${(1 + x + x^2 + x^3)^5}$ के विस्तार में $x$ की सम घातों के गुणांकों का योग क्या है?

यदि $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ का मान $2^{n} \cdot m$ के बराबर है,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1 - x)^5(1 + x + x^2 + x^3)^4$ के विस्तार में $x^{13}$ का गुणांक है :-

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1+2a)^{4}(2-a)^{5}$ के गुणनफल में $a^{4}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

यदि $\left(1+\frac{1}{x}\right)^6\left(1+x^2\right)^7\left(1-x^3\right)^8 ; x \neq 0$ के विस्तार में $x^{30}$ का गुणांक $\alpha$ है,तो $|\alpha|$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ पद} \right)}$ का योग ज्ञात कीजिए।