$\int_0^1 {\frac{{{x^b} - 1}}{{\log x}}} \,dx$ का मान है

ऐसे संतत फलनों $f:\left[0, \frac{3}{2}\right] \rightarrow(0, \infty)$, जो समीकरण $4 \int \limits_0^{3 / 2} f(x) d x+125 \int \limits_0^{3 / 2} \frac{d x}{\sqrt{f(x)+x^2}}=108$को संतुष्ट क्रते हैं, की संख्या क्या होगी ?

माना $f$ एक धनात्मक फलन है तथा

${I_1} = \int_{1 - k}^k {x\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$, ${I_2} = \int_{1 - k}^k {\,f\left\{ {x(1 - x)} \right\}} \,dx$

जहाँ $2k - 1 > 0$, तब ${I_1}/{I_2}$ का मान होगा

माना $\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{b}$ वास्तविक अचर इस प्रकार है कि फलन $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3 x+a, & x \leq 1 \\ b x+2, & x>1\end{array}, R\right.$ पर अवकलनीय है। तो $\int_{-2}^2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x$ का मान बराबर है

यदि $\int_{}^{} {f(x)\,dx} = x{e^{ - \log |x|}} + f(x),$ तो $f(x)$

माना $\mathrm{x} \in \mathbb{R}$ के लिए $\mathrm{S}_0(\mathrm{x})=\mathrm{x}$,

$\mathrm{S}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}+\mathrm{k} \int_0^{\mathrm{x}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}$, हैं, जहाँ

$\mathrm{C}_0=1, \mathrm{C}_{\mathrm{k}}=1-\int_0^{\mathrm{l}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}, \mathrm{k}=1,2,3 \ldots$ हैं। 

तो $\mathrm{S}_2(3)+6 \mathrm{C}_3$ बराबर है