$ રેખા પર છે. $BD$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{8}{15}$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુ $D(1, 2)$ છે. $D$ માંથી પસાર થતી બાજુઓ $AD$ અને $CD$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ બાજુઓ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે બાજુઓનો ઢાળ $m$ છે. તો,$\tan(45^\circ) = \left| \frac{m - \frac{8}{15}}{1 + m \cdot \frac{8}{15}} \right|$.
$1 = \left| \frac{15m - 8}{15 + 8m} \right|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $15m - 8 = 15 + 8m$ $\Rightarrow 7m = 23$ $\Rightarrow m = \frac{23}{7}$.
કિસ્સો $2$: $15m - 8 = -(15 + 8m)$ $\Rightarrow 15m - 8 = -15 - 8m$ $\Rightarrow 23m = -7$ $\Rightarrow m = -\frac{7}{23}$.
$(1, 2)$ માંથી પસાર થતી બાજુઓના સમીકરણો:
$y - 2 = \frac{23}{7}(x - 1)$ $\Rightarrow 7y - 14 = 23x - 23$ $\Rightarrow 23x - 7y - 9 = 0$.
$y - 2 = -\frac{7}{23}(x - 1)$ $\Rightarrow 23y - 46 = -7x + 7$ $\Rightarrow 7x + 23y - 53 = 0$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$,$B(5, 2)$ અને $C(4, 4)$ છે.
બાજુ $AB$ નું સમીકરણ $x - 3y + 1 = 0$ છે.
$C(4, 4)$ થી $AB$ પરના લંબની લંબાઈ $D_C = \frac{|4 - 3(4) + 1|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$ છે.
બાજુ $BC$ નું સમીકરણ $2x + y - 12 = 0$ છે.
$A(2, 1)$ થી $BC$ પરના લંબની લંબાઈ $D_A = \frac{|2(2) + 1 - 12|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$ છે.
બાજુ $AC$ નું સમીકરણ $3x - 2y - 4 = 0$ છે.
$B(5, 2)$ થી $AC$ પરના લંબની લંબાઈ $D_B = \frac{|3(5) - 2(2) - 4|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ છે.
આમ,લંબાઈઓ $\frac{7}{\sqrt{5}}, \frac{7}{\sqrt{13}}, \frac{7}{\sqrt{10}}$ છે.