समाकलन int_0^1 frac{x^b - 1}{log x} , dx का म | vedclass

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Question

(D) माना $I(b) = \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन की फेनमैन तकनीक का उपयोग करते हुए,हम $b$ के सापेक्ष $I(b)$ का अ

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इनमें से कोई नहीं

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(D) माना $I(b) = \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन की फेनमैन तकनीक का उपयोग करते हुए,हम $b$ के सापेक्ष $I(b)$ का अवकलन करते हैं: $I'(b) = \frac{d}{db} \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial b} \left( \frac{x^b - 1}{\log x} \right) \, dx$. चूंकि $\frac{\partial}{\partial b} (x^b) = x^b \log x$,इसलिए: $I'(b) = \int_0^1 \frac{x^b \log x}{\log x} \, dx = \int_0^1 x^b \, dx$. समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I'(b) = \left[ \frac{x^{b+1}}{b+1} \right]_0^1 = \frac{1}{b+1}$. अब,$b$ के सापेक्ष $I'(b)$ का समाकलन करने पर: $I(b) = \int \frac{1}{b+1} \, db = \log(b+1) + C$. जब $b = 0$ है,तो $I(0) = \int_0^1 \frac{x^0 - 1}{\log x} \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0$. हमारे समीकरण में $b = 0$ रखने पर: $I(0) = \log(0+1) + C = 0 \implies C = 0$. अतः,$I(b) = \log(b+1)$.

समाकलन $\int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx$ का मान क्या है?

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