समाकलन sumlimits_{k = 1}^n {int_0^1 {f(k - 1 | vedclass

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Question

(C) माना $I_k = \int_0^1 {f(k - 1 + x)\,dx} $. $t = k - 1 + x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ है,तो $t = k - 1$ और जब $x =

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$\int_0^n {f(x)\,dx} $

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(C) माना $I_k = \int_0^1 {f(k - 1 + x)\,dx} $. $t = k - 1 + x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ है,तो $t = k - 1$ और जब $x = 1$ है,तो $t = k$ होता है। अतः,$I_k = \int_{k - 1}^k {f(t)\,dt} = \int_{k - 1}^k {f(x)\,dx} $. अब,दिया गया योग $\sum\limits_{k = 1}^n {I_k} = \sum\limits_{k = 1}^n {\int_{k - 1}^k {f(x)\,dx} } $ है। योग का विस्तार करने पर: $\int_0^1 {f(x)\,dx} + \int_1^2 {f(x)\,dx} + \dots + \int_{n - 1}^n {f(x)\,dx} $. निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,$\int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x)dx$. इसलिए,यह योग $\int_0^n {f(x)\,dx} $ के बराबर है।

समाकलन $\sum\limits_{k = 1}^n {\int_0^1 {f(k - 1 + x)\,dx} } $ का मान क्या है?

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मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) + g(x) = 0$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x=$

$\int_{-4}^{4} (2^x + 2^{-x})(3^x + 3^{-x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $u = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2} + 1}}} \,dx$ और $v = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (\sin 2x)} \,dx$,तो:

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