निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए,जहाँ कोण न्यून कोण हैं जिनके लिए व्यंजक परिभाषित हैं:
$(\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$(\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
(A) सिद्ध करना है: $(\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$L.H.S. = (\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A)$
$= (\frac{1}{\sin A} - \sin A)(\frac{1}{\cos A} - \cos A)$
$= (\frac{1 - \sin^2 A}{\sin A})(\frac{1 - \cos^2 A}{\cos A})$
$= (\frac{\cos^2 A}{\sin A})(\frac{\sin^2 A}{\cos A})$
$= \sin A \cos A$
$R.H.S. = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$= \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \frac{1}{\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}}$
$= \frac{\sin A \cos A}{\sin^2 A + \cos^2 A}$
$= \frac{\sin A \cos A}{1} = \sin A \cos A$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः सर्वसमिका सिद्ध हुई।
$L.H.S. = (\operatorname{cosec} A - \sin A)(\sec A - \cos A)$
$= (\frac{1}{\sin A} - \sin A)(\frac{1}{\cos A} - \cos A)$
$= (\frac{1 - \sin^2 A}{\sin A})(\frac{1 - \cos^2 A}{\cos A})$
$= (\frac{\cos^2 A}{\sin A})(\frac{\sin^2 A}{\cos A})$
$= \sin A \cos A$
$R.H.S. = \frac{1}{\tan A + \cot A}$
$= \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \frac{1}{\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}}$
$= \frac{\sin A \cos A}{\sin^2 A + \cos^2 A}$
$= \frac{\sin A \cos A}{1} = \sin A \cos A$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः सर्वसमिका सिद्ध हुई।
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